113 年 國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《電子學》

觀念說明

三階低通濾波器傳遞函數 $T(s)$ 一般式為：
$T(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$

• 分母 $D(s)$：由極點（自然模式，natural modes）決定。
• 分子 $N(s)$：由零點（transmission zeros）與 DC 增益（$s = 0$ 時的傳遞函數值）決定。

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解題步驟

1. 確定極點多項式 $D(s)$：
   自然模式位於 $s = -1$ 及 $s = -0.5 \pm j0.8$。
   $D(s) = (s + 1)\left[(s + 0.5)^2 + 0.8^2\right] = (s + 1)(s^2 + s + 0.25 + 0.64) = (s + 1)(s^2 + s + 0.89)$

2. 確定零點多項式 $N(s)$：

   • 在 $\omega = 2\text{ rad/s}$ 處有傳遞零點 $\Rightarrow s = \pm j2$，對應因子為 $(s^2 + 2^2) = (s^2 + 4)$。
   • 在 $\omega = \infty$ 處有傳遞零點 $\Rightarrow$ 系統為三階，分子次數比分母次數小 1（次數差為 1，即無窮遠處有一個零點）。

核心觀念

本題考查共基極（common-base）BJT 放大器的：

1. 中頻電壓增益。
2. 耦合電容與旁路電容造成的低頻截止頻率。
3. $C_\pi$、$C_\mu$ 造成的高頻極點與上截止頻率。

採用小訊號模型，忽略 $r_o$，並使用

$$g_m \simeq \frac{1}{r_e} =\frac{1}{25\ \Omega}=40\ \text{mS}$$ $$r_\pi=\beta r_e=100(25\ \Omega)=2.5\ \text{k}\Omega$$

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(a) 中頻增益 $V_o/V_s$

中頻時，$C_1$ 與 $10\ \mu\text{F}$ 視為短路，因此基極為交流接地。

集極交流負載為

$$R_C'=2\ \text{k}\Omega\parallel 1\ \text{k}\Omega\parallel 47\ \text{k}\Omega$$ $$R_C'\simeq 657\ \Omega$$

輸入源經過 $100\ \Omega$ 電阻，且共基極輸入電阻約為 $r_e=25\ \Omega$，故射極電壓為

$$\frac{v_e}{v_s} = \frac{25}{100+25} =0.2$$

共基極級的電壓增益為

$$\frac{v_o}{v_e}\simeq g_mR_C' =(40\ \text{mS})(657\ \Omega) \simeq 26.3$$

因此

$$\boxed{ \frac{V_o}{V_s} \simeq \frac{25}{125}(26.3) \simeq 5.26 }$$

共基極放大器的電壓增益為正，故輸出與輸入同相。

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(b) 低頻截止頻率 $f_L$

使用 short-circuit time-constants method：

$$f_L\simeq f_{L,C_1}+f_{L,C_2}$$

其中 $C_2=10\ \mu\text{F}$。

由 $10\ \mu\text{F}$ 耦合電容造成的極點

將其他電容短路，電容兩端所見電阻為

$$R_{10\mu\text{F}} = (2\ \text{k}\Omega\parallel47\ \text{k}\Omega)+1\ \text{k}\Omega$$ $$R_{10\mu\text{F}}\simeq 2.918\ \text{k}\Omega$$

因此

$$f_{L,10\mu\text{F}} = \frac{1}{2\pi R_{10\mu\text{F}}(10\ \mu\text{F})} \simeq 5.46\ \text{Hz}$$

由 $C_1=1\ \mu\text{F}$ 旁路電容造成的極點

將訊號源歸零，則射極經由 $100\ \Omega$ 接地。

若只看基極至射極的路徑，基極輸入電阻為

$$R_{ib}=r_\pi+(\beta+1)(100\ \Omega)$$ $$R_{ib}=2.5\ \text{k}\Omega+101(100\ \Omega) =12.6\ \text{k}\Omega$$

但題目特別提示必須考慮 $47\ \text{k}\Omega$ 電阻的回授作用。

在 $C_1$ 被移除時：

$$\frac{v_e}{v_b} = \frac{g_\pi+g_m} {1/100\Omega+g_\pi+g_m} \simeq 0.802$$

因此

$$v_{be}\simeq 0.198v_b$$

集極對基極的電壓增益約為

$$\frac{v_c}{v_b} = \frac{\dfrac{1}{47\text{k}\Omega} -g_m(1-0.802)} {\dfrac{1}{2\text{k}\Omega} +\dfrac{1}{1\text{k}\Omega} +\dfrac{1}{47\text{k}\Omega}} \simeq -5.20$$

故 $C_1$ 所見的等效電阻為

核心觀念

此題考察 BJT emitter follower（射極跟隨器） 的直流偏壓、輸入電阻與中頻電壓增益。

假設：

• $V_{BE}\approx 0.7\text{ V}$
• $V_T\approx 25\text{ mV}$
• 中頻時耦合電容視為短路
• 忽略 $r_o$

