115 年 國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《通訊理論》

核心觀念

此題考查 Nyquist 零符號間干擾（ISI-free）條件。對符號間隔

$$t_s=\frac{1}{W},$$

脈波 $p(t)$ 必須滿足

$$p(nt_s)= \begin{cases} C, & n=0,\\ 0, & n\neq 0, \end{cases}$$

其中 $C\neq 0$。通常取 $C=1$，但脈波整體乘上一個非零常數並不會破壞零 ISI 條件。

本題採用通訊理論中常見的 normalized sinc 定義：

$$\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$

因此，對任意非零整數 $n$，

$$\operatorname{sinc}(n)=0.$$

由於 $t_s=1/W$，取樣時刻為

$$t=nt_s=\frac{n}{W}.$$

此時

$$Wt=n,\qquad 2Wt=2n,\qquad 4Wt=4n.$$

這些數值都是整數，因此相關的 sinc 函數皆為零。

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解題方法

逐一將 $t=n/W$ 代入各脈波，檢查所有非零整數 $n$ 是否滿足 $p_i(n/W)=0$，再確認 $p_i(0)\neq 0$。

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選項分析

(A)

$$p_1(t)=2W\operatorname{sinc}^2(2Wt)+W\operatorname{sinc}(Wt).$$

在 $t=n/W$ 且 $n\neq 0$ 時，

$$\operatorname{sinc}(2Wt)=\operatorname{sinc}(2n)=0,$$ $$\operatorname{sinc}(Wt)=\operatorname{sinc}(n)=0.$$

因此

$$p_1\left(\frac{n}{W}\right) =2W\cdot 0^2+W\cdot 0=0.$$

在 $t=0$ 時，

$$p_1(0)=2W+W=3W\neq 0.$$

所以 $p_1(t)$ 滿足零 ISI 條件。

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(B)

$$p_2(t)=4W\operatorname{sinc}(4Wt)-W\operatorname{sinc}^2(Wt).$$

在 $t=n/W$ 且 $n\neq 0$ 時，

$$\operatorname{sinc}(4Wt)=\operatorname{sinc}(4n)=0,$$ $$\operatorname{sinc}(Wt)=\operatorname{sinc}(n)=0.$$

因此

這題考驗符號傳輸率與位元傳輸率之間的轉換關係。

已知：
符號傳輸率 (Symbol rate), $R_s = 2000$ symbols/second。
調變方式為 M-ary，其中 $M = 16$。

一個 M-ary 系統中，每個符號可以代表 $\log_2 M$ 個位元。
因此，對於 $M=16$ 的系統，每個符號可以代表 $\log_2 16$ 個位元。
$\log_2 16 = \log_2 (2^4) = 4$ bits/symbol。

核心觀念

本題考查三元 PAM（3-PAM）系統的最佳判決與符號錯誤率。

三個傳送波形為

$$s_{-1}(t)=-p(t),\qquad s_0(t)=0,\qquad s_1(t)=p(t).$$

脈波能量為

$$E_p=\int_0^{T_M}p^2(t)\,dt.$$

匹配於 $p(t)$ 的匹配濾波器，在 $T_M$ 取樣後，輸出可視為相關器輸出。若傳送訊息對應的係數為 $a\in\{-1,0,1\}$，則

$$r=aE_p+n,$$

其中匹配濾波器輸出的雜訊為高斯分布：

$$n\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{N_0E_p}{2}\right).$$

因此三個可能的輸出平均值為

$$\mu_{-1}=-E_p,\qquad \mu_0=0,\qquad \mu_1=E_p.$$

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解題方法：求最佳判決門檻

由於三個訊息等機率，且其輸出雜訊變異數相同，最佳判決門檻位於相鄰平均值的中點：

$$\gamma_{-1,0}=\frac{-E_p+0}{2}=-\frac{E_p}{2},$$ $$\gamma_{0,1}=\frac{0+E_p}{2}=\frac{E_p}{2}.$$

判決規則為：

• $r<-\dfrac{E_p}{2}$：判定為 $m_{-1}$
• $-\dfrac{E_p}{2}\le r<\dfrac{E_p}{2}$：判定為 $m_0$
• $r\ge\dfrac{E_p}{2}$：判定為 $m_1$

