111 年國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《電子學》考古題與詳解

Question 1

1. (30%) For the common-base circuit in Fig. 1, assuming the bias current to be about 1 mA, $\beta = 100$, $C{\mu} = 0.8 	ext{ pF}$, $re = 25 \, \Omega$, and $fT = 800 	ext{ MHz}$: (a) Estimate the midband gain $Vo/Vs$. (10%) (b) Use the short-circuit time-constants method to estimate the lower 3-dB frequency, $fL$. (10%) (Hint: In determining the resistance seen by $C1$, the effect of the $47	ext{-k}\Omega$ resistor must be taken into account.) (c) Find the high-frequency poles, and estimate the upper 3-dB frequency, $fH$. (10%) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 +3 V $2 	ext{ k}\Omega$ $10 \, \mu	ext{F}$ $Vo$ $Q$ $47 	ext{ k}\Omega$ $1 	ext{ k}\Omega$ $100 \, \Omega$ $C2$ $1 \, \mu	ext{F}$ $Vs$ $C1$ Fig. 1

Accepted Answer

題面核對與電路假設

所附掃描圖內容是「半導體概論」第 1 頁，與題幹所述的「共基極放大器 Fig. 1」不相符；因此以下依題幹文字及電路標示採用下列標準讀法：

$R_C=2\,\text{k}\Omega$
$R_L=1\,\text{k}\Omega$
$R_s=100\,\Omega$
$R_B=47\,\text{k}\Omega$
$C_1=10\,\mu\text{F}$
$C_2=1\,\mu\text{F}$
靜態電流 $I_C\simeq 1\,\text{mA}$
基極由旁路電容視為交流接地

核心觀念

本題考查共基極放大器的三個頻率區域：

中頻增益：利用 $g_m=I_C/V_T$ 與共基極電壓增益公式。
低頻截止：利用短路時間常數法（short-circuit time-constants method）。
高頻截止：利用 $C_{\pi}$ 、 $C_{\mu}$ 所造成的高頻極點。

已知

g_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{1\,\text{mA}}{25\,\text{mV}} =0.04\,\text{S}

r_e=\frac{1}{g_m}=25\,\Omega

(a) 中頻增益 $V_o/V_s$

交流中頻時， $C_1$ 、 $C_2$ 與基極旁路電容皆視為短路，因此基極為交流接地。

集極端等效負載為

R_C\parallel R_L =2\,\text{k}\Omega\parallel1\,\text{k}\Omega =666.7\,\Omega

共基極由射極電壓至集極輸出的增益約為

A_{v,e}\simeq \frac{R_C\parallel R_L}{r_e} =\frac{666.7}{25} =26.67

輸入端還要考慮 $100\,\Omega$ 的信號源電阻。射極輸入電阻約為 $r_e=25\,\Omega$ ，因此

\frac{v_e}{v_s} =\frac{25}{100+25} =0.2

所以整體電壓增益為

\frac{V_o}{V_s} \simeq \frac{R_C\parallel R_L}{r_e} \frac{r_e}{R_s+r_e}

\frac{V_o}{V_s} = \frac{666.7}{125} \simeq 5.33

共基極放大器的電壓增益為正，因此

\boxed{\frac{V_o}{V_s}\simeq +5.3}

(b) 低頻 $3$ -dB 頻率 $f_L$

短路時間常數法中，對每一個低頻電容分別求其所看到的等效電阻，其他電容皆視為短路，最後使用

\omega_L\simeq \sum_i\frac{1}{R_iC_i}

f_L\simeq \frac{1}{2\pi} \sum_i\frac{1}{R_iC_i}

輸入耦合電容 $C_1$

$C_1$ 所看到的電阻包含信號源電阻、射極電阻，以及基極偏壓電阻反映到射極的成分：

R_{C_1} \simeq R_s+r_e+\frac{R_B}{\beta+1}

R_{C_1} =100+25+\frac{47\,000}{101} \simeq 590.3\,\Omega

因此

f_{L1} =\frac{1}{2\pi R_{C_1}C_1}

f_{L1} = \frac{1}{2\pi(590.3)(10\,\mu\text{F})} \simeq 26.9\,\text{Hz}

這裡必須納入 $47\,\text{k}\Omega$ ，否則會低估 $C_1$ 造成的低頻截止。

輸出耦合電容 $C_2$

將獨立信號源設為零後， $C_2$ 左右兩端所看到的電阻為

R_{C_2}=R_C+R_L =2\,\text{k}\Omega+1\,\text{k}\Omega =3\,\text{k}\Omega

所以

f_{L2} = \frac{1}{2\pi(3\,\text{k}\Omega)(1\,\mu\text{F})} \simeq 53.1\,\text{Hz}

