111 年 國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《通訊理論》

本題主要在考察通訊理論中關於隨機過程（Random Process）的基本概念，包括平穩性、遍歷性、雜訊特性以及高斯過程的定義。

核心觀念： 隨機過程的統計特性描述。

(a) 寬窄意義下之平穩性 (Wide-Sense Stationary, WSS) 的條件：
一個隨機過程 $\{X(t), t \in \mathbb{R}\}$ 被稱為寬窄意義下之平穩（WSS），需要滿足以下兩個條件：

1. 均值為常數： 隨機過程的均值不隨時間變化，即 $E[X(t)] = \mu_X$ 對所有 $t$ 皆為常數。
2. 自相關函數僅依賴於時間差： 隨機過程的二階統計量，即自相關函數 $R_X(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)]$，僅僅是時間差 $\tau = t_1 - t_2$ 的函數，即 $R_X(t_1, t_2) = R_X(\tau)$。

物理意義： WSS 過程的統計特性在時間上是穩定的，其平均值和與時間差相關的「記憶」程度不變。

(b) 遍歷性 (Ergodic Process)：
一個隨機過程被稱為遍歷性（Ergodic）的，是指該過程的所有統計平均（例如均值、自相關函數、概率分佈等）都可以透過對單一實現（sample function）進行時間平均來獲得。換句話說，時間平均等於統計平均。
若一個隨機過程是遍歷性的，則它也必然是寬窄意義下平穩的 (WSS)。但反之則不然，WSS 的過程不一定是遍歷的。

數學表示：

• 時間平均均值：$\lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} X(t) dt = E[X(t)]$
• 時間平均自相關函數：$\lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} X(t) X(t+\tau) dt = R_X(\tau)$

物理意義： 遍歷性過程的長期行為（時間平均）能夠代表其整體統計特性，這使得我們能從單一觀測記錄中推斷出整個系統的統計行為。

(c) 維納-辛欽定理 (Wiener-Khinchin Theorem)：
維納-辛欽定理是描述一個平穩隨機過程（Stationary Random Process）的自相關函數與其功率頻譜密度（Power Spectral Density, PSD）之間關係的關鍵定理。
它指出，一個寬窄意義下平穩（WSS）的隨機過程 $X(t)$，其自相關函數 $R_X(\tau)$ 和功率頻譜密度 $S_X(f)$ 互為傅立葉轉換對（Fourier Transform Pair）。
即：

• $S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty} R_X(\tau) e^{-j2\pi f \tau} d\tau$
• $R_X(\tau) = \mathcal{F}^{-1}\{S_X(f)\} = \int_{-\infty}^{\infty} S_X(f) e^{j2\pi f \tau} df$

物理意義： 這個定理將時間域的統計特性（自相關函數，描述了信號在不同時間點的相關性）與頻率域的統計特性（功率譜密度，描述了信號在不同頻率上的功率分佈）聯繫起來。

核心觀念

本題考查以下傅立葉轉換性質：

1. 標準化 sinc 函數的傅立葉轉換對偶關係：

$$\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{rect}(f)$$

2. 時域相乘對應頻域摺積：
   $x_1(t)x_2(t)\Longleftrightarrow X_1(f)*X_2(f)$

因此
$x(t)=\operatorname{sinc}^3(t)$
的傅立葉轉換為三個矩形脈衝的摺積。

以下採用通訊理論常見定義：
$X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$
以及
$\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}.$

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解題方法

由基本傅立葉轉換對：

$\operatorname{sinc}(t)\Longleftrightarrow \operatorname{rect}(f)$

令

$$R(f)=\operatorname{rect}(f) = \begin{cases} 1, & |f|\leq \frac12,\\ 0, & |f|>\frac12. \end{cases}$$