令匹配濾波器輸出雜訊標準差為

$$\sigma_n=\sqrt{\frac{N_0E_p}{2}}.$$

傳送 $m_{-1}$ 時

平均輸出為 $-E_p$，錯誤事件為輸出超過 $-\dfrac{E_p}{2}$：

$$P(e\mid m_{-1}) =Q\left(\frac{E_p/2}{\sigma_n}\right).$$

代入 $\sigma_n$：

$$P(e\mid m_{-1}) =Q\left( \frac{E_p/2}{\sqrt{N_0E_p/2}} \right) =Q\left(\sqrt{\frac{E_p}{2N_0}}\right).$$

傳送 $m_1$ 時

由對稱性，

$$P(e\mid m_1) =Q\left(\sqrt{\frac{E_p}{2N_0}}\right).$$

傳送 $m_0$ 時

平均輸出為 $0$。只要輸出落在判決區間外即發生錯誤，因此

$$P(e\mid m_0) =P(r<-\tfrac{E_p}{2}\mid m_0) +P(r>\tfrac{E_p}{2}\mid m_0).$$

兩側機率相同，所以

$$P(e\mid m_0) =2Q\left(\sqrt{\frac{E_p}{2N_0}}\right).$$

這題考驗傅立葉轉換的時域與頻域變換性質，特別是尺度變換 (scaling)、時間延遲 (time shifting) 或頻率延遲 (frequency shifting) 的組合。

題目給定：

1. 一個訊號 $g(t)$，其傅立葉轉換為 $G(f)$。
2. 另一個函數 $G_1(t)$，它是函數 $g(af - f_0)$ 的逆傅立葉轉換 (Inverse Fourier Transform, IFT)。
   我們需要找出 $G_1(t)$ 與 $g(t)$ 或 $G(f)$ 的關係。

基本傅立葉轉換性質回顧：

• 尺度變換 (Scaling): $FT\{g(at)\} \leftrightarrow \frac{1}{|a|} G(f/a)$
• 頻率移動 (Frequency Shifting): $FT\{g(t)e^{j2\pi f_0 t}\} \leftrightarrow G(f-f_0)$
• 時間移動 (Time Shifting): $FT\{g(t-t_0)\} \leftrightarrow G(f)e^{-j2\pi f_0 t_0}$
• 頻率反轉 (Frequency Reversal): $FT\{g(-t)\} \leftrightarrow G(-f)$
• 時間反轉 (Time Reversal): $FT\{g(-t)\} \leftrightarrow G(-f)$

分析目標函數：
我們要找的是 $g(af - f_0)$ 的逆傅立葉轉換。
令 $H(f) = g(af - f_0)$。我們需要計算 $h_1(t) = IFT\{H(f)\} = IFT\{g(af - f_0)\}$。

處理頻率變換：
首先，考慮 $g(f - f_0)$ 的逆傅立葉轉換。
根據頻率移動性質的對偶性，如果 $G(f) \leftrightarrow g(t)$，那麼 $G(f-f_0) \leftrightarrow g(t)e^{j2\pi f_0 t}$。
所以，$IFT\{g(f - f_0)\} = g(t)e^{j2\pi f_0 t}$。

現在，我們需要處理尺度變換 $a$。
令 $F = af - f_0$。則 $af = F + f_0$，所以 $f = \frac{F}{a} + \frac{f_0}{a}$。
我們需要計算 $IFT\{g(af - f_0)\}$。

方法一：利用頻率尺度變換和頻率移動性質
考慮 $g(af)$ 的逆傅立葉轉換。
根據尺度變換性質的對偶性：$FT\{g(at)\} \leftrightarrow \frac{1}{|a|} G(f/a)$。
所以，$IFT\{\frac{1}{|a|} G(f/a)\} = g(at)$。
令 $f' = f/a$，則 $f = af'$。
$IFT\{G(f/a)\} = |a| g(at)$。
如果 $a>0$，則 $IFT\{G(f/a)\} = a g(at)$。
如果 $a<0$，則 $IFT\{G(f/a)\} = -a g(at)$。

現在考慮 $g(af - f_0)$。
我們可以寫成 $g(a(f - f_0/a))$。
令 $f' = f - f_0/a$。則 $IFT\{g(f')\} = g(t)e^{j2\pi (f_0/a)t}$。
所以，$IFT\{g(f - f_0/a)\} = g(t)e^{j2\pi (f_0/a)t}$。

