108 年 國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《電磁學》

核心觀念

本題考查高斯定律的微分形式：

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho_v}{\varepsilon_0}$$

在自由空間中，若體積自由電荷密度 $\rho_v=0$，則電場的散度必須為零：

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=0$$

電場為

$$\mathbf{E}=(6cx+8)\mathbf{a}_x-(8cy+9y)\mathbf{a}_y+(7cz)\mathbf{a}_z$$

其直角座標分量為

$$E_x=6cx+8$$ $$E_y=-8cy-9y$$ $$E_z=7cz$$

解題方法

直角座標中的散度公式為

$$\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$$

分別計算三項：

$$\frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(6cx+8)=6c$$

核心觀念

小電流迴路在遠處可視為磁偶極。磁偶極矩定義為電流乘上迴路面積，其方向由右手定則決定。圖中方形迴路位於 $xy$ 平面，面積為 $d^2$；若電流方向從 $+z$ 方向看為逆時針，則

$$\mathbf m=Id^2\mathbf a_z$$

距離磁偶極 $R$ 處的磁通密度為

$$\mathbf B=\frac{\mu_0}{4\pi R^3} \left[3(\mathbf m\cdot\mathbf a_R)\mathbf a_R-\mathbf m\right]$$

其中 $\mathbf a_R$ 是從迴路中心指向觀測點 $P$ 的單位向量。

解題方法

題目稱迴路為「小」迴路，採用磁偶極近似，亦即 $R\gg d$。由圖中的角度 $\theta$ 可得

$$\mathbf a_z\cdot\mathbf a_R=\cos\theta$$

代入磁偶極場公式：

$$\mathbf B =\frac{\mu_0 Id^2}{4\pi R^3} \left(3\cos\theta\,\mathbf a_R-\mathbf a_z\right)$$

球座標的單位向量關係為

核心觀念

本題考查均勻低損耗介質中平面電磁波的傳播特性。主要使用：

• 傳播常數
  $\gamma=\alpha+j\beta$
• 複數本質阻抗
  $\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}$
• 相速度
  $v_p=\frac{\omega}{\beta}$
• 群速度
  $v_g=\frac{d\omega}{d\beta}=\left(\frac{d\beta}{d\omega}\right)^{-1}$

其中：

• $\alpha$：衰減常數
• $\beta$：相位常數
• $\sigma$：導電率
• $\varepsilon$：介電常數
• $\mu$：磁導率

低損耗介質的條件為

$$\sigma\ll\omega\varepsilon$$

以下採用時間因子 $e^{j\omega t}$，且波沿 $+z$ 方向傳播。

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解題方法

由 Maxwell 方程式可得均勻介質中的波動方程式。對沿 $+z$ 方向傳播的平面波，電場可寫成

$$\mathbf{E}(z)=\mathbf{E}_0e^{-\gamma z}$$

其中

$$\gamma=\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)}$$

因為 $\gamma=\alpha+j\beta$，所以

$$\gamma = \sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)} = \sqrt{-\omega^2\mu\varepsilon+j\omega\mu\sigma}$$

低損耗條件下，可將導電效應視為小修正項。

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一、衰減常數 $\alpha$

將傳播常數改寫為

$$\gamma = j\omega\sqrt{\mu\varepsilon} \sqrt{1-\frac{j\sigma}{\omega\varepsilon}}$$

由於 $\sigma/(\omega\varepsilon)\ll 1$，使用二項式近似

$$(1+x)^{1/2}\approx 1+\frac{x}{2}$$

令

$$x=-\frac{j\sigma}{\omega\varepsilon}$$

因此

$$\gamma \approx j\omega\sqrt{\mu\varepsilon} \left( 1-\frac{j\sigma}{2\omega\varepsilon} \right)$$

展開得

$$\gamma \approx \frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} + j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$$

與 $\gamma=\alpha+j\beta$ 比較可得

$$\boxed{ \alpha\approx\frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} }$$

單位為 $\mathrm{Np/m}$。

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二、相位常數 $\beta$

由上式的虛部可得

$$\boxed{ \beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon} }$$

單位為 $\mathrm{rad/m}$。

因此，低損耗介質中的波數主要由 $\mu$ 與 $\varepsilon$ 決定，而導電率 $\sigma$ 對 $\beta$ 的影響在一階近似下消失。

若保留二階修正，則

$$\beta \approx \omega\sqrt{\mu\varepsilon} \left[ 1+\frac{1}{8} \left( \frac{\sigma}{\omega\varepsilon} \right)^2 \right]$$

