111 年 國立中山大學電機工程學系碩士班甲組《電子學》

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第 1 題25 分

Please note that all calculation answers must include the unit and calculation process.
The amplifier of Fig. 1 consists of two identical common-emitter amplifiers connected in cascade. For VCC=15 VV_{CC} = 15 \, \text{V}, RB1=100 kΩR_{B1} = 100 \, \text{k}\Omega, RB2=47 kΩR_{B2} = 47 \, \text{k}\Omega, RE=3.9 kΩR_{E} = 3.9 \, \text{k}\Omega, RC=6.8 kΩR_{C} = 6.8 \, \text{k}\Omega, β=100\beta = 100, and thermal voltage VT=25 mVV_T = 25 \, \text{mV},
(a) determine the dc collector current of Q1Q_1. (5pt)
(b) Find RinR_{in}, Vb1/VsigV_{b1}/V_{sig} and Vb2/Vb1V_{b2}/V_{b1} for Rsig=5 kΩR_{sig} = 5 \, \text{k}\Omega. (15pt)
(c) For RL=2 kΩR_L = 2 \, \text{k}\Omega, find vo/Vb2v_o/V_{b2}. (5pt)
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圖面說明

目前附上的掃描圖內容是「離散數學」試題，且未包含本題所述的電子學 Fig. 1 電路圖。因此以下依合理假設作答：每級為相同的分壓偏壓共射極放大器，RB1R_{B1}、RB2R_{B2} 分別為基極偏壓分壓電阻，兩級直接串接，忽略 Early effect，取 VBE≈0.7 VV_{BE}\approx0.7\text{ V}。

核心觀念

本題使用：

  • 分壓偏壓的戴維寧等效電路
  • 共射極放大器的小訊號參數
  • 發射極退化電阻
  • 串接級間的負載效應

基本公式為

VTH=VCCRB2RB1+RB2,RTH=RB1∥RB2V_{TH}=V_{CC}\frac{R_{B2}}{R_{B1}+R_{B2}}, \qquad R_{TH}=R_{B1}\parallel R_{B2} IB=VTH−VBERTH+(β+1)REI_B=\frac{V_{TH}-V_{BE}} {R_{TH}+(\beta+1)R_E} IC=βIB,gm=ICVT,rπ=βgmI_C=\beta I_B,\qquad g_m=\frac{I_C}{V_T},\qquad r_\pi=\frac{\beta}{g_m}

(a) Q1Q_1 的直流集極電流

先將偏壓分壓網路化為戴維寧等效：

VTH=1547 kΩ100 kΩ+47 kΩ=4.796 VV_{TH} =15\frac{47\,\text{k}\Omega} {100\,\text{k}\Omega+47\,\text{k}\Omega} =4.796\text{ V} RTH=100 kΩ∥47 kΩ=31.97 kΩR_{TH} =100\,\text{k}\Omega\parallel47\,\text{k}\Omega =31.97\,\text{k}\Omega

因此

IB1=4.796−0.731.97 kΩ+101(3.9 kΩ)I_{B1} =\frac{4.796-0.7} {31.97\,\text{k}\Omega+101(3.9\,\text{k}\Omega)} IB1=9.62 μAI_{B1} =9.62\,\mu\text{A}

所以

IC1=βIB1=100(9.62 μA)I_{C1} =\beta I_{B1} =100(9.62\,\mu\text{A}) IC1≈0.962 mA\boxed{I_{C1}\approx0.962\,\text{mA}}

(b) 求 RinR_{in}、Vb1/VsigV_{b1}/V_{sig} 與 Vb2/Vb1V_{b2}/V_{b1}

由於兩級完全相同，先求每級的交流輸入電阻。

小訊號參數

gm=ICVT=0.962 mA25 mV=38.5 mSg_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{0.962\,\text{mA}}{25\,\text{mV}} =38.5\,\text{mS} rπ=βgm=10038.5 mS=2.60 kΩr_\pi=\frac{\beta}{g_m} =\frac{100}{38.5\,\text{mS}} =2.60\,\text{k}\Omega

基極看入的電阻為

rπ+(β+1)RE=2.60 kΩ+101(3.9 kΩ)r_\pi+(\beta+1)R_E =2.60\,\text{k}\Omega+101(3.9\,\text{k}\Omega) =396.5 kΩ=396.5\,\text{k}\Omega

因此

Rin=RB1∥RB2∥[rπ+(β+1)RE]R_{in} =R_{B1}\parallel R_{B2} \parallel\left[r_\pi+(\beta+1)R_E\right] Rin=31.97 kΩ∥396.5 kΩR_{in} =31.97\,\text{k}\Omega\parallel396.5\,\text{k}\Omega Rin≈29.6 kΩ\boxed{R_{in}\approx29.6\,\text{k}\Omega}

