114 年 國立中正大學資訊工程學系碩士班乙組《數學》

核心觀念

線性轉換 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ 的標準矩陣 $A$ 滿足 $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$。因此，若把已知輸入向量與其對應輸出向量分別排成矩陣，就能由矩陣方程求出 $A$。

解題方法

令兩個已知輸入向量作為矩陣 $V$ 的欄，對應輸出向量作為矩陣 $W$ 的欄：

$$V=\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}, \qquad W=\begin{bmatrix}1&-2\\-2&5\end{bmatrix}.$$

由 $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$，可得 $AV=W$。因為

$$\det(V)=1\cdot 3-2\cdot 1=1\ne 0,$$

所以 $V$ 可逆。兩側右乘 $V^{-1}$，得到

$$A=WV^{-1}.$$

計算

$$V^{-1}=\begin{bmatrix}3&-2\\-1&1\end{bmatrix},$$

因此

核心觀念

子空間由一組向量張成時，若這組向量線性獨立，便可直接作為該子空間的一組基底。多項式的線性獨立性可用比較各次方的係數判斷：若線性組合恆等於零多項式，則每個次方的係數都必須為零。

解題方法

先利用 $v_2-v_1$ 消去高次項，得到常數多項式：

$$v_2-v_1=1.$$

再從原多項式中消去常數項，定義

$$a=v_1-1=t^4+t^2+2t,$$ $$b=v_3-2=2t^4+t^3-t,$$ $$c=v_4=t^4+t^3-t^2-t.$$

因此，原來四個多項式所張成的空間，也可由 $\{1,a,b,c\}$ 張成。反過來，原多項式都能由這四個多項式表示：

$$v_1=a+1,\qquad v_2=a+2,\qquad v_3=b+2,\qquad v_4=c.$$

接著檢查 $\{1,a,b,c\}$ 是否線性獨立。令

$$\alpha a+\beta b+\gamma c+\delta=0.$$

比較各次方係數，得到

核心觀念

列空間由矩陣的列向量（每一橫列）張成；行簡化不改變列空間，因此列階梯形矩陣的非零列可作為列空間的一組基底。

行簡化會改變原矩陣的欄向量，所以欄空間的基底要從原矩陣中選取。選取的欄是列簡化過程中的主元欄；其欄號由列階梯形矩陣的主元位置判定。

解題方法

對 $A$ 進行列運算：

$$A= \begin{bmatrix} 1&-2&5&0&3\\ -2&5&-7&0&-6\\ -1&3&-2&1&-3\\ -3&8&-9&1&-9 \end{bmatrix}$$

先消去第一欄主元下方的元素：
$R_2\leftarrow R_2+2R_1$、$R_3\leftarrow R_3+R_1$、$R_4\leftarrow R_4+3R_1$，得到

$$\begin{bmatrix} 1&-2&5&0&3\\ 0&1&3&0&0\\ 0&1&3&1&0\\ 0&2&6&1&0 \end{bmatrix}.$$

接著以第二列第二欄的 $1$ 為主元，做
$R_3\leftarrow R_3-R_2$、$R_4\leftarrow R_4-2R_2$，再以第三列第四欄為主元消去第四列，得到列階梯形矩陣

$$\begin{bmatrix} 1&-2&5&0&3\\ 0&1&3&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}.$$

將第二列的主元上方消去，令 $R_1\leftarrow R_1+2R_2$，可得簡化列階梯形矩陣

核心觀念

若可逆矩陣 $P$ 的各欄向量是矩陣 $A$ 的特徵向量，且對應特徵值依序組成對角矩陣 $D$，則

$$AP=PD,\qquad A=PDP^{-1}.$$

因此，對正整數 $n$，

$$A^n=PD^nP^{-1}.$$

這題先確認 $P$ 的欄向量為 $A$ 的特徵向量，再利用對角矩陣乘冪簡化 $A^{11}$ 的計算。

解題方法

將 $P$ 的欄向量記為

$$v_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\qquad v_2=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\qquad v_3=\begin{bmatrix}1\\1\\5\end{bmatrix}.$$

