108 年 國立中山大學電機工程學系碩士班丁組《電路學》

核心觀念

本題考查電池串聯後的端電壓、容量、C-rate 放電電流，以及電能計算。

電池供應的能量為

$$E=Pt=VIt$$

其中：

• $V$：電池組電壓
• $I$：放電電流
• $t$：放電時間

兩個相同電池模組串聯時：

• 電壓相加
• Ah 容量維持不變

因此，兩個 $12\text{ V}/6\text{ Ah}$ 模組串聯後，電池組規格為 $24\text{ V}/6\text{ Ah}$。

解題方法

1. 計算放電電流

$0.5C$ 表示以額定容量的 $0.5$ 倍電流放電：

$$I=0.5\times 6\text{ A}=3\text{ A}$$

串聯不會改變容量，因此放電電流仍為 $3\text{ A}$。

2. 計算串聯後電壓

$$V_{\text{total}}=12+12=24\text{ V}$$

3. 計算放電能量

放電時間為 $0.5$ 小時，因此

$$E=V_{\text{total}}It$$ $$E=(24)(3)(0.5)$$ $$E=36\text{ Wh}$$

也可由容量驗算：

$$Q=It=(3)(0.5)=1.5\text{ Ah}$$ $$E=VQ=(24)(1.5)=36\text{ Wh}$$

此題考驗並聯電路中電流分配以及功率計算。

題目給定總電流 $I_{total} = 2mA = 2 \times 10^{-3} A$。
有兩個電阻 $R_1 = 10k\Omega = 10 \times 10^3 \Omega$ 和 $R_2 = 10k\Omega = 10 \times 10^3 \Omega$ 並聯。

由於兩個電阻的阻值相等，根據電流分配定律，總電流會平均分配到兩個電阻上。
每個電阻的電流 $I_1 = I_2 = \frac{I_{total}}{2} = \frac{2mA}{2} = 1mA = 1 \times 10^{-3} A$。

現在計算每個電阻的功率消耗。功率的計算公式有幾種：$P = I^2 R$ 或 $P = \frac{V^2}{R}$ 或 $P = VI$。

此題考驗對直流電路中電感元件的穩態行為的理解。

在直流電路中，當電路達到穩態（穩定狀態）時，電感器 (inductor) 的行為類似於開路（斷路），而電容器 (capacitor) 的行為則類似於短路。

題目描述了一個串聯 RL 電路，連接了一個 10V 的直流電壓源，其中電感 $L=4H$ 且電阻 $R=10\Omega$。

在直流穩態下，電感器上的電壓 $v_L(t)$ 會趨近於零，因為電感器上的電流不再變化（$v_L(t) = L \frac{di(t)}{dt}$，穩態時 $\frac{di(t)}{dt}=0$）。

由於電感器上的電壓為零，它呈現的行為相當於一個短路。
因此，在穩態時，總電壓 10V 全部降在電阻 $R$ 上。

此題考驗計算串聯 RLC 電路的阻抗。

對於一個串聯 RLC 電路，總阻抗 $Z$ 可以表示為：
$Z = R + jX_L - jX_C$
其中 $R$ 是電阻， $X_L$ 是電感的感抗， $X_C$ 是電容的容抗。

我們已知：
電阻 $R = 1\Omega$
電感 $L = 2H$
電容 $C = 1F$
角頻率 $\omega = 1 rad/s$

此題考驗 RC 低通濾波器的截止頻率計算。

對於一個 RC 低通濾波器，其截止頻率 $\omega_c$（或稱為角頻率）定義為信號功率衰減到一半（電壓衰減到 $1/\sqrt{2}$）的頻率。在 RC 電路中，截止頻率的計算公式為：
$\omega_c = \frac{1}{RC}$