基極旁路電容

基極旁路電容所看到的電阻約為

R_B\parallel r_\pi

其中

r_\pi=\beta r_e=100(25)=2.5\,\text{k}\Omega

故

Question 2

2. (25%) The current-steering circuit of Fig. 2 is fabricated in a CMOS technology for which $kn' = 90 \, \mu	ext{A/V}^2$, $kp' = 30 \, \mu	ext{A/V}^2$, $V{tn} = 0.8 	ext{ V}$, and $V{tp} = -0.9 	ext{ V}$. If all devices have $L = 2 \, \mu	ext{m}$, design the circuit so that $I{REF} = 20 \, \mu	ext{A}$, $I2 = 100 \, \mu	ext{A}$, and $I5 = 40 \, \mu	ext{A}$. Use the minimum width of $2 \, \mu	ext{m}$ for as many of the devices as possible. (a) Give the required width for each transistor and the value of R required. (10%) (b) What is the highest voltage possible at the drain of Q2? (5%) (c) What is the lowest voltage possible at the drain of Q5? If $|V{AP}| = 16 \, 	ext{L}$, where L is in $\mu	ext{m}$ and $V{AP}$ is in volts, (5%) (d) find the output resistance of the current sour…

Accepted Answer

圖形假設與核心觀念

題目提供的圖形僅列出元件名稱，未顯示各 MOS 的完整連接位置。以下依典型 CMOS current-steering 電路解題：

$Q_1$ 、 $Q_2$ 為 PMOS 電流鏡， $Q_1$ 為參考管， $Q_2$ 為輸出管。
$Q_3$ 、 $Q_4$ 、 $Q_5$ 為 NMOS 電流鏡， $Q_3$ 為參考管。
$I_2$ 分流為 $I_3$ 與 $I_5$ 。
$I_{REF}=20\,\mu\text{A}$ 流經 $Q_1$ 、 $Q_3$ 與電阻 $R$ 。