逐一計算 $A$ 作用在這些向量上的結果：

$$Av_1= \begin{bmatrix}-2\\0\\-2\end{bmatrix} =-2v_1, \qquad Av_2= \begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix} =-v_2, \qquad Av_3= \begin{bmatrix}1\\1\\5\end{bmatrix} =v_3.$$

所以三個欄向量分別對應特徵值 $-2,-1,1$。令

$$D=\begin{bmatrix} -2&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}.$$

且 $\det(P)=1\ne 0$，故 $P$ 可逆。由 $AP=PD$ 可知 $P$ 確實對角化 $A$，並且

$$A=PDP^{-1}.$$

計算得

核心觀念

本題考查全稱量詞與存在量詞的判斷。變數的論域都是實數，命題

$$\forall x\exists y\,(x^2=y)$$

表示：對每一個實數 $x$，都能找到一個實數 $y$，使得 $x^2=y$。

解題方法

核心觀念

題目考查全稱量詞與存在量詞的判斷。$\forall x\exists y\,(x=y^2)$ 表示：對每一個實數 $x$，都能找到一個實數 $y$，使 $x=y^2$。

解題方法

核心觀念

全稱命題 $\forall x\,P(x)$ 表示：實數範圍內的每一個 $x$ 都必須使 $P(x)$ 成立。只要找到一個實數使 $P(x)$ 不成立，整個全稱命題就為假。

解題方法

將題目中的等式因式分解：

$$x^2=x \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x-1)=0$$

核心觀念

全稱命題 $\forall x\,P(x)$ 表示：論域中的每一個 $x$ 都必須使 $P(x)$ 成立。只要找到一個反例，就能判定全稱命題為假。

實數的絕對值滿足 $|x|\ge 0$，且 $|x|=0$ 當且僅當 $x=0$。

解題方法

令 $x=0$，則

$$|0|=0$$

核心觀念

存在量詞 $\exists x\exists y$ 表示：至少存在一組實數 $(x,y)$，使括號內的兩個條件同時成立。只要兩個方程式彼此矛盾，就不存在符合條件的實數組合。

解題方法

若 $x+2y=2$ 成立，將等式兩邊同乘 $2$，得到

$$2x+4y=4$$

核心觀念

全稱量詞 $\forall x$ 表示每個實數 $x$ 都必須符合條件；存在量詞 $\exists y$ 表示對該 $x$ 至少要有一個實數 $y$ 使括號內的條件成立。括號中的 $\land$ 要求兩個等式同時成立。

解題方法

檢查兩個等式是否能同時成立。將第一式兩邊乘以 $2$：

$$x+2y=2 \quad\Longrightarrow\quad 2x+4y=4$$

但第二式要求：

$$2x+4y=5$$

核心觀念

全稱量詞 $\forall x\forall y$ 表示「對所有實數 $x$ 和 $y$」，後面的合取命題必須對每一組實數 $(x,y)$ 都成立，整個命題才為真。