題目給定的參數是：
電阻 $R = 4\Omega$
電容 $C = 0.5F$

此題考驗利用歐姆定律計算交流電路中的 RMS 電流。

在交流電路中，歐姆定律同樣適用於 RMS 值：$V_{RMS} = I_{RMS} \times Z_{RMS}$。
這裡的 $Z_{RMS}$ 指的是阻抗的模（magnitude），因為電壓和電流的 RMS 值與阻抗的模值相關。
阻抗 $Z = 10 + j10 \Omega$。
阻抗的模 $|Z| = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{(10\Omega)^2 + (10\Omega)^2} = \sqrt{100 + 100} \Omega = \sqrt{200} \Omega$。
$\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2} \Omega \approx 10 \times 1.414 \Omega = 14.14 \Omega$。

題目給定的 RMS 電壓 $V_{RMS} = 141V$。

現在我們可以計算 RMS 電流 $I_{RMS}$：
$I_{RMS} = \frac{V_{RMS}}{|Z|} = \frac{141V}{10\sqrt{2}\Omega}$

此題考驗交流電路中電阻的平均功率計算。

給定的電壓為 $v(t) = 141 \cos(377t) V$。
電阻 $R = 10\Omega$。

對於一個純電阻電路，電壓和電流是同相的。
交流電壓的 RMS 值 $V_{RMS}$ 可以從其峰值 $V_p$ 計算得到：$V_{RMS} = \frac{V_p}{\sqrt{2}}$。
從 $v(t) = 141 \cos(377t) V$，我們可以讀出峰值電壓 $V_p = 141V$。
所以，$V_{RMS} = \frac{141V}{\sqrt{2}}$。

在純電阻電路中，平均功率 $P_{avg}$ 的計算公式為：
$P_{avg} = \frac{V_{RMS}^2}{R}$
或者使用 RMS 電流 $I_{RMS}$：$P_{avg} = I_{RMS}^2 R$。

我們使用電壓來計算：

此題考驗對純電感電路中功率特性的理解。

給定的電壓源為 $v(t) = 100\cos(377t) V$。
電感器的電感值 $L = 100mH = 0.1H$。
角頻率 $\omega = 377 rad/s$。

在純電感電路中，電流會滯後於電壓 $\frac{\pi}{2}$ (或 90 度)。
電感器的阻抗 $Z_L = j\omega L = j(377)(0.1) = j37.7 \Omega$。
電感的感抗 $X_L = 37.7 \Omega$。

電壓的 RMS 值 $V_{RMS} = \frac{100V}{\sqrt{2}}$。
根據歐姆定律，電流的 RMS 值 $I_{RMS} = \frac{V_{RMS}}{|Z_L|} = \frac{100/\sqrt{2}}{37.7} A$。

現在我們來分析各個選項：

Ⓐ、instantaneous power is equal to average power
瞬時功率 $p(t) = v(t)i(t)$。
在純電感或純電容電路中，瞬時功率是週期性變化的正弦波，其平均值為零。例如，如果 $v(t) = V_p \cos(\omega t)$，則 $i(t) = I_p \cos(\omega t - \frac{\pi}{2}) = -I_p \sin(\omega t)$。
$p(t) = V_p \cos(\omega t) (-I_p \sin(\omega t)) = -V_p I_p \cos(\omega t) \sin(\omega t) = -\frac{1}{2} V_p I_p \sin(2\omega t)$。
平均功率 $P_{avg} = \frac{1}{T} \int_0^T p(t) dt = 0$。

核心觀念

本題考查理想電感、電容在交流穩態下的功率特性，包含：

• 平均功率（有功功率）$P$
• 無功功率 $Q$
• 視在功率 $S$

交流電路的複功率為

$$\underline{S}=P+jQ=\underline{V}_{\mathrm{rms}}\underline{I}_{\mathrm{rms}}^{\,*}$$