現在應用尺度變換。
令 $H(f) = g(f - f_0/a)$。我們知道 $IFT\{H(f)\} = g(t)e^{j2\pi (f_0/a)t}$。
我們要找 $IFT\{g(a(f - f_0/a))\} = IFT\{H(af)\}$。
根據尺度變換性質：$IFT\{H(af)\} = \frac{1}{|a|} IFT\{H(f)\}|_{t \to t/a}$。
$IFT\{H(af)\} = \frac{1}{|a|} \left( g(t/a)e^{j2\pi (f_0/a)(t/a)} \right)$。
$G_1(t) = \frac{1}{|a|} g(t/a) e^{j2\pi f_0 t/a^2}$。

這個結果似乎也不直接符合選項。

方法二：從頻域表達式出發
令 $H(f) = g(af - f_0)$。
我們知道 $IFT\{G(f)\} = g(t)$。
根據時間反轉和尺度變換性質：
$IFT\{G(-f)\} = g(-t)$。
$IFT\{\frac{1}{|a|} G(f/a)\} = g(at)$。

我們需要處理 $g(af - f_0)$。
令 $u = af - f_0$。則 $af = u + f_0$， $f = \frac{u}{a} + \frac{f_0}{a}$。
$g(af - f_0)$ 的逆轉換是 $h_1(t)$。
$h_1(t) = \int_{-\infty}^{\infty} g(af - f_0) e^{j2\pi ft} df$。
令 $u = af - f_0$。則 $du = a df$。
如果 $a > 0$，則 $df = du/a$。
$f = (u+f_0)/a$。
$h_1(t) = \int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{j2\pi \frac{u+f_0}{a} t} \frac{du}{a}$
$h_1(t) = \frac{1}{a} e^{j2\pi f_0 t/a} \int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{j2\pi (ut/a)} du$
$h_1(t) = \frac{1}{a} e^{j2\pi f_0 t/a} \int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{j2\pi u (t/a)} du$
注意，$\int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{j2\pi u x} du = G(-x)$。
所以，$\int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{j2\pi u (t/a)} du = G(-(t/a)) = G(-t/a)$。
因此，當 $a > 0$ 時，$h_1(t) = \frac{1}{a} G(-t/a) e^{j2\pi f_0 t/a}$。
這與選項 (A) 相符。

檢查當 $a < 0$ 時的情況：
如果 $a < 0$，則 $du = a df$。$df = du/a$。
$h_1(t) = \int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{j2\pi \frac{u+f_0}{a} t} \frac{du}{a}$
$h_1(t) = \frac{1}{a} e^{j2\pi f_0 t/a} \int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{j2\pi u (t/a)} du$
$h_1(t) = \frac{1}{a} e^{j2\pi f_0 t/a} G(-t/a)$。

核心觀念

本題考查窄頻調頻（Narrowband FM, NBFM）的：

1. 同相／正交分量與信號包絡線。
2. 正弦信號的平均功率。
3. 載波與上下邊帶之間的功率分配。

已知

$$s(t)\approx A_c\cos(2\pi f_ct) -\beta A_c\sin(2\pi f_mt)\sin(2\pi f_ct).$$

其中第一項為載波，第二項為調變造成的正交分量。

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解題方法：求信號包絡線

將信號寫成同相與正交分量的形式：

$$s(t)=I(t)\cos(2\pi f_ct)+Q(t)\sin(2\pi f_ct),$$

可得

$$I(t)=A_c, \qquad Q(t)=-\beta A_c\sin(2\pi f_mt).$$

因此，信號的瞬時包絡線為

$$E(t)=\sqrt{I^2(t)+Q^2(t)}.$$

代入後：

$$E(t) =A_c\sqrt{1+\beta^2\sin^2(2\pi f_mt)}.$$

由於

$$0\leq \sin^2(2\pi f_mt)\leq 1,$$

所以包絡線的最小值與最大值分別為

$$E_{\min}=A_c,$$

以及

$$E_{\max}=A_c\sqrt{1+\beta^2}.$$

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解題方法：求總平均功率

將原式視為載波與調變項的總和：

$$s(t)=s_c(t)+s_m(t),$$

其中

$$s_c(t)=A_c\cos(2\pi f_ct),$$ $$s_m(t)=-\beta A_c\sin(2\pi f_mt)\sin(2\pi f_ct).$$

