115 年 國立中正大學資訊工程學系碩士班《數學》

核心觀念

兩個同型矩陣「列等價」，是指其中一個可以經由有限次初等列運算化成另一個。對 $n\times n$ 矩陣而言，以下條件等價：

• 矩陣可列等價於單位矩陣 $I$。
• 矩陣可逆。
• 行列式不為 $0$。

因此，只要證明 $A$ 的行列式非零，即可判定 $A$ 是否列等價於 $I$。

解題方法

矩陣 $A$ 是下三角矩陣，因此其行列式等於主對角線元素的乘積：

核心觀念

可逆矩陣所定義的線性變換是一對一映射。因此，對任意集合 $A,B\subseteq\mathbb{R}^3$，都有

也就是說，可逆線性變換會保留兩個集合是否相交。

解題方法

令 $P,Q$ 分別為兩個球。題目說它們不重疊，即

核心觀念

多項式 $p$ 在 $p_1,p_2,p_3$ 的張成空間中，表示存在純量 $a,b,c$，使得

把各多項式依序以常數項、$x$ 項、$x^2$ 項、$x^3$ 項的係數表示，就能將問題轉成聯立方程組。四個次方的係數都必須同時相等。

解題方法

令

比較常數項、$x$ 項與 $x^2$ 項，得到

由第三式得 $a=1-11b-2c$。代入前兩式：

核心觀念

實對稱矩陣的不同特徵值所對應的特徵向量必互相正交。也就是說，若 $A=A^{mathsf T}$，且

則必有 $v_i^{mathsf T}v_j=0$。

解題方法

本題三個特徵值 $-1,3,7$ 互不相同，因此只要檢查相應特徵向量是否兩兩正交。取

核心觀念

矩陣 $A$ 的列空間維度等於 $A$ 的秩，也等於其零空間維度與欄數的差：

其中 $n$ 是未知向量 $x$ 的分量數。

解題方法

題目給出的通解為

核心觀念

線性方程組 $Ax=b$ 的解集若寫成「一個特解加上若干個齊次解方向」，則：

• 特解 $x_0$ 滿足 $Ax_0=b$。
• 每個齊次解方向 $v$ 都滿足 $Av=0$，也就是 $v\in\operatorname{Null}(A)$。

本題因此可利用兩個方向向量找出 $A$ 的各列，再用特解決定矩陣中的常數。

解題方法

令 $A$ 的任一列為 $\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}$。由於

都是齊次解方向，$A$ 乘上這兩個向量都必須為零。因此每一列都滿足

解得 $b=-4a$、$c=-2a$，所以 $A$ 的每一列皆為

核心觀念

實向量空間上的內積須滿足雙線性、對稱及正定性。正定性要求對每個非零向量 $x$，都有 $\langle x,x\rangle>0$。

解題方法

令 $x=(a,b)$，代入題目給定的運算：

取非零向量 $x=(0,1)$，則

核心觀念

實內積必須對兩個變數分別線性、對稱，且滿足正定性：對所有矩陣 $A,B,C$ 與實數 $\alpha$，

並且 $\langle A,A\rangle\ge 0$，且 $\langle A,A\rangle=0$ 僅在 $A=0$ 時成立。

解題方法

令 $0$ 表示 $2\times2$ 零矩陣。內積對每個變數線性，因此任何矩陣 $B$ 都必須滿足 $\langle 0,B\rangle=0$。但題目給定的運算在 $B=I$ 時為

核心觀念

實內積須滿足雙線性、對稱性與正定性：對所有多項式 $f,g$，必須有 $\langle f,g\rangle=\langle g,f\rangle$；且 $\langle f,f\rangle\ge 0$，並且只有 $f=0$ 時才等於 $0$。

解題方法

要否定一個內積，只需找到一項公理不成立的反例。此處可先檢查對稱性，再檢查正定性。

取 $f(x)=1$、$g(x)=x$，則

但

核心觀念

矩陣 $A\in\mathbb{R}^{2\times 3}$ 的 reduced SVD 為

其中 $U_r\in\mathbb{R}^{2\times 2}$、$V_r\in\mathbb{R}^{3\times 2}$ 的欄向量皆為正交單位向量，$\Sigma_r$ 收錄 $A$ 的非零奇異值。可先對角化 $AA^T$ 求左奇異向量與奇異值，再用 $v_i=A^Tu_i/\sigma_i$ 求右奇異向量。

解題方法

題目給定的 $Q,D$ 與矩陣 $A$ 不相容。因為 $D$ 的第三個對角元素為 $0$，$Q$ 的第三欄 $q_3=(2,1,-2)^T/3$ 必須滿足 $Aq_3=0$；實際上

因此不能用題目提供的 $Q,D$ 求此矩陣的 SVD。以下依照題目所列的 $A$ 計算其實際 reduced SVD。

先計算

其特徵值為

令 $r=\sqrt{1445}$、$c=38+r$，則對應的單位特徵向量可取為

核心觀念

矩陣的最佳秩一近似由奇異值分解（SVD）截斷得到。若奇異值由大到小為 $\sigma_1,\sigma_2,\ldots$，則最佳秩一近似為

其中 $v_1$ 是 $A^TA$ 最大特徵值對應的單位特徵向量，$u_1=Av_1/\sigma_1$。這是 Eckart–Young 定理的結論。

解題方法

題目給定的 $A,Q,D$ 彼此不一致，因此不能直接把 $D$、$Q$ 當成此矩陣 $A$ 的 $A^TA$ 分解。直接計算可得

但由題目給定的 $Q,D$ 算得 $(QDQ^T)_{22}=68$，而 $(A^TA)_{22}=85$。

以下依題目實際列出的矩陣 $A$ 計算其最佳秩一近似。先算

其特徵值為

最大特徵值為 $\lambda_1=85+2\sqrt{1445}$。對應的正交投影矩陣可寫成

核心觀念

本題考查述詞邏輯的量詞與連接詞翻譯：

• 「有一個人……」表示存在量詞 $\exists x$。
• 「每一個人……」表示全稱量詞 $\forall x$。
• 「如果 $x$ 在本班，則 $x$ 通過第一次考試」表示 $C(x)\to P(x)$。
• 「$x$ 沒有讀這本書」表示 $\neg B(x)$。

