115 年國立中山大學電機工程學系碩士班庚組《工程數學甲》考古題與詳解

Question 1

Let $a1, a2, a3, a4, d \in \mathbb{R}^n$. Define the matrices $B = [a1, a2, a3] \in \mathbb{R}^{n 	imes 3}$, $C = [a1, a2, a3, a4] \in \mathbb{R}^{n 	imes 4}$. Assume that the linear system $Bx = d$ has no solution for $x \in \mathbb{R}^3$, and the linear system $Cy = d$ has at least one solution for $y \in \mathbb{R}^4$. Let $[B, d] = [a1, a2, a3, d] \in \mathbb{R}^{n 	imes 4}$. Which of the following statements are true? (Select all that apply.) (A) The set $\{a4, d\}$ is linearly dependent. (B) The set $\{a1, a2, a3, d\}$ is linearly dependent. (C) The set $\{a1, a2, a3, a4\}$ is linearly independent. (D) rank(C) rank(B). (E) rank(C) = rank([B, d]).

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「線性系統可解性、線性獨立與矩陣秩」之間的關係。 對矩陣 $B=[a1,a2,a3]$ 而言， $$ Bx=d	ext{ 有解} \iff d\in\operatorname{span}\{a1,a2,a3\}. $$ 因此，題目條件 $Bx=d$ 無解表示 $$ d
otin\operatorname{span}\{a1,a2,a3\}. $$ 又因為 $Cy=d$ 有解，存在 $y1,y2,y3,y4$ 使得 $$ d=y1a1+y2a2+y3a3+y4a4. $$ 解題方法 若 $y4=0$，則 $$ d=y1a1+y2a2+y3a3 \in\operatorname{span}\{a1,a2,a3\}, $$ 與 $Bx=d$ 無解矛盾。因此 $$ y4
eq 0. $$ 這表示 $a4$ 對於表示 $d$ 是不可缺少的。若 $a4$ 屬於 $\operatorname{span}\{a1,a2,a3\}$，則 $d$ 也會屬於此空間，同樣矛盾。所以 $$ a4
otin\operatorname{span}\{a1,a2,a3\}. $$ 因此加入 $a4$ 後，秩恰好增加 $1$： $$ \operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(B)+1. $$ 另一方面，由於 $d
otin\operatorname{span}\{a1,a2,a3\}$，加入 $d$ 後也使秩增加 $1$： $$ \operatorname{rank}([B,d]) =\operatorname{rank}(B)+1. $$ 故 $$ \operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}([B,d]). $$ 選項分析 (A) 錯誤。 題目只能確定 $a4$ 與 $d$ 都不屬於 $\operatorname{span}\{a1,a2,a3\}$，不能確定兩者彼此線性相關。 例如在 $\mathbb{R}^2$ 中取 $$ a1=\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix},\quad a2=a3=\begin{bmatrix}0\0\end{bmatrix},\quad d=\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix},\quad a4=\begin{bmatrix}1\1\end{bmatrix}. $$ 此時 $Bx=d$ 無解，而取 $$ y=\begin{bmatrix}-1\0\0\1\end{bmatrix} $$ 即可得到 $Cy=d$。但 $a4$ 與 $d$ 線性獨立，因此 (A) 不一定成立。 (B) 錯誤。 考慮線性關係 $$ \lambda1a1+\lambda2a2+\lambda3a3+\lam…

Question 2

Let $A \in \mathbb{R}^{m 	imes n}$. For any matrix $M$, let $R(M)$ denote the column space and $N(M)$ denote the null space. Which of the following statements are true? (Select all that apply.) (A) If $y \in R(A A^T)$ and $y 
eq 0$, then $Ay 
eq 0$. (B) If $y \in R(A)$, then $Ay = 0$. (C) If $m = n$, then $R(A) = R(A^T)$. (D) If $m = n$, then $N(A) = N(A^T)$. (E) If $x \in \mathbb{R}^n$ and $Ax 
eq 0$, then $x \in R(A^T)$.

