113 年 國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《通訊理論》

核心觀念

本題評量通訊系統中「基頻複數信號的傅立葉轉換」與「帶通信號（Bandpass Signal）的上轉換（Upconversion）」之頻譜特性，主要涉及以下核心定義與性質：

1. Normalized Sinc 函數與 Rect 函數的傅立葉轉換對：
   依通訊教科書（如 Proakis, Haykin）標準定義：
   $\text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \quad \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \quad \text{rect}(f)$
   其中 $\text{rect}(f)$ 的區間為 $[-1/2, 1/2]$，高度為 1。

2. 時移性質（Time-Shifting Property）：
   $x(t - t_0) \quad \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \quad X(f) e^{-j 2\pi f t_0}$

3. 歐拉公式（Euler's Formula）：
   $e^{-j 2\pi f} = \cos(2\pi f) - j \sin(2\pi f)$

4. 帶通信號上轉換（Passband Representation / Upconversion）：
   給定複數基頻信號 $x_2(t) = x_I(t) + j x_Q(t)$，上轉換至載波頻率 $f_c$ 的實數帶通信號標準表示式為：
   $s(t) = \text{Re}\left\{ x_2(t) e^{j 2\pi f_c t} \right\} = x_I(t)\cos(2\pi f_c t) - x_Q(t)\sin(2\pi f_c t)$
   亦可等價表示為：
   $s(t) = \frac{1}{2} x_2(t) e^{j 2\pi f_c t} + \frac{1}{2} x_2^*(t) e^{-j 2\pi f_c t}$
   對 $s(t)$ 取傅立葉轉換，利用頻移性質（Frequency-Shifting Property）與共軛性質 $\mathcal{F}\{x_2^*(t)\} = X_2^*(-f)$，可得頻譜關係式：
   $S(f) = \frac{1}{2} X_2(f - f_c) + \frac{1}{2} X_2^*(-(f + f_c))$

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解題方法與詳細推導

(A) 計算 $X_2(f)$ 的實部與虛部

1. 展開傅立葉轉換：
   已知基頻信號為：
   $x_2(t) = \text{sinc}(t - 1) + j2\,\text{sinc}(t)$
   對兩項分別取傅立葉轉換：
   $\mathcal{F}\{\text{sinc}(t - 1)\} = \text{rect}(f) e^{-j 2\pi f (1)} = \text{rect}(f) e^{-j 2\pi f}$
   $\mathcal{F}\{j2\,\text{sinc}(t)\} = j2\,\text{rect}(f)$
   因此，整體的傅立葉轉換為：
   $X_2(f) = \text{rect}(f) e^{-j 2\pi f} + j2\,\text{rect}(f) = \text{rect}(f) \left[ e^{-j 2\pi f} + j2 \right]$

2. 利用歐拉公式拆解實部與虛部：
   將 $e^{-j 2\pi f} = \cos(2\pi f) - j\sin(2\pi f)$ 代入：
   $X_2(f) = \text{rect}(f) \Big[ \cos(2\pi f) - j\sin(2\pi f) + j2 \Big]$
   $X_2(f) = \underbrace{\text{rect}(f)\cos(2\pi f)}_{\text{Re}\{X_2(f)\}} + j \underbrace{\text{rect}(f)\Big(2 - \sin(2\pi f)\Big)}_{\text{Im}\{X_2(f)\}}$

   因此：

   • 實部：$\text{Re}\{X_2(f)\} = \text{rect}(f)\cos(2\pi f)$
   • 虛部：$\text{Im}\{X_2(f)\} = \text{rect}(f)\Big(2 - \sin(2\pi f)\Big)$

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(B) 繪製 $X_2(f)$ 的實部與虛部波形

兩函數皆只在 $\text{rect}(f)$ 的非零區間 $f \in [-1/2, 1/2]$ 內存在，其餘區域皆為 0。

1. 實部 $\text{Re}\{X_2(f)\} = \text{rect}(f)\cos(2\pi f)$：

   • 區間：$-1/2 \le f \le 1/2$
   • 在 $f = 0$ 處：$\cos(0) = 1$
   • 在 $f = \pm 1/4$ 處：$\cos(\pm \pi/2) = 0$
   • 在邊界 $f = \pm 1/2$ 處：$\cos(\pm \pi) = -1$
   • 對稱性：偶函數（Even function），波形呈現對稱的倒扣餘弦形狀。

