108 年 國立中山大學電機工程學系碩士班乙組《控制系統》

核心觀念

控制器

$$C(s)=\frac{s+z}{s+p},\qquad z>p>0$$

具有：

• 零點：$s=-z$
• 極點：$s=-p$

因為 $z>p$，所以零點位於較左側，極點較靠近原點。此配置屬於相位落後補償器（phase lag compensator），而非相位超前補償器。

其頻率響應為

$$C(j\omega)=\frac{j\omega+z}{j\omega+p}.$$

因此增益與相位分別為

$$|C(j\omega)| = \frac{\sqrt{\omega^2+z^2}}{\sqrt{\omega^2+p^2}},$$ $$\angle C(j\omega) = \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{z}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{p}\right).$$

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解題方法

先利用極點、零點位置判斷補償器種類，再檢查直流增益、相位變化及其對暫態響應與穩定度邊界的典型影響。

當 $\omega=0$ 時，

$$C(0)=\frac{z}{p}.$$

由於 $z>p>0$，

$$\frac{z}{p}>1,$$

所以此控制器會提高低頻及直流增益。

另一方面，對任意 $\omega>0$，因為 $z>p$，有

$$\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{z}\right) < \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{p}\right),$$

故

$$\angle C(j\omega)<0.$$

控制器提供的是相位落後，而不是相位超前。

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選項分析

(A) 是一種相位超前補償器

錯誤。

相位超前補償器的零點應較靠近原點、極點應位於更左側，即標準形式通常滿足

$$z<p.$$

本題給定 $z>p$，表示極點 $-p$ 比零點 $-z$ 更靠近原點，因此是相位落後補償器。

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(B) 可提高低頻／直流增益

正確。

直流增益為

核心觀念

$$C(s)=\frac{s+z}{s+p},\qquad p>z>0$$

其零點與極點分別為

$$s=-z,\qquad s=-p$$

由於 $p>z$，極點位於比零點更左側的位置，因此這是標準的相位超前補償器。

其頻率響應為

$$C(j\omega)=\frac{j\omega+z}{j\omega+p}$$

相位為

$$\phi_C(\omega) =\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{z}\right) -\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{p}\right)$$

因為 $p>z$，對適當的頻率範圍有

$$\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{z}\right) > \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{p}\right)$$

所以補償器提供正相位，即相位超前。

相位超前補償器的主要作用包括：

• 增加相位裕度，改善系統穩定度邊界。
• 提高頻寬與反應速度。
• 減少相位延遲造成的振盪與超越量。
• 不改變系統型別，因此不適合用來改善穩態誤差。

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解題方法

先由極點、零點位置判斷補償器種類，再依照相位超前補償器的典型功能逐項判斷。

對於相位超前補償器，最大相位超前角為

$$\phi_{\max} = \sin^{-1}\left(\frac{p-z}{p+z}\right)$$

由 $p>z>0$ 可知

$$0<\frac{p-z}{p+z}<1$$

因此

$$0^\circ<\phi_{\max}<90^\circ$$

單一相位超前補償器的相位超前不會超過 $90^\circ$，但多個補償器串聯時，相位會相加。

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選項分析

(A) 通常會增加穩定度邊界

正確。

相位超前補償器在增益交越頻率附近提供正相位，使系統的相位裕度增加。相位裕度增加通常代表系統對參數變化與外部擾動具有較大的穩定裕度，因此通常會增加穩定度邊界。

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(B) 可以消除或改善步階響應之穩態誤差

錯誤。

相位超前補償器主要改善暫態響應，不會改變系統型別。對單位回授系統，控制器的直流增益為

$$C(0)=\frac{z}{p}<1$$

若原系統為零型系統，位置誤差常數會因乘上 $z/p$ 而降低，步階穩態誤差反而可能增加：

$$e_{\mathrm{ss}}=\frac{1}{1+K_p}$$

核心觀念

本題考查回授控制系統的基本特性，核心公式為負回授閉迴路傳遞函數：

$$T(s)=\frac{C(s)}{R(s)} =\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$$

其中 $G(s)H(s)$ 為迴路增益，特徵方程為：

$$1+G(s)H(s)=0$$

回授會改變閉迴路系統的極點位置，因此會影響系統穩定性、頻寬與增益邊界；對於負回授，外來干擾的影響通常會被抑制。

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解題方法

逐項對照負回授控制的典型效果：

• 負回授通常增加頻寬。
• 回授可能造成閉迴路極點移動，因此穩定系統有可能因回授而變得不穩定。
• 一般單一迴路回授主要改變特徵方程，也就是改變極點；閉迴路零點通常由前向路徑的分子決定。
• 負回授通常增加增益邊界，改善相對穩定性。
• 負回授會降低干擾對輸出的影響。