Accepted Answer

核心觀念 本題測試對矩陣的 列空間 (column space)、零空間 (null space)、以及 轉置矩陣 之間關係的了解。關鍵在於： 只有當向量的維度與矩陣的行/列數相符時，左乘或右乘才有意義。 列空間與零空間不會因矩陣是否為方陣而自動相等；它們分別對應於 行秩、列秩 以及 左/右零空間，僅在特殊情況（如矩陣滿秩、對稱等）下才會相等。 只憑「向量在某個空間」或「乘積不為零」不能直接推出向量屬於另一個空間。 --- (A) If $y \in R(AA^{T})$ and $y 
eq 0$, then $Ay 
eq 0$. $AA^{T}$ 為 $m	imes m$ 矩陣，故 $R(AA^{T})\subseteq\mathbb{R}^{m}$。 $A$ 的大小為 $m	imes n$，左乘 $A$ 必須以 長度為 $n$ 的向量 為輸入，$y$ 的長度是 $m$，無法執行 $Ay$。 因此此敘述在維度上不成立，屬 錯誤。 【答案】✗ --- (B) If $y \in R(A)$, then $Ay = 0$。 $R(A)\subseteq\mathbb{R}^{m}$，同樣因維度不合，$Ay$ 並未定義。 即便將 $y$ 視為 $A$ 的列向量（即 $y=Az$），則 $Ay=A(Az)= (AA)z$ 並不必為 $0$。 因此此敘述亦錯誤。 【答案】✗ --- (C) If $m=n$, then $R(A)=R(A^{T})$。 $R(A)$ 為 $A$ 的 列空間，$R(A^{T})$ 為 $A$ 的 行空間（即 $A^{T}$ 的列空間）。 兩者在一般情況下不相等。舉例

Question 3

Let $A \in \mathbb{R}^{m 	imes n}$, $B \in \mathbb{R}^{m 	imes k}$, and $C \in \mathbb{R}^{k 	imes n}$ such that $A = BC$. For any matrix $M$, let $R(M)$ denote the column space and $N(M)$ denote the null space. Which of the following statements are true? (Select all that apply.) (A) $R(B)$ is a subset of $R(A)$. (B) $N(A)$ is a subset of $N(C)$. (C) $k \ge 	ext{rank}(A)$. (D) If $k 	ext{rank}(A)$, then $	ext{rank}(B) = 	ext{rank}(C)$. (E) If $k = 	ext{rank}(A)$, then $	ext{rank}(A) = 	ext{rank}(B)$.

Accepted Answer

核心觀念 由 $$ A=BC $$ 可將矩陣乘法視為複合映射： $$ \mathbb{R}^n \xrightarrow{C} \mathbb{R}^k \xrightarrow{B} \mathbb{R}^m. $$ 本題主要使用以下性質： 1. 乘積矩陣的 column space $$ R(BC)\subseteq R(B). $$ 2. null space 的包含關係 若 $Cx=0$，則 $$ Ax=BCx=B0=0, $$ 因此 $$ N(C)\subseteq N(A). $$ 3. 乘積矩陣的秩不等式 $$ \operatorname{rank}(BC) \leq \min\{\operatorname{rank}(B),\operatorname{rank}(C)\}. $$ 4. 因為 $B$ 是 $m	imes k$ 矩陣、$C$ 是 $k	imes n$ 矩陣，所以 $$ \operatorname{rank}(B)\leq k,\qquad \operatorname{rank}(C)\leq k. $$ --- 解題方法 先利用 $A=BC$ 判斷空間的包含關係，再利用秩不等式建立 $$ \operatorname{rank}(A)\leq \operatorname{rank}(B)\leq k $$ 以及 $$ \operatorname{rank}(A)\leq \operatorname{rank}(C)\leq k. $$ 其中，當 $k=\operatorname{rank}(A)$ 時，若能得到首尾相等的夾擠關係，就可以判定中間的秩也必須相等。 --- 選項分析 (A) $R(B)$ is a subset of $R(A)$. 由 $A=BC$ 可知，$A$ 的每一個 column 都是 $B$ 的 columns 的線性組合，因此 $$ R(A)=R(BC)\subseteq R(B). $$ 題目敘述的方向是 $$ R(B)\subseteq R(A), $$ 方向相反，通常不成立。 例如令 $$ B= \begin{bmatrix} 1&0\ 0&1 \end{bmatrix}, \qquad C= \begin{bmatrix} 1&0\ 0&0 \end{bmatrix}, \qquad A=BC=C. $$ 則 $$ R(B)=\mathbb{R}^2, \qquad R(A)=\operatorname{span} \left\{ \begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix} ight\}. $$ 顯然 $R(B)$ 不包含於 $R(A)$，故 (A) 錯誤。 --- (B) $N(A)$ is a subset of $N(C)$. 由 $Cx=0$ 必定推出 $A…