其視在功率大小為

$$|\underline{S}|=S=V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}$$

對理想電感而言，電流落後電壓 $90^\circ$，因此功率因數為 $\cos 90^\circ=0$，平均功率為零，但仍有無功功率。

---

解題方法

直接利用理想電感的功率特性判斷各選項：

對於純電感，

$$Z_L=j\omega L$$

電壓與電流相位差為 $90^\circ$，因此

$$P=VI\cos 90^\circ=0$$

而電感的無功功率為

$$Q_L=VI\sin 90^\circ=VI>0$$

其中 $V$、$I$ 分別為電壓與電流的有效值。故其複功率為

$$\underline{S}_L=jVI$$

視在功率則為

$$S_L=|\underline{S}_L|=VI$$

只要交流電壓與電流皆不為零，$S_L$ 就不會是零。

---

選項分析

Ⓐ an inductor consumes reactive power

電感的無功功率為

$$Q_L=VI>0$$

此題考驗三相電路中，三相負載的功率、功率因數、線電流等計算，以及 Delta 接法與 Y 接法的關係。

題目給定：
負載類型：Delta 連接的純電阻負載。
每相阻抗 $R_{phase} = 100\Omega$。
線電壓 $V_{line} = 200V$ (這是三相三線式電路，通常指線電壓)。
電路為平衡三相電路。

首先，我們需要理解 Delta 接法和 Y 接法的關係。
在 Delta 接法中，線電壓等於相電壓：$V_{line} = V_{phase} = 200V$。
線電流與相電流的關係為：$I_{line} = \sqrt{3} I_{phase}$。

計算每相的相電流 $I_{phase}$：
$I_{phase} = \frac{V_{phase}}{R_{phase}} = \frac{200V}{100\Omega} = 2A$。

計算線電流 $I_{line}$：
$I_{line} = \sqrt{3} I_{phase} = \sqrt{3} \times 2A \approx 1.732 \times 2A = 3.464A$。

