115 年 國立中山大學電機工程學系碩士班甲組《電子學（甲）》

核心觀念

本題考查齊納二極體並聯穩壓器：

• 串聯電阻 $R$ 用來限制電流。
• 齊納電流必須滿足 $I_Z \ge I_{ZK}=5\,\text{mA}$。
• 最不利工作條件為輸入電壓最低、負載電流最大：
  $V_s=15\,\text{V},\qquad I_L=20\,\text{mA}$
• 齊納二極體的小訊號電阻為 $r_z=7\,\Omega$，可用來計算線性調整率。

解題方法

(a) 求串聯電阻 $R$

穩壓器的電流關係為

$$I_R=I_Z+I_L$$

在最不利條件下，為了確保齊納電流不低於 $5\,\text{mA}$，串聯電阻電流至少為

$$I_R=I_{ZK}+I_{L,\max} =5\,\text{mA}+20\,\text{mA} =25\,\text{mA}$$

串聯電阻兩端的電壓為

$$V_R=V_{s,\min}-V_o =15-10=5\,\text{V}$$

因此

$$R=\frac{V_R}{I_R} =\frac{5\,\text{V}}{25\,\text{mA}} =200\,\Omega$$

此時：

$$I_Z=25\,\text{mA}-20\,\text{mA} =5\,\text{mA}$$

恰好符合設計要求。

(b) 求線性調整率

對輸入電壓作小訊號分析，負載電流固定時，輸入電壓的變化會造成齊納電流變化。由

$$\Delta V_s=R\Delta I_Z+\Delta V_o$$

且

核心觀念

本題考查分壓式偏壓共射極放大器的：

• 直流工作點分析
• 小訊號輸入電阻 $R_{in}$
• 電壓增益
• 訊號源內阻造成的輸入衰減
• 負載電阻對集極等效負載的影響

因題目未列出旁路電容，以下依「發射極電阻 $R_E$ 未旁路」計算，並採 $V_{BE}\approx 0.7$ V、$V_T\approx 25$ mV。

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一、求直流工作點

將 $R_1$、$R_2$ 化為戴維寧等效：

$$V_{TH}=V_{CC}\frac{R_2}{R_1+R_2} =15\frac{15}{27+15} =5.357\text{ V}$$ $$R_{TH}=R_1\parallel R_2 =27\text{ k}\Omega\parallel15\text{ k}\Omega =9.643\text{ k}\Omega$$

基極電流為

$$I_B=\frac{V_{TH}-V_{BE}} {R_{TH}+(\beta+1)R_E}$$ $$I_B= \frac{5.357-0.7} {9.643\text{ k}\Omega+101(2.4\text{ k}\Omega)} \approx18.48\ \mu\text{A}$$

因此

$$I_C=\beta I_B =100(18.48\ \mu\text{A}) \approx1.848\text{ mA}$$

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二、求小訊號參數

$$g_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{1.848\text{ mA}}{25\text{ mV}} \approx73.9\text{ mS}$$ $$r_\pi=\frac{\beta}{g_m} =\frac{100}{0.0739} \approx1.353\text{ k}\Omega$$

由於 $R_E$ 未旁路，從基極看入電晶體的輸入電阻為

$$r_{\pi}+(\beta+1)R_E =1.353\text{ k}\Omega+101(2.4\text{ k}\Omega) \approx243.75\text{ k}\Omega$$

放大器輸入電阻為

核心觀念

目前附上的原卷圖片內容是「第 5 題」三相電路，圖中沒有共閘極放大器、Q1、Q2、Q3 或 Figure 3。因此，無法依原圖確定本題的電晶體接法、偏壓電流、負載與輸出端位置。