則

$$\operatorname{sinc}^3(t) \Longleftrightarrow R(f)*R(f)*R(f).$$

先計算兩個矩形函數的摺積：

$$R(f)*R(f) = \begin{cases} 1-|f|, & |f|\leq 1,\\ 0, & |f|>1. \end{cases}$$

這是一個三角形函數，記為 $\Lambda(f)$：

$$\Lambda(f)= \begin{cases} 1-|f|, & |f|\leq 1,\\ 0, & |f|>1. \end{cases}$$

因此

$X(f)=\Lambda(f)*R(f).$

由於 $R(f)$ 僅在 $|u|\leq \frac12$ 時非零，

$$X(f) =\int_{-\infty}^{\infty}\Lambda(u)R(f-u)\,du =\int_{f-\frac12}^{f+\frac12}\Lambda(u)\,du.$$

由 $\Lambda(u)$ 的分段形式，必須依照 $f$ 所在區間計算。

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分段計算

區間一：$f<-\frac32$

此時積分範圍完全位於 $\Lambda(u)$ 的支撐範圍之外，因此

$X(f)=0.$

區間二：$-\frac32\leq f\leq-\frac12$

由於 $X(f)$ 為偶函數，只需計算 $f\geq\frac12$ 的情形，再以 $|f|$ 表示。

當 $\frac12\leq f\leq\frac32$ 時，積分範圍落在 $\Lambda(u)$ 的右側：

$X(f)=\int_{f-\frac12}^{1}(1-u)\,du.$

計算得

$$\begin{aligned} X(f) &=\left[u-\frac{u^2}{2}\right]_{f-\frac12}^{1}\\ &=\frac12\left(\frac32-f\right)^2. \end{aligned}$$

因此在第二及第四區間皆有

本題考察隨機變數的特性函數（Characteristic Function, CF）的定義與計算，並要求證明高斯隨機變數的總和仍為高斯隨機變數。

核心觀念： 特性函數的定義、計算，以及特性函數與隨機變數和的關係。

(a) 高斯隨機變數的特性函數：
假設一個隨機變數 $X$ 服從高斯分佈，其概率密度函數（PDF）為：
$p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
其中 $\mu$ 是均值，$\sigma^2$ 是方差。

特性函數的定義為：
$\psi_X(v) = E[e^{jvx}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{jvx} p(x) dx$
將高斯 PDF 代入：
$\psi_X(v) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{jvx} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$
為了計算這個積分，我們進行變數替換。令 $y = x - \mu$，則 $x = y + \mu$，$dx = dy$。
$\psi_X(v) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{jv(y+\mu)} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy$
$\psi_X(v) = e^{j\mu v} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{jvy} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy$
此積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{jvy} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy$ 是標準高斯分佈（均值為 0，方差為 $\sigma^2$）的 PDF 與 $e^{jvy}$ 的期望值。
我們知道，一個均值為 0，方差為 $\sigma^2$ 的高斯隨機變數 $Y$ 的特性函數為 $e^{-\frac{\sigma^2 v^2}{2}}$。
因此，積分的結果是 $e^{-\frac{\sigma^2 v^2}{2}}$。

所以，高斯隨機變數 $X$ 的特性函數為：
$\psi_X(v) = e^{j\mu v} e^{-\frac{\sigma^2 v^2}{2}} = e^{j\mu v - \frac{\sigma^2 v^2}{2}}$

物理意義： 特性函數提供了隨機變數概率分佈的另一種表示方式，它在許多數學推導中比 PDF 更方便，尤其是在處理隨機變數的和時。

(b) N 個獨立同分佈高斯隨機變數之和的特性：
設 $X_1, X_2, \ldots, X_N$ 是 N 個獨立且同分佈 (i.i.d.) 的高斯隨機變數，且每個 $X_i$ 服從均值為 $\mu$、方差為 $\sigma^2$ 的高斯分佈。

本題探討標準調幅 (AM) 訊號經過平方律檢波器 (Square-Law Detector) 後，如何在特定條件下恢復原始訊息訊號 $m(t)$，並進一步分析取樣訊號的傅立葉轉換。

