108 年 國立中山大學電機工程學系碩士班甲組《電子學》

核心觀念

本題考查具有射極電阻與基極電阻的 NPN BJT 偏壓分析。使用：

$$I_E=(\beta+1)I_B$$ $$V_{BE}\approx 0.7\text{ V}$$

並分別對基極、射極與集極套用歐姆定律。因題目給定最小 $\beta=30$，計算時取 $\beta=30$。

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解題方法

由圖可知：

• 基極經 $10\,\text{k}\Omega$ 電阻接地
• 射極經 $10\,\text{k}\Omega$ 電阻接至 $-5\text{ V}$
• 集極經 $1\,\text{k}\Omega$ 電阻接至 $+5\text{ V}$

令基極電流為 $I_B$。

基極電壓為

$$V_B=-I_B(10\,\text{k}\Omega)$$

由

$$V_E=V_B-V_{BE}$$

得

$$V_E=-10\,\text{k}\Omega I_B-0.7$$

射極電阻上的電壓為 $V_E-(-5)=V_E+5$，因此

$$I_E=\frac{V_E+5}{10\,\text{k}\Omega}$$

又因為 $\beta=30$，

$$I_E=(\beta+1)I_B=31I_B$$

代入：

$$31I_B=\frac{-10\,\text{k}\Omega I_B-0.7+5}{10\,\text{k}\Omega}$$

整理得

$$31I_B=\frac{4.3-10\,\text{k}\Omega I_B}{10\,\text{k}\Omega}$$ $$41I_B= \frac{4.3}{10\,\text{k}\Omega}$$ $$I_B=104.9\,\mu\text{A}$$

因此

核心觀念

本題考查 BJT 差動放大器的：

• 尾端電流源造成的偏壓分流
• BJT 小訊號參數 $g_m$、$r_\pi$、$r_o$
• 差動增益與共模增益
• 差動模式、共模模式的輸入電阻
• 負載晶體管 $r_o$ 不匹配造成的 CMRR 惡化

已知：

$$I_T=240\,\mu\text{A},\qquad \beta=100,\qquad V_A=10\text{ V},\qquad V_T=25\text{ mV}$$

由於 $Q_1$、$Q_2$ 對稱，兩者的射極電流各為

$$I_E=\frac{I_T}{2}=120\,\mu\text{A}$$

因此集極電流為

$$I_C=\frac{\beta}{\beta+1}I_E =\frac{100}{101}(120\,\mu\text{A}) =118.8\,\mu\text{A}$$

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解題方法

(a) $Q_1$ 的跨導 $g_m$

$$g_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{118.8\,\mu\text{A}}{25\,\text{mV}} =4.75\,\text{mS}$$

所以

$$\boxed{g_m\approx 4.75\,\text{mS}}$$

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小訊號輸出電阻

$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$、$Q_4$ 的集極電流約為 $118.8\,\mu\text{A}$，故

$$r_o=\frac{V_A}{I_C} =\frac{10}{118.8\,\mu\text{A}} \approx84.2\,\text{k}\Omega$$

$Q_5$ 的輸出電阻為

$$r_{o5}=\frac{V_A}{I_{C5}} =\frac{10}{240\,\mu\text{A}} =41.7\,\text{k}\Omega$$

每一側輸出的等效負載為

$$R_L=r_{o1}\parallel r_{o3} =84.2\,\text{k}\Omega\parallel84.2\,\text{k}\Omega =42.1\,\text{k}\Omega$$

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(b) 差動增益 $A_d$

差動輸入定義為

$$v_{id}=v_{i1}-v_{i2}$$

在純差動操作下，尾端節點為交流虛接地，因此每一側的輸入訊號為 $\pm v_{id}/2$。

單端輸出增益為

$$\frac{v_{o1}}{v_{id}} =-\frac{g_mR_L}{2}$$

若差動輸出定義為

$$v_{od}=v_{o1}-v_{o2}$$

則差動增益為

$$A_d=\frac{v_{od}}{v_{id}} =g_mR_L$$

代入數值：

$$A_d=(4.75\,\text{mS})(42.1\,\text{k}\Omega) \approx200$$

因此

$$\boxed{A_d\approx200\ \text{V/V}}$$

若題目採用單端輸出定義，則單端差動增益為

$$\boxed{A_{d,\text{single}}\approx-100\ \text{V/V}}$$

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(c) 差動模式與共模模式輸入電阻

差動模式輸入電阻 $R_{id}$

$$r_\pi=\frac{\beta}{g_m} =\frac{100}{4.75\,\text{mS}} \approx21.0\,\text{k}\Omega$$

差動輸入時，兩個 $r_\pi$ 串聯，因此

$$R_{id}=2r_\pi =2(21.0\,\text{k}\Omega) \approx42.1\,\text{k}\Omega$$

所以

核心觀念

本題考查 MOSFET 差動放大器的：

• 靜態工作點與過驅電壓 $V_{ov}$
• 跨導 $g_m$ 與輸出電阻 $r_o$
• 差動增益與共模增益
• 汲極電阻失配造成的共模抑制能力下降
• 由輸出端極點估算高頻截止頻率
• 開路時間常數法（open-circuit time-constants method）