載波平均功率為

$$P_c=\frac{A_c^2}{2}.$$

調變項的平均功率為

$$P_m =\beta^2A_c^2 \overline{\sin^2(2\pi f_mt)\sin^2(2\pi f_ct)}.$$

對不同頻率的正弦波取時間平均時，兩者平方的平均值相乘：

$$\overline{\sin^2(2\pi f_mt)}=\frac12, \qquad \overline{\sin^2(2\pi f_ct)}=\frac12.$$

因此

$$P_m =\beta^2A_c^2\left(\frac12\right)\left(\frac12\right) =\frac{\beta^2A_c^2}{4}.$$

載波與調變項的交叉平均值為零，因此總平均功率為

$$P_{\text{total}} =P_c+P_m =\frac{A_c^2}{2}+\frac{\beta^2A_c^2}{4}.$$

整理得

這題考驗對傅立葉轉換基本性質的理解，以及時域訊號與頻域表示之間的關係。

給定的時域訊號為：
$x(t) = \begin{cases} 9 - t^2, & |t| \le 3 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$
這個訊號 $x(t)$ 是一個實數訊號，且是偶函數，因為 $x(-t) = 9 - (-t)^2 = 9 - t^2 = x(t)$。

分析各選項：

(A) 虛部為零
如果一個時域訊號 $x(t)$ 是實數且為偶函數，則其傅立葉轉換 $X(f)$ 是實數且為偶函數。
由於 $x(t)$ 是實數訊號，其傅立葉轉換 $X(f)$ 的虛部必然為零。
$x(t)$ 是實數 $\implies X(f)$ 的虛部為零。
$x(t)$ 是偶函數 $\implies X(f)$ 是偶函數 (實數且 $X(-f) = X(f)$)。
因此，選項 (A) 是正確的。

(B) $\int_{-\infty}^{\infty} X(f) df = 9$
根據傅立葉轉換的性質，$\int_{-\infty}^{\infty} X(f) df = x(0)$。
計算 $x(0)$：
當 $t=0$ 時，$|t| \le 3$ 成立。
$x(0) = 9 - 0^2 = 9$。
所以，$\int_{-\infty}^{\infty} X(f) df = 9$。
因此，選項 (B) 是正確的。

(C) $X(0) = 36$
$X(0)$ 是訊號 $x(t)$ 在 $t=0$ 時的傅立葉轉換值。
我們知道 $X(0) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi (0) t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) dt$。
這與選項 (B) 的計算相同。
$X(0) = \int_{-3}^{3} (9 - t^2) dt = \left[ 9t - \frac{t^3}{3} \right]_{-3}^{3}$
$X(0) = \left( 9(3) - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 9(-3) - \frac{(-3)^3}{3} \right)$
$X(0) = \left( 27 - \frac{27}{3} \right) - \left( -27 - \frac{-27}{3} \right)$
$X(0) = (27 - 9) - (-27 + 9) = 18 - (-18) = 18 + 18 = 36$。
所以，$X(0) = 36$。
因此，選項 (C) 是正確的。

(D) $\int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df = 324$
根據帕西伐爾定理 (Parseval's Theorem)，對於傅立葉轉換對 $x(t) \leftrightarrow X(f)$，有：
$\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df$。
我們需要計算 $\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt$。
由於 $x(t)$ 是實數， $|x(t)|^2 = x(t)^2$。
$\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-3}^{3} (9 - t^2)^2 dt$
$= \int_{-3}^{3} (81 - 18t^2 + t^4) dt$
由於被積函數是偶函數，積分範圍是對稱的，所以：

核心觀念

本題考查取樣定理與傅立葉轉換的頻譜性質：先求各訊號的最高頻率，再判斷取樣後的頻譜副本是否重疊。

採用以赫茲為頻率單位的傅立葉轉換：

$$X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt.$$

若訊號頻譜只存在於 $|f|\le B$，取樣頻率滿足 $f_s>2B$，便可用理想低通濾波器完美重建。本題

$$f_s=\frac{1}{T_s}=\frac{1}{0.02}=50\ \text{Hz}, \qquad \frac{f_s}{2}=25\ \text{Hz}.$$

因此，只要訊號的最高頻率低於 $25\ \text{Hz}$，就符合無混疊取樣條件。

解題方法

利用基本轉換對及頻域運算性質，逐一判斷五個訊號。

1. $x_1(t)$：最高頻率為 $20\ \text{Hz}$

由基本轉換對

$$\frac{\sin(2\pi Bt)}{\pi t} \ \longleftrightarrow\ \begin{cases} 1,& |f|<B,\\ 0,& |f|>B, \end{cases}$$

