108 年 國立成功大學電機工程學系碩士班在職專班《電機與控制概論（含電機概論與控制系統）》

核心觀念

本題考查：

• 方塊圖化簡與閉迴路傳遞函數。
• 二階系統標準形式
  $s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2$
• 單位斜坡輸入的穩態誤差。

令第一個加總點輸出為 $e(t)$，則：

$E(s)=R(s)-Y(s)$

第二個加總點輸出為：

$K_1E(s)-sY(s)$

而植物為：

$G(s)=\frac{K_2}{s(s+2)}$

因此：

$Y(s)=\frac{K_2}{s(s+2)}\left[K_1E(s)-sY(s)\right]$

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解題方法

由上式整理：

$Y(s)=\frac{K_1K_2}{s(s+2)}E(s)-\frac{K_2}{s+2}Y(s)$

乘開並整理得：

$\left[s(s+2)+K_2s\right]Y(s)=K_1K_2E(s)$

所以由 $E(s)=R(s)-Y(s)$，閉迴路特徵方程式為：

$s^2+(K_2+2)s+K_1K_2=0$

與標準二階形式比較：

$s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2$

題目給定 $\zeta=0.5$，因此：

$K_2+2=2\zeta\omega_n=\omega_n$

且：

$K_1K_2=\omega_n^2=(K_2+2)^2$

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利用穩態誤差求增益

由

$E(s)=R(s)-Y(s)$

可得：

$$\frac{E(s)}{R(s)} =\frac{s(s+K_2+2)} {s^2+(K_2+2)s+K_1K_2}$$

輸入為單位斜坡：

核心觀念

本題考查：

1. Luenberger state observer 設計。
2. 狀態回授控制器極點配置。
3. 分離原理：以估測狀態取代真實狀態進行回授時，完整閉迴路系統的極點等於：

$$\text{狀態回授極點} \cup \text{觀測器極點}$$

系統矩陣、輸入矩陣與輸出矩陣為

$$A= \begin{bmatrix} -5&-1\\ 6&0 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 0\\ 2 \end{bmatrix}, \qquad C= \begin{bmatrix} 0&1 \end{bmatrix}.$$

先確認觀測性：

$$\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C\\ CA \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&1\\ 6&0 \end{bmatrix}$$

其行列式為

$$\det(\mathcal{O})=-6\neq 0$$

因此系統完全可觀測，可以任意配置觀測器極點。

再確認能控性：

$$AB= \begin{bmatrix} -5&-1\\ 6&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2\\ 0 \end{bmatrix}$$ $$\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B&AB \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&-2\\ 2&0 \end{bmatrix}$$

且

$$\det(\mathcal{C})=4\neq 0$$

因此系統完全能控，可以任意配置狀態回授極點。

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(a) State observer 設計

觀測器形式

採用全階 Luenberger observer：

$$\frac{d\hat{x}(t)}{dt} = A\hat{x}(t)+Bu(t)+L\bigl(y(t)-C\hat{x}(t)\bigr)$$

其中

$$L= \begin{bmatrix} l_1\\ l_2 \end{bmatrix}$$

觀測誤差定義為

$$e(t)=x(t)-\hat{x}(t)$$

則誤差動態為

$$\frac{de(t)}{dt} = (A-LC)e(t)$$

因此觀測器極點由矩陣 $A-LC$ 決定。

計算 $A-LC$

由

$$LC= \begin{bmatrix} l_1\\ l_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&l_1\\ 0&l_2 \end{bmatrix}$$

可得

$$A-LC = \begin{bmatrix} -5&-1-l_1\\ 6&-l_2 \end{bmatrix}$$

其特徵方程式為

$$\begin{aligned} \det\left[sI-(A-LC)\right] &= \det \begin{bmatrix} s+5&1+l_1\\ -6&s+l_2 \end{bmatrix}\\ &=(s+5)(s+l_2)+6(1+l_1)\\ &=s^2+(5+l_2)s+(5l_2+6+6l_1) \end{aligned}$$

配置指定觀測器極點

指定觀測器極點為

$$-10\pm 10i$$

因此所需特徵多項式為

$$\begin{aligned} p_o(s) &=(s+10-10i)(s+10+10i)\\ &=(s+10)^2+10^2\\ &=s^2+20s+200 \end{aligned}$$

比較係數：

$$5+l_2=20$$

因此

$$l_2=15$$

再由常數項比較：

$$5l_2+6+6l_1=200$$

代入 $l_2=15$：

$$75+6+6l_1=200$$ $$6l_1=119$$ $$l_1=\frac{119}{6}$$

所以觀測器增益為

$$\boxed{ L= \begin{bmatrix} \dfrac{119}{6}\\ 15 \end{bmatrix} }$$

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(b) State feedback controller 設計

控制器形式

核心觀念

閉迴路系統的穩定性由特性方程式的根決定：若所有根都位於複數平面的左半部，系統漸近穩定；若有根位於右半部，系統不穩定。

本題使用 Routh–Hurwitz 判據。對係數為實數的多項式，Routh 表第一欄的符號變化次數，等於特性根位於右半平面的個數。因此，只要第一欄出現符號變化，系統就不穩定。