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選項分析

(A) 可減少系統的頻寬

錯誤。

負回授的閉迴路增益雖然降低，但通常可提高系統頻寬。以一階系統為例，若開迴路為：

$$G(s)=\frac{K}{1+\tau s}$$

加入單位負回授後：

$$T(s)=\frac{K}{1+\tau s+K} =\frac{K}{1+K}\cdot \frac{1}{1+\frac{\tau}{1+K}s}$$

新的時間常數為：

$$\tau_{\text{cl}}=\frac{\tau}{1+K}$$

因此閉迴路頻寬約為：

$$\omega_{\text{BW,cl}} =\frac{1+K}{\tau}$$

相較於原本的頻寬 $1/\tau$，頻寬增加。因此一般負回授不是減少頻寬。

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(B) 可讓穩定系統變不穩定

正確。

加入回授後，系統的穩定性由特徵方程

$$1+G(s)H(s)=0$$

決定。即使原本的開迴路或未回授系統穩定，回授仍可能使閉迴路極點移至右半平面，導致系統變為不穩定。

特別是當系統具有額外相位延遲，且迴路增益在相位接近 $-180^\circ$ 時仍過大，負回授可能產生等效的正回授效果，造成振盪或不穩定。

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(C) 可改變系統零點的位置

在本題所指的標準單一迴路回授架構下，錯誤。

閉迴路傳遞函數為：

核心觀念

1. 極小相位系統（Minimum Phase System）：
   若開迴路轉移函數 $L(s) = G(s)H(s)$ 的所有極點與零點皆位於複數平面左半平面（LHP），則稱之為極小相位系統。
2. 相對階數（Relative Degree, $r$）：
   定義為開迴路極點數 $n$ 與零點數 $m$ 之差，即 $r = n - m$。在極小相位系統中，高頻時的漸近相位角滿足：
   $\lim_{\omega \to \infty} \angle L(j\omega) = -r \times 90^\circ = -(n - m) \times 90^\circ$
3. 增益邊界（Gain Margin, $GM$）：
   • 定義式：$GM = \frac{1}{|L(j\omega_{pc})|}$（線性值）或 $GM_{\text{dB}} = -20\log_{10}|L(j\omega_{pc})|$。
   • 相位交越頻率 $\omega_{pc}$（Phase Crossover Frequency）滿足 $\angle L(j\omega_{pc}) = -180^\circ$。
   • 若開迴路頻率響應的相位在有限頻率下永遠不會達到或穿越 $-180^\circ$，則 $\omega_{pc}$ 不存在（或位於無窮遠處且幅值為 $0$），此時增益邊界為無窮大（$GM = \infty$）。
4. 相位邊界（Phase Margin, $PM$）：
   • 定義式：$PM = 180^\circ + \angle L(j\omega_{gc})$。
   • 增益交越頻率 $\omega_{gc}$（Gain Crossover Frequency）滿足 $|L(j\omega_{gc})| = 1$。
   • 只要系統存在增益交越頻率 $\omega_{gc}$，其相位角 $\angle L(j\omega_{gc})$ 必為有限實數值，故 $PM$ 必為有限角度值，不可能為無窮大。

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解題方法

本題為控制系統頻域穩定度邊界（Gain Margin 與 Phase Margin）的觀念題。解題關鍵在於：

1. 利用開迴路極小相位系統的相對階數 $r = n - m$ 來決定波德圖在高頻下的最大相位落後量。
2. 檢驗相位曲線是否能在有限頻率下達到 $-180^\circ$ 以決定增益邊界 $GM$ 是有限值或 $\infty$。
3. 根據相位邊界 $PM$ 之定義判斷其數值特性。

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選項分析

• (A) 相對階數為 1 的穩定系統都有無窮大的增益邊界 (gain margin)：【正確】
  若極小相位系統相對階數 $r = n - m = 1$，其高頻漸近相位為 $-1 \times 90^\circ = -90^\circ$。其相位角在所有頻率 $\omega \in [0, \infty)$ 下恆大於 $-180^\circ$（永不穿越 $-180^\circ$），因此不存在有限的相位交越頻率 $\omega_{pc}$，故增益邊界 $GM = \infty$。

• (B) 任何穩定的極小相位系統都有無窮大的增益邊界：【錯誤，本題應選此項】
  極小相位系統若相對階數 $r \ge 3$（例如三階系統），其高頻漸近相位為 $-r \times 90^\circ \le -270^\circ$。相位曲線必定會在某個有限頻率 $\omega_{pc}$ 處跨越 $-180^\circ$，此時 $|L(j\omega_{pc})| > 0$，故增益邊界為一有限實數（$GM < \infty$）。

此題考查線性非時變 (Linear Time-Invariant, LTI) 系統的基本性質。

線性非時變系統具有疊加性 (superposition) 和時不變性 (time-invariance)。

疊加性包括兩個部分：

1. 加性 (Additivity)：若輸入 $u_1$ 產生輸出 $y_1$，輸入 $u_2$ 產生輸出 $y_2$，則輸入 $u_1+u_2$ 產生輸出 $y_1+y_2$。
2. 齊次性 (Homogeneity) 或尺度不變性 (Scalability)：若輸入 $u$ 產生輸出 $y$，則輸入 $ku$ 產生輸出 $ky$，其中 $k$ 為常數。

時不變性：若輸入 $u(t)$ 在時間 $t$ 產生輸出 $y(t)$，則輸入 $u(t-\tau)$ (輸入延遲 $\tau$) 在時間 $t$ 產生輸出 $y(t-\tau)$ (輸出也延遲 $\tau$)。