但一般低損耗介質題目只需使用一階結果。

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三、複數本質阻抗 $\eta$

均勻有損介質的本質阻抗為

$$\eta = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}$$

將分母提出 $j\omega\varepsilon$：

$$\sigma+j\omega\varepsilon = j\omega\varepsilon \left( 1-\frac{j\sigma}{\omega\varepsilon} \right)$$

因此

$$\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \left( 1-\frac{j\sigma}{\omega\varepsilon} \right)^{-1/2}$$

利用

$$(1+x)^{-1/2}\approx 1-\frac{x}{2}$$

並令

$$x=-\frac{j\sigma}{\omega\varepsilon}$$

可得

$$\eta \approx \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \left( 1+\frac{j\sigma}{2\omega\varepsilon} \right)$$

所以

核心觀念

本題考查同軸線的 TEM 模式。TEM 模式具有

$$E_z=0,\qquad H_z=0$$

因此電場、磁場皆位於橫截面內，並可利用：

• 電位方程與高斯定律求電場；
• 安培定律求磁場；
• 邊界條件求導體表面電流密度；
• 單位長度參數求特性阻抗。

設內導體半徑為 $a$，外導體內半徑為 $b$，且 $a<r<b$。假設導體為理想導體，介質具有 $\mu,\epsilon,\sigma$，並採用時間因子 $e^{j\omega t}$。

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解題方法：求電場

由圓柱對稱性，電位只與 $r$ 有關：

$$V(r)=A\ln r+B$$

設定內外導體間電壓為

$$V(a)-V(b)=V_0$$

並令外導體電位 $V(b)=0$，得

$$V(r)=V_0\frac{\ln(b/r)}{\ln(b/a)}$$

電場為

$$\mathbf E=-\nabla V$$

因此

$$\boxed{ \mathbf E(r)=\frac{V_0}{r\ln(b/a)}\,\hat{\mathbf r} }$$

若考慮沿 $+z$ 方向傳播，則電壓應包含傳播因子：

$$\mathbf E(r,z)= \frac{V_0}{r\ln(b/a)}e^{-\gamma z}\hat{\mathbf r}$$

其中傳播常數為

$$\boxed{ \gamma=\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\epsilon)} }$$

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解題方法：求磁場

TEM 波中，磁場沿 $\hat{\boldsymbol\phi}$ 方向。由安培定律，

$$\oint \mathbf H\cdot d\mathbf l=I$$

在半徑為 $r$ 的圓周上，

$$H_\phi(2\pi r)=I$$

所以

$$\boxed{ \mathbf H(r)=\frac{I}{2\pi r}\hat{\boldsymbol\phi} }$$

若以電壓 $V_0$ 表示，則 $I=V_0/Z_0$，故

$$\boxed{ \mathbf H(r)= \frac{V_0}{2\pi r Z_0}\hat{\boldsymbol\phi} }$$

也可直接寫成

$$\boxed{ \mathbf H(r)= \frac{V_0}{r\ln(b/a)} \sqrt{\frac{\sigma+j\omega\epsilon}{j\omega\mu}}\, \hat{\boldsymbol\phi} }$$

同樣地，向 $+z$ 方向傳播時乘上 $e^{-\gamma z}$。

介質中的傳導電流密度與位移電流密度分別為

$$\mathbf J_c=\sigma\mathbf E$$

以及

$$\mathbf J_d=j\omega\epsilon\mathbf E$$

兩者合併為

$$\mathbf J=(\sigma+j\omega\epsilon)\mathbf E$$

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導體表面電流密度

表面電流密度由邊界條件

$$\mathbf K_s=\hat{\mathbf n}\times\mathbf H$$

求得，其中 $\hat{\mathbf n}$ 為由導體指向介質的單位法向量。

在內導體表面 $r=a$，法向量為 $\hat{\mathbf r}$，因此

$$\mathbf K_{\text{inner}} =\hat{\mathbf r}\times \left(\frac{I}{2\pi a}\hat{\boldsymbol\phi}\right)$$

由 $\hat{\mathbf r}\times\hat{\boldsymbol\phi}=\hat{\mathbf z}$，得

核心觀念

本題考查無損傳輸線的輸入反射係數、輸入阻抗、駐波比與負載平均功率。主要公式為

$$\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0},\qquad \Gamma_{\mathrm{in}}=\Gamma_L e^{-j2\beta l}$$ $$Z_{\mathrm{in}}=Z_0\frac{1+\Gamma_{\mathrm{in}}}{1-\Gamma_{\mathrm{in}}}, \qquad \mathrm{VSWR}=\frac{1+|\Gamma_L|}{1-|\Gamma_L|}$$