可知

$$x_1(t)=\frac{\sin(40\pi t)}{\pi t} =\frac{\sin(2\pi\cdot20t)}{\pi t}$$

的頻譜為

$$X_1(f)= \begin{cases} 1,& |f|<20,\\ 0,& |f|>20. \end{cases}$$

端點值不影響本題判斷。因為 $50>2(20)=40$，故 $x_1(t)$ 可完美重建。

2. $x_2(t)$：與 $x_1(t)$ 完全相同

依題面公式，

$$x_2(t)=x_1(t), \qquad X_2(f)=X_1(f).$$

因此，$x_2(t)$ 同樣可完美重建，不能因選項的排列而將它排除。

3. $x_3(t)$：只包含 $20\ \text{Hz}$ 的正弦波

直接化簡：

$$x_3(t)=t\,x_2(t)=\frac{\sin(40\pi t)}{\pi}.$$

其中 $t=0$ 的值由連續延拓定義為 $0$。其頻譜為

$$X_3(f)=\frac{1}{2j\pi} \left[\delta(f-20)-\delta(f+20)\right].$$

頻譜只在 $f=\pm20\ \text{Hz}$ 有脈衝，最高頻率仍為 $20\ \text{Hz}$。因為 $50>40$，故 $x_3(t)$ 可完美重建。

4. $x_4(t)$：乘上餘弦使頻譜平移至最高 $30\ \text{Hz}$

由調變性質，

$$x(t)\cos(2\pi f_ct) \ \longleftrightarrow\ \frac12\left[X(f-f_c)+X(f+f_c)\right].$$

本題 $\cos(20\pi t)=\cos(2\pi\cdot10t)$，所以

$$X_4(f)=\frac12\left[X_1(f-10)+X_1(f+10)\right].$$

這題考驗對隨機程序 (Random Process) 的基本性質，特別是寬度平穩性 (Wide-Sense Stationarity, WSS) 的判斷，以及其均值、自相關函數和功率譜密度。

給定的隨機程序為 $X(t) = A \cos(2\pi f_c t + \theta)$，其中 $A$ 是常數，$f_c$ 是常數，$\theta$ 是在 $[0, 2\pi]$ 上均勻分佈的隨機變數。

判斷寬度平穩性 (WSS)：
一個隨機程序 $X(t)$ 被稱為寬度平穩 (WSS)，如果滿足以下兩個條件：

1. 均值函數 $E[X(t)]$ 是常數，不隨時間 $t$ 改變。
2. 自相關函數 $R_X(\tau) = E[X(t+\tau)X^*(t)]$ 僅依賴於時間差 $\tau$，而不依賴於絕對時間 $t$。

1. 計算均值函數 $E[X(t)]$：
$E[X(t)] = E[A \cos(2\pi f_c t + \theta)]$
由於 $A$ 是常數，可以提出期望值運算符：
$E[X(t)] = A \cdot E[\cos(2\pi f_c t + \theta)]$
$\theta$ 在 $[0, 2\pi]$ 上均勻分佈，其概率密度函數為 $p(\theta) = \frac{1}{2\pi}$，對於 $0 \le \theta \le 2\pi$。
$E[\cos(2\pi f_c t + \theta)] = \int_{0}^{2\pi} \cos(2\pi f_c t + \theta) p(\theta) d\theta$
$= \int_{0}^{2\pi} \cos(2\pi f_c t + \theta) \frac{1}{2\pi} d\theta$
$= \frac{1}{2\pi} \left[ \sin(2\pi f_c t + \theta) \right]_{0}^{2\pi}$
$= \frac{1}{2\pi} [\sin(2\pi f_c t + 2\pi) - \sin(2\pi f_c t)]$
$= \frac{1}{2\pi} [\sin(2\pi f_c t) - \sin(2\pi f_c t)] = 0$。
因此，$E[X(t)] = A \cdot 0 = 0$。
均值函數 $E[X(t)] = 0$，這是一個常數。所以 WSS 的第一個條件滿足。