由尾電流源提供總電流 $I=1\,\text{mA}$，平衡時

$$I_{D1}=I_{D2}=\frac{I}{2}=0.5\,\text{mA}$$

MOSFET 的有效製程參數為

$$\mu_n C_{ox}\frac WL = 0.25\times 100 = 25\,\text{mA/V}^2$$

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(a) 求 $V_{ov}$ 與 $g_m$

過驅電壓

忽略通道長度調變時，

$$I_D=\frac12\mu_n C_{ox}\frac WL V_{ov}^2$$

因此

$$V_{ov} = \sqrt{\frac{2I_D}{\mu_n C_{ox}(W/L)}}$$

代入 $I_D=0.5\,\text{mA}$：

$$V_{ov} = \sqrt{\frac{2(0.5\,\text{mA})}{25\,\text{mA/V}^2}} = \sqrt{0.04} = 0.2\,\text{V}$$

跨導

$$g_m=\frac{2I_D}{V_{ov}}$$

所以

$$g_m = \frac{2(0.5\,\text{mA})}{0.2\,\text{V}} = 5\,\text{mS}$$

另外，後續高頻與增益計算需要使用 $Q_1$ 的輸出電阻：

$$r_o=\frac{V_A}{I_D} = \frac{20\,\text{V}}{0.5\,\text{mA}} = 40\,\text{k}\Omega$$

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(b) 求差動增益 $A_d$ 與共模增益 $A_{icm}$

差動增益 $A_d$

差動輸入時，尾端公共源極為交流虛地，因此每一側的輸出電阻為

$$R_{\text{out}} = R_D\parallel r_o = 5\,\text{k}\Omega\parallel40\,\text{k}\Omega$$ $$R_{\text{out}} = \frac{(5)(40)}{5+40}\,\text{k}\Omega = 4.444\,\text{k}\Omega$$

若定義

$$v_{id}=v_{i1}-v_{i2}, \qquad v_{od}=v_{o1}-v_{o2}$$

則差動增益為

$$A_d=\frac{v_{od}}{v_{id}} = -g_m(R_D\parallel r_o)$$

因此

$$A_d = -(5\,\text{mS})(4.444\,\text{k}\Omega) \approx -22.2\,\text{V/V}$$

負號表示差動輸入增加時，對應輸出差動電壓反向變化。

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共模增益 $A_{icm}$

兩個汲極電阻有 $1\%$ 失配，故其差值取為

$$\Delta R_D=0.01R_D = 0.01(5\,\text{k}\Omega) = 50\,\Omega$$

共模輸入時，尾端電阻 $R_{ss}$ 會造成源極退化。考慮 $r_o$ 後，每一支 MOSFET 的共模小訊號電流為

$$i_d = \frac{g_m v_{icm}} {1+\dfrac{R_D}{r_o} +2R_{ss}\left(g_m+\dfrac1{r_o}\right)}$$

代入數值：

$$1+\frac{R_D}{r_o} = 1+\frac{5\,\text{k}\Omega}{40\,\text{k}\Omega} = 1.125$$ $$2R_{ss}\left(g_m+\frac1{r_o}\right) = 2(25\,\text{k}\Omega) \left( 5\,\text{mS}+\frac1{40\,\text{k}\Omega} \right) = 251.25$$

所以分母為

$$D=1.125+251.25=252.375$$

由電阻失配所造成的差動輸出為

$$v_{od}\approx-i_d\Delta R_D$$

故

$$A_{icm} = -\frac{g_m\Delta R_D}{D}$$ $$A_{icm} = -\frac{(5\,\text{mS})(50\,\Omega)} {252.375} \approx -9.91\times10^{-4}\,\text{V/V}$$

因此共模增益的量值約為

$$|A_{icm}|\approx 0.001\,\text{V/V}$$

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(c) 由輸出極點估算 $f_H$

核心觀念

本題考查雙極性接面電晶體（BJT）主動負載共射極（CE）放大器的中頻小訊號分析與高頻響應分析。涉及的核心觀念包含：

1. BJT 小訊號模型與參數計算：

   • 互導：$g_m = \frac{I_C}{V_T}$
   • 輸入電阻：$r_\pi = \frac{\beta}{g_m}$
   • 輸出電阻：$r_o = \frac{V_A}{I_C}$
   • 包含基極雜散電阻 $r_x$ 的混合 $\pi$ 模型（Hybrid-$\pi$ Model）。

2. 主動負載（Active Load）等效輸出電阻：

   • PNP 主動負載提供電流源偏壓，小訊號等效電阻為 $r_{oP}$。
   • 放大器輸出端總等效電阻為 $R'_L = r_{oN} \parallel r_{oP}$。

3. 中頻電壓增益（Midband Gain, $A_M$）：

   • $A_M = \frac{v_o}{v_{sig}} = \left(\frac{v_{b'}}{v_{sig}}\right) \left(\frac{v_o}{v_{b'}}\right)$，需考量訊號源內阻 $R_{sig}$ 與基極電阻 $r_x$ 的分壓效應。

