111 年 國立中正大學資訊工程學系碩士班乙組《數學》

本題考查向量投影的概念，要求計算向量 $u$ 在向量 $a$ 上的投影分量，以及與該投影分量垂直的分量。

向量 $u$ 在向量 $a$ 上的投影分量，記為 $\text{proj}_a u$，其公式為：
$\text{proj}_a u = \frac{u \cdot a}{\|a\|^2} a$
首先計算 $u \cdot a$ 和 $\|a\|^2$：
$u \cdot a = (2)(1) + (0)(2) + (1)(3) = 2 + 0 + 3 = 5$
$\|a\|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$

所以，向量 $u$ 在向量 $a$ 上的投影分量為：
$\text{proj}_a u = \frac{5}{14} (1, 2, 3) = \left(\frac{5}{14}, \frac{10}{14}, \frac{15}{14}\right) = \left(\frac{5}{14}, \frac{5}{7}, \frac{15}{14}\right)$

向量 $u$ 垂直於 $a$ 的分量，記為 $\text{orth}_a u$，可以透過從 $u$ 中減去其在 $a$ 上的投影分量得到：
$\text{orth}_a u = u - \text{proj}_a u$
$\text{orth}_a u = (2, 0, 1) - \left(\frac{5}{14}, \frac{10}{14}, \frac{15}{14}\right)$

本題考查向量的叉積（外積）性質，叉積的結果向量會同時垂直於兩個原始向量。

設所求向量為 $w = (x, y, z)$。若 $w$ 同時垂直於 $u$ 和 $v$，則 $w$ 必須滿足以下條件：
$w \cdot u = 0$
$w \cdot v = 0$

這可以透過計算 $u$ 和 $v$ 的叉積來直接得到：
$w = u \times v$

$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i} \left| \begin{matrix} 2 & -2 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right| - \mathbf{j} \left| \begin{matrix} 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right| + \mathbf{k} \left| \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right|$

本題考查向量在不同基底下的座標表示。我們需要找到係數 $c_1, c_2, c_3$，使得向量 $v$ 可以表示為基底 $S$ 中向量的線性組合：
$v = c_1(3,2,1) + c_2(-2,1,0) + c_3(5,0,0)$

將此向量方程式展開，得到：
$(3, 4, 3) = (3c_1 - 2c_2 + 5c_3, 2c_1 + c_2, c_1)$

由此我們可以建立一個方程組：

1. $c_1 = 3$
2. $2c_1 + c_2 = 4$
3. $3c_1 - 2c_2 + 5c_3 = 3$

從第一個方程式，我們直接得到 $c_1 = 3$。

核心觀念

本題考查矩陣乘冪。由於 $A$ 是下三角矩陣，且非零元素只出現在第一欄，因此可利用矩陣乘法的遞迴形式，直接求出 $A^n$ 的一般表示式，再代入 $n=13$。

設

$$A^n= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ b_n&1&0\\ c_n&0&3^n \end{bmatrix}.$$

對角線元素來自下三角矩陣的乘冪，因此分別為 $1,1,3^n$。

解題方法

計算 $A^{n+1}=A^nA$：

$$A^{n+1} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ b_n&1&0\\ c_n&0&3^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ -2&1&0\\ 1&0&3 \end{bmatrix}.$$

逐項計算可得

$$A^{n+1} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ b_n-2&1&0\\ c_n+3^n&0&3^{n+1} \end{bmatrix}.$$

因此 $b_n,c_n$ 滿足遞迴關係

$$b_{n+1}=b_n-2,\qquad b_1=-2,$$

以及

$$c_{n+1}=c_n+3^n,\qquad c_1=1.$$

由第一個遞迴式：

$$b_n=-2n.$$

由第二個遞迴式：

$$c_n=1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}.$$

這是等比級數，因此

本題考查 Gram-Schmidt 正交化過程。我們將從標準基底 $\{1, x, x^2\}$ 開始，逐步構造一個正交基底 $\{\phi_1(x), \phi_2(x), \phi_3(x)\}$。

設標準基底為 $u_1(x) = 1$, $u_2(x) = x$, $u_3(x) = x^2$。
內積定義為 $\langle p, q \rangle = \int_{-1}^{1} p(x)q(x) dx$。

第一步：計算 $\phi_1(x)$。
$\phi_1(x) = u_1(x) = 1$。

第二步：計算 $\phi_2(x)$。
$\phi_2(x) = u_2(x) - \text{proj}_{u_1} u_2(x) = u_2(x) - \frac{\langle u_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1(x)$。

計算內積：
$\langle u_1, u_1 \rangle = \int_{-1}^{1} 1 \cdot 1 dx = \int_{-1}^{1} 1 dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2$。
$\langle u_2, u_1 \rangle = \int_{-1}^{1} x \cdot 1 dx = \int_{-1}^{1} x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$。