MOS 飽和區電流公式為

I_D=\frac{1}{2}k'\frac{W}{L}V_{OV}^2

其中

NMOS： $V_{OV}=V_{GS}-V_{tn}$
PMOS： $V_{OV}=V_{SG}-|V_{tp}|$

在相同製程、相同 $L$ 與相同 $V_{OV}$ 下，電流比等於寬度比：

\frac{I_{D2}}{I_{D1}}=\frac{W_2}{W_1}

解題方法

先令參考管 $Q_1$ 、 $Q_3$ 採用最小寬度

W_1=W_3=2\,\mu\text{m}

因為所有元件的 $L=2\,\mu\text{m}$ ，所以

\frac{W_1}{L}=\frac{W_3}{L}=1

1. PMOS 電流鏡

$Q_1$ 的電流為 $I_{REF}=20\,\mu\text{A}$ ，因此

20\,\mu\text{A} = \frac{1}{2}(30\,\mu\text{A}/\text{V}^2)(1)V_{OV,p}^2

得到

V_{OV,p} = \sqrt{\frac{40}{30}} = 1.155\,\text{V}

要求 $Q_2$ 提供 $I_2=100\,\mu\text{A}$ ，因此

\frac{W_2}{W_1} = \frac{I_2}{I_{REF}} = \frac{100}{20} = 5

故

W_2=5(2)=10\,\mu\text{m}

2. NMOS 電流鏡

$Q_3$ 的參考電流為 $20\,\mu\text{A}$ ，因此

20\,\mu\text{A} = \frac{1}{2}(90\,\mu\text{A}/\text{V}^2)(1)V_{OV,n}^2

得到

V_{OV,n} = \sqrt{\frac{40}{90}} = 0.667\,\text{V}

由電流守恆，

I_3=I_2-I_5=100-40=60\,\mu\text{A}

因此

\frac{W_4}{W_3} = \frac{I_3}{I_{REF}} = \frac{60}{20} = 3

W_4=3(2)=6\,\mu\text{m}

同理，

\frac{W_5}{W_3} = \frac{I_5}{I_{REF}} = \frac{40}{20} = 2

W_5=2(2)=4\,\mu\text{m}

(a) 各電晶體寬度與電阻

參考支路由 $+5$ V 到 $-5$ V，總電壓為 $10$ V。兩個參考 MOS 的飽和區電壓分別為 $V_{OV,p}$ 與 $V_{OV,n}$ ，故電阻上的電壓為

V_R=10-V_{OV,p}-V_{OV,n}

V_R=10-1.155-0.667=8.178\,\text{V}

因此

Question 3

3. (15%) A second-order filter has its poles at $s = -(1/8) \pm j(\sqrt{63}/8)$. The transmission is zero at $\omega = 5 	ext{ rad/s}$ and is unity at dc ($\omega = 0$). Find the transfer function.

Accepted Answer

核心觀念 二階系統的轉移函數可寫成 $$ H(s)=\frac{N(s)}{D(s)} $$ 其中分母由極點決定。若極點為共軛複數，則分母可由 $$ D(s)=(s-p1)(s-p2) $$ 求得。 此外： - 在 $\omega=5$ rad/s 時傳輸為零，表示 $H(j5)=0$，因此零點位於 $s=\pm j5$。 - 在直流 $\omega=0$ 時傳輸為單位，表示 $$ H(0)=1 $$ 。 --- 解題方法 1. 由極點求分母 已知極點為 $$ p{1,2}=-\frac18\pm j\frac{\sqrt{63}}8 $$ 因此分母為 $$ D(s)=\left(s+\frac18-j\frac{\sqrt{63}}8\right) \left(s+\frac18+j\frac{\sqrt{63}}8\right) $$ 利用共軛因式相乘： $$ D(s)=\left(s+\frac18\right)^2+ \left(\frac{\sqrt{63}}8\right)^2 $$ 展開得 $$ D(s)=s^2+\frac14s+\frac1{64}+\frac{63}{64} $$ 所以 $$ D(s)=s^2+\frac14s+1 $$ --- 2. 由零傳輸頻率求分子 在 $\omega=5$ rad/s 時， $$ H(j5)=0 $$ 對於具有實數係數的系統，若 $s=j5$ 是零點，則其共軛點 $s=-j5$ 也必須是零點。因此分子可設為 $$ N(s)=K(s-j5)(s+j5) $$ 整理為 $$ N(s)=K(s^2+25) $$ 故轉移函數形式為

Question 4

4. (30%) For the emitter-follower circuit shown in Fig. 3 the BJT used is specified to have $\beta$ values in the range of 20 to 200. For the two extreme values of $\beta = 20$ and $\beta = 200$, find : (a) $IE$, $V{E}$, and $V{B}$. (10%) (b) the input resistance $Ri$. (10%) (c) the voltage gain $vo/vs$. (10%) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 + $vs$ $10 	ext{ k}\Omega$ $100 	ext{ k}\Omega$ $Ri$ +9 V $1 	ext{ k}\Omega$ $1 	ext{ k}\Omega$ $vo$ Fig. 3