Question 4

Let $$ A= \begin{bmatrix} 3&0&3&0&3\ 0&2&0&2&0\ 3&0&3&0&3\ 0&2&0&2&0\ 3&0&3&0&3 \end{bmatrix}. $$ Which of the following statements are true? (Select all that apply.) (A) $A$ is diagonalizable (over $\mathbb{R}$). (B) $\operatorname{rank}(A)=2$. (C) $2$ is an eigenvalue of $A$. (D) $3$ is an eigenvalue of $A$. (E) The number of positive eigenvalues of $A$ is $2$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣的秩、特徵值與可對角化性。若矩陣是實對稱矩陣，依據實對稱矩陣譜定理，它一定可以在 $\mathbb{R}$ 上對角化。 計算特徵值時，可先找出矩陣的重複列（或重複行）所形成的結構，判斷其作用在不同向量方向上的效果。 解題方法 令 $$ u= \begin{bmatrix} 1\0\1\0\1 \end{bmatrix}, \qquad v= \begin{bmatrix} 0\1\0\1\0 \end{bmatrix}. $$ 矩陣可寫成 $$ A=3uu^{T}+2vv^{T}. $$ 因為 $u$ 與 $v$ 的非零位置互不重疊，所以 $u^{T}v=0$。此外， $$ u^{T}u=3,\qquad v^{T}v=2. $$ 因此 $$ Au=3u(u^{T}u)+2v(v^{T}u)=9u, $$ $$ Av=3u(u^{T}v)+2v(v^{T}v)=4v. $$ 上式第二個結果應依矩陣的係數計算為 $$ Av=3u(u^{T}v)+2v(v^{T}v)=4v. $$ 故 $u$、$v$ 分別是特徵值 $9$、$4$ 的特徵向量。若向量 $x$ 同時滿足 $u^{T}x=0$ 與 $v^{T}x=0$，則 $$ Ax=3u(u^{T}x)+2v(v^{T}x)=0. $$

Question 5

Let $$ \mathbf{v}1= \begin{bmatrix} 1\ 0\ 1 \end{bmatrix},\qquad \mathbf{v}2= \begin{bmatrix} 1\ 0\ -1 \end{bmatrix},\qquad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} 2\ 3\ 1 \end{bmatrix}, $$ and define the subspace $W=\operatorname{span}\{\mathbf{v}1,\mathbf{v}2\}\subset\mathbb{R}^3$. Let $\mathbf{p}$ be the orthogonal projection of $\mathbf{x}$ onto $W$. For any vector $\mathbf{u}$, let $\|\mathbf{u}\|$ denote the Euclidean norm: $\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}^{T}\mathbf{u}}$. Which of the following statements are true? (Select all that apply.) (A) $\|\mathbf{p}\|=2$. (B) $\|\mathbf{x}-\mathbf{p}\|=3$. (C) $\mathbf{w}^{T}(\mathbf{x}-\mathbf{p})=0$ for every $\mathbf{w}\in W$. (D) $\mathbf{x}-\mathbf{p}\in W$. (E) $\mathbf{p}$ is orthogonal to $\mathbf{v}1$.

Accepted Answer

核心觀念 正交投影 $\mathbf{p}$ 是子空間 $W$ 中距離 $\mathbf{x}$ 最近的向量。投影的殘差 $\mathbf{x}-\mathbf{p}$ 必與 $W$ 中每個向量正交： $$ \mathbf{p}\in W,\qquad \mathbf{w}^{T}(\mathbf{x}-\mathbf{p})=0 \quad	ext{對所有 }\mathbf{w}\in W. $$ 本題的 $\mathbf{v}1$、$\mathbf{v}2$ 彼此正交，因此可分別投影到兩個方向，再將投影相加。 解題方法 先檢查兩個生成向量的內積： $$ \mathbf{v}1^{T}\mathbf{v}2 =1\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot(-1)=0. $$ 因此 $\{\mathbf{v}1,\mathbf{v}2\}$ 是正交基底。正交基底下的投影公式為 $$ \mathbf{p} =\frac{\mathbf{x}^{T}\mathbf{v}1}{\mathbf{v}1^{T}\mathbf{v}1}\mathbf{v}1 +\frac{\mathbf{x}^{T}\mathbf{v}2}{\mathbf{v}2^{T}\mathbf{v}2}\mathbf{v}2. $$ 計算各係數： $$ \mathbf{v}1^{T}\mathbf{v}1=2,\qquad \mathbf{v}2^{T}\mathbf{v}2=2, $$ $$ \mathbf{x}^{T}\mathbf{v}1=2+1=3,\qquad \mathbf{x}^{T}\mathbf{v}2=2-1=1. $$ 所以 $$ \mathbf{p} =\frac{3}{2} \begin{bmatrix}1\0\1\end{bmatrix} +\frac{1}{2} \begin{bmatrix}1\0\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\0\1\end{bmatrix}. $$ 殘差為