   波形示意圖：

   Re{X_2(f)}
          ^
        1 |             * (0, 1)
          |          *     *
          |        *         *
        0 +-------*-----------*------> f
          |     (-1/4,0)    (1/4,0)
       -1 |  *                     *  (-1/2, -1) 與 (1/2, -1)
          +---+--------+--------+----+
            -1/2       0       1/2
   

2. 虛部 $\text{Im}\{X_2(f)\} = \text{rect}(f)\Big(2 - \sin(2\pi f)\Big)$：

   • 區間：$-1/2 \le f \le 1/2$
   • 在 $f = -1/2$ 處：$2 - \sin(-\pi) = 2$
   • 在 $f = -1/4$ 處：$2 - \sin(-\pi/2) = 2 - (-1) = 3$（最大值）
   • 在 $f = 0$ 處：$2 - \sin(0) = 2$
   • 在 $f = 1/4$ 處：$2 - \sin(\pi/2) = 2 - 1 = 1$（最小值）
   • 在 $f = 1/2$ 處：$2 - \sin(\pi) = 2$
   • 邊界外：值為 0，在 $f = \pm 1/2$ 處產生由 2 驟降至 0 的不連續階度（jump discontinuity）。

   波形示意圖：

   Im{X_2(f)}
          ^
        3 |            * (-1/4, 3)
        2 |  * (階躍)        * (0, 2)     * (階躍)
        1 |                             * (1/4, 1)
        0 +--+---------+-----+----+-----+----+--> f
           -1/2      -1/4    0   1/4   1/2
   

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(C) 繪製上轉換至載波頻率 $f_c = 10\text{ Hz}$ 之帶通信號頻譜 $S(f)$ 的實部與虛部

1. 帶通信號頻譜表示式推導：
   實數帶通信號 $s(t) = \text{Re}\{x_2(t) e^{j 2\pi f_c t}\}$，其頻譜為：
   $S(f) = \frac{1}{2} X_2(f - f_c) + \frac{1}{2} X_2^*(-(f + f_c))$
   因為 $s(t)$ 為實數信號，其頻譜必定滿足共軛對稱性（Hermitian Symmetry）：

   • 實部 $\text{Re}\{S(f)\}$ 必為偶函數（Even Function）
   • 虛部 $\text{Im}\{S(f)\}$ 必為奇函數（Odd Function）

2. 在正頻率側（$f \approx +f_c = 10\text{ Hz}$）：
   此處僅由第一項貢獻，即 $\frac{1}{2}X_2(f - 10)$：
   $\text{Re}\{S(f)\} = \frac{1}{2} \text{Re}\{X_2(f - 10)\} = \frac{1}{2} \text{rect}(f - 10) \cos\big(2\pi (f - 10)\big)$

核心觀念

本題考查平方律元件產生 AM（Amplitude Modulation，振幅調變）訊號的原理。

給定輸入

$$x(t)=m(t)+\cos(\omega_c t)$$

其中 $m(t)$ 為訊息訊號，頻寬為 $W$；平方律元件輸出為

$$y(t)=4x(t)+2x^2(t)$$

平方律元件會產生：

• 基頻訊息成分；
• 載波成分；
• 訊息與載波相乘所形成的 $\omega_c$ 附近側帶；
• 二倍載波頻率 $2\omega_c$ 成分。

利用帶通濾波器選出 $\omega_c$ 附近的頻率成分，即可得到 AM 訊號。

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解題方法

將 $x(t)=m(t)+\cos(\omega_c t)$ 代入平方律元件：

$$\begin{aligned} y(t) &=4\left[m(t)+\cos(\omega_c t)\right] +2\left[m(t)+\cos(\omega_c t)\right]^2\\ &=4m(t)+4\cos(\omega_c t) +2m^2(t)+4m(t)\cos(\omega_c t) +2\cos^2(\omega_c t) \end{aligned}$$