題目中假設系統初值為零，這意味著我們考慮的是系統的零輸入響應為零的情況。

(A) 輸入放大兩倍後,對應之輸出不會改變。
這是錯誤的。根據齊次性，如果輸入放大兩倍，輸出也應該放大兩倍。

(B) 在不同起始時間給予相同的輸入,會得到相同的輸出。
這是錯誤的。如果起始時間不同，即使輸入相同，由於系統是時變的（雖然題目說是非時變，但這裡的「起始時間」可能與時變性混淆），或者考慮初始條件的影響，輸出可能會不同。
但是，對於線性非時變系統，如果初始條件為零，時不變性意味著：若輸入 $u(t)$ 產生輸出 $y(t)$，則輸入 $u(t-\tau)$ 產生輸出 $y(t-\tau)$。
這裡的敘述是「在不同起始時間給予相同的輸入」。
如果我們考慮輸入函數 $u(t)$，那麼在時間 $t_0$ 開始的輸入是 $u(t-t_0)$（假設 $t \ge t_0$）。
如果我們在時間 $t_1$ 開始相同的輸入 $u(t-t_1)$（假設 $t \ge t_1$）。

核心觀念

理想 PID 控制器可表示為

$$G_c(s)=K_P+\frac{K_I}{s}+K_Ds$$

也可寫成

$$G_c(s)=K_P\left(1+\frac{1}{T_Is}+T_Ds\right),$$

其中 $K_P>0$、$T_I>0$、$T_D>0$。

令 $s=j\omega$，則

$$G_c(j\omega) =K_P\left[1+j\left(\omega T_D-\frac{1}{\omega T_I}\right)\right].$$

因此其相位為

$$\angle G_c(j\omega) = \tan^{-1}\left(\omega T_D-\frac{1}{\omega T_I}\right).$$

由於實部固定為正值 $K_P$，所以

$$-90^\circ<\angle G_c(j\omega)<90^\circ.$$

PID 在低頻可能呈現相位落後，在高頻則可能呈現相位超前，但相位超前不可能超過 $90^\circ$。

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解題方法

本題應從三個性質判斷：

1. 積分項 $\dfrac{K_I}{s}$ 能消除步階輸入的穩態誤差。
2. PID 的相位在不同頻率可能落後，也可能超前。
3. 由頻率響應公式判斷相位超前的最大範圍。

特別注意，「具有相位落後作用」不等於「本身是一個純相位落後補償器」。

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選項分析

(A) 是一種相位落後補償器

嚴格依控制系統的標準定義，相位落後補償器的相位在其作用頻段為負值，典型形式為

$$G_{\text{lag}}(s) = K\frac{1+Ts}{1+\beta Ts}, \qquad \beta>1.$$

理想 PID 並非純粹的相位落後補償器。它同時包含積分作用與微分作用，頻率範圍不同時可呈現相位落後或相位超前，因此較正確的描述是「具有落後與超前作用的控制器」，而不是單純的相位落後補償器。