Question 6

Let $$ \mathbf{b}1= \begin{bmatrix} 1\ 1\ 0 \end{bmatrix},\qquad \mathbf{b}2= \begin{bmatrix} 1\ -1\ 0 \end{bmatrix},\qquad \mathbf{b}3= \begin{bmatrix} 0\ 0\ 1 \end{bmatrix},\qquad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} 2\ 0\ 3 \end{bmatrix}. $$ Define a linear transformation $L:\mathbb{R}^3	o\mathbb{R}^3$ satisfying $$ L(\mathbf{b}1)=2\mathbf{b}1,\qquad L(\mathbf{b}2)=\mathbf{b}2,\qquad L(\mathbf{b}3)=-\mathbf{b}3. $$ Let $L^5(\mathbf{x})=L(L(L(L(L(\mathbf{x}))))).$ Suppose that, in standard coordinates (with respect to the standard basis of $\mathbb{R}^3$), $L^5(\mathbf{x})=[y1,y2,y3]^T\in\mathbb{R}^3$. Let $A$ be the matrix representation of $L$ with respect to the ordered basis $\{\mathbf{b}1,\mathbf{b}2,\mathbf{b}3\}$. Which of the following statements are true? (Select all that apply.…

Accepted Answer

核心觀念 題目給出的 $\{\mathbf b1,\mathbf b2,\mathbf b3\}$ 是一組基底，而線性轉換 $L$ 對每個基底向量的作用已知。若向量寫成這組基底的線性組合，便可直接利用線性性計算 $L$ 的作用。 若 $L(\mathbf bi)=\lambdai\mathbf bi$，則 $L$ 的矩陣在這組有序基底下為對角矩陣，對角元素是 $\lambdai$；連續作用五次時，各基底方向分別乘上 $\lambdai^5$。 解題方法 先將 $\mathbf x$ 改寫成基底 $\{\mathbf b1,\mathbf b2,\mathbf b3\}$ 的線性組合。設 $$ \mathbf x=c1\mathbf b1+c2\mathbf b2+c3\mathbf b3. $$ 代入各基底向量： $$ \begin{bmatrix} 2\ 0\ 3 \end{bmatrix} = c1\begin{bmatrix} 1\ 1\ 0 \end{bmatrix} +c2\begin{bmatrix} 1\ -1\ 0 \end{bmatrix} +c3\begin{bmatrix} 0\ 0\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c1+c2\ c1-c2\ c3 \end{bmatrix}. $$ 因此 $c1+c2=2$、$c1-c2=0$、$c3=3$，解得 $c1=c2=1$、$c3=3$，所以 $$ \mathbf x=\mathbf b1+\mathbf b2+3\mathbf b3. $$ 利用 $L(\mathbf b1)=2\mathbf b1$、$L(\mathbf b2)=\mathbf b2$、$L(\mathbf b3)=-\mathbf b3$，連續作用五次後，各方向的係數分別乘上 $2^5$、$1^5$、$(-1)^5$：

Question 7

Consider the surface $z=x^2+y^2$ at the point $P(2,-2,8)$ . Which of the following is/are correct? Assume $t$ below is a scalar. The $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ , $\mathbf{k}$ are unit vectors along the $x$ -, $y$ - and $z$ -axis, respectively.

(A) The gradient vector is $2x\mathbf{i}+2y\mathbf{j}-\mathbf{k}$ .

(B) The tangent plane equals $4x-4y-z=8$ .

(C) The normal vector to the surface at $P$ is $4\mathbf{i}-4\mathbf{j}-8\mathbf{k}$ .

(D) The greatest rate of increase in the direction of the normal vector is $\sqrt{32}$ .

(E) The parametric equations of the normal line are $x=2+4t$ , $y=-2-4t$ , $z=8-t$ .

Accepted Answer

核心觀念 將曲面改寫成等位面 $F(x,y,z)=0$，其梯度 $
abla F$ 在曲面上垂直於切平面，因此可用來求切平面的法向量與法線方向。 本題令 $$ F(x,y,z)=x^2+y^2-z $$ 則 $$ 
abla F=(2x,2y,-1) $$ 在 $P(2,-2,8)$ 處， $$ 
abla F(P)=(4,-4,-1) $$ 解題方法 以 $
abla F(P)$ 作為切平面的法向量，代入點法式： $$ 4(x-2)-4(y+2)-(z-8)=0 $$ 整理得 $$ 4x-4y-z=8 $$ 因此切平面可直接由梯度求得。法線則通過 $P$，方向向量為 $(4,-4,-1)$，其參數式可寫成 $$ x=2+4t,\qquad y=-2-4t,\qquad z=8-t $$ 梯度的長度為 $$ \|
abla F(P)\|=\sqrt{4^2+(-4)^2+(-1)^2}=\sqrt{33} $$ 最大方向導數等於梯度長度，方向為梯度方向。

Question 8

Consider a space curve defined by the intersection of the surface $z=\cot^{-1}(x/y)$ and the cylinder $x^2+y^2=1$ . Assume $\cot^{-1}$ denotes the principal value with the range $(0,\pi)$ , and restrict to the branch where $y>0$ . The $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ , $\mathbf{k}$ are unit vectors along the $x$ -, $y$ - and $z$ -axis, respectively. Which of the following is/are correct?