解題方法

將特性方程式

$$F(s)=s^4+2s^3+s^2+s+1=0$$

的係數依降冪排列，建立 Routh 表：

本題考查 PID 控制器的設計，特別是如何利用 PID 控制器的參數來配置閉迴路系統的極點。
系統的開迴路傳遞函數為 $G_{OL}(s) = G_c(s) G(s)$，其中 $G_c(s)$ 是控制器傳遞函數， $G(s)$ 是被控對象的傳遞函數。
PID 控制器的傳遞函數為 $G_c(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s = \frac{K_d s^2 + K_p s + K_i}{s}$。
被控對象的傳遞函數為 $G(s) = \frac{1}{s^2+s+2}$。
因此，開迴路傳遞函數為：
$G_{OL}(s) = \frac{K_d s^2 + K_p s + K_i}{s} \cdot \frac{1}{s^2+s+2} = \frac{K_d s^2 + K_p s + K_i}{s(s^2+s+2)}$

閉迴路傳遞函數為 $G_{CL}(s) = \frac{G_{OL}(s)}{1+G_{OL}(s)}$。
閉迴路系統的極點是 $1+G_{OL}(s) = 0$ 的根。
$1 + \frac{K_d s^2 + K_p s + K_i}{s(s^2+s+2)} = 0$
$\frac{s(s^2+s+2) + K_d s^2 + K_p s + K_i}{s(s^2+s+2)} = 0$
$s(s^2+s+2) + K_d s^2 + K_p s + K_i = 0$
$s^3 + s^2 + 2s + K_d s^2 + K_p s + K_i = 0$
$s^3 + (1+K_d) s^2 + (2+K_p) s + K_i = 0$

本題考查同步發電機的損失與效率。

(a) 鐵損 (Core Loss)
鐵損是指發生在電機鐵芯中的能量損失，它主要由兩部分組成：磁滯損失 (Hysteresis Loss) 和渦電流損失 (Eddy Current Loss)。

1. 磁滯損失 (Hysteresis Loss)：當交流磁通在鐵芯中變化時，鐵磁材料的磁疇會不斷地被磁化和反磁化。這個過程需要能量來克服材料內部的磁疇之間的摩擦力，這些能量以熱的形式散失。磁滯損失的大小與磁滯迴路的面積成正比，也與磁通密度和頻率有關。
2. 渦電流損失 (Eddy Current Loss)：鐵芯是導電材料。當變化的磁通穿過鐵芯時，根據法拉第電磁感應定律，會在鐵芯內部感應出渦電流 (Eddy Currents)。這些渦電流在鐵芯的電阻上流動，根據焦耳定律 ($P = I^2 R$) 產生熱量，造成能量損失。渦電流損失的大小與磁通密度、頻率、鐵芯電阻的平方成反比，與鐵芯厚度的平方成正比。

因此，鐵損是交變磁場在鐵芯中產生磁滯效應和渦電流所導致的能量損耗。

(b) 降低鐵損的層疊 (Lamination) 作法
電機製造廠將電磁鋼片以薄片堆疊的方式製成鐵芯，是為了降低渦電流損失。
原理如下：
根據渦電流損失的公式，$P_{eddy} \propto (\text{thickness})^2$。
當鐵芯由單塊厚實的鐵塊製成時，感應出的渦電流可以在較大的範圍內流動，形成較大的渦電流。

本題考查交流電路中的功率概念，包括視在功率、實功率、虛功率以及功率因數，並涉及功率因數的改善。

在交流電路中，我們有以下三個功率的概念：

1. 視在功率 (Apparent Power, $S$)：等於電壓有效值與電流有效值的乘積，單位是伏特安培 (VA)。$S = V_{rms} I_{rms}$。
2. 實功率 (Real Power or Active Power, $P$)：是實際消耗在負載上做功的功率，單位是瓦特 (W)。$P = V_{rms} I_{rms} \cos\theta$。
3. 虛功率 (Reactive Power, $Q$)：是電壓與電流之間存在相位差而交換的功率，單位是伏特安培無效 (VAR)。$Q = V_{rms} I_{rms} \sin\theta$。

這三者之間的關係可以用功率三角來表示：$S^2 = P^2 + Q^2$。
功率因數 (Power Factor, PF) 定義為實功率與視在功率之比，或電壓與電流之間相位角的餘弦值。
$PF = \frac{P}{S} = \cos\theta$。

(a) 功率因數的計算
已知視在功率 $S = 150$ VA，實功率 $P = 120$ W。
功率因數 $PF = \frac{P}{S} = \frac{120 \text{ W}}{150 \text{ VA}} = 0.8$。
由於原始電路中是電感性負載 (圖 A)，電壓超前於電流，所以功率因數是滯後 (lagging)。

【答案】 (a) 功率因數為 0.8 (滯後)。

(b) 虛功率的計算
利用功率三角關係 $S^2 = P^2 + Q^2$。
$Q^2 = S^2 - P^2 = (150 \text{ VA})^2 - (120 \text{ W})^2$
$Q^2 = 22500 - 14400 = 8100$
$Q = \sqrt{8100} = 90$ VAR。
由於是電感性負載，虛功率是正值 (感性負載消耗虛功率)。