所以依嚴格定義，(A) 不正確。

(B) 可消除步階響應的穩態誤差

PID 含有積分項

$$\frac{K_I}{s}.$$

積分器在原點增加一個極點，使開迴路系統型別提高一階。對於穩定的單位回授系統，若系統至少為 Type 1，則對步階輸入 $R(s)=1/s$ 的穩態誤差為

$$e_{\mathrm{ss}} = \lim_{s\to 0}sE(s)=0.$$

因此積分作用可消除步階輸入的穩態誤差。

核心觀念

閉迴路特徵方程為

$$a(s)+Kb(s)=0.$$

由

$$G(s)=K\frac{b(s)}{a(s)}$$

可得根軌跡上的點 $s_0$ 必須滿足

$$1+G(s_0)=0,$$

因此

$$G(s_0)=-1.$$

根軌跡的兩個基本條件為：

• 角度條件：

  $$\angle G(s_0)=(2\ell+1)\pi,\qquad \ell\in\mathbb Z$$

  也可寫成 $\angle G(s_0)=-\pi$。

• 大小條件：

  $$|G(s_0)|=1.$$

此外，若 $a(s)$ 為 $n$ 階、$b(s)$ 為 $m$ 階且 $n>m$，則：

• 根軌跡共有 $n$ 個分支；

• $m$ 個分支終止於有限零點；

• $n-m$ 個分支沿著無限遠處的漸近線發散；

• 漸近線角度為

  $$\theta_q=\frac{(2q+1)\pi}{n-m},\qquad q=0,1,\ldots,n-m-1.$$

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解題方法

本題直接依據根軌跡的分支數、無限遠零點數、角度條件與漸近線方向，逐一判斷各選項。

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選項分析

(A) 軌跡有 $m$ 個分支

錯誤。

根軌跡的分支數等於開迴路極點總數，也就是特徵方程 $a(s)+Kb(s)=0$ 的階數 $n$。因此根軌跡共有

$$n$$

個分支，而不是 $m$ 個。

其中只有 $m$ 個分支會終止於有限零點，另外 $n-m$ 個分支會趨向無限遠。

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(B) 有些分支必然會與實軸相交

錯誤。

實係數系統的根軌跡具有共軛對稱性，但這不代表一定會與實軸相交。反例可取

$$a(s)=s^4+5s^2+4,\qquad b(s)=s^2.$$

此時 $n=4$、$m=2$，特徵方程為

$$s^4+(5+K)s^2+4=0.$$

令 $x=s^2$，則

$$x^2+(5+K)x+4=0.$$

對 $K>0$，兩個 $x$ 根皆為負值，因此 $s$ 的根皆位於虛軸上，根軌跡不必與實軸相交。

所以「必然」與實軸相交的敘述不成立。

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核心觀念

固定時間延遲的輸入輸出關係為

$$y(t)=u(t-T),\qquad T>0$$

本題主要考查：

1. 線性與疊加原理。
2. 時不變系統的定義。
3. 時間延遲在頻域中的表示。
4. 延遲對相位與能量的影響。

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解題方法

直接檢查延遲操作的線性、時不變性，並求其頻率響應。

1. 線性與疊加原理

若輸入為

$$u(t)=a u_1(t)+b u_2(t)$$

則輸出為

$$y(t)=u(t-T) =a u_1(t-T)+b u_2(t-T)$$

因此固定時間延遲滿足疊加原理，是線性操作。

2. 時不變性

對輸入 $u(t)$ 延遲 $t_0$，得到

$$u_1(t)=u(t-t_0)$$

經過延遲系統後，

$$y_1(t)=u_1(t-T) =u(t-t_0-T)$$

原輸出為

$$y(t)=u(t-T)$$

若將原輸出延遲 $t_0$，則

$$y(t-t_0)=u(t-t_0-T)$$

因此

$$y_1(t)=y(t-t_0)$$

輸入延遲與輸出延遲完全相同，故固定時間延遲是時不變操作，而不是時變操作。

3. 頻域表示

由傅立葉轉換的時間位移性質，

$$\mathcal{F}\{u(t-T)\} =e^{-j\omega T}U(j\omega)$$

所以

$$Y(j\omega)=H(j\omega)U(j\omega)$$

其中

$$H(j\omega)=e^{-j\omega T}$$

若使用拉普拉斯轉換，則其轉移函數為

$$H(s)=e^{-sT}$$

因此固定延遲可以在頻域以轉移函數表示。

4. 相位與能量

頻率響應為

$$H(j\omega)=e^{-j\omega T}$$

其大小為

$$|H(j\omega)|=1$$

其相位為

$$\angle H(j\omega)=-\omega T$$

核心觀念

本題比較「開路控制」與「閉回路控制」對下列性能的影響：

1. 系統穩定性
2. 輸入干擾與輸出干擾的抑制能力
3. 頻寬
4. 受控系統參數變異時的抗敏感度

令受控系統為 $G(s)$、控制器為 $C(s)$，採單位負回授。開迴路增益為

$$L(s)=C(s)G(s)$$

閉迴路傳遞函數為

$$T(s)=\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)} =\frac{L(s)}{1+L(s)}$$

敏感度函數為

$$S(s)=\frac{1}{1+L(s)}$$

其中 $S(s)$ 描述閉迴路系統對干擾與模型變異的敏感程度。

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解題方法

判斷本題的關鍵，是確認「沒有回授時，控制器能否改變受控系統的極點」，以及利用敏感度函數判斷閉迴路對干擾與參數變異的抑制能力。

1. 開路控制的穩定性

開路系統的傳遞函數為

$$G_{\text{OL}}(s)=C(s)G(s)$$

串聯控制器只能增加或改變系統的零點與控制器本身的極點，無法透過回授作用重新配置受控系統的極點。因此，若受控系統本身具有右半平面極點，開路控制通常無法將其移至左半平面。

真正能改變受控系統閉迴路極點的是特徵方程式

$$1+C(s)G(s)=0$$

這個方程式只有在存在回授時才會出現。

2. 閉回路對干擾的抑制

若輸入干擾 $d_i$ 加在受控系統輸入端，輸出干擾 $d_o$ 加在輸出端，則閉迴路輸出可表示為

$$Y(s)= \frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}R(s) + \frac{G(s)}{1+C(s)G(s)}D_i(s) + \frac{1}{1+C(s)G(s)}D_o(s)$$