再利用恆等式

$$2\cos^2(\omega_c t)=1+\cos(2\omega_c t)$$

即可整理出各頻率區域的成分。

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(A) 求 $y(t)$

因此

$$\boxed{ y(t)=1+4m(t)+2m^2(t) +4\left[1+m(t)\right]\cos(\omega_c t) +\cos(2\omega_c t) }$$

也可寫成分群形式：

$$\boxed{ y(t)= \underbrace{1+4m(t)+2m^2(t)}_{\text{基頻及直流成分}} + \underbrace{4[1+m(t)]\cos(\omega_c t)}_{\omega_c\text{ 附近的 AM 成分}} + \underbrace{\cos(2\omega_c t)}_{2\omega_c\text{ 成分}} }$$

其中 $4m(t)\cos(\omega_c t)$ 是訊息搬移至載波頻率附近所形成的雙邊帶成分，而 $4\cos(\omega_c t)$ 則是載波成分。

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(B) 濾波器設計與輸出 $g(t)$

1. 應保留的頻率成分

由於 $m(t)$ 的頻寬為 $W$，乘上 $\cos(\omega_c t)$ 後，其頻譜會搬移至 $\omega_c$ 附近，範圍為

$$\omega_c-W\leq |\omega|\leq \omega_c+W$$

因此應使用以 $\omega_c$ 為中心頻率、通帶寬度為 $2W$ 的理想帶通濾波器。

其正頻率通帶可表示為

$$\omega_c-W\leq \omega\leq \omega_c+W$$

並應同時保留對稱的負頻率通帶。濾波器增益取 $1$，且抑制直流、基頻以及 $2\omega_c$ 附近的成分。

2. 濾波後輸出

通過帶通濾波器的部分為

核心觀念

載波的一般表示式為

$$x(t)=A_c\cos\theta(t)$$

其中 $\theta(t)$ 為瞬時相位。以未調變載波

$$A_c\cos(2\pi f_ct)$$

為基準：

• 相位偏移（phase deviation）

  $\phi(t)=\theta(t)-2\pi f_ct$

• 瞬時頻率

  $f_i(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\theta(t)}{dt}$

• 頻率偏移（frequency deviation）

$$\Delta f(t)=f_i(t)-f_c =\frac{1}{2\pi}\frac{d\phi(t)}{dt}$$

本題中 $f_c=1000$ Hz。

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(A) $x(t)=A_c\cos[2\pi(1000)t+40\sin(5t^2)]$

相位偏移

輸出相位為

$$\theta(t)=2\pi(1000)t+40\sin(5t^2)$$

扣除未調變載波相位 $2\pi(1000)t$，得到相位偏移：

$$\boxed{\phi(t)=40\sin(5t^2)\ \text{rad}}$$

其最大相位偏移量為

$$\boxed{|\phi(t)|_{\max}=40\ \text{rad}}$$

頻率偏移

由

$$\Delta f(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\phi(t)}{dt}$$

可得

$$\frac{d\phi(t)}{dt} =\frac{d}{dt}\left[40\sin(5t^2)\right]$$ $$=40\cos(5t^2)\cdot 10t =400t\cos(5t^2)$$

因此

$$\boxed{ \Delta f(t)=\frac{400t\cos(5t^2)}{2\pi} =\frac{200t}{\pi}\cos(5t^2)\ \text{Hz} }$$