(A) The arc length between $(1,0,0)$ and $(1,0,\pi/2)$ is $\sqrt{2}\pi$ .

(B) The curvature is $2$ .

(C) The radius of curvature is $2$ .

(D) The unit tangent vector at $(0,1,\pi/2)$ is $(-\mathbf{i}+\mathbf{k})/\sqrt{2}$ .

(E) The unit normal vector at $(0,1,\pi/2)$ is $\mathbf{j}$ .

Accepted Answer

核心觀念

這題考空間曲線的參數化，以及弧長、曲率、曲率半徑與 Frenet 單位切向量、單位法向量的計算。

若曲線以 $\mathbf r(t)$ 表示，則

\text{弧長 } s=\int_a^b \|\mathbf r'(t)\|\,dt,\qquad \kappa=\frac{\|\mathbf r'(t)\times\mathbf r''(t)\|}{\|\mathbf r'(t)\|^3},\qquad \rho=\frac{1}{\kappa}.

單位切向量與單位法向量分別為

\mathbf T=\frac{\mathbf r'}{\|\mathbf r'\|},\qquad \mathbf N=\frac{\mathbf T'}{\|\mathbf T'\|}.

解題方法

由圓柱面 $x^2+y^2=1$ ，並限制 $y>0$ ，可令

x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad 0<t<\pi.

此時 $\frac{x}{y}=\cot t$ 。因 $\cot^{-1}$ 的值域為 $(0,\pi)$ ，所以 $z=t$ 。曲線可參數化為

\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,t),\qquad 0<t<\pi.

其導數為

\mathbf r'(t)=(-\sin t,\cos t,1),\qquad \mathbf r''(t)=(-\cos t,-\sin t,0).

因此 $\|\mathbf r'(t)\|=\sqrt{2}$ ，曲線速率為常數。

選項分析

(A) 錯誤。 點 $(1,0,\pi/2)$ 不在題目所給的曲線上：當 $x=1,\ y=0$ 時， $\frac{x}{y}$ 未定義；以參數曲線的極限來看， $(1,0)$ 對應 $t=0$ ，其 $z$ 值為 $0$ ，不是 $\pi/2$ 。

Question 9

Consider the differential equation (DE) $y'=y^2-3y+2$ . Which of the following is/are correct?

(A) There is an attractor.

(B) $y(x)=2$ is a singular solution.

(C) $y(x)=(ce^x-2)/(ce^x+1)$ is a one-parameter family of solutions, where $c$ is an arbitrary constant.

(D) Provided $y(0)=-1$ , the largest interval is $[0,\infty)$ .

(E) Given $y(0)=4$ , there exists an interval centered at $0$ on which the DE has a unique solution.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查自治微分方程的平衡解與穩定性、分離變數法，以及初值問題的存在唯一性。方程右側可因式分解為 $$ y'=f(y)=y^2-3y+2=(y-1)(y-2). $$ 平衡解是使 $f(y)=0$ 的常數解；若 $f$ 在某平衡值附近使解隨時間趨近該值，該平衡值就是吸引子。 解題方法 先由 $f(y)=0$ 找出平衡解 $y=1,2$，再看 $f(y)$ 在各區間的正負，以判斷穩定性： $$ \begin{array}{c|ccc} y & (-\infty,1) & (1,2) & (2,\infty)\ \hline y' & + & - & + \end{array} $$ 在 $y=1$ 左側，解隨 $x$ 增加而上升；在右側，解隨 $x$ 增加而下降，因此兩側解都趨近 $1$。在 $y=2$ 兩側，解則遠離 $2$。 非平衡解可分離變數： $$ \frac{dy}{(y-1)(y-2)}=dx. $$ 利用 $$ \frac{1}{(y-1)(y-2)} =\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y-1}, $$ 積分得 $$ \ln\left|\frac{y-2}{y-1}ight|=x+C. $$ 將常數合併並解出 $y$，可寫成 $$ \frac{y-2}{y-1}=Ke^x, \qquad y=\frac{Ke^x-2}{Ke^x-1}. $$ 當 $K=0$ 時，這族解包含 $y=2$；$y=1$ 則是分離變數時排除的平衡解，需另外列出。 選項分析

Question 10

If $z=3-4j$, what is $|z|$? (A) $1$ (B) $5$ (C) $7$ (D) $\sqrt{7}$

Accepted Answer

核心觀念 複數 $z=a+bj$ 的模長定義為 $$ |z|=\sqrt{a^2+b^2} $$ 其中 $a$ 是實部，$b$ 是虛部的係數；$j$ 表示虛數單位，滿足 $j^2=-1$。 解題方法 題目給定 $z=3-4j$，因此實部為 $3$，虛部係數為 $-4$。代入模長公式： $$ |z|=\sqrt{3^2+(-4)^2} =\sqrt{9+16} =\sqrt{25} =5 $$ 選項分析