因此：

• 輸入干擾到輸出的傳遞函數為

$$\frac{Y(s)}{D_i(s)} = \frac{G(s)}{1+C(s)G(s)}$$

• 輸出干擾到輸出的傳遞函數為

$$\frac{Y(s)}{D_o(s)} = \frac{1}{1+C(s)G(s)} =S(s)$$

只要迴路增益有限，$S(s)$ 不會完全等於零，所以閉回路無法在所有頻率完全消除干擾；只能在迴路增益較大的頻段有效抑制干擾。

3. 頻寬與參數變異

開路系統的頻率響應為

$$C(j\omega)G(j\omega)$$

改變控制器 $C(s)$ 的增益或動態特性，即可改變開路系統的頻寬。

閉迴路系統的頻率響應為

$$T(j\omega)=\frac{L(j\omega)}{1+L(j\omega)}$$

因此回授控制也能改變系統頻寬。通常增加回授迴路增益可提高低頻增益，並在適當設計下拓展系統頻寬。

若受控系統參數發生變化，可將受控系統表示為 $G(s)(1+\Delta(s))$。閉迴路相對變化量與開迴路相對變化量的關係近似為

核心觀念

原點極點可表示為積分器：

$$G(s)=\frac{K}{s^n}G_0(s)$$

其中 $n$ 為原點極點數。每一個原點極點對 Bode 圖的貢獻為：

• 幅值斜率：$-20\ \text{dB/decade}$
• 相位：$-90^\circ$

因此，低頻段的相位可用來判斷原點極點個數。

解題方法

由題目所附的 Bode plot 可觀察低頻端相位約為：

$$\angle G(j\omega)\approx -90^\circ$$

由於系統沒有右半平面極點，且其他非原點極點在低頻時相位貢獻趨近於 $0^\circ$，所以低頻相位主要由原點極點造成。

因此：

$$-90^\circ n=-90^\circ$$

解得：

$$n=1$$

故 $G$ 有一個極點在原點。

選項分析

核心觀念

系統的相對階數定義為

$$\text{相對階數}=\text{極點數}-\text{零點數}$$

對於有理傳遞函數

$$G(s)=K\frac{(s-z_1)\cdots(s-z_m)} {(s-p_1)\cdots(s-p_n)}$$

當頻率 $\omega$ 很高時，Bode magnitude plot 的斜率為

$$-20(n-m)\ \text{dB/decade}$$

因此可由高頻段的斜率直接判斷相對階數。

解題方法

由題圖的 Bode magnitude plot 可觀察到，高頻段約每增加十倍頻率， magnitude 下降 $60$ dB，因此斜率為

$$-60\ \text{dB/decade}$$

令相對階數為 $r$，則

$$-20r=-60$$

所以

$$r=3$$

核心觀念

負回授系統的相位邊界定義為

$$\mathrm{PM}=180^\circ+\angle G(j\omega_{gc})$$

其中 $\omega_{gc}$ 是增益交越頻率，即 Bode 圖中幅值穿越 $0\,\mathrm{dB}$ 時的頻率。

由圖可讀得：

• 增益交越頻率約為 $\omega_{gc}=0.68\ \mathrm{rad/s}$
• 此頻率的相位約為 $-158^\circ$

解題方法

代入相位邊界公式：

$$\mathrm{PM}=180^\circ-158^\circ=22^\circ$$

因此相位邊界約為 $20^\circ$。

相位邊界應觀察「$0\,\mathrm{dB}$ 對應的相位」，不可使用相位穿越 $-180^\circ$ 時的增益；後者是用來計算增益邊界。

選項分析

核心觀念

比例控制器 $C(s)=K$ 時，開迴路傳遞函數為

$$L(s)=K G(s)$$

閉迴路系統是否穩定，可由 Bode 圖的增益裕度判斷。由於 $G(s)$ 沒有右半平面極點，當相位到達 $-180^\circ$ 時：

• 若 $|L(j\omega)|<1$（小於 $0$ dB），系統具有正的增益裕度，穩定。
• 若 $|L(j\omega)|>1$（大於 $0$ dB），系統會失去穩定。

比例增益 $K$ 會使幅值曲線整體平移 $20\log_{10}K$ dB，但不會改變相位曲線。

解題方法

由圖可讀得，當系統相位為 $-180^\circ$ 時，頻率約為

$$\omega_{pc}=1\ \text{rad/s}$$

此時 $G$ 的幅值約為

$$20\log_{10}|G(j\omega_{pc})|\approx -6\ \text{dB}$$

臨界穩定條件是：

$$20\log_{10}K-6=0$$

因此臨界比例增益為

核心觀念

本題考查單位負回授系統的閉迴路傳遞函數，以及含有積分器時的穩態增益。

由圖中的 Bode plot 可觀察到：

• 低頻段斜率約為 $-20\ \text{dB/decade}$
• 低頻相位約為 $-90^\circ$

因此，受控系統 $G(s)$ 含有一個原點極點，也就是含有積分器：

$$G(s)\sim \frac{K_0}{s},\qquad s\to 0$$

所以：

$$\lim_{s\to 0}G(s)=\infty$$

解題方法

比例控制器為

$$C(s)=K$$

圖中為單位負回授，因此 $r$ 到 $y$ 的閉迴路傳遞函數為

$$T(s)=\frac{Y(s)}{R(s)} =\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)} =\frac{KG(s)}{1+KG(s)}$$

閉迴路直流增益為

$$T(0)=\lim_{s\to 0}\frac{KG(s)}{1+KG(s)}$$

因為 $G(s)$ 含有原點極點，且比例增益 $K\neq 0$，所以

$$\lim_{s\to 0}KG(s)=\infty$$

因此

$$T(0)=\frac{\infty}{1+\infty}=1$$

這也表示對階躍輸入而言，穩定的閉迴路系統具有零穩態誤差：

$$e_{\mathrm{ss}}=0$$

核心觀念

單位負回授且 $C=1$ 時，從 $r$ 到 $y$ 的閉迴路傳遞函數為

$$T(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}.$$

閉迴路頻寬通常定義為 $|T(j\omega)|$ 相對於低頻增益下降 $3\ \mathrm{dB}$ 時的頻率。

當低頻時 $|G(j\omega)|\gg 1$，有

$$T(j\omega)\approx 1,$$

因此閉迴路的頻寬大致落在開迴路增益接近 $0\ \mathrm{dB}$ 的附近，也就是增益交越頻率附近。

解題方法

由題目所附的 Bode 圖可讀得：

• 在 $\omega\approx 0.68\ \mathrm{rad/s}$ 時，$G$ 的大小約為 $0\ \mathrm{dB}$；
• 在 $\omega=1\ \mathrm{rad/s}$ 時，$G$ 的大小約為 $-6.07\ \mathrm{dB}$；
• 系統已知閉迴路穩定，因此可用增益交越頻率估計閉迴路頻寬。