瞬時頻率為

$$\boxed{ f_i(t)=1000+\frac{200t}{\pi}\cos(5t^2)\ \text{Hz} }$$

核心觀念

本題考查：

• Gram–Schmidt 正交化程序。

• 訊號內積與能量：

  $\langle x(t),y(t)\rangle=\int_0^4x(t)y(t)\,dt$

• 正交基底下的訊號座標：

  $x_k=\langle s(t),\phi_k(t)\rangle$

• 訊號空間中的歐氏距離：

  $d_{ij}=\sqrt{\sum_k\left(s_{i,k}-s_{j,k}\right)^2}$

由圖可得三個訊號定義於 $0\le t\le4$：

$$s_1(t)=1$$ $$s_2(t)=\frac54-\frac34t$$ $$s_3(t)=-\frac74+\frac34t$$

其中 $s_2(t)$ 在 $t=0$ 時為 $5/4$，在 $t=4$ 時為 $-7/4$；$s_3(t)$ 則相反。

解題方法：Gram–Schmidt 正交化

第一步：求第一個正交基底

取

$$u_1(t)=s_1(t)=1$$

其能量為

$$\|u_1\|^2=\int_0^4 1^2\,dt=4$$

因此

$$\phi_1(t)=\frac{u_1(t)}{\|u_1\|} =\frac12,\qquad 0\le t\le4$$

第二步：處理 $s_2(t)$

先計算 $s_2(t)$ 在 $\phi_1(t)$ 上的投影係數：

$$\langle s_2,\phi_1\rangle =\int_0^4\left(\frac54-\frac34t\right)\frac12\,dt$$ $$=\frac12\left[\frac54t-\frac38t^2\right]_0^4 =\frac12(5-6) =-\frac12$$

所以

$$u_2(t)=s_2(t)-\langle s_2,\phi_1\rangle\phi_1(t)$$ $$=\left(\frac54-\frac34t\right) -\left(-\frac12\right)\frac12 =\frac32-\frac34t$$

計算其能量：

$$\|u_2\|^2 =\int_0^4\left(\frac32-\frac34t\right)^2dt =3$$

因此第二個單位正交基底為

$$\phi_2(t)=\frac{u_2(t)}{\sqrt3} =\frac{1}{\sqrt3}\left(\frac32-\frac34t\right)$$

亦可寫成

$$\phi_2(t)=\frac{3(2-t)}{4\sqrt3}, \qquad 0\le t\le4$$

第三步：處理 $s_3(t)$

由

$$s_3(t)=-\frac74+\frac34t$$

可得

$$s_3(t)=-\frac12-u_2(t)$$

因為

$$-\frac12-\left(\frac32-\frac34t\right) =-\frac74+\frac34t$$

故 $s_3(t)$ 完全由 $\phi_1(t)$ 與 $\phi_2(t)$ 張成，Gram–Schmidt 的第三個殘差為零：

$$u_3(t)=0$$

因此訊號集合的維度為 $2$。

(A) 基底函數與維度

選取的正交單位基底為

$$\boxed{\phi_1(t)=\frac12,\qquad 0\le t\le4}$$ $$\boxed{\phi_2(t)=\frac{3(2-t)}{4\sqrt3},\qquad 0\le t\le4}$$

在區間外令基底函數為 $0$。兩者滿足

$$\langle\phi_1,\phi_2\rangle=0, \qquad \|\phi_1\|=\|\phi_2\|=1$$

所以

核心觀念

本題考查：

• 隨機相位調變與 WSS 隨機程序的自相關函數。
• 自相關函數與功率譜密度的傅立葉轉換關係。
• 調變訊號通過低通濾波器後的平均功率。
• 同相／正交（I/Q）同步解調。
• 三角恆等式與低通濾波器對高頻項的濾除作用。

以下假設 $\theta$ 與 $x(t)$ 相互獨立，且 $s(t)$、$x(t)$ 的頻寬均小於載波頻率 $f_c$，因此混頻後的 $2f_c$ 高頻項可由低通濾波器移除。

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（A）求 $R_y(\tau)$

由

$$y(t)=x(t)\cos(2\pi f_c t+\theta)$$

可得

$$y(t+\tau) =x(t+\tau)\cos\left(2\pi f_c(t+\tau)+\theta\right).$$

因此

$$R_y(\tau) =E[y(t)y(t+\tau)].$$

代入 $y(t)$：

$$R_y(\tau) = E\left[ x(t)x(t+\tau) \cos(2\pi f_c t+\theta) \cos\left(2\pi f_c(t+\tau)+\theta\right) \right].$$