核心觀念

本題考查平衡三相四線制與 Y 形負載的基本關係：

1. 線電壓與相電壓的關係：
   $V_L=\sqrt{3}V_\phi$

2. Y 形負載中，線電流等於相電流：
   $I_L=I_\phi$

3. 平衡三相負載的三相電流向量和為零，因此中性線電流為：
   $I_N=0$

4. 平衡三相負載的總實功率：
   $P_T=3V_\phi I_\phi\cos\phi$

本題為純電阻負載，因此功率因數為：

$\cos\phi=1$

---

解題方法

線電壓為 $173\text{ V}$，因此每一相的相電壓為：

$$V_\phi=\frac{V_L}{\sqrt{3}} =\frac{173}{\sqrt{3}} \approx 100\text{ V}$$

每相負載電阻為 $200\Omega$，故每相負載電流為：

$$I_\phi=\frac{V_\phi}{R_\phi} =\frac{100}{200} =0.5\text{ A}$$

由於負載採 Y 形連接：

$$I_L=I_\phi=0.5\text{ A}$$

三相負載平衡，所以三條相線電流的向量和為零：

$$\vec I_A+\vec I_B+\vec I_C=0$$

因此中性線電流為：

$$I_N=0$$

雖然中性線電阻為 $10\Omega$，但因為 $I_N=0$，其電壓降為：

$$V_N=I_NR_N=0$$

所以中性線電阻不影響各相負載電壓與電流。

總功率為：

$$P_T=3I_\phi^2R_\phi =3(0.5)^2(200) =150\text{ W}$$

也可由：

核心觀念

理想變壓器具有以下關係：

1. 電壓比等於匝數比：

$$\frac{V_p}{V_s}=\frac{N_p}{N_s}$$

2. 理想變壓器無功率損失，輸入功率等於輸出功率：

$$P_{\text{in}}=P_{\text{out}}$$

3. 電阻負載遵守歐姆定律：

$$I_s=\frac{V_s}{R}$$

其中一次側電壓為 $V_p=500\text{ V}$，二次側電壓為 $V_s=100\text{ V}$，負載電阻為 $R=1000\,\Omega$。

---

解題方法

先由二次側電阻求出輸出電流：

$$I_s=\frac{V_s}{R} =\frac{100}{1000} =0.1\text{ A}$$

輸出功率為：

$$P_{\text{out}}=V_s I_s =100\times 0.1 =10\text{ W}$$

由於為理想變壓器：

$$P_{\text{in}}=P_{\text{out}}=10\text{ W}$$

因此一次側輸入電流為：

$$I_p=\frac{P_{\text{in}}}{V_p} =\frac{10}{500} =0.02\text{ A}$$

也可利用理想變壓器的電流比驗算：

$$\frac{I_p}{I_s}=\frac{V_s}{V_p} =\frac{100}{500} =\frac{1}{5}$$

所以：

$$I_p=\frac{0.1}{5}=0.02\text{ A}$$

---

選項分析

Ⓐ output power is 100W

實際輸出功率為：

$$P_{\text{out}}=10\text{ W}$$

核心觀念

半波整流器只保留交流輸入的正半週，負半週由二極體截止。因此輸出電壓為半波正弦波，其平均直流值為

$$V_{\mathrm{DC}}=\frac{V_m}{\pi}$$

其中 $V_m$ 是輸入正弦波的峰值電壓。

題目給的是有效值 $V_{\mathrm{RMS}}=100\text{ V}$，必須先換算成峰值：

$$V_m=\sqrt{2}V_{\mathrm{RMS}}$$

解題方法

輸入電壓可表示為

$$v_s(t)=V_m\sin\omega t$$

理想半波整流後，一個週期內只有 $0\leq\omega t\leq\pi$ 有輸出，因此平均值為

$$V_{\mathrm{DC}} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi V_m\sin\theta\,d\theta$$

計算得

$$V_{\mathrm{DC}} = \frac{V_m}{2\pi} \left[-\cos\theta\right]_0^\pi$$ $$V_{\mathrm{DC}} = \frac{V_m}{2\pi}(2) = \frac{V_m}{\pi}$$

先將有效值換算為峰值：

$$V_m=\sqrt{2}(100)=141.4\text{ V}$$

所以

此題考驗計算非正弦交流電流的 RMS 值。

給定的電流為 $i(t) = 10 + 10\cos(377t) + 10\cos(1131t) A$。
這個電流由三個部分組成：一個直流分量，和兩個不同頻率的正弦交流分量。
直流分量 $I_{dc} = 10A$。
第一個交流分量 $i_1(t) = 10\cos(377t) A$。其峰值 $I_{p1} = 10A$。
第二個交流分量 $i_2(t) = 10\cos(1131t) A$。其峰值 $I_{p2} = 10A$。

對於一個由直流分量和多個交流分量組成的總電流 $i(t) = I_{dc} + i_1(t) + i_2(t) + ...$，其 RMS 值 $I_{RMS}$ 的計算公式為：
$I_{RMS} = \sqrt{I_{dc}^2 + I_{RMS1}^2 + I_{RMS2}^2 + ...}$
其中 $I_{RMSk}$ 是第 k 個交流分量的 RMS 值。

對於一個峰值為 $I_{pk}$ 的正弦交流分量，其 RMS 值為 $I_{RMSk} = \frac{I_{pk}}{\sqrt{2}}$。

核心觀念

本題考查理想降壓型轉換器（ideal buck converter）在連續導電模式（CCM）下的基本關係：

1. 伏秒平衡：穩態時電感平均電壓為零。
2. 功率平衡：理想轉換器輸入功率等於輸出功率。
3. 降壓轉換器的輸出電壓：
   $V_o=D V_{in}$
4. CCM 下，電感平均電流等於輸出平均電流。