所以閉迴路由低頻的 $T\approx 1$ 開始，在約 $0.68\ \mathrm{rad/s}$ 附近進入主要衰減區域。由圖形判斷，其 $-3\ \mathrm{dB}$ 頻寬會落在約 $0.5$ 至 $1.5\ \mathrm{rad/s}$ 的範圍內。

選項分析

核心觀念

本題考查 Bode 圖、積分控制器對迴路相位的影響，以及由相位裕度判斷閉迴路穩定性。

由圖可見：

• $G(s)$ 在低頻的相位約為 $-90^\circ$，且斜率約為 $-20\ \mathrm{dB/dec}$，表示 $G(s)$ 含有一個原點極點。
• $G(s)$ 為三階系統，高頻相位趨近 $-270^\circ$，符合三個極點的特性。
• 控制器為

$$C(s)=\frac{K}{s}$$

會再增加一個原點極點，並使相位額外落後 $90^\circ$。

令迴路傳遞函數為

$$L(s)=C(s)G(s)=\frac{K}{s}G(s)$$

則

$$\angle L(j\omega)=\angle G(j\omega)-90^\circ$$

---

解題方法

由 Bode 圖，當 $\omega\to 0$ 時，

$$\angle G(j\omega)\to -90^\circ$$

因此

$$\angle L(j\omega)\to -180^\circ$$

而且因為 $G(s)$ 本身含有一個原點極點，低頻時

$$|G(j\omega)|\to \infty$$

加入積分控制器後，迴路函數含有兩個原點極點：

$$L(s)\sim \frac{\text{常數}\cdot K}{s^2}$$

所以低頻時迴路增益仍趨近無限大，且相位逼近 $-180^\circ$。這代表正增益 $K$ 一旦加入，閉迴路即無法維持穩定；不存在某個有限的臨界 $K$，使系統先穩定而在該值之後才失穩。

亦可用簡化模型說明。設

核心觀念

本題考查「系統型別」與穩態追蹤誤差的關係。

由 Bode 圖可知，系統 $G$ 在低頻率時相位約為 $-90^\circ$，表示 $G$ 含有一個原點極點，即一個積分器。因此 $G$ 本身為 Type 1 系統。

PI 控制器可表示為

$$C(s)=K_p+\frac{K_i}{s} =\frac{K_p s+K_i}{s},$$

其中另外含有一個原點極點。因此開迴路傳遞函數

$$L(s)=C(s)G(s)$$

共有兩個原點極點，閉迴路系統為 Type 2 系統。

對於 Type 2 系統：

• 階躍訊號：穩態誤差為 $0$
• 斜坡訊號：穩態誤差為 $0$
• 拋物線訊號：穩態誤差發散
• 有限頻率弦波：若閉迴路穩定，誤差為有限振幅，不會發散

解題方法

單位回授系統的誤差傳遞函數為

$$\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+L(s)}.$$

PI 控制器與 $G(s)$ 的一個原點極點合計，使 $L(s)$ 具有兩個積分器。令輸入為多項式訊號：

直流訊號

直流訊號可視為階躍訊號：

$$R(s)=\frac{A}{s}.$$

Type 2 系統對階躍輸入的穩態誤差為

$$e_{\mathrm{ss}}=0.$$

斜坡訊號

斜坡訊號可表示為

$$R(s)=\frac{A}{s^2}.$$

Type 2 系統對斜坡輸入的穩態誤差仍為

$$e_{\mathrm{ss}}=0.$$

拋物線訊號

拋物線訊號可表示為

此題考查從 Nyquist 圖判斷系統的極點位置，特別是虛軸上的極點。
題目說 G 是三階系統，且沒有極點在右半平面。
虛軸上的極點表示系統處於臨界穩定狀態。

Nyquist 圖顯示了開迴路傳遞函數 $L(j\omega)$ 在複數平面上的軌跡。
在這裡，我們考慮的是受控系統 G 本身的 Nyquist 圖。
圖形顯示了 G(jω) 的軌跡。

虛軸上的極點會導致 Nyquist 曲線在某些頻率下經過虛軸（Imaginary Axis）。
但是，虛軸上的極點會使系統處於臨界穩定狀態，這意味著閉迴路系統可能是不穩定的。
如果 G 本身有虛軸上的極點，那麼 $G(s)$ 的分母多項式在 $s=j\omega$ 時為零。

