113 年 國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《電磁學》

核心觀念

本題考查同心球形電容器的電場、電位差與靜電能量。所用關係式為

$$U=\frac{1}{2}CV^2$$

其中 $C$ 為兩球導體間的電容量。亦可由電場能量密度積分求得：

$$U=\int \frac{1}{2}\varepsilon E^2\,d\tau$$

設內球帶電量為 $+Q$，外球內表面感應電量為 $-Q$。假設 $R_o>R_i$，且介質均勻、介電率為 $\varepsilon$。

解題方法

1. 求導體間的電場

由高斯定律，在 $R_i<r<R_o$ 的球面上取半徑 $r$，有

$$\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{a}=Q$$

由球對稱性，

$$D(r)\cdot 4\pi r^2=Q$$

因此

$$D(r)=\frac{Q}{4\pi r^2}$$

而

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{D}}{\varepsilon}$$

故導體間的電場大小為

$$E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}, \qquad R_i<r<R_o$$

2. 求電位差與電容量

兩球間電位差的大小為

$$V=\int_{R_i}^{R_o} E(r)\,dr$$

代入電場：

$$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon} \int_{R_i}^{R_o}\frac{1}{r^2}\,dr$$ $$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{R_i}^{R_o}$$

因此

$$V= \frac{Q}{4\pi\varepsilon} \left( \frac{1}{R_i}-\frac{1}{R_o} \right)$$

整理得

核心觀念

磁通密度必須滿足高斯磁定律：

$$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$$

此式表示磁力線沒有起點或終點，不存在獨立磁荷。對直角座標而言：

$$\nabla\cdot\mathbf{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z}$$

題目給定

$$\mathbf{B} = (5kx+4)\hat{\mathbf a}_x -(3ky+10y)\hat{\mathbf a}_y +(8kz)\hat{\mathbf a}_z$$

因此：

$$B_x=5kx+4$$ $$B_y=-(3ky+10y)$$ $$B_z=8kz$$

解題方法

將各分量分別對其對應座標微分：

$$\frac{\partial B_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(5kx+4) = 5k$$

核心觀念

本題考查兩部分：

1. 將含時域源的 Maxwell 方程式轉換至頻率域。
2. 定義波的相速度 phase velocity 與群速度 group velocity。

採用時間相依形式 $e^{j\omega t}$。因此，時間微分在頻率域中對應為

$$\frac{\partial}{\partial t}\longrightarrow j\omega$$

若採用 $e^{-j\omega t}$，所有含 $j\omega$ 的項符號會相反；本題以下統一採用 $e^{j\omega t}$。

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解題方法：頻域 Maxwell 方程式

時域 Maxwell 微分形式為

$$\nabla\times\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = -\frac{\partial\mathbf{B}(\mathbf{r},t)}{\partial t}$$ $$\nabla\times\mathbf{H}(\mathbf{r},t) = \mathbf{J}(\mathbf{r},t) + \frac{\partial\mathbf{D}(\mathbf{r},t)}{\partial t}$$ $$\nabla\cdot\mathbf{D}(\mathbf{r},t) = \rho(\mathbf{r},t)$$ $$\nabla\cdot\mathbf{B}(\mathbf{r},t) = 0$$

將各物理量作 Fourier transform，例如

$$\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \operatorname{Re} \left\{ \mathbf{E}(\mathbf{r},\omega)e^{j\omega t} \right\}$$

則

$$\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega$$

因此，頻率域 Maxwell 方程式為

法拉第定律

$$\nabla\times\mathbf{E}(\mathbf{r},\omega) = -j\omega\mathbf{B}(\mathbf{r},\omega)$$

安培–馬克士威定律

$$\nabla\times\mathbf{H}(\mathbf{r},\omega) = \mathbf{J}(\mathbf{r},\omega) + j\omega\mathbf{D}(\mathbf{r},\omega)$$

其中 $\mathbf{J}$ 是自由電流密度，$j\omega\mathbf{D}$ 是位移電流密度的頻域表示。

高斯電場定律

$$\nabla\cdot\mathbf{D}(\mathbf{r},\omega) = \rho(\mathbf{r},\omega)$$

高斯磁場定律

$$\nabla\cdot\mathbf{B}(\mathbf{r},\omega) = 0$$

若介質為線性、均勻且各向同性介質，則另有本構關係

$$\mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E}, \qquad \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}, \qquad \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}+\mathbf{J}_{s}$$