已知：

$V_{in}=20\text{ V},\qquad V_o=10\text{ V},\qquad R=2\Omega$

解題方法

1. 求責任週期

由理想 buck converter 的電壓轉換比：

$V_o=D V_{in}$

因此：

$D=\frac{V_o}{V_{in}}=\frac{10}{20}=0.5$

開關導通時間占一個週期的 $50\%$。

2. 求平均輸出電流

負載為電阻，因此：

$I_o=\frac{V_o}{R}=\frac{10}{2}=5\text{ A}$

CCM 下電感電流的平均值等於負載平均電流：

$\overline{I_L}=I_o=5\text{ A}$

3. 求平均輸入電流

理想轉換器沒有功率損失，因此：

$P_{in}=P_o$

輸出功率為：

$P_o=V_oI_o=10\times5=50\text{ W}$

所以平均輸入電流：

$$\overline{I_{in}}=\frac{P_{in}}{V_{in}} =\frac{50}{20}=2.5\text{ A}$$

4. 求平均電感電壓

穩態時，電感電流每一週期的起始值與終止值相同，因此電感電流變化量為零：

$\Delta i_L=0$

由電感關係式：

$v_L=L\frac{di_L}{dt}$

對一個週期取平均，得到伏秒平衡：

$\overline{v_L}=0$

因此平均電感電壓不是 $10\text{ V}$，而是：

$\boxed{\overline{v_L}=0\text{ V}}$

5. 求平均二極體電壓

理想 buck converter 中：

核心觀念

理想 Boost Converter 工作於連續導通模式（CCM）時，需使用以下關係：

1. 輸出電壓與責任週期

$$V_o=\frac{V_{in}}{1-D}$$

2. 理想轉換器功率守恆

$$P_{in}=P_o$$

3. Boost Converter 的輸入電流就是電感電流

因此：

$$I_{L,\mathrm{avg}}=I_{in,\mathrm{avg}}$$

負載電流為：

$$I_o=\frac{V_o}{R}$$

解題方法

已知：

$$V_{in}=10\text{ V},\qquad V_o=50\text{ V},\qquad R=10\Omega$$

先由輸出電壓求責任週期：

$$50=\frac{10}{1-D}$$ $$1-D=\frac{10}{50}=0.2$$ $$D=0.8$$

再計算輸出電流：

$$I_o=\frac{V_o}{R} =\frac{50}{10} =5\text{ A}$$

因此輸出功率為：

$$P_o=V_oI_o =50\times 5 =250\text{ W}$$

因為是理想 Boost Converter，沒有功率損失：

$$P_{in}=P_o=250\text{ W}$$

輸入平均電流為：

$$I_{in,\mathrm{avg}}=\frac{P_{in}}{V_{in}} =\frac{250}{10} =25\text{ A}$$

Boost Converter 的電感位於輸入側，因此：

$$I_{L,\mathrm{avg}}=I_{in,\mathrm{avg}}=25\text{ A}$$

選項分析

此題考驗理想升降壓轉換器 (Boost-Boost Converter) 在連續導通模式 (CCM) 下的參數計算。

Boost-Boost Converter 的輸出電壓與輸入電壓的關係為：
$V_{out} = -\frac{D}{1-D} V_{in}$
然而，題目中提到「boost-boost converter」，這通常是指兩個 Boost Converter 串聯，或者是一種誤稱。
更常見的名稱是 "Buck-Boost Converter"。
Buck-Boost Converter 的輸出電壓與輸入電壓的關係為：
$V_{out} = -\frac{D}{1-D} V_{in}$
負號表示輸出電壓極性與輸入電壓相反。如果我們只考慮電壓大小，則 $|V_{out}| = \frac{D}{1-D} V_{in}$。

假設題目是指 Buck-Boost Converter，且我們只關心電壓大小。
$V_{in} = 10V$。
$V_{out} = 20V$。
$R_{load} = 10\Omega$。

首先計算佔空比 $D$：
$|V_{out}| = \frac{D}{1-D} V_{in}$
$20V = \frac{D}{1-D} \times 10V$
$2 = \frac{D}{1-D}$
$2(1-D) = D$
$2 - 2D = D$
$2 = 3D$
$D = \frac{2}{3} \approx 0.6667$。

現在我們來檢查各個選項：

Ⓐ、Duty ratio is 0.67
這是正確的（近似值），我們計算得到 $D \approx 0.6667$。

接下來計算輸出電流 $I_{out}$：
$I_{out} = \frac{|V_{out}|}{R_{load}} = \frac{20V}{10\Omega} = 2A$。
這是直流輸出電流，也是平均輸出電流。