觀察 Nyquist 圖：
圖形顯示了 G(jω) 的軌跡。
在 $\omega = 3.31$ rad/s 時，G(jω) 的實部是 -0.167，虛部是 -0.000687。
在 $\omega = 10^{-2}$ rad/s (圖上顯示為 -1e-02)，G(jω) 的實部是 0.2，虛部是 $4.96 \times 10^{-17}$ (接近 0)。
這表示在 $\omega = 10^{-2}$ rad/s 時，G(jω) 是正實數，接近 0.2。

虛軸上的極點意味著 $G(s)$ 的分母在 $s=j\omega_0$ 時為零。
這會導致 $|G(j\omega)| \to \infty$。
在 Nyquist 圖上，這通常表現為軌跡延伸到無限遠處。

圖形顯示了 G(jω) 在複數平面上的軌跡。
軌跡從 $\omega = 10^{-2}$ rad/s 開始，經過 $\omega = 3.31$ rad/s，並延伸到其他頻率。
在 $\omega = 10^{-2}$ rad/s，G(jω) 的值是 $0.2 + j 4.96 \times 10^{-17}$。這是一個正實數，非常接近 0.2。
這意味著在低頻時，系統的增益是正的。

虛軸上的極點會導致 $|G(j\omega)| \to \infty$。
在 Nyquist 圖上，如果軌跡延伸到無限遠處，這可能表示虛軸上的極點。

此題考查從 Nyquist 圖判斷系統零點的位置。
題目說 G 是二階系統，相對階數為一階。
相對階數 = (極點數) - (零點數) = 1。
如果 G 是二階系統，那麼極點數是 2。
所以，2 - (零點數) = 1。
零點數 = 2 - 1 = 1。
因此，G 有一個零點。
選項 (A) G 沒有零點，是錯誤的。

題目說 G 沒有極點在右半平面（不含虛軸）。
這意味著 G 的所有極點都在左半平面或虛軸上。
如果 G 有虛軸上的極點，那麼 G 的 Nyquist 圖的軌跡會延伸到無限遠處。
圖形顯示的軌跡是有限的，所以 G 沒有虛軸上的極點。
因此，G 的所有極點都在左半平面。

現在我們知道 G 有一個零點。
我們需要判斷這個零點的位置。
零點的位置會影響 Nyquist 圖的形狀。
對於一個穩定的傳遞函數 G(s)，其零點和極點的位置會影響 Nyquist 曲線的行為。

觀察 Nyquist 圖：
圖形顯示了 G(jω) 的軌跡。
在 $\omega = 10^{-2}$ rad/s，G(jω) $\approx 0.2$ (實軸正值)。
在 $\omega = 3.31$ rad/s，G(jω) $\approx -0.167 - j0.000687$。
在 $\omega = 10^{-2}$ rad/s，G(jω) 是一個正實數。
這意味著在低頻時，系統的相位是 0°。
如果系統有一個零點在原點 $s=0$，則 $G(s)$ 包含 $s$。
那麼 $G(j\omega) = j\omega \times (\text{其他部分})$。
在 $\omega \to 0$, $G(j\omega) \to 0$。
如果零點在原點，那麼 Nyquist 曲線應該從原點開始。

核心觀念

比例控制器為 $C(s)=K$，且 $K>0$。負回授系統的特徵方程為

$$1+K G(s)=0$$

由 Nyquist 圖可知，$G(j\omega)$ 與負實軸交點約為

$$G(j3.31)\approx -0.167\approx-\frac{1}{6}$$

因此臨界增益為

$$K_{\mathrm{cr}}=\frac{1}{0.167}\approx 6$$

當 $K>6$ 時，Nyquist 圖對應的臨界點 $-1/K$ 進入不穩定區域，閉迴路系統變為不穩定。

選項分析

• (A) 正確
  當 $0<K<1$ 時，$-1/K<-1$，位於 Nyquist 圖左側，系統未產生包圍，閉迴路系統穩定。

• (B) 正確
  當 $K=3$ 時，

  $$-\frac{1}{K}=-\frac{1}{3}$$

  此點仍在 Nyquist 圖左側，未被包圍，因此閉迴路系統穩定。

核心觀念

本題要從 Nyquist 圖判斷受控系統是否有右半平面零點，再推論比例控制下的步階響應、穩態誤差、閉迴路零點及相位邊界。假設為單位負回授，且比例增益 $K>0$。

解題方法

圖上的橫軸為實部、縱軸為虛部；Nyquist 曲線標示 $G(0)=0.2$，並在 $\omega=3.31\ \mathrm{rad/s}$ 附近穿越負實軸，讀值約為 $-0.167-j0.000687$。題幹另給 $G$ 是無右半平面極點的二階系統，且相對階數為一。

將 $G$ 寫成一般形式：

$$G(s)=\frac{b_1s+b_0}{s^2+a_1s+a_0}$$

因為極點在左半平面，$a_1,a_0>0$；又 $G(0)=b_0/a_0=0.2>0$，所以 $b_0>0$。對二階、相對階數一的系統，虛部可寫為

$$\operatorname{Im}G(j\omega) = \frac{\omega\left[b_1(a_0-\omega^2)-b_0a_1\right]} {(a_0-\omega^2)^2+a_1^2\omega^2}$$