解題方法

全稱命題只要找到一組反例，就能判定為假。取 $x=0,\ y=0$，則

$$x+2y=0\ne 3$$

核心觀念

存在量詞 $\exists x\exists y$ 表示只要找到一組實數 $x,y$，使括號內的兩個等式同時成立，整個命題就為真。

解題方法

將兩個等式視為二元一次聯立方程：

$$\begin{cases} x+2y=2,\\ 2x+3y=3. \end{cases}$$

第二式減去第一式的兩倍：

$$(2x+3y)-2(x+2y)=3-2(2),$$

核心觀念

這題考「極端情況計數」：先找出最多能選幾個數，仍然少於三組和為 $15$ 的配對；再多選一個，就能保證至少有三組。

在 $1$ 到 $12$ 中，和為 $15$ 的配對為

$$(3,12),\ (4,11),\ (5,10),\ (6,9),\ (7,8).$$

數字 $1,2$ 沒有能與之配成 $15$ 的數。

解題方法

要避免出現三組配對，最多只能讓五組配對中的兩組都選齊。其餘三組各選一個，便不會形成完整配對；另外還能選入 $1,2$。因此，不形成至少三組配對時，最多可選

核心觀念

原遞迴式只含 $a_n^2$，因此先令 $b_n=a_n^2$，把平方項視為新數列。如此可將非線性遞迴化為一階線性遞迴。

解題方法

由題意，

$$b_n=1+2b_{n-1},\qquad b_0=a_0^2=1.$$

此遞迴的固定值為 $-1$。兩側加 $1$，得到

$$b_n+1=2(b_{n-1}+1).$$

反覆套用可得

$$b_n+1=2^n(b_0+1)=2^n\cdot 2=2^{n+1},$$

因此

$$a_n^2=b_n=2^{n+1}-1.$$

讀圖

依原卷附圖（兩圖各有 6 個頂點、9 條邊）：

• 左圖 $G$：外框 $1\!-\!2$、$2\!-\!6$、$6\!-\!5$、$5\!-\!1$；內部 $1\!-\!4$、$4\!-\!5$、$4\!-\!3$、$3\!-\!2$、$3\!-\!6$。
• 右圖 $H$：外圈六邊形 $a\!-\!b$、$b\!-\!c$、$c\!-\!d$、$d\!-\!e$、$e\!-\!f$、$f\!-\!a$；另有對角線 $b\!-\!d$、$a\!-\!e$、$c\!-\!f$。

核心觀念

兩圖同構，若且唯若存在頂點的一對一對應，使相鄰關係完全保持。先比較不變量（頂點數、邊數、度數序列、三角形等），全部相同後再實際找出對應並驗證每一條邊。

解題方法

1. 不變量：兩圖都是 6 個頂點、9 條邊，每個頂點的度數都是 3（3-正則圖）。
2. 找三角形：
   • $G$：$\{1,4,5\}$（邊 $1\!-\!4$、$4\!-\!5$、$1\!-\!5$）與 $\{2,3,6\}$（邊 $2\!-\!3$、$3\!-\!6$、$2\!-\!6$）。
   • $H$：$\{a,e,f\}$（邊 $a\!-\!e$、$e\!-\!f$、$f\!-\!a$）與 $\{b,c,d\}$（邊 $b\!-\!c$、$c\!-\!d$、$b\!-\!d$）。
     兩圖都是「兩個互不相交的三角形，再以 3 條邊一對一連起來」，也就是三角柱圖（prism graph）。
3. 兩三角形之間的連接邊：
   • $G$：$1\!-\!2$、$4\!-\!3$、$5\!-\!6$。

核心觀念

題目中的「長度為 $6$ 的路徑」若指不重複頂點的簡單路徑，則在 $K_5$ 中不可能存在，因為簡單路徑最多只能經過 $5$ 個頂點、長度至多為 $4$。

以下依圖論常見的計數方式，將題目中的路徑解讀為長度為 $6$ 的行走：頂點可以重複，但相鄰兩步之間必須沿著圖上的邊移動。

解題方法

令 $A$ 為 $K_5$ 的鄰接矩陣。矩陣 $A^6$ 的第 $(i,j)$ 個元素，等於從頂點 $i$ 到頂點 $j$ 的長度為 $6$ 的行走數。

$K_5$ 的鄰接矩陣為 $A=J-I$，其中 $J$ 是全 $1$ 矩陣，$I$ 是單位矩陣。其特徵值為 $4$（重數 $1$）及 $-1$（重數 $4$）。因此，$A^6$ 的對角線元素與非對角線元素分別為

$$(A^6)_{ii}=\frac{4^6+4(-1)^6}{5} =\frac{4096+4}{5} =820,$$