核心觀念： 標準調幅訊號的結構、平方律檢波器的輸出、低通濾波器的作用，以及訊號取樣的傅立葉轉換。

(a) 從平方律檢波器恢復訊息訊號 $m(t)$ 的條件：
輸入訊號 $v_i(t) = s(t) = A_c[1 + k_a m(t)]\cos(2\pi f_c t)$。
平方律檢波器的輸出 $v_o(t)$ 為：
$v_o(t) = a_1 v_i(t) + a_2 v_i^2(t)$
$v_o(t) = a_1 A_c[1 + k_a m(t)]\cos(2\pi f_c t) + a_2 \left( A_c[1 + k_a m(t)]\cos(2\pi f_c t) \right)^2$
展開 $v_i^2(t)$：
$v_i^2(t) = A_c^2 [1 + k_a m(t)]^2 \cos^2(2\pi f_c t)$
利用 $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$：
$v_i^2(t) = A_c^2 [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] \frac{1 + \cos(4\pi f_c t)}{2}$
$v_i^2(t) = \frac{A_c^2}{2} [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] + \frac{A_c^2}{2} [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] \cos(4\pi f_c t)$
將 $v_i(t)$ 和 $v_i^2(t)$ 代回 $v_o(t)$：
$v_o(t) = a_1 A_c[1 + k_a m(t)]\cos(2\pi f_c t) + a_2 \left( \frac{A_c^2}{2} [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] + \frac{A_c^2}{2} [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] \cos(4\pi f_c t) \right)$
$v_o(t) = a_1 A_c \cos(2\pi f_c t) + a_1 A_c k_a m(t) \cos(2\pi f_c t)$
$+ \frac{a_2 A_c^2}{2} [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)]$
$+ \frac{a_2 A_c^2}{2} [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] \cos(4\pi f_c t)$

我們希望從 $v_o(t)$ 中恢復訊息訊號 $m(t)$。這通常需要透過一個低通濾波器 (Low-Pass Filter, LPF) 來濾除高頻成分。
觀察 $v_o(t)$ 中的項：

1. $a_1 A_c \cos(2\pi f_c t)$：這是載波頻率 $f_c$ 的成分。
2. $a_1 A_c k_a m(t) \cos(2\pi f_c t)$：這是與 $m(t)$ 相關的 $f_c$ 頻率成分。
3. $\frac{a_2 A_c^2}{2} [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)]$：這是 DC 成分以及與 $m(t)$ 和 $m^2(t)$ 相關的低頻成分。
4. $\frac{a_2 A_c^2}{2} [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] \cos(4\pi f_c t)$：這是 $4f_c$ 的高頻成分。

如果我們使用一個截止頻率略高於 $m(t)$ 的最高頻率 $B$，但遠低於 $f_c$ 的低通濾波器，則可以濾除 $2f_c$ 和 $4f_c$ 的成分。
LPF 輸出的訊號 $r(t)$ 將主要包含 DC 和與 $m(t)$ 相關的低頻成分：
$r(t) = \frac{a_2 A_c^2}{2} [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)]$
我們希望恢復的訊息訊號是 $m(t)$。觀察 $r(t)$，它包含 $m(t)$ 和 $m^2(t)$ 的項。
為了只得到 $m(t)$，我們需要濾除 $m^2(t)$ 和 DC 成分 (1)。
這通常需要一個額外的處理步驟，例如，如果 $m(t)$ 的平均值為零，則 DC 成分為 $\frac{a_2 A_c^2}{2}$。
如果我們能將 DC 成分和 $m^2(t)$ 的項移除，我們就可以得到與 $m(t)$ 成比例的訊號。
更精確地說，如果我們希望恢復 $m(t)$，則 $r(t)$ 應該只包含 $m(t)$ 的項。
從 $r(t)$ 中提取 $m(t)$ 的條件：
$r(t) = \frac{a_2 A_c^2}{2} + a_2 A_c^2 k_a m(t) + \frac{a_2 A_c^2 k_a^2}{2} m^2(t)$
為了能從 $r(t)$ 中恢復 $m(t)$，我們需要一個額外的處理步驟，例如，一個非線性處理或一個後續的濾波器。
然而，標準的 AM 接收機通常會使用一個相干解調或包絡檢波器。這個平方律檢波器加上低通濾波器，在某些條件下可以恢復 $m(t)$。