Question 11

The function $f(z)=\overline{z}$ is: (A) Analytic everywhere (B) Analytic only at $z=0$ (C) Not analytic anywhere (D) Entire

Accepted Answer

核心觀念 複變函數 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 若在某點可微，且一階偏導數連續，則必須滿足柯西－黎曼方程： $$ ux=vy,\qquad uy=-vx. $$ 本題的 $f(z)=\overline z$ 可寫成 $f(z)=x-iy$，因此 $u(x,y)=x$、$v(x,y)=-y$。這些偏導數處處連續，故可用柯西－黎曼方程檢查其複可微性。 解題方法 計算偏導數： $$ ux=1,\qquad uy=0,\qquad vx=0,\qquad vy=-1. $$ 柯西－黎曼方程的第一式要求 $ux=vy$，但此處 $1
e -1$，所以方程在任何 $(x,y)$ 都不成立。 因此 $f$ 在複平面上任何一點都不可微，自然也不會在任何點解析。 選項分析

Question 12

Let $z=x+jy$. Which of the following functions satisfies the Cauchy–Riemann equations? (A) $f(z)=x^2+y^2$ (B) $f(z)=x^2-y^2+j(2xy)$ (C) $f(z)=x^2+jy^2$ (D) $f(z)=|z|^2$

Accepted Answer

核心觀念 若複變函數寫成 $f(z)=u(x,y)+jv(x,y)$，其中 $u$、$v$ 分別為實部與虛部，柯西–黎曼方程為 $$ ux=vy,\qquad uy=-vx. $$ 題目問哪個函數滿足柯西–黎曼方程。判斷時須分別求出 $ux,uy,vx,vy$，再比較兩式是否成立。若題目問函數在整個平面上是否滿足，則兩式必須對所有 $(x,y)$ 都成立。 解題方法 逐一將各選項寫成 $u+jv$，計算偏導數並代入柯西–黎曼方程。 （A）$f(z)=x^2+y^2$ 此函數的實部與虛部分別為 $$ u=x^2+y^2,\qquad v=0. $$ 因此 $$ ux=2x,\quad uy=2y,\quad vx=0,\quad vy=0. $$ 柯西–黎曼方程要求 $2x=0$ 且 $2y=0$，只在原點成立，並非對整個平面成立。 （B）$f(z)=x^2-y^2+j(2xy)$ 此函數的實部與虛部分別為 $$ u=x^2-y^2,\qquad v=2xy. $$ 因此 $$ ux=2x,\quad uy=-2y,\quad vx=2y,\quad vy=2x. $$ 代入柯西–黎曼方程：

Question 13

Evaluate $$ \oint{|z|=2}\frac{1}{z}\,dz. $$ (A) $0$ (B) $1$ (C) $2\pi$ (D) $2\pi j$

Accepted Answer

核心觀念 複變線積分中，若閉合曲線以逆時針方向繞原點一圈，則 $$ \ointC \frac{1}{z}\,dz=2\pi j, $$ 其中 $j^2=-1$。這也可由柯西積分公式或留數定理得到：函數 $1/z$ 在原點的留數為 $1$，而曲線 $|z|=2$ 將原點逆時針包圍一次。 解題方法 採用參數化直接計算。依複變線積分的標準慣例，圓周取逆時針方向，令 $$ z=2e^{jt},\qquad 0\le t\le 2\pi. $$ 則 $$ dz=2j e^{jt}\,dt. $$ 代入線積分：

Question 14

If $f(t)=\cos(3t)+3t\sin(3t)$, then its Laplace Transform is given by? (A) $(s+3)/(s-3)$ (B) $27/(s^2+9)^2$ (C) $s(s^2+27)/(s^2+9)^2$ (D) Does not exist

Accepted Answer

核心觀念

本題考查拉普拉斯轉換的基本公式，以及 $t f(t)$ 的轉換性質：

\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^2+a^2}

\mathcal{L}\{f(t)\,t\} =-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}

由線性性，函數各項的拉普拉斯轉換可以分別計算後相加。

解題方法

將原函數拆成 $\cos(3t)$ 與 $3t\sin(3t)$ 兩項。

第一項直接套用餘弦轉換公式：

\mathcal{L}\{\cos(3t)\} =\frac{s}{s^2+9}

先求 $\sin(3t)$ 的轉換，再使用 $t f(t)$ 性質：

\mathcal{L}\{\sin(3t)\} =\frac{3}{s^2+9}

\mathcal{L}\{t\sin(3t)\} =-\frac{d}{ds}\left(\frac{3}{s^2+9}\right) =\frac{6s}{(s^2+9)^2}