解題方法

先找出句子的量詞，再把同一個人的條件用適當連接詞結合。

1. 「本班有一位學生沒有讀這本書」：存在某個 $x$，同時在本班且沒有讀書，因此寫成
   $\exists x\bigl(C(x)\land\neg B(x)\bigr).$

2. 「本班每位學生都通過第一次考試」：對所有 $x$，若 $x$ 在本班，就通過第一次考試，因此寫成

核心觀念

本題考查謂詞邏輯中的量詞推論與命題推論：

• 存在量詞特例化：由「存在某個對象具有某性質」，取一個新個體名稱代表該對象。
• 全稱量詞特例化：由「所有符合條件的對象都具有某性質」，可套用到指定個體。
• 假言推論（Modus Ponens）：由 $A\to B$ 與 $A$，推出 $B$。
• 存在量詞概括：由某個個體具有某性質，推出存在某個個體具有該性質。

題目的前提形式為：

目標是推出：

解題方法

先用第一個前提取出一位在本班且未讀書的學生，再用第二個前提證明這位學生通過第一次考試。接著合併兩項性質，最後以存在量詞概括。

逐步推導

令 $a$ 代表第一個前提所指出的那位學生；$a$ 是新引入的個體名稱。

1. $\exists x\bigl(C(x)\land\neg B(x)\bigr)$
   前提： 本班有一位學生沒有讀書。

核心觀念

乘積的括號化是指在不改變因子順序的前提下，決定每次乘法的分組方式。每一種合法分組都對應一棵保留左右順序的滿二元樹；四個數的括號化方式數量也可由卡塔蘭數計算。

設 $C_n$ 表示 $n+1$ 個因子的乘積括號化方式數，則

四個數對應 $n=3$，因此

解題方法

觀察最外層乘法的位置。它只能把四個連續因子切成三種形式：

• $x_0$ 與 $x_1x_2x_3$：右側三個因子有 $C_2=2$ 種括號化。
• $x_0x_1$ 與 $x_2x_3$：左右兩側各有 $C_1=1$ 種括號化。

核心觀念

這題考的是乘積完全加括號的計數。每種加括號方式都可視為一棵二元樹：最外層的乘法把整串乘積分成左、右兩部分，再分別決定兩部分的加括號方式。

解題方法

共有 $n$ 個乘法符號。最外層乘法可切在 $x_k$ 與 $x_{k+1}$ 之間，其中 $k=0,1,\ldots,n-1$。

切在此處時：

• 左側有 $k+1$ 個數，括號方式有 $C_k$ 種。
• 右側有 $n-k$ 個數，括號方式有 $C_{n-k-1}$ 種。

左右兩側的選擇彼此獨立，因此此切法共有 $C_kC_{n-k-1}$ 種。將所有切法加總，得到遞迴關係：

核心觀念

本題考「無限集合」與「可數無限集合」的定義。

• 無限集合是指不是有限集合的集合。
• 可數無限集合是指能與自然數集合 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ 建立一對一對應的集合。

在通常採用選擇公理的數學基礎（如 ZFC）下，可逐次從集合中選出彼此不同的元素。

解題方法

設 $A$ 是任意無限集合。依序從 $A$ 中選取元素 $a_1,a_2,a_3,\ldots$，並要求每次選取的元素都不同於先前選出的元素。

形式上，選出 $a_1\in A$。選定 $a_1,\ldots,a_n$ 後，由於 $A$ 是無限集合，移除有限個元素後仍不會變成空集合，因此可選取

核心觀念

鄰接矩陣 $A$ 的元素 $A_{ij}$，表示從 $v_i$ 到 $v_j$ 的一步行走有幾種選擇；平行邊視為不同選擇，迴圈則是從頂點回到自身的一步。本文所稱的長度 $r$ 的路徑，允許重複經過頂點與邊。

矩陣乘法的定義為

因此，矩陣乘積會將所有可能的中間頂點 $v_k$ 所對應的行走數加總。

解題方法

以數學歸納法證明：對每個正整數 $r$，$(A^r)_{ij}$ 等於從 $v_i$ 到 $v_j$ 的長度 $r$ 路徑數。

基礎步驟：$r=1$

由鄰接矩陣的定義，$A_{ij}$ 正是從 $v_i$ 到 $v_j$ 的一步路徑數。又 $A^1=A$，所以命題在 $r=1$ 時成立。

歸納步驟

假設對某個正整數 $r$，$(A^r)_{ik}$ 等於從 $v_i$ 到 $v_k$ 的長度 $r$ 路徑數，對所有頂點 $v_i,v_k$ 都成立。

考慮從 $v_i$ 到 $v_j$ 的長度 $r+1$ 路徑。每條這樣的路徑，都能唯一地分解為：