恢復 $m(t)$ 的條件：

1. 低通濾波器的截止頻率： 濾波器的截止頻率必須足夠低，以濾除 $2f_c$ 和 $4f_c$ 的載波相關成分，但必須足夠高，以允許 $m(t)$ 的所有頻率成分通過。也就是說，如果 $B$ 是 $m(t)$ 的最大頻率，則 $B < f_c - B$ (濾除 $f_c$ 附近的成分) 且 $B < 4f_c - B$。通常假設 $f_c \gg B$。
2. 移除 $m^2(t)$ 和 DC 成分： 檢波輸出 $r(t)$ 包含 $m(t)$、$m^2(t)$ 和 DC 項。要單獨恢復 $m(t)$，需要進一步處理。
   • 如果 $m(t)$ 是低頻訊號，且 $k_a$ 選擇適當，使得 $m^2(t)$ 的影響可以被忽略（例如，如果 $k_a$ 很小，或者 $m(t)$ 的幅度很小）。
   • 或者，如果我們能移除 DC 成分 $\frac{a_2 A_c^2}{2}$ 和 $m^2(t)$ 的項。
   • 最常見的恢復方法是，假設 $m(t)$ 是一個低頻訊號，且 $k_a m(t)$ 的幅度足夠小，使得 $k_a^2 m^2(t)$ 的影響可以被忽略。
   • 或者，若 $m(t)$ 的平均值為零，則 DC 成分為零（當 $a_2 A_c^2/2 = 0$，這是不可能的，除非 $a_2=0$ 或 $A_c=0$）。
   • 實際上，要直接從 $r(t)$ 恢復 $m(t)$，通常需要 $m^2(t)$ 的項消失，或者可以被濾除。這通常發生在 $m(t)$ 的平均值為零，且我們只關心 $m(t)$ 的項。

核心觀念

本題考查四元相位鍵移（QPSK）訊號的能量、加性白高斯雜訊下的錯誤率，以及訊號空間的正交歸一基底。

採用標準雙邊雜訊功率頻譜密度慣例：

$$S_n(f)=\frac{N_0}{2}$$

因此題目給定 $S_n(f)=20\,\mu\text{W/Hz}$，對應

$$N_0=40\,\mu\text{W/Hz}$$

每個訊號的能量為 $E_s=\int_0^T s_k^2(t)\,dt$。題目提供的錯誤率公式為

$$P_e=2Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right) -Q^2\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$$

其中 $Q(x)$ 是標準常態分布右尾機率。

解題方法

(a) 計算錯誤率

訊號角頻率為 $\omega=20\pi/T$，在 $0\le t\le T$ 內共振盪 $10$ 個週期，因此正弦與餘弦在此區間的平方積分皆為 $T/2$。四個相位訊號的能量相同：

$$E_s=\int_0^T A^2\cos^2\left(\frac{20\pi}{T}t-\frac{(k-1)\pi}{2}\right)dt =\frac{A^2T}{2}$$

代入 $A=100\,\text{mV}=0.1\,\text{V}$、$T=40\,\text{ms}=0.04\,\text{s}$：

$$E_s=\frac{(0.1)^2(0.04)}{2} =2.0\times10^{-4}\,\text{J}$$

故

$$\frac{E_s}{N_0} =\frac{2.0\times10^{-4}}{40\times10^{-6}} =5$$

帶入錯誤率公式：

$$P_e=2Q(\sqrt{5})-Q^2(\sqrt{5})$$

由 $Q(\sqrt{5})\approx0.01267$，得到

$$P_e\approx 2(0.01267)-(0.01267)^2 \approx0.02519$$

所以錯誤率約為 $2.519\%$。

(b) 維持相同錯誤率所需的振幅

雜訊功率頻譜密度不變，且錯誤率公式隨 $E_s/N_0$ 決定，因此要維持相同的 $P_e$，必須維持相同的 $E_s/N_0$，也就是維持相同的訊號能量。

原本 $A_1=100\,\text{mV}$、$T_1=40\,\text{ms}$；新條件 $T_2=1\,\text{ms}$。由 $E_s=A^2T/2$：

$$\frac{A_1^2T_1}{2}=\frac{A_2^2T_2}{2}$$

本題考察資訊理論中的熵（Entropy）、條件熵（Conditional Entropy）和互資訊（Mutual Information）等基本概念，並要求計算與解釋它們的物理意義。