因此：

\mathcal{L}\{3t\sin(3t)\} =\frac{18s}{(s^2+9)^2}

將兩項相加，並通分：

Question 15

Consider three continuous-time periodic signals whose Fourier series representations are as follows:

x_1(t)=\sum_{k=0}^{100}\left(\frac{1}{2}\right)^k e^{jk\frac{2\pi}{50}t},

x_2(t)=\sum_{k=-100}^{100}\cos(k\pi)e^{jk\frac{2\pi}{50}t},

x_3(t)=\sum_{k=-100}^{100}j\sin\left(\frac{k\pi}{2}\right)e^{jk\frac{2\pi}{50}t}.

Which of the three signal(s) is/are even?

(A) $x_1(t)$

(B) $x_2(t)$

(C) $x_3(t)$

(D) $x_2(t)$ and $x_3(t)$

Accepted Answer

核心觀念 連續時間週期訊號的複數傅立葉級數可寫成 $$ x(t)=\sum{k=-\infty}^{\infty}ck e^{jk\omega0t}. $$ 若訊號為偶函數，則傅立葉係數必須滿足 $$ c{-k}=ck \qquad 	ext{對所有 }k. $$ 這是因為偶函數的傅立葉級數只含直流項與餘弦項；而正、負頻率的複數指數係數須相等。 解題方法 逐一比較各訊號正、負索引的係數。若有某個 $k$ 使 $c{-k}
e ck$，該訊號便不是偶函數。 選項分析 (A) $x1(t)$：錯誤 $x1(t)$ 只有 $k=0,1,\ldots,100$ 的項，因此 $c1=\frac12$，但 $c{-1}=0$。兩者不相等，所以 $x1(t)$ 不是偶函數。 (B) $x2(t)$：正確 $x2(t)$ 的係數為 $$ ck=\cos(k\pi)=(-1)^k. $$ 由於

Question 16

Let $x(t)$ be a periodic signal with Fourier series coefficients defined by $$ ak= \begin{cases} 2,&k=0,\ j\left(\frac{1}{2}ight)^{|k|},&k
e 0. \end{cases} $$ Which of the following statements is true? (A) $x(t)$ is real. (B) $x(t)$ is even. (C) $\dfrac{dx(t)}{dt}$ is even. (D) None of the above.

Accepted Answer

核心觀念 複數傅立葉級數寫成 $$ x(t)=\sum{k=-\infty}^{\infty}ak e^{jk\omega0t}. $$ 係數可用來判斷訊號性質： - $x(t)$ 為實數訊號，須滿足 $a{-k}=ak^$。 - $x(t)$ 為偶訊號，須滿足 $a{-k}=ak$。 - 偶訊號微分後為奇訊號；也可直接檢查微分後的傅立葉係數。 解題方法 依原卷第 18 題，係數為 $a0=2$，且 $k
e 0$ 時 $ak=j(1/2)^{|k|}$；選項分別判斷訊號是否為實數、偶函數，以及其導數是否為偶函數。 對任意 $k
e 0$， $$ a{-k}=j\left(\frac12ight)^{|-k|} =j\left(\frac12ight)^{|k|} =ak. $$ 因此傅立葉係數對正、負索引相同，$x(t)$ 是偶訊號。 但實數訊號要求 $$ a{-k}=ak^. $$ 本題 $ak$ 為純虛數，故 $$ ak^=-j\left(\frac12ight)^{|k|} 
e a{-k}. $$ 所以 $x(t)$ 不是實數訊號。

Question 17

The Fourier Transform of $e^{-|t|}$ is $\dfrac{2}{1+\omega^2}$ . Then, what is the Fourier Transform of $e^{-2|t|}$ ?

(A) $\dfrac{4}{4+\omega^2}$

(B) $\dfrac{2}{4+\omega^2}$

(C) $\dfrac{2}{2+\omega^2}$

(D) $\dfrac{4}{2+\omega^2}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查傅立葉轉換的時間尺度變換性質。若 $$ \mathcal{F}\{f(t)\}=F(\omega), $$ 則對 $a0$， $$ \mathcal{F}\{f(at)\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{\omega}{a}\right). $$ 題目已知 $e^{-|t|}$ 的傅立葉轉換，因此可將 $e^{-2|t|}$ 視為把原函數中的 $t$ 換成 $2t$，直接套用尺度變換性質。 解題方法 令 $f(t)=e^{-|t|}$，則 $e^{-2|t|}=f(2t)$。由題目給定 $$ F(\omega)=\frac{2}{1+\omega^2}, $$ 取 $a=2$，得 $$ \mathcal{F}\{e^{-2|t|}\} =\frac{1}{2}F\left(\frac{\omega}{2}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{1+\left(\frac{\omega}{2}\right)^2}. $$ 整理分母：

Question 18

For each of the following Fourier transforms, use Fourier transform properties to determine which of the corresponding time-domain signal is purely imaginary and odd. Do this without evaluating the inverse of any of the given transforms.