其中 $\mathbf{J}_{s}$ 表示外加源電流密度。

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時變源與連續方程式

由頻域安培–馬克士威定律取散度：

$$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{H}) = \nabla\cdot\mathbf{J} + j\omega\nabla\cdot\mathbf{D}$$

因為任意向量場皆滿足

$$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{H})=0$$

且

$$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$$

故得到

$$\nabla\cdot\mathbf{J} + j\omega\rho = 0$$

亦即頻域的電荷守恆式

核心觀念

本題考查均勻平面波在有損介質中的傳播特性。海水具有有限導電率 $\sigma$，因此電磁波傳播時會同時發生：

• 振幅衰減：由衰減常數 $\alpha$ 決定。
• 相位延遲：由相位常數 $\beta$ 決定。
• 電場與磁場的相位差：由複數本徵阻抗 $\eta$ 決定。

介質參數為

$$\mu=\mu_0\mu_r=\mu_0$$ $$\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r=80\varepsilon_0$$ $$\sigma=4\ \text{S/m}$$

題目未提供角頻率 $\omega$ 或頻率 $f$，因此各傳播參數以 $\omega$ 表示。

採用時間因子 $e^{j\omega t}$，沿 $+y$ 方向傳播時，傳播常數為

$$\gamma=\alpha+j\beta$$

且

$$\gamma=\sqrt{j\omega\mu\left(\sigma+j\omega\varepsilon\right)}$$

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解題方法

將傳播常數分解為實部與虛部，可得有損介質中的標準公式：

$$\alpha = \omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}} \sqrt{ \sqrt{1+\left(\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\right)^2}-1 }$$ $$\beta = \omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}} \sqrt{ \sqrt{1+\left(\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\right)^2}+1 }$$

其中：

• $\alpha$：衰減常數，單位為 $\text{Np/m}$
• $\beta$：相位常數，單位為 $\text{rad/m}$

海水參數代入後：

$$\mu=4\pi\times10^{-7}\ \text{H/m}$$ $$\varepsilon=80(8.854\times10^{-12}) =7.083\times10^{-10}\ \text{F/m}$$

因此

$$\sqrt{\mu\varepsilon}\approx 2.983\times10^{-8}\ \text{s/m}$$

以及

$$\frac{\sigma}{\omega\varepsilon} = \frac{4}{\omega(7.083\times10^{-10})} = \frac{5.647\times10^9}{\omega}$$

故

$$\boxed{ \alpha = 2.109\times10^{-8}\omega \sqrt{ \sqrt{1+\left(\frac{5.647\times10^9}{\omega}\right)^2}-1 } \ \text{Np/m} }$$ $$\boxed{ \beta = 2.109\times10^{-8}\omega \sqrt{ \sqrt{1+\left(\frac{5.647\times10^9}{\omega}\right)^2}+1 } \ \text{rad/m} }$$

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本徵阻抗

有損介質的複數本徵阻抗為

$$\eta = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}$$

其大小與相位分別為

$$|\eta| = \sqrt{ \frac{\omega\mu} {\sqrt{\sigma^2+(\omega\varepsilon)^2}} }$$ $$\angle\eta = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\right)$$

因此

$$\boxed{ \eta = \sqrt{ \frac{\omega(4\pi\times10^{-7})} {\sqrt{4^2+\left(\omega\,7.083\times10^{-10}\right)^2}} } \angle \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1} \left(\frac{5.647\times10^9}{\omega}\right) \right] \ \Omega }$$

也可寫成

$$\boxed{ \eta=|\eta|e^{j\theta_\eta} }$$

其中

$$\theta_\eta = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\right)$$

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相速度、波長與集膚深度

相速度為

$$v_p=\frac{\omega}{\beta}$$

因此

$$\boxed{v_p=\frac{\omega}{\beta}\ \text{m/s}}$$

波長為

$$\lambda=\frac{2\pi}{\beta}$$

因此

$$\boxed{\lambda=\frac{2\pi}{\beta}\ \text{m}}$$

集膚深度定義為振幅衰減至原來的 $1/e$ 所需的距離：

$$\delta=\frac{1}{\alpha}$$

所以

$$\boxed{\delta=\frac{1}{\alpha}\ \text{m}}$$

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(b) 振幅為 $0.01\ \text{A/m}​​$ 的位置

磁場振幅由題目可知為