由於 $x(t)$ 與 $\theta$ 獨立，且 $x(t)$ 為 WSS 隨機程序，

$$E[x(t)x(t+\tau)]=R_x(\tau).$$

故

$$R_y(\tau) = R_x(\tau) E_\theta\left[ \cos(2\pi f_c t+\theta) \cos\left(2\pi f_c(t+\tau)+\theta\right) \right].$$

使用公式

$$\cos A\cos B = \frac{1}{2}\left[\cos(A-B)+\cos(A+B)\right],$$

令

$$A=2\pi f_c t+\theta,$$ $$B=2\pi f_c(t+\tau)+\theta,$$

則

$$A-B=-2\pi f_c\tau,$$ $$A+B=4\pi f_c t+2\theta+2\pi f_c\tau.$$

因此

$$\cos A\cos B = \frac{1}{2} \left[ \cos(2\pi f_c\tau) + \cos(4\pi f_c t+2\theta+2\pi f_c\tau) \right].$$

由 $\theta\sim U(0,2\pi)$，

$$E_\theta[\cos(4\pi f_c t+2\theta+2\pi f_c\tau)]=0.$$

所以

$$\boxed{ R_y(\tau) = \frac{1}{2}R_x(\tau)\cos(2\pi f_c\tau) }$$

此結果只與 $\tau$ 有關，故 $y(t)$ 確實為 WSS 隨機程序。

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（B）求 $E[\tilde y(t)^2]$

設 $S_x(f)$ 與 $S_y(f)$ 分別為 $R_x(\tau)$ 與 $R_y(\tau)$ 的傅立葉轉換。

由（A）：

$$R_y(\tau) = \frac{1}{2}R_x(\tau)\cos(2\pi f_c\tau).$$

又因為

$$\cos(2\pi f_c\tau) = \frac{1}{2} \left( e^{j2\pi f_c\tau} + e^{-j2\pi f_c\tau} \right),$$

所以

$$R_y(\tau) = \frac{1}{4}R_x(\tau) \left( e^{j2\pi f_c\tau} + e^{-j2\pi f_c\tau} \right).$$

根據頻移性質，

$$\boxed{ S_y(f) = \frac{1}{4} \left[ S_x(f-f_c)+S_x(f+f_c) \right] }$$

低通濾波器的頻率響應為

$$H(f)= \begin{cases} 1, & |f|<f_c,\\ 0, & |f|>f_c. \end{cases}$$

因此輸出功率譜密度為

$$S_{\tilde y}(f) = |H(f)|^2S_y(f).$$

隨機程序的平均平方值等於其功率譜密度的總面積：

$$E[\tilde y(t)^2] = R_{\tilde y}(0) = \int_{-\infty}^{\infty}S_{\tilde y}(f)\,df.$$

由於 $H(f)$ 僅在 $|f|<f_c$ 時等於 $1$，

$$E[\tilde y(t)^2] = \int_{-f_c}^{f_c}S_y(f)\,df.$$

代入 $S_y(f)$：

$$\boxed{ E[\tilde y(t)^2] = \frac{1}{4} \int_{-f_c}^{f_c} \left[ S_x(f-f_c)+S_x(f+f_c) \right]df }$$

若進一步假設 $x(t)$ 為基頻訊號，且 $S_x(f)=0$ 於 $|f|\geq f_c$，則可利用變數代換將上式寫成

$$\boxed{ E[\tilde y(t)^2] = \frac{1}{4} \int_{-2f_c}^{0}S_x(u)\,du + \frac{1}{4} \int_{0}^{2f_c}S_x(u)\,du }$$