(A) $X(j\omega)=u(\omega)-u(\omega-2)$

(B) $X(j\omega)=\cos(2\omega)\sin\left(\dfrac{\omega}{2}\right)$

(C) $X(j\omega)=A(\omega)e^{jB(\omega)}$ , where $A(\omega)=\dfrac{\sin 2\omega}{\omega}$ and $B(\omega)=2\omega+\dfrac{\pi}{2}$

(D) $X(j\omega)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|k|}\delta\left(\omega-\dfrac{k\pi}{4}\right)$

Accepted Answer

核心觀念 採用傅立葉轉換定義 $$ X(j\omega)=\int{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt $$ 若 $x(t)$ 為純虛奇函數，可寫成 $x(t)=j r(t)$，其中 $r(t)$ 為實奇函數。實奇函數的傅立葉轉換是虛奇函數，因此 $$ X(j\omega)=jR(j\omega) $$ 必為實奇函數。所以判斷時只須檢查 $X(j\omega)$ 是否為實數，且是否滿足 $X(-j\omega)=-X(j\omega)$。 解題方法 逐項檢查各頻域函數的實虛性與奇偶性，不求反傅立葉轉換。符合「實奇」的選項，其對應時域信號才是純虛奇函數。 選項分析 (A) $$ X(j\omega)=u(\omega)-u(\omega-2) $$ 此函數在 $0<\omega<2$ 時為 $1$，在負頻率一側為 $0$。因此 $X(-j\omega)
e -X(j\omega)$，不具奇對稱，故不符合。 (B) $$ X(j\omega)=\cos(2\omega)\sin\left(\frac{\omega}{2}ight) $$

Question 19

Determine the inverse Laplace transform $x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}$ for $t\geq 0$ :

X(s)=\frac{s-1}{s^2+3s+2}.

(A) $x(t)=(3e^{-2t}-2e^{-t})u(t)$

(B) $x(t)=(2e^{-t}-3e^{-2t})u(t)$

(C) $x(t)=(3e^{-t}-2e^{-2t})u(t)$

(D) $x(t)=(3e^{-2t}+2e^{-t})u(t)$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查部分分式分解與基本反拉氏轉換公式。先將分母因式分解，再把有理式拆成簡單分式，最後套用

\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}u(t),\qquad t\geq 0.

其中 $u(t)$ 為單位階躍函數。

解題方法

分母可因式分解為

s^2+3s+2=(s+1)(s+2).

設部分分式為

\frac{s-1}{(s+1)(s+2)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.

通分後比較係數：

s-1=A(s+2)+B(s+1) =(A+B)s+(2A+B).

因此

A+B=1,\qquad 2A+B=-1.

解得 $A=-2$ 、 $B=3$ ，所以

X(s)=-\frac{2}{s+1}+\frac{3}{s+2}.

逐項取反拉氏轉換：

115 年 國立中山大學電機工程學系碩士班庚組《工程數學甲》

第 1 題

第 2 題

(A) If y∈R(AAT)y \in R(AA^{T})y∈R(AAT) and y≠0y \neq 0y=0, then Ay≠0Ay \neq 0Ay=0.

(B) If y∈R(A)y \in R(A)y∈R(A), then Ay=0Ay = 0Ay=0。

(C) If m=nm=nm=n, then R(A)=R(AT)R(A)=R(A^{T})R(A)=R(AT)。

第 3 題

第 4 題5 分

核心觀念

解題方法

第 5 題5 分

第 6 題5 分

核心觀念

解題方法

第 7 題5 分

核心觀念

解題方法

第 8 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 9 題5 分

第 10 題5 分

第 11 題4 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 12 題4 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 13 題4 分

第 14 題4 分

核心觀念

解題方法

第 15 題4 分

第 16 題5 分

核心觀念

解題方法

第 17 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 18 題5 分

核心觀念

解題方法

第 19 題5 分

核心觀念

解題方法

第 20 題5 分

第 21 題5 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

115 年中山大學的其他科目

中山大學《工程數學甲》其他年度

其他學校的電機系考古題

115 年國立中山大學電機工程學系碩士班庚組《工程數學甲》

(A) If $y \in R(AA^{T})$ and $y \neq 0$ , then $Ay \neq 0$ .

(B) If $y \in R(A)$ , then $Ay = 0$ 。

(C) If $m=n$ , then $R(A)=R(A^{T})$ 。