Ⓓ、Output current 2A
這是正確的，我們計算得到 $I_{out} = 2A$。

此題考驗同步發電機的轉速計算。

同步發電機的轉速（同步轉速 $N_s$）與其頻率 $f$ 和極對數 $p$ 有關。
計算公式為：
$N_s = \frac{120 \times f}{P}$
其中：
$N_s$ 是同步轉速，單位是 RPM (Revolutions Per Minute)。
$f$ 是電源頻率，單位是 Hz。
$P$ 是總極數 (number of poles)，不是極對數。

核心觀念

本題考查三相感應馬達的同步轉速、轉差率、轉子頻率，以及機械輸出功率與負載轉矩的關係。

相關公式如下：

同步轉速：

$$N_s=\frac{120f}{P}$$

其中：

• $f=60\text{ Hz}$：電源頻率
• $P=4$：極數
• $N_s$：同步轉速，單位為 rpm

轉差率：

$$s=\frac{N_s-N_r}{N_s}$$

轉子轉速：

$$N_r=(1-s)N_s$$

轉子頻率：

$$f_r=sf$$

負載轉矩由機械輸出功率決定：

$$P_{\text{out}}=T_L\omega_r$$

其中轉子角速度為：

$$\omega_r=\frac{2\pi N_r}{60}$$

---

解題方法

先由電源頻率與極數求同步轉速，再利用轉差率求轉子轉速與轉子頻率，最後以負載功率除以轉子角速度求負載轉矩。

已知：

$$f=60\text{ Hz},\qquad P=4,\qquad s=5\%=0.05$$

負載輸出功率：

$$P_{\text{out}}=15\text{ kW}=15000\text{ W}$$

---

選項分析

Ⓐ Synchronous speed is 1800 rpm

同步轉速為：

$$N_s=\frac{120(60)}{4}$$ $$N_s=1800\text{ rpm}$$

因此此選項正確。

---

Ⓑ Rotor speed is 1710 rpm

由轉差率定義：

$$N_r=(1-s)N_s$$

代入數值：

核心觀念

本題考查單相變壓器的：

1. 基準阻抗計算
2. 漏電抗換算到另一側
3. 漏電抗的 per-unit（標么值）表示法

基準阻抗定義為

$$Z_{\text{base}}=\frac{V_{\text{base}}^2}{S_{\text{base}}}$$

其中單相變壓器的基準容量取額定容量：

$$S_{\text{base}}=10\text{ kVA}=10000\text{ VA}$$

變壓器兩側的阻抗換算關係為

$$Z_H=Z_L\left(\frac{V_H}{V_L}\right)^2$$

而漏電抗的標么值為

$$X_{\text{pu}}=\frac{X}{X_{\text{base}}}$$

在兩側採用相同基準容量，且各側基準電壓等於額定電壓時，阻抗的 per-unit 值在高、低壓側相同。

---

解題方法

低壓側額定電壓為

$$V_L=220\text{ V}$$

高壓側額定電壓為

$$V_H=440\text{ V}$$

電壓比為

$$\frac{V_H}{V_L}=\frac{440}{220}=2$$

題目給定由低壓側測得的漏電抗：

$$X_L=0.24\Omega$$

先分別計算兩側基準阻抗，再求漏電抗的標么值。

---

選項分析

Ⓐ Base impedance at the low-voltage side is 4.84Ω

低壓側基準阻抗為

$$Z_{\text{base},L} =\frac{V_L^2}{S_{\text{base}}} =\frac{220^2}{10000}$$

因此

$$Z_{\text{base},L} =\frac{48400}{10000} =4.84\Omega$$

所以選項 Ⓐ 正確。

---

Ⓑ Base impedance at the high-voltage side is 19.36Ω

高壓側基準阻抗為

$$Z_{\text{base},H} =\frac{V_H^2}{S_{\text{base}}} =\frac{440^2}{10000}$$

因此