在負實軸穿越處，虛部為零；將該條件代入實部，其符號與 $b_1$ 相同。因此，圖上負實軸穿越點的實部為負，表示 $b_1<0$。系統零點為

$$s=-\frac{b_0}{b_1}>0$$

核心觀念

本題考 Nyquist 圖上的增益邊界與相位邊界，以及受控系統乘上常數增益後，這些邊界如何改變。對單位負回授，增益邊界可由相位交越頻率處的 Nyquist 圖讀得：

$$GM=\frac{1}{|L(j\omega_{pc})|}$$

其中 $\omega_{pc}$ 是相位為 $-180^\circ$、也就是 Nyquist 曲線與負實軸交會的頻率。相位邊界則在增益交越頻率 $\omega_{gc}$（$|L(j\omega_{gc})|=1$）處計算：

$$PM=180^\circ+\angle L(j\omega_{gc})$$

解題方法

圖中橫軸為實部、縱軸為虛部。標示點顯示 $G$ 在 $\omega\approx 0$ 時的值為 $0.2$；曲線在 $\omega=3.31\ \text{rad/s}$ 時交於負實軸，位置約為 $-0.167$。由圖可見 $G$ 的曲線大小不超過 $0.2$，因此 $|G(j\omega)|$ 不會到達 $1$。

先由負實軸交點求 $G$ 的增益邊界：

$$GM_G=\frac{1}{0.167}\approx 5.99$$

令 $P=5.5G$，Nyquist 曲線會以原點為中心放大 $5.5$ 倍，角度不變。因此：

核心觀念

轉移函數定義為零初始條件下，輸出 $Y(s)$ 與輸入 $U(s)$ 的拉氏轉換比值。

解題方法

原卷第 4 頁的題目給定受控系統動態方程為 $\ddot{y}(t)=u(t)$，並詢問 $G$ 的轉移函數。對方程兩側取拉氏轉換，並採用零初始條件：

$$s^2Y(s)=U(s)$$

因此，

核心觀念

本題旨在考驗連續時間控制系統中，利用**轉移函數（Transfer Function）建立閉回路系統特徵方程式，並透過羅斯－赫維茲穩定準則（Routh-Hurwitz Stability Criterion）與根軌跡法（Root Locus Method）**分析閉回路系統之漸近穩定度（Asymptotic Stability）。
核心定理與定義如下：

1. 微分方程式轉移函數：線性非時變（LTI）系統在零初始條件下，經拉氏轉換（Laplace Transform）可得受控系統轉移函數 $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$。
2. 閉回路特徵多項式：在單位負回授架構下，閉回路系統之特徵方程式為 $1 + C(s)G(s) = 0$。
3. 羅斯穩定準則（Routh's Stability Criterion）：多項式所有根皆落在左半 $s$ 平面（LHP）之充分必要條件為羅斯表（Routh Array）之第一行（First Column）元素皆同號且全為正數。若出現變號，其變號次數即為右半 $s$ 平面（RHP）不穩定極點之個數。

---

解題方法

檢視考卷原頁圖（第 4 頁），題幹文字提及「如圖 Figure 1 之回授控制系統」，但該頁下方並未繪出 Figure 1 方塊圖（可能置於試卷前頁或漏印）；依控制工程歷屆試題標準慣例，受控系統 $G$ 與控制器 $C$ 串聯於順向路徑，回授路徑為 $H(s)=1$，構成標準之單位負回授控制系統（Unity Negative Feedback System）。

步驟一：求受控系統轉移函數 $G(s)$

已知受控系統 $G$ 之動態方程式為：

$$\ddot{y}(t) = u(t)$$

在零初始條件下取雙邊拉氏轉換：

$$s^2 Y(s) = U(s)$$

因此受控系統之轉移函數為：

$$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^2}$$

步驟二：建立閉回路特徵方程式

控制器轉移函數為：

$$C(s) = K \frac{s+z}{s+p} \quad (z > p > 0)$$

開回路轉移函數（Loop Transfer Function）為：

$$L(s) = C(s)G(s) = \frac{K(s+z)}{s^2(s+p)}$$

閉回路系統之特徵方程式為：

$$1 + C(s)G(s) = 0 \implies 1 + \frac{K(s+z)}{s^2(s+p)} = 0$$

兩邊同乘以分母項 $s^2(s+p)$，整理得特徵多項式 $\Delta(s)$：

$$s^2(s+p) + K(s+z) = 0$$

展開得：

$$\Delta(s) = s^3 + p s^2 + K s + K z = 0$$

步驟三：利用羅斯穩定準則進行穩定度分析

將三階特徵方程式寫為標準式：

$$\Delta(s) = a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0 = s^3 + p s^2 + K s + K z = 0$$

其中各項係數為 $a_3 = 1$、$a_2 = p$、$a_1 = K$、$a_0 = K z$。
依赫維茲必要條件（Hurwitz Necessary Condition），系統要漸近穩定，所有多項式係數必須嚴格大於零（同號）：

1. 若 $K \le 0$：
   • 當 $K < 0$ 時，因已知 $z > 0$，常數項 $a_0 = K z < 0$ 且一次項係數 $a_1 = K < 0$，多項式係數出現負號，系統必定不穩定。