求 Vb1/VsigV_{b1}/V_{sig}

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第 2 題45 分

The two-stage CMOS operational amplifier in Fig. 2 is fabricated in a 0.18-µm technology having kn′=kp′=400 μA/V2k_n' = k_p' = 400 \, \mu\text{A/V}^2, Vtn=−Vtp=0.4 VV_{tn} = -V_{tp} = 0.4 \, \text{V}, and VDD=0.9 VV_{DD} = 0.9 \, \text{V}, VSS=−0.9 VV_{SS} = -0.9 \, \text{V}, IREF=200 μAI_{REF} = 200 \, \mu\text{A}.
(a) With A and B grounded, perform a dc design that will result in each of Q1Q_1, Q2Q_2, Q3Q_3, and Q4Q_4 conducting a drain current of 100 μA100 \, \mu\text{A} and each of Q6Q_6 and Q7Q_7 a drain current of 200 μA200 \, \mu\text{A}. Design so that all transistors operate at 0.2 V0.2 \, \text{V} overdrive voltages. Specify the W/L ratio required for each MOSFET. (20pt)
(b) What is the dc voltage at the output (ideally)? (5pt)
(c) Find the input common-mode range. (5pt)
(d) Find the allowable range of the output voltage. (5pt)
(e) With VA=Vid/2V_A = V_{id}/2 and VB=−Vid/2V_B = -V_{id}/2, find the voltage gain vo/Vidv_o/V_{id}. Assume an Early voltage VAV_A of each MOSFET is 6 V6 \, \text{V}. (10pt)
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核心觀念

本題考查 MOSFET 飽和區的尺寸設計、電流鏡、差動輸入級的共模與輸出擺幅，以及兩級放大器的小訊號增益。使用

ID=12k′WLVOV2,gm=2IDVOV,ro=VAIDI_D=\frac{1}{2}k'\frac{W}{L}V_{OV}^2,\qquad g_m=\frac{2I_D}{V_{OV}},\qquad r_o=\frac{V_A}{I_D}

其中 NMOS 的 VOV=VGS−VtnV_{OV}=V_{GS}-V_{tn}，PMOS 的 VOV=VSG−∣Vtp∣V_{OV}=V_{SG}-|V_{tp}|。飽和條件分別為 VDS≥VOVV_{DS}\ge V_{OV} 與 VSD≥VOVV_{SD}\ge V_{OV}。

解題方法

由圖可讀出：Q1,Q2Q_1,Q_2 是共用 Q5Q_5 尾電流源的 NMOS 差動對；二極體接法 PMOS Q3Q_3 與 Q4Q_4 組成電流鏡負載；二極體接法 NMOS Q8Q_8 由 IREFI_{REF} 設定 Q5,Q7Q_5,Q_7 的偏壓；Q6Q_6 是 PMOS 共源級，Q7Q_7 是輸出端的 NMOS 電流汲取管。原卷標示 kn′=4kp′=400 μA/V2k_n'=4k_p'=400\,\mu\text{A/V}^2，所以 kn′=400 μA/V2k_n'=400\,\mu\text{A/V}^2、kp′=100 μA/V2k_p'=100\,\mu\text{A/V}^2。

(a) MOSFET 尺寸與偏壓

所有電晶體的過驅電壓為 0.2 V0.2\,\text{V}。因此，NMOS 與 PMOS 的單位尺寸電流分別為

IDW/L=12(400)(0.2)2=8 μA（NMOS）\frac{I_D}{W/L} =\frac{1}{2}(400)(0.2)^2 =8\,\mu\text{A} \quad\text{（NMOS）} IDW/L=12(100)(0.2)2=2 μA（PMOS）\frac{I_D}{W/L} =\frac{1}{2}(100)(0.2)^2 =2\,\mu\text{A} \quad\text{（PMOS）}

依各管指定電流計算：

電晶體極性IDI_DW/LW/L
Q1,Q2Q_1,Q_2NMOS100 μA100\,\mu\text{A}12.512.5
Q3,Q4Q_3,Q_4PMOS100 μA100\,\mu\text{A}5050
Q5,Q7,Q8Q_5,Q_7,Q_8NMOS200 μA200\,\mu\text{A}2525
Q6Q_6PMOS200 μA200\,\mu\text{A}100100

由 VOV=0.2 VV_{OV}=0.2\,\text{V} 得 VGS,n=VSG,p=0.4+0.2=0.6 VV_{GS,n}=V_{SG,p}=0.4+0.2=0.6\,\text{V}。因此 Q8Q_8 的閘極／汲極電壓為 VSS+0.6=−0.3 VV_{SS}+0.6=-0.3\,\text{V}，此電壓偏壓 Q5,Q7Q_5,Q_7。Q3Q_3 的閘極／汲極電壓為 VDD−0.6=0.3 VV_{DD}-0.6=0.3\,\text{V}，並偏壓 Q4Q_4。輸入接地時，Q1,Q2Q_1,Q_2 的共源節點為 −0.6 V-0.6\,\text{V}；Q2Q_2 的汲極節點為 0.3 V0.3\,\text{V}，也使 Q6Q_6 具有 VSG6=0.6 VV_{SG6}=0.6\,\text{V}。代回電流式，各管電流即為題目指定的 100 μA100\,\mu\text{A} 或 200 μA200\,\mu\text{A}。

(b) 理想直流輸出電壓

零差動輸入時，Q6Q_6 提供 200 μA200\,\mu\text{A}，Q7Q_7 汲取 200 μA200\,\mu\text{A}。對稱供應電源下的理想平衡輸出為

VO=0 V.V_O=0\,\text{V}.