Accepted Answer

核心觀念 本題考查共集極放大器（emitter follower）的： - BJT 直流偏壓分析 - 輸入電阻 $Ri$ - 發射極電壓增益 - 輸入端 $10\,	ext{k}\Omega$ source resistance 所造成的分壓效應 採用以下近似： $$ V{BE}\approx 0.7	ext{ V},\qquad VT\approx 25	ext{ mV} $$ 中頻小訊號分析時，兩個耦合電容視為短路，並忽略晶體管的 $ro$。 --- (a) 求 $IE$、$VE$、$VB$ 直流分析時，耦合電容視為開路，因此輸入源與右側負載均不影響直流偏壓。 由基極電阻 $100\,	ext{k}\Omega$： $$ IB=\frac{9-VB}{100\,	ext{k}\Omega} $$ 又因為 $$ VB=VE+0.7 $$ 且 $$ VE=IE(1\,	ext{k}\Omega)=(\beta+1)IB(1\,	ext{k}\Omega) $$ 因此 $$ IB=\frac{9-0.7} {100\,	ext{k}\Omega+(\beta+1)(1\,	ext{k}\Omega)} $$ 當 $\beta=20$ $$ IB=\frac{8.3}{100\,	ext{k}\Omega+21\,	ext{k}\Omega} =68.6\,\mu	ext{A} $$ $$ IE=(\beta+1)IB =21(68.6\,\mu	ext{A}) =1.44\,	ext{mA} $$ $$ VE=IE(1\,	ext{k}\Omega)=1.44	ext{ V} $$ $$ VB=VE+0.7=2.14	ext{ V} $$ 當 $\beta=200$ $$ IB=\frac{8.3}{100\,	ext{k}\Omega+201\,	ext{k}\Omega} =27.6\,\mu	ext{A} $$ $$ IE=201(27.6\,\mu	ext{A}) =5.54\,	ext{mA} $$ $$ VE=5.54	ext{ V} $$ $$ VB=VE+0.7=6.24	ext{ V} $$ --- (b) 求輸入電阻 $Ri$ 交流小訊號下，發射極的兩個 $1\,	ext{k}\Omega$ 電阻皆接地，因此晶體管所看到的等效發射極電阻為 $$ RE'=1\,	ext{k}\Omega\parallel1\,	ext{k}\Omega =500\,\Omega $$ 由 BJT 小訊號模型： $$ r\pi=\frac{\beta VT}{IC} $$ 其中 $$ IC=\frac{\beta}{\beta+1}IE $$ 基極看入晶體管的電阻為 $$ R{ib}=r\pi+(\beta…

111 年國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《電子學》

第 1 題30 分

題面核對與電路假設

核心觀念

(a) 中頻增益 $V_o/V_s$

(b) 低頻 $3$ -dB 頻率 $f_L$

輸入耦合電容 $C_1$

輸出耦合電容 $C_2$

基極旁路電容

第 2 題25 分

圖形假設與核心觀念

解題方法

1. PMOS 電流鏡

2. NMOS 電流鏡

(a) 各電晶體寬度與電阻

第 3 題15 分

核心觀念

解題方法

1. 由極點求分母

2. 由零傳輸頻率求分子

第 4 題30 分

核心觀念

(a) 求 $I_E$ 、 $V_E$ 、 $V_B$

當 $\beta=20$

當 $\beta=200$

(b) 求輸入電阻 $R_i$

當 $\beta=20$

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111 年 國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《電子學》

第 1 題30 分

題面核對與電路假設

核心觀念

(a) 中頻增益 Vo/VsV_o/V_sVo​/Vs​

(b) 低頻 333-dB 頻率 fLf_LfL​

輸入耦合電容 C1C_1C1​

輸出耦合電容 C2C_2C2​

基極旁路電容

第 2 題25 分

圖形假設與核心觀念

解題方法

1. PMOS 電流鏡

2. NMOS 電流鏡

(a) 各電晶體寬度與電阻

第 3 題15 分

核心觀念

解題方法

1. 由極點求分母

2. 由零傳輸頻率求分子

第 4 題30 分

核心觀念

(a) 求 IEI_EIE​、VEV_EVE​、VBV_BVB​

當 β=20\beta=20β=20

當 β=200\beta=200β=200

(b) 求輸入電阻 RiR_iRi​

當 β=20\beta=20β=20

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111 年國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《電子學》

(a) 中頻增益 $V_o/V_s$

(b) 低頻 $3$ -dB 頻率 $f_L$

輸入耦合電容 $C_1$

輸出耦合電容 $C_2$

(a) 求 $I_E$ 、 $V_E$ 、 $V_B$

當 $\beta=20$

當 $\beta=200$

(b) 求輸入電阻 $R_i$

當 $\beta=20$