共閘極放大器的基本關係為：

$$R_{in}\approx \frac{1}{g_{m1}}$$ $$A_v=\frac{v_o}{v_i}\approx g_{m1}R_{out}$$

但 $g_m$、$R_{out}$ 以及 Q1、Q2 的飽和條件，均需由 Figure 3 的電路與直流偏壓決定。

解題方法

若 Figure 3 顯示 Q1 為共閘極輸入級，且閘極在交流下接地，則：

$$R_{in}=\left.\frac{v_i}{i_i}\right|_{\text{小訊號}}$$

理想忽略 $r_o$ 時：

$$R_{in}\approx \frac{1}{g_{m1}}$$

其中

$$g_{m1}=\sqrt{2k_n'(W/L)_n I_{D1}}$$

若考慮通道長度調變，則 $R_{in}$、$R_{out}$ 與電壓增益會受到 $r_{o1}$、$r_{o2}$、$r_{o3}$ 及其連接方式影響：

核心觀念

本題考查 BJT 差動放大器的：

• 差模增益 $A_d$
• 共模增益 $A_{cm}$
• 共模抑制比 $\mathrm{CMRR}$
• 尾端簡單電流源的有限輸出電阻
• 集極電阻不匹配造成的共模轉差模誤差

題目未附 Figure 4，以下採用標準 BJT 差動對稱電路：尾端偏壓電流總和為 $I=0.5\,\mathrm{mA}$，兩側集極各接 $R_C=5\,\mathrm{k\Omega}$。

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1. 小訊號參數

靜態時兩支電晶體平均分擔尾電流，因此

$$I_C=\frac{I}{2}=0.25\,\mathrm{mA}$$

取室溫 $V_T\approx25\,\mathrm{mV}$，

$$g_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{0.25\,\mathrm{mA}}{25\,\mathrm{mV}} =10\,\mathrm{mS}$$

電流源由同樣的 BJT 產生，故其輸出電阻近似為

$$R_{\mathrm{tail}}=r_o=\frac{V_A}{I} =\frac{50}{0.5\,\mathrm{mA}} =100\,\mathrm{k\Omega}$$

差動對中每支電晶體的輸出電阻為

$$r_o=\frac{V_A}{I_C} =\frac{50}{0.25\,\mathrm{mA}} =200\,\mathrm{k\Omega}$$

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2. 差模增益

若輸出取兩個集極的差動輸出，

$$A_d\approx g_mR_C$$

因此

$$A_d=(10\,\mathrm{mS})(5\,\mathrm{k\Omega}) =50$$

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3. 簡單電流源造成的共模增益

共模輸入時，兩支電晶體的電流同時增加，尾端電流源的有限輸出電阻使射極電壓上升，形成負回授。

考慮 $\beta=100$ 時，

$$A_{cm} \approx -\frac{g_mR_C} {1+2\left(1+\frac{1}{\beta}\right)g_mR_{\mathrm{tail}}}$$

代入數值：

第 5 題詳解

小訊號等效電路參數整理：

• 負載電阻 $R_L = 20\text{ k}\Omega$
• 輸出端總有效電阻 $R_L' = R_D \parallel R_L \parallel r_o = 20\text{ k}\Omega \parallel 20\text{ k}\Omega \parallel 100\text{ k}\Omega = 10\text{ k}\Omega \parallel 100\text{ k}\Omega = \frac{100}{11}\text{ k}\Omega \approx 9.091\text{ k}\Omega$
• 中頻電壓增益 $A_v = -g_m R_L' = -5\text{ mA/V} \times \frac{100}{11}\text{ k}\Omega = -\frac{500}{11} \approx -45.45\text{ V/V}$
• 輸入端有效電源電阻 $R_{sig}' = R_{sig} \parallel R_G = 500\text{ k}\Omega \parallel 2\text{ M}\Omega = 400\text{ k}\Omega$

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(a) 求高頻 3-dB 截止頻率 ($f_H$)

利用米勒效應（Miller's Theorem）將 $C_{gd}$ 折算至輸入端與輸出端：

1. 輸入端米勒電容：
   $C_{in} = C_{gs} + C_{gd}(1 - A_v) = 3\text{ pF} + 0.5\text{ pF} \times \left(1 + \frac{500}{11}\right) = 3 + 0.5 \times \frac{511}{11} = 3 + 23.227 = 26.227\text{ pF}$

2. 輸入極點頻率 ($f_{p1}$)：