4. 密勒效應（Miller's Theorem / Miller Effect）：

   • 將跨接於內部基極 $B'$ 與集極 $C$ 間的電容 $C_\mu$ 等效分解至輸入端：$C_M = C_\mu (1 - K)$，其中 $K = \frac{v_o}{v_{b'}} = -g_m R'_L$。
   • 總等效輸入電容為 $C_{in} = C_\pi + C_M$。
   • 輸入主極點決定之高頻截止頻率：$f_H \approx \frac{1}{2\pi R_{in}' C_{in}}$。

5. 開路時間常數法（Open-Circuit Time-Constant Method, OCTC）：

   • 估算高頻 3-dB 截止頻率：$\tau_H = \sum \tau_i = C_\pi R_{\pi 0} + C_\mu R_{\mu 0} + C_L R_{L0}$，其中 $f_H = \frac{1}{2\pi \tau_H}$。
   • 跨接電容之開路電阻公式：$R_{\mu 0} = R_{\pi 0} + R_{L0} + g_m R_{\pi 0} R_{L0}$。

6. 高頻傳輸零點（Transmission Zero）：

   • 由 $C_\mu$ 前向饋通（Feedforward）路徑所造成的右半平面零點（RHP Zero）：$s_z = +\frac{g_m}{C_\mu}$，即 $f_z = \frac{g_m}{2\pi C_\mu}$。

7. 增益頻寬積（Gain-Bandwidth Product, GBW）：

   • $\text{GBW} = |A_M| \times f_H$。

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解題方法與詳細推導

步驟 0：計算 BJT 小訊號參數

已知偏壓電流 $I_C = 1\text{ mA}$，$V_T = 25\text{ mV}$：

• 互導：
  $g_m = \frac{I_C}{V_T} = \frac{1\text{ mA}}{25\text{ mV}} = 40\text{ mA/V} = 0.04\ \Omega^{-1}$
• 內部輸入電阻：
  $r_\pi = \frac{\beta}{g_m} = \frac{200}{40\text{ mA/V}} = 5\text{ k}\Omega$
• NPN 電晶體輸出電阻：
  $r_{oN} = \frac{V_{AN}}{I_C} = \frac{150\text{ V}}{1\text{ mA}} = 150\text{ k}\Omega$
• PNP 主動負載電晶體輸出電阻：
  $r_{oP} = \frac{V_{AP}}{I_C} = \frac{100\text{ V}}{1\text{ mA}} = 100\text{ k}\Omega$
• 輸出端小訊號總負載電阻：
  $R'_L = r_{oN} \parallel r_{oP} = 150\text{ k}\Omega \parallel 100\text{ k}\Omega = \frac{150 \times 100}{150 + 100}\text{ k}\Omega = 60\text{ k}\Omega$

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(a) 中頻增益 $A_M$

定義內部基極節點為 $B'$，內部射極為 $E$（接地）：

1. 內部基極至輸出端之電壓增益 $A_v'$：
   $A_v' = \frac{v_o}{v_{b'}} = -g_m R'_L = -40\text{ mA/V} \times 60\text{ k}\Omega = -2400\text{ V/V}$

2. 訊號源 $v_{sig}$ 至內部基極 $v_{b'}$ 的分壓比：
   輸入迴路串聯電阻為 $R'_{sig} = R_{sig} + r_x = 30\text{ k}\Omega + 0.2\text{ k}\Omega = 30.2\text{ k}\Omega$。
   $\frac{v_{b'}}{v_{sig}} = \frac{r_\pi}{R_{sig} + r_x + r_\pi} = \frac{5\text{ k}\Omega}{30.2\text{ k}\Omega + 5\text{ k}\Omega} = \frac{5}{35.2} \approx 0.14205$

3. 整體中頻電壓增益 $A_M$：
   $A_M = \frac{v_o}{v_{sig}} = \left(\frac{v_{b'}}{v_{sig}}\right) \times A_v' = \frac{5}{35.2} \times (-2400) = -\frac{12000}{35.2} \approx -340.91\text{ V/V}$
   其增益大小 $|A_M| \approx 340.91\text{ V/V}$（或約 $50.65\text{ dB}$）。

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(b) 利用密勒效應求等效輸入電容 $C_{in}$ 及高頻響應 $f_H$

1. 密勒等效電容 $C_M$：
   跨接在內部基極 $B'$ 與輸出端之間的電容為 $C_\mu = 0.4\text{ pF}$，其兩端增益為 $K = A_v' = -2400$。
   $C_M = C_\mu (1 - K) = 0.4\text{ pF} \times [1 - (-2400)] = 0.4\text{ pF} \times 2401 = 960.4\text{ pF}$

2. 總等效輸入電容 $C_{in}$（並聯於 $r_\pi$ 兩端）：
   $C_{in} = C_\pi + C_M = 15\text{ pF} + 960.4\text{ pF} = 975.4\text{ pF}$

3. 輸入迴路等效電阻 $R_{in}'$：