因此，
$\phi_2(x) = x - \frac{0}{2} \cdot 1 = x$。
這裡我們得到 $\phi_2(x) = x$。

第三步：計算 $\phi_3(x)$。
$\phi_3(x) = u_3(x) - \text{proj}_{\phi_1} u_3(x) - \text{proj}_{\phi_2} u_3(x)$
$\phi_3(x) = u_3(x) - \frac{\langle u_3, \phi_1 \rangle}{\langle \phi_1, \phi_1 \rangle} \phi_1(x) - \frac{\langle u_3, \phi_2 \rangle}{\langle \phi_2, \phi_2 \rangle} \phi_2(x)$。

計算所需的內積：
$\langle u_3, \phi_1 \rangle = \langle x^2, 1 \rangle = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot 1 dx = \int_{-1}^{1} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$。
$\langle \phi_1, \phi_1 \rangle = 2$ (已計算)。

本題考查數學證明方法，要求使用反證法和逆 Contrapositive 證明一個條件敘述。

我們要證明的命題是：「如果 $n$ 是整數且 $n^3 + 5$ 是奇數，則 $n$ 是偶數。」
令 $P$ 為「$n$ 是整數且 $n^3 + 5$ 是奇數」，$Q$ 為「$n$ 是偶數」。我們要證明的命題是 $P \implies Q$。

a) 證明 by Contraposition (逆 Contrapositive)

逆 Contrapositive 的證明方法是證明 $\neg Q \implies \neg P$。
$\neg Q$ 是「$n$ 不是偶數」，由於 $n$ 是整數，這意味著「$n$ 是奇數」。
$\neg P$ 是「$n^3 + 5$ 不是奇數」，這意味著「$n^3 + 5$ 是偶數」。

所以，我們要證明：如果 $n$ 是奇數，則 $n^3 + 5$ 是偶數。

假設 $n$ 是奇數。那麼 $n$ 可以寫成 $n = 2k + 1$ 的形式，其中 $k$ 是某個整數。
計算 $n^3 + 5$:
$n^3 = (2k+1)^3 = (2k)^3 + 3(2k)^2(1) + 3(2k)(1)^2 + 1^3$
$n^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1$

所以，
$n^3 + 5 = (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) + 5$
$n^3 + 5 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 6$

我們可以將此結果寫成 $2 \times (\text{某個整數})$ 的形式來證明它是偶數：
$n^3 + 5 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k + 3)$
由於 $k$ 是整數，所以 $4k^3 + 6k^2 + 3k + 3$ 也是一個整數。
因此，$n^3 + 5$ 是偶數。

我們已經證明了 $\neg Q \implies \neg P$。這等價於證明了 $P \implies Q$。
【答案】
證明：假設 $n$ 是奇數，則 $n = 2k+1$ 對某個整數 $k$。

核心觀念

圖的 incidence matrix 中：

• 每一列代表一個頂點；
• 每一欄代表一條邊；
• 某欄在第 $i$、$j$ 列同時為 $1$，表示該邊連接頂點 $v_i$ 與 $v_j$；
• 圖同構必須保留頂點的鄰接關係，因此也保留：
  • 連通分支數；
  • 頂點度數；
  • 是否含有迴圈等結構。

矩陣的列、欄排列順序可以改變，但不能改變圖本身的結構。

解題方法：由矩陣還原圖形

$G_1$ 的邊

依照各欄讀取：

$e_1=(v_1,v_2)$

$e_2=(v_2,v_3)$

$e_3=(v_3,v_4)$

第 $4$ 欄只有第 $5$ 列為 $1$。依本題矩陣的表示方式，這表示位於 $v_5$ 的迴圈，記為

$e_4=(v_5,v_5)$

其餘邊為

$$e_5=(v_5,v_6),\qquad e_6=(v_6,v_7),\qquad e_7=(v_7,v_8)$$

因此，$G_1$ 的結構是：

• 一個由 $v_1,v_2,v_3,v_4$ 組成的路徑；
• 另一個由 $v_5,v_6,v_7,v_8$ 組成的路徑；
• 並且 $v_5$ 上有一個迴圈。

所以 $G_1$ 至少分成兩個連通分支：

$$\{v_1,v_2,v_3,v_4\},\qquad \{v_5,v_6,v_7,v_8\}$$

其中迴圈不會把兩個分支連接起來。

$G_2$ 的邊

由 $G_2$ 的各欄可得：

$$e_1=(v_1,v_2),\quad e_2=(v_2,v_3),\quad e_3=(v_3,v_4),\quad e_4=(v_4,v_5)$$

核心觀念

集合可數，表示它的元素能與正整數建立一一對應；若能將元素列成一個序列，使每個元素都在序列中出現，便可證明此集合至多可數。正有理數可寫成互質正整數之比，適合依分子與分母的和逐層排列。

解題方法

圖中第 8 題的內容是：「證明正有理數集合可數。」任一正有理數都能唯一寫成既約分數 $\frac{m}{n}$，其中 $m,n$ 為正整數且 $\gcd(m,n)=1$。

依照 $m+n$ 的大小排列這些既約分數。固定 $k=m+n$ 時，只需列出符合條件的有限個分數：

$$\frac{1}{k-1},\ \frac{2}{k-2},\ \ldots,\ \frac{k-1}{1}, \qquad \gcd(m,k-m)=1.$$

例如依序排列前幾層：