題目未註明 $V_g=10$ V 是有效值或峰值；以下採用有效值相量計算平均功率。

解題方法與計算

頻率為 $1$ GHz，取自由空間中的傳播速度 $c=3\times10^8$ m/s，則

$$\lambda=\frac{c}{f}=0.3\ \text{m},\qquad \beta l=\frac{2\pi l}{\lambda} =\frac{26\pi}{3}\equiv\frac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}$$

負載反射係數為

$$\Gamma_L=\frac{(80-j60)-50}{(80-j60)+50} =\frac{30-j60}{130-j60} =0.36585-j0.29268$$

因此

$$|\Gamma_L|=0.46852,\qquad \Gamma_{\mathrm{in}}=\Gamma_L e^{-j2\beta l} =0.07054+j0.46318$$

輸入阻抗為

$$Z_{\mathrm{in}} =50\frac{1+\Gamma_{\mathrm{in}}}{1-\Gamma_{\mathrm{in}}} \approx 36.17+j42.95\ \Omega$$

發電機內阻為 $50\ \Omega$，故輸入端電壓由分壓關係得到：

核心觀念

本題考查天線的基本種類、天線陣列，以及天線增益與半功率波束寬度的定義。作答時應同時說明物理意義、方向圖與主要公式。

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（a）偶極天線與天線陣列

1. 偶極天線

偶極天線是由一段導體構成的基本線性天線，中心處接上高頻電源。最常見的是半波偶極天線，其總長度約為

$$l \approx \frac{\lambda}{2}$$

其中 $\lambda$ 為工作波長。

對於電流沿 $z$ 軸方向分布的細線型偶極天線，其遠場電場主要為 $\theta$ 方向：

$$E_\theta \propto \frac{\cos\left(\frac{kl}{2}\cos\theta\right) -\cos\left(\frac{kl}{2}\right)} {\sin\theta}$$

其中

$$k=\frac{2\pi}{\lambda}$$

為波數，$\theta$ 是觀測方向與天線軸的夾角。

對半波偶極天線 $l=\lambda/2$，方向函數可寫成

$$F(\theta)= \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)} {\sin\theta}$$

其方向圖具有下列特性：

• 在天線軸線方向 $\theta=0,\pi$，輻射為零。
• 在垂直於天線的方向 $\theta=\pi/2$，輻射最強。
• 三維方向圖呈現甜甜圈形。
• 理想半波偶極天線的方向性約為 $D\approx 1.64$，即約 $2.15\ \mathrm{dBi}$。

偶極天線具有結構簡單、製作容易、頻寬適中等優點，是分析其他天線的重要基本模型。

2. 天線陣列

天線陣列是由兩個以上彼此具有固定空間關係的天線單元組成，透過調整各單元的：

• 幅度
• 相位
• 間距
• 單元方向圖

控制整體輻射場的方向與形狀。

陣列中各天線的電磁波在空間中相互疊加，因此會產生建設性干涉與破壞性干涉，形成主波束、旁波瓣與零點。

一般而言，陣列總方向圖可分解為

$$\text{總方向圖} = \text{單元方向圖} \times \text{陣列因子}$$

對於沿 $z$ 軸排列、相鄰單元間距為 $d$、相鄰單元激發相位差為 $\beta$ 的均勻線性陣列，其陣列因子為

$$AF= \sum_{n=0}^{N-1} I_n e^{jn\psi}$$

其中

$$\psi=kd\cos\theta+\beta$$

若各單元振幅相同，則

$$AF= e^{j(N-1)\psi/2} \frac{\sin(N\psi/2)} {\sin(\psi/2)}$$

忽略不影響功率方向圖的整體相位後，陣列因子大小為

$$|AF|= \left| \frac{\sin(N\psi/2)} {\sin(\psi/2)} \right|$$

藉由選擇 $d$ 與 $\beta$，可使主波束指向特定方向，形成 broadside array、end-fire array 或掃描陣列。

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（b）天線增益與半功率波束寬度

1. 天線增益

天線方向性 $D(\theta,\phi)$ 定義為某方向的輻射強度與同輸入功率下理想等向性天線平均輻射強度的比值：

$$D(\theta,\phi) = \frac{U(\theta,\phi)} {P_{\mathrm{rad}}/(4\pi)}$$

其中：

• $U(\theta,\phi)$：單位立體角的輻射功率，即輻射強度
• $P_{\mathrm{rad}}$：天線總輻射功率

天線增益需進一步考慮天線效率 $\eta$，定義為