108 年 國立中山大學電機工程學系碩士班己組《工程數學甲》

請問函數 $f(t) = e^{-|t|}$, $t \in (-\infty, \infty)$ 的 Fourier transform 為何?
(A) $\frac{2}{1 + \omega^2}$
(B) $\frac{1}{1 + j\omega}$
(C) $2\cos(\omega)$
(D) $\frac{1}{1 + j\omega}$
(E) $\frac{1}{1 - j\omega}$

已知 $f(t) = \begin{cases} 1 & t \in [-1,1] \\ 0 & t \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \end{cases}$ 的 Fourier transform 為 $\frac{2\sin(\omega)}{\omega}$。
請問函數 $y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) f(t-\tau) d\tau$ 的 Fourier transform 為何?
(A) $\frac{2\sin(2\omega)}{\omega}$
(B) $\frac{4\sin(\omega)}{\omega^2}$
(C) $\frac{2\sin(\omega)}{\omega}$
(D) $e^{-| \omega |^2}$
(E) $\frac{e^{-| \omega |}}{1 + \omega^2}$

定義 Del 操作子為 $\nabla := i \frac{\partial}{\partial x} + j \frac{\partial}{\partial y} + k \frac{\partial}{\partial z}$。請問以下敘述何者為錯誤。
(A) $\nabla \times (\nabla \phi) = 0$, 其中 $\phi$ 為具有連續一二階偏導函數的純量場。
(B) $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$, 其中 $\mathbf{F}$ 為具有連續一二階偏導函數的向量場。
(C) $\nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) - \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G})$, 其中 $\mathbf{F}$ 與 $\mathbf{G}$ 為兩個連續平滑的向量場。
(D) $\nabla \cdot (\phi \mathbf{F}) = (\nabla \phi) \cdot \mathbf{F} + \phi (\nabla \cdot \mathbf{F})$, 其中 $\phi$ 為一連續平滑的純量場而 $\mathbf{F}$ 為一連續平滑的向量場。
(E) 以上(a), (b), (c), (d)敘述皆錯誤。

請問閉環積分 $\oint_C x^2 y \, dx - xy^2 \, dy$ 之值為何, 其中 $C$ 為一沿著以下區域邊界之逆時針路徑: $x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y \ge 0$。
(A) $-\pi$
(B) $\sqrt{2}\pi$
(C) $-2\pi$
(D) $3\pi$
(E) $-2\sqrt{3}\pi$

考慮微分方程式 $\ddot{x}(t) + \dot{x}(t) + (1 - x(t)^2)\dot{x}(t) = 0$。請問以下敘述何者為正確。
(A) $(x, \dot{x}) = (0,0)$ 為一區域穩定平衡點。
(B) 該微分方程式有兩個平衡點。
(C) 無論 $(x, \dot{x})$ 之初值為何, 方程式的解皆不發散。
(D) 若把方程式的初值乘以 2, 所得之新解為初值未放大前之解乘以 2。
(E) 以上(a), (b), (c), (d)敘述皆錯誤。

以下關於 Laplace transform (記為: $L\{\cdot\}$) 的敘述, 何者為錯誤。
(A) 滿足 $L\{f\} + L\{g\} = L\{f + g\}$。
(B) 其逆轉換 $L^{-1}\{\cdot\}$ 亦滿足 $L^{-1}\{F\} + L^{-1}\{G\} = L^{-1}\{F + G\}$。
(C) 若 $f, g$ 為連續函數, 且 $L\{f\} = L\{g\}$, 則 $f = g$。
(D) 以上(a), (b), (c)敘述皆正確。
(E) 以上(a), (b), (c)敘述皆錯誤。

以下關於 Laplace transform (記為: $L\{\cdot\}$) 的敘述, 何者為正確。
(A) $L\{t^3\} = \frac{1}{s^3}$。
(B) 若 $\alpha > 0$ 且 $L^{-1}\{F(s)\} = f(t)$, 則 $L^{-1}\{e^{-\alpha s} F(s)\} = f(t - \alpha) u(t - \alpha)$, 其中 $u(t)$ 滿足 $u(t) = 1, \forall t \ge 0$, $u(t) = 0, \forall t < 0$。
(C) 若 $f(0)=0$, 則 $L\{f'(t)\} = s^2 L\{f(t)\}$。
(D) $L^{-1}\{F(s - a)\} = e^{at} L^{-1}\{F(s)\}$。
(E) 以上(a), (b), (c), (d)敘述皆正確。

假設 $a_1=a_0=\alpha=1$，且 $u(t)\equiv 0$，$\forall t$。請問以下敘述何者正確？

(A) 令 $z(t)$ 的 Laplace transform 為 $Z(s)$，則 $Z(s)$ 滿足 $s^2Z(s)+sZ(s)+Z(s)+Z(s)^3=0$。