由於 $S_x(f)$ 為實值 WSS 程序的功率譜密度，具有偶對稱性，因此在基頻頻寬完全落在 $(-f_c,f_c)$ 內時，

$$\boxed{ E[\tilde y(t)^2] = \frac{1}{4}R_x(0) }$$

其中

$$R_x(0)=E[x(t)^2].$$

---

（C）當 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 時的解調方法

此時

$$y(t) = x(t)\cos\left(2\pi f_c t+\frac{\pi}{4}\right),$$

而接收訊號為

$$r(t) = s(t)\cos(2\pi f_c t) + x(t)\cos\left(2\pi f_c t+\frac{\pi}{4}\right).$$

雖然 $x(t)$ 的干擾與載波同頻，但其相位為 $\frac{\pi}{4}$。因此需要使用兩條解調支路：

1. 與 $\cos(2\pi f_c t)$ 相乘的同相支路。
2. 與 $\sin(2\pi f_c t)$ 相乘的正交支路。

兩支路皆接低通濾波器，濾除 $2f_c$ 附近的高頻成分。

第一步：同相支路

將 $r(t)$ 乘上 $2\cos(2\pi f_c t)$：

核心觀念

本題考查匹配濾波器（matched filter）的最大輸出訊號雜訊比。使用：

• 傅立葉轉換後，濾波器輸出訊號：
  $g_o(T)=\int_{-\infty}^{\infty}G(f)H(f)e^{j2\pi fT}\,df$
• 白雜訊通過濾波器後的輸出功率：
  $E[n^2(t)]=\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2\,df$
• 柯西－施瓦茲不等式。

解題方法與推導

由輸出訊號可得：

$$|g_o(T)|^2 = \left| \int_{-\infty}^{\infty} G(f)H(f)e^{j2\pi fT}\,df \right|^2$$

由於 $|e^{j2\pi fT}|=1$，令

$$A(f)=G(f),\qquad B(f)=H(f)e^{j2\pi fT}$$

套用柯西－施瓦茲不等式：

$$\left|\int_{-\infty}^{\infty}A(f)B(f)\,df\right|^2 \leq \left(\int_{-\infty}^{\infty}|A(f)|^2\,df\right) \left(\int_{-\infty}^{\infty}|B(f)|^2\,df\right)$$

因此：

$$|g_o(T)|^2 \leq \left(\int_{-\infty}^{\infty}|G(f)|^2\,df\right) \left(\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2\,df\right)$$

另一方面，因為雜訊的雙邊 PSD 為 $S_w(f)=N_0/2$，濾波器輸出雜訊功率為：

$$E[n^2(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} S_w(f)|H(f)|^2\,df = \frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2\,df$$

所以輸出峰值訊號雜訊比為：

$$\eta = \frac{|g_o(T)|^2}{E[n^2(t)]}$$

代入上述結果：

核心觀念

本題考聯合熵、邊際熵、條件熵與互資訊。熵的單位採位元，使用以 $2$ 為底的對數：

$$H(X,Y)=-\sum_x\sum_y P(x,y)\log_2 P(x,y)$$ $$H(X)=-\sum_x P(x)\log_2P(x),\qquad H(X|Y)=H(X,Y)-H(Y)$$ $$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)$$

解題方法

依原卷表格，$X$ 的取值為 $-1,0,1$，$Y$ 的取值為 $2,4,6$；表中九個聯合機率依列為 $(0.1,0.15,0.15)$、$(0.05,0.2,0.15)$、$(0.05,0.05,0.1)$。題目接續要求計算 $H(X,Y)$、$H(X)$、$H(X|Y)$ 與 $I(X;Y)$。先對表格按列、按行加總得到邊際機率，再套用熵的定義。

邊際機率為

$$\begin{aligned} P(X=-1)&=0.1+0.05+0.05=0.2,\\ P(X=0)&=0.15+0.2+0.05=0.4,\\ P(X=1)&=0.15+0.15+0.1=0.4, \end{aligned} \qquad \begin{aligned} P(Y=2)&=0.1+0.15+0.15=0.4,\\ P(Y=4)&=0.05+0.2+0.15=0.4,\\ P(Y=6)&=0.05+0.05+0.1=0.2. \end{aligned}$$

(A) 聯合熵 $H(X,Y)$

將表中九個機率代入聯合熵公式：