題目中的 $V_G$ 應為圖中標示的 $V_E$；BJT 並沒有閘極 $G$。

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(a) 求 $I_E$、$V_E$、$V_B$

直流分析時，輸入與輸出耦合電容皆視為開路，因此只有 $100\text{ k}\Omega$ 電阻提供基極偏壓。

由

$$V_B=V_E+0.7$$

且

$$V_E=I_E(1\text{ k}\Omega)$$

又因為

$$I_E=(\beta+1)I_B=101I_B$$

基極電流為

$$I_B=\frac{9-V_B}{100\text{ k}\Omega}$$

代入 $V_B=101I_B(1\text{ k}\Omega)+0.7$：

$$I_B=\frac{9-0.7}{100\text{ k}\Omega+101\text{ k}\Omega} =\frac{8.3}{201\text{ k}\Omega} \approx 41.3\ \mu\text{A}$$

因此

$$I_E=101I_B \approx 101(41.3\ \mu\text{A}) \approx 4.17\text{ mA}$$ $$V_E=I_E(1\text{ k}\Omega) \approx 4.17\text{ V}$$ $$V_B=V_E+0.7 \approx 4.87\text{ V}$$

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(b) 求輸入電阻 $R_{in}$

中頻時，輸出端的 $1\text{ k}\Omega$ 負載經由耦合電容接到射極，因此射極的交流等效電阻為

$$R_E'=1\text{ k}\Omega\parallel1\text{ k}\Omega =0.5\text{ k}\Omega$$

由直流工作點計算小訊號參數：

$$r_e=\frac{V_T}{I_E} =\frac{25\text{ mV}}{4.17\text{ mA}} \approx 6.0\Omega$$ $$r_\pi=\beta r_e \approx 100(6.0\Omega) \approx 600\Omega$$

由基極看入 BJT 的電阻為

核心觀念

本題考查共射極放大器的小訊號分析：

• 中頻時，$C_{C1}$、$C_{C2}$、$C_E$ 視為短路。
• BJT 小訊號參數：
  $g_m=\frac{I_C}{V_T},\qquad r_\pi=\frac{\beta_0}{g_m}$
• 輸入電阻需將偏壓電阻與晶體管輸入電阻並聯。
• 低頻響應由耦合電容 $C_{C1},C_{C2}$ 與旁路電容 $C_E$ 所造成的極點、零點決定。

依原圖採用：

$R_s=5\,\text{k}\Omega,\quad R_1=33\,\text{k}\Omega,\quad R_2=22\,\text{k}\Omega$

$R_E=3.9\,\text{k}\Omega,\quad R_C=4.7\,\text{k}\Omega,\quad R_L=5.6\,\text{k}\Omega$

$I_E\simeq0.33\,\text{mA},\quad \beta_0=120,\quad r_o=300\,\text{k}\Omega,\quad r_x=50\,\Omega$

取 $V_T\simeq25\,\text{mV}$，則

$$I_C\simeq\frac{\beta_0}{\beta_0+1}I_E \simeq0.327\,\text{mA}$$ $$g_m=\frac{0.327\,\text{mA}}{25\,\text{mV}} \simeq13.1\,\text{mS}$$ $$r_\pi=\frac{\beta_0}{g_m} =\frac{120}{13.1\,\text{mS}} \simeq9.17\,\text{k}\Omega$$

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(a) 輸入電阻 $R_{in}$

由圖中提示：

$R_{in}=R_1\parallel R_2\parallel(r_x+r_\pi)$

先計算：

$$R_1\parallel R_2 =33\parallel22 =13.2\,\text{k}\Omega$$ $$r_x+r_\pi=50\,\Omega+9.17\,\text{k}\Omega \simeq9.22\,\text{k}\Omega$$

因此

$$R_{in}=13.2\parallel9.22 \simeq5.43\,\text{k}\Omega$$

所以

$\boxed{R_{in}\simeq5.43\,\text{k}\Omega}$

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(b) 中頻增益 $A_M$

中頻時 $C_E$ 短路，發射極為交流接地。輸出端等效負載為

$R_C\parallel R_L\parallel r_o$

$$R_C\parallel R_L =4.7\parallel5.6 \simeq2.55\,\text{k}\Omega$$ $$R_C\parallel R_L\parallel r_o \simeq2.53\,\text{k}\Omega$$

由晶體管小訊號模型，從 $v_\pi$ 到輸出的電壓增益為

$$\frac{v_o}{v_\pi} =-g_m(R_C\parallel R_L\parallel r_o)$$ $$\frac{v_o}{v_\pi} =-(13.1\,\text{mS})(2.53\,\text{k}\Omega) \simeq-33.1$$

由於訊號源具有 $R_s$，外部基極電壓為

$$\frac{v_b}{v_s} =\frac{R_{in}}{R_s+R_{in}} =\frac{5.43}{5+5.43} \simeq0.520$$

又因為 $r_x$ 與 $r_\pi$ 串聯，

$$\frac{v_\pi}{v_b} =\frac{r_\pi}{r_x+r_\pi} =\frac{9.17}{9.22} \simeq0.995$$

因此整體中頻電壓增益

$$A_M=\frac{v_o}{v_s} =\frac{v_o}{v_\pi} \frac{v_\pi}{v_b} \frac{v_b}{v_s}$$ $$A_M\simeq(-33.1)(0.995)(0.520) \simeq-17.1$$

所以

$\boxed{A_M\simeq-17.1\ \text{V/V}}$

負號表示共射極放大器具有 $180^\circ$ 相位反轉。

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(c) 低頻 $3$-dB 頻率與 $C_E$ 所造成的零點

1. 輸入耦合電容 $C_{C1}$

$C_{C1}$ 所見的等效電阻為