在此點兩管的 VSD6V_{SD6} 與 VDS7V_{DS7} 均為 0.9 V0.9\,\text{V}，高於各自的 0.2 V0.2\,\text{V} 過驅電壓，且輸出端淨電流為零。若完全把兩管視為不受端電壓影響的理想電流源，電流相等本身不會唯一決定輸出電壓；0 V0\,\text{V} 是本題對稱偏壓下的理想平衡值。

(c) 輸入共模範圍

令 VCM=VA=VBV_{CM}=V_A=V_B。輸入管源極電壓為 VS=VCM−0.6V_S=V_{CM}-0.6。

下限由尾電流源 Q5Q_5 的飽和條件決定：

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第 3 題30 分

A common-source amplifier as shown in Fig. 3 has CC1=CC2=CC3=1 μFC_{C1} = C_{C2} = C_{C3} = 1 \, \mu\text{F}, RG=RG1∣∣RG2=10 MΩR_G = R_{G1} || R_{G2} = 10 \, \text{M}\Omega, Rsig=100 kΩR_{sig} = 100 \, \text{k}\Omega, gm=2 mA/Vg_m = 2 \, \text{mA/V}, RD=RS=RL=10 kΩR_D = R_S = R_L = 10 \, \text{k}\Omega. Please analyze the low-frequency response of the amplifier to find midband gain vo/Vsigv_o/V_{sig} (5pt), pole frequency fp1(5pt)f_{p1}(5pt), fp2(5pt)f_{p2}(5pt), fp3(5pt)f_{p3}(5pt), and zero frequency fzf_z. (10pt)
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核心觀念

本題考查共源極放大器的低頻響應。三個耦合／旁路電容分別造成三個低頻極點：

  • CC1C_{C1}：輸入耦合電容；
  • CC2C_{C2}：輸出耦合電容；
  • CC3C_{C3}：源極旁路電容。

中頻時，CC1C_{C1}、CC2C_{C2}、CC3C_{C3} 視為短路；低頻分析則使用

fp=12πRseenC.f_p=\frac{1}{2\pi R_{\text{seen}}C}.

題目所附圖片並非所述 Fig. 3，因此以下依照標準共源極電路假設：CC1C_{C1} 為輸入耦合電容、CC2C_{C2} 為輸出耦合電容、CC3C_{C3} 為源極旁路電容，並忽略晶體管的 ror_o。

中頻增益

中頻時源極被 CC3C_{C3} 旁路，因此交流源極接地。輸出端負載為

RD∥RL=10 kΩ∥10 kΩ=5 kΩ.R_D\parallel R_L =10\,\text{k}\Omega\parallel10\,\text{k}\Omega =5\,\text{k}\Omega.

輸入端由 RsigR_{sig} 與 RGR_G 分壓：

viVsig=RGRsig+RG=10 MΩ100 kΩ+10 MΩ=0.9901.\frac{v_i}{V_{sig}} = \frac{R_G}{R_{sig}+R_G} = \frac{10\,\text{M}\Omega} {100\,\text{k}\Omega+10\,\text{M}\Omega} =0.9901.

因此中頻電壓增益為

voVsig=−gm(RD∥RL)RGRsig+RG.\frac{v_o}{V_{sig}} = -g_m(R_D\parallel R_L) \frac{R_G}{R_{sig}+R_G}.

代入 gm=2 mA/Vg_m=2\,\text{mA/V}：

voVsig=−(2 mA/V)(5 kΩ)(0.9901)≈−9.90.\frac{v_o}{V_{sig}} = -(2\,\text{mA/V})(5\,\text{k}\Omega)(0.9901) \approx -9.90.

CC1C_{C1} 造成的極點

將其他電容視為短路，CC1C_{C1} 所看到的等效電阻為

RC1=Rsig+RG=100 kΩ+10 MΩ=10.1 MΩ.R_{C1}=R_{sig}+R_G =100\,\text{k}\Omega+10\,\text{M}\Omega =10.1\,\text{M}\Omega.

所以

fp1=12πRC1CC1=12π(10.1 MΩ)(1 μF)≈0.0158 Hz.f_{p1} = \frac{1}{2\pi R_{C1}C_{C1}} = \frac{1}{2\pi(10.1\,\text{M}\Omega)(1\,\mu\text{F})} \approx 0.0158\,\text{Hz}.

CC2C_{C2} 造成的極點

輸出耦合電容兩側所看到的電阻相加：

RC2=RD+RL=10 kΩ+10 kΩ=20 kΩ.R_{C2}=R_D+R_L =10\,\text{k}\Omega+10\,\text{k}\Omega =20\,\text{k}\Omega.

因此

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