(B) 該微分方程式有三個平衡點。

(C) 對於某些非零的 $(\dot{z},z)$ 初值，方程式的解會發散。

(D) 該方程式任何組初值的解都會滿足疊加原理。

(E) 以上 (A)、(B)、(C)、(D) 敘述皆錯誤。

假設 $a_1>0$、$a_0<0$、$\alpha=0$，且 $u(t)\equiv 0$，$\forall t$。請問以下敘述何者錯誤？

(A) 該方程式為線性化方程式。

(B) 對於某些非零的 $(\dot{z},z)$ 初值，方程式的解會發散。

(C) 其特徵方程式的解都是負實數。

(D) 對於某些非零的 $(\dot{z},z)$ 初值，方程式的解會收斂到零。

(E) 若初值為零，則 $z(t)\equiv 0$，$\forall t$。

假設 $a_1=0$、$a_0>0$、$\alpha=0$，且 $u(t)\equiv 0$，$\forall t$。請問以下敘述何者正確？

(A) 對於任何 $(\dot{z},z)$ 初值，方程式的解都會收斂到零。

(B) 對於任何 $(\dot{z},z)$ 初值，方程式的解都會發散。

(C) 對於某些非零的 $(\dot{z},z)$ 初值，方程式的解會收斂到零。

(D) 對於任何 $(\dot{z},z)$ 初值，方程式的解都不會發散。

(E) 對於某些非零的 $(\dot{z},z)$ 初值，方程式的解會發散。

假設 $a_1>0$、$a_0>0$、$\alpha=0$，且 $u(t)\equiv 0$，$\forall t$。請問以下敘述何者錯誤？

(A) 對於任何 $(\dot{z},z)$ 初值，方程式的解都會收斂到零。

(B) 對於某些非零的 $(\dot{z},z)$ 初值，方程式的解會發散。

(C) 若 $a_1^2-4a_0>0$，則所有方程式的解都沒有震盪現象。

(D) 若 $a_1^2-4a_0<0$，則所有方程式的解都會有震盪現象。

(E) 若 $a_1^2-4a_0=0$，則方程式的解之收斂速度會隨 $|a_1|$ 增大而變快。

假設 $a_1>0$、$a_0>0$、$\alpha=0$、$u(t)=\sin(\omega t)$，且 $(\dot{z},z)$ 初值為零。請問以下敘述何者正確？

(A) 方程式的解會收斂到零。

(B) 方程式的解會發散。

(C) 方程式之解的振幅大小不會隨 $\omega$ 而變化。

(D) 方程式的解會趨近一頻率為 $\omega$ 的波。

(E) 以上 (A)、(B)、(C)、(D) 敘述都錯誤。

考慮微分方程式
$\ddot{y}(t)+2\dot{y}(t)+\sin(y(t))=u(t)。$

(a)（2 分）令 $u(t)=0$，找出所有讓該方程式之解為零的 $(\dot{y},y)$ 初值。

(b)（4 分）將上述方程式就 $(\dot{y}(0),y(0))=(0,0)$ 與 $(\dot{y}(0),y(0))=(0,\pi)$ 這兩組初值線性化，找出線性化後的微分方程式，並討論這兩組方程式之解的收斂性。

(c)（8 分）考慮上題中初值 $(\dot{y}(0),y(0))=(0,0)$ 之線性化微分方程式。若該方程式的輸入項為

Let matrix $A\in\mathbb{R}^{3\times4}$ have its $A_{\mathrm{ref}}$:

Consider the vector space $P_3$, the set of all real coefficient polynomials of degree less than $3$, with the inner product
$\langle f,g\rangle:=\int_0^1 f(t)g(t)\,dt$
for any $f,g\in P_3$. Denote
$S:=\{p\in P_3\mid p(t)=t+c,\ -1\leq c\leq1\}。$

(a)（5%）Describe $S^\perp$ as the span of a set of its basis composed of some monic polynomials, i.e. polynomials with $1$ as the coefficient of their highest degrees.

(b)（5%）Describe $(S^\perp)^\perp$.

(c)（5%）What is the orthogonal projection of $p(t):=t^2-t+1$ onto the subspace $(S^\perp)^\perp$?

Let $f(z)=z^{(-1+i)^i}$ and $C$ be the positively oriented unit circle $|z|=1$, and we’d like to compute the contour integral
$\int_C f(z)\,dz。$

(a)（4%）Let’s denote the complex number $(-1+i)^i$ as $\exp(a+ib)$ with $a,b\in\mathbb{R}$. What are $a$ and $b$?

(b)（6%）Since $f(z)$ is a multiple-valued function, let’s consider the branch $|z|>0$ and $0<\arg z<2\pi$. When denoting $M:=(-1+i)^i$, please use $M$ to express $\int_C f(z)\,dz$.

Use residues to compute the following improper integrals.

(a)（5%）Compute
$\int_0^\infty\frac{1}{(x^2+1)^2}\,dx。$

(b)（5%）Compute
$\int_0^\infty\frac{\ln x}{(x^2+1)^2}\,dx。$