2. 計算自相關函數 $R_X(\tau)$：
$R_X(\tau) = E[X(t+\tau)X^*(t)]$
由於 $X(t)$ 是實數過程，$X^*(t) = X(t)$。
$R_X(\tau) = E[X(t+\tau)X(t)]$
$X(t+\tau) = A \cos(2\pi f_c (t+\tau) + \theta) = A \cos(2\pi f_c t + 2\pi f_c \tau + \theta)$
$X(t) = A \cos(2\pi f_c t + \theta)$
$X(t+\tau)X(t) = A^2 \cos(2\pi f_c t + 2\pi f_c \tau + \theta) \cos(2\pi f_c t + \theta)$
使用恆等式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]$。
令 $A = 2\pi f_c t + 2\pi f_c \tau + \theta$，$B = 2\pi f_c t + \theta$。
$A+B = 4\pi f_c t + 2\pi f_c \tau + 2\theta$
$A-B = 2\pi f_c \tau$
$X(t+\tau)X(t) = \frac{A^2}{2} [\cos(4\pi f_c t + 2\pi f_c \tau + 2\theta) + \cos(2\pi f_c \tau)]$

現在計算期望值：
$R_X(\tau) = E\left[ \frac{A^2}{2} (\cos(4\pi f_c t + 2\pi f_c \tau + 2\theta) + \cos(2\pi f_c \tau)) \right]$
$R_X(\tau) = \frac{A^2}{2} E[\cos(4\pi f_c t + 2\pi f_c \tau + 2\theta)] + \frac{A^2}{2} E[\cos(2\pi f_c \tau)]$

考慮第一項的期望值：$E[\cos(4\pi f_c t + 2\pi f_c \tau + 2\theta)]$。
由於 $\theta$ 在 $[0, 2\pi]$ 上均勻分佈，且與 $t$ 無關。

核心觀念

本題考查 AM、DSB-SC、SSB、VSB 的基本特性，以及包絡檢波器的適用條件。

AM 訊號為

$$s(t)=A_c\bigl[1+k_a m(t)\bigr]\cos(2\pi f_c t)$$

其中：

• $A_c$：載波振幅
• $f_c$：載波頻率
• $m(t)$：訊息訊號
• $k_a$：振幅敏感度
• $1+k_a m(t)$：AM 訊號的包絡

若訊息訊號的最大絕對值為

$$m_p=\max_t |m(t)|$$

為避免過度調變，使包絡不失真，必須滿足

$$|k_a m(t)|\leq 1$$

通常要求嚴格不過度調變，因此寫成

$$k_a m_p<1$$

此條件也是包絡檢波器能正確恢復 $m(t)$ 的必要條件之一。

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解題方法

逐一檢查各選項所敘述的 AM 系統特性：

1. 包絡檢波器是否能恢復訊息；
2. 是否能透過抑制載波降低功率；
3. SSB 是否能降低頻寬；
4. VSB 頻寬是否介於 SSB 與 DSB-SC 之間；
5. 振幅敏感度 $k_a$ 是否真的能任意取正實數。

其中最關鍵的是包絡檢波條件。若 $k_a$ 過大，會造成過度調變，包絡出現交越或反轉，包絡檢波器便無法無失真恢復訊息。因此 $k_a$ 並非在此系統中可以任意選取。

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選項分析

(A) The amplitude sensitivity $k_a$ can be any positive real number.

錯誤。

雖然 $k_a$ 在數學上是正值參數，但若要使用包絡檢波器，必須避免過度調變：

$$1+k_a m(t)\geq 0,\qquad \forall t$$

對一般雙極性訊息訊號而言，常用條件為

$$k_a\max_t|m(t)|\leq 1$$

或為保留設計裕度而採用

$$k_a\max_t|m(t)|<1$$

因此 $k_a$ 的大小受到 $m(t)$ 振幅限制，不能任意取正實數。若 $k_a$ 太大，會產生過度調變，使包絡檢波器輸出失真。

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(B) The message $m(t)$ can be recovered from an envelop detector.

正確，但前提是不得過度調變。

AM 訊號的包絡為

$$e(t)=A_c\bigl[1+k_a m(t)\bigr]$$

包絡檢波器輸出與 $e(t)$ 成正比。扣除直流項 $A_c$，再除以 $A_c k_a$，即可恢復訊息：

$$m(t)=\frac{e(t)/A_c-1}{k_a}$$

所以在

$$|k_a m(t)|\leq 1$$

的條件下，$m(t)$ 可以由包絡檢波器恢復。

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**(C) We may apply DSB-SC (double sideband - suppressed subcarrier) to reduce transmiss