[答案] (b) 虛功率為 90 VAR。

(c) 功率因數改善後的計算
在圖 B 中，在原來的電感性負載上並聯了一個電容。電容性負載會消耗負的虛功率 (或產生正的虛功率)。
假設實功率輸出不變，即 $P_{new} = P_{old} = 120$ W。
加入電容後，總虛功率降到 50 VAR。由於原來的電感性負載是 90 VAR，並聯的電容會抵銷一部分虛功率，所以新的總虛功率是 $Q_{new} = 90 - 50 = 40$ VAR。
注意：題目敘述「所加電容有效將虛功值降到 50 VAR」應理解為「並聯電容後，整個電路的總虛功率變為 50 VAR」。
如果題目是指電容本身提供的虛功率是 50 VAR，那麽新的總虛功率應為 $90 - 50 = 40$ VAR。
這裡的敘述有點模糊，我們按照「整個電路的總虛功率變為 50 VAR」來計算。

本題考查理想變壓器的等效電路及其在不同側的轉換。

(a) 符號解釋
圖中符號代表的意義如下：

• $V_p$: 變壓器一次側的電壓 (Primary Voltage)。
• $I_p$: 變壓器一次側的電流 (Primary Current)。
• $V_s$: 變壓器二次側的電壓 (Secondary Voltage)。
• $I_s$: 變壓器二次側的電流 (Secondary Current)。
• $N_p$: 變壓器一次側的線圈匝數 (Number of turns in Primary Winding)。
• $N_s$: 變壓器二次側的線圈匝數 (Number of turns in Secondary Winding)。
• $a = N_p/N_s$: 變壓器的匝數比 (Turns Ratio)。
• $R_p$: 變壓器一次側的等效電阻 (Primary Winding Resistance)。代表一次側銅損。
• $jX_p$: 變壓器一次側的漏感電抗 (Primary Leakage Reactance)。代表一次側漏磁所產生的電抗。
• $R_s$: 變壓器二次側的等效電阻 (Secondary Winding Resistance)。代表二次側銅損。
• $jX_s$: 變壓器二次側的漏感電抗 (Secondary Leakage Reactance)。代表二次側漏磁所產生的電抗。
• 「Ideal Transformer」: 代表理想變壓器模型，它沒有磁芯損耗 (鐵損)，也沒有激磁電流 (magnetizing current)。它只具有匝數比關係和漏感電抗。
• $R$: 代表二次側連接的負載電阻 (Load Resistance)。
• $jX$: 代表二次側連接的負載電抗 (Load Reactance)。

【答案】 (a) 符號意義已於上方詳細解釋。

(b) 等效至一次側的電路
對於一個變壓器，我們可以將二次側的阻抗和電壓、電流等效到一次側，或者將一次側的阻抗等效到二次側。
等效的原則是保持功率的關係不變。
變壓器的基本關係為：
$\frac{V_p}{V_s} = \frac{N_p}{N_s} = a$
$\frac{I_s}{I_p} = \frac{N_p}{N_s} = a$ (電流是反比關係)

將二次側的阻抗 $Z_s = R + jX$ 等效到一次側 ($Z_{s}'$)：
我們知道，在理想變壓器中，$Z_{s}' = a^2 Z_s$。
所以，$Z_{s}' = a^2 (R + jX) = a^2 R + j a^2 X$。
這表示二次側的負載電阻 $R$ 等效到一次側變為 $a^2 R$，二次側的負載電抗 $X$ 等效到一次側變為 $a^2 X$。

變壓器自身的參數也會等效到一側。通常我們將所有參數等效到一次側或二次側。
在這個題目中，我們將所有參數等效到一次側。
一次側原有的參數：$R_p$ 和 $jX_p$。
二次側的參數等效到一次側：

• 二次側電阻 $R$ 等效為 $a^2 R$。
• 二次側電抗 $X$ 等效為 $a^2 X$。
• 二次側漏感電抗 $jX_s$ 等效為 $a^2 (jX_s) = j a^2 X_s$。

因此，將整個電路等效到一次側，我們會有：

• 一次側電壓 $V_p$。
• 一次側電流 $I_p$。
• 一次側電阻 $R_p$。
• 一次側漏感電抗 $jX_p$。
• 二次側電阻等效值 $a^2 R$。
• 二次側漏感電抗等效值 $j a^2 X_s$。
• 二次側負載電抗等效值 $j a^2 X$。

圖示的等效電路通常是將所有參數合併。
在圖中，變壓器模型包含一次側漏感電抗 $jX_p$ 和二次側漏感電抗 $jX_s$。
通常，漏感電抗會被合併，或者表示為一次側和二次側各自的漏感。
如果我們將二次側的漏感 $jX_s$ 等效到一次側，則為 $j a^2 X_s$。
那麼，一次側的總漏感電抗就是 $jX_p + j a^2 X_s$。