核心觀念： 資訊熵、條件機率、邊緣機率、條件熵、互資訊。

給定聯合機率分佈矩陣：
$P(X,Y) = \begin{pmatrix} P(X_1,Y_1) & P(X_1,Y_2) \\ P(X_2,Y_1) & P(X_2,Y_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.54 & 0.06 \\ 0.06 & 0.34 \end{pmatrix}$
其中 $X$ 有兩個取值 $X_1, X_2$， $Y$ 也有兩個取值 $Y_1, Y_2$。

(a) 計算條件機率 $P(Y|X)$ 和 $P(X|Y)$：
條件機率的定義為 $P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)}$。

首先，我們需要計算邊緣機率（Marginal Probabilities）。
$P(X=X_1) = P(X_1,Y_1) + P(X_1,Y_2) = 0.54 + 0.06 = 0.60$
$P(X=X_2) = P(X_2,Y_1) + P(X_2,Y_2) = 0.06 + 0.34 = 0.40$
驗證：$P(X_1) + P(X_2) = 0.60 + 0.40 = 1.00$。

$P(Y=Y_1) = P(X_1,Y_1) + P(X_2,Y_1) = 0.54 + 0.06 = 0.60$
$P(Y=Y_2) = P(X_1,Y_2) + P(X_2,Y_2) = 0.06 + 0.34 = 0.40$
驗證：$P(Y_1) + P(Y_2) = 0.60 + 0.40 = 1.00$。

現在計算條件機率 $P(Y|X)$：
$P(Y=Y_1|X=X_1) = \frac{P(X_1,Y_1)}{P(X_1)} = \frac{0.54}{0.60} = \frac{54}{60} = \frac{9}{10} = 0.90$
$P(Y=Y_2|X=X_1) = \frac{P(X_1,Y_2)}{P(X_1)} = \frac{0.06}{0.60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} = 0.10$
驗證：$P(Y_1|X_1) + P(Y_2|X_1) = 0.90 + 0.10 = 1.00$。

$P(Y=Y_1|X=X_2) = \frac{P(X_2,Y_1)}{P(X_2)} = \frac{0.06}{0.40} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20} = 0.15$
$P(Y=Y_2|X=X_2) = \frac{P(X_2,Y_2)}{P(X_2)} = \frac{0.34}{0.40} = \frac{34}{40} = \frac{17}{20} = 0.85$
驗證：$P(Y_1|X_2) + P(Y_2|X_2) = 0.15 + 0.85 = 1.00$。

所以，$P(Y|X)$ 可以表示為：
$P(Y_1|X_1) = 0.90$, $P(Y_2|X_1) = 0.10$
$P(Y_1|X_2) = 0.15$, $P(Y_2|X_2) = 0.85$

現在計算條件機率 $P(X|Y)$：
$P(X=X_1|Y=Y_1) = \frac{P(X_1,Y_1)}{P(Y_1)} = \frac{0.54}{0.60} = \frac{54}{60} = \frac{9}{10} = 0.90$
$P(X=X_2|Y=Y_1) = \frac{P(X_2,Y_1)}{P(Y_1)} = \frac{0.06}{0.60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} = 0.10$
驗證：$P(X_1|Y_1) + P(X_2|Y_1) = 0.90 + 0.10 = 1.00$。

$P(X=X_1|Y=Y_2) = \frac{P(X_1,Y_2)}{P(Y_2)} = \frac{0.06}{0.40} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20} = 0.15$
$P(X=X_2|Y=Y_2) = \frac{P(X_2,Y_2)}{P(Y_2)} = \frac{0.34}{0.40} = \frac{34}{40} = \frac{17}{20} = 0.85$
驗證：$P(X_1|Y_2) + P(X_2|Y_2) = 0.15 + 0.85 = 1.00$。

所以，$P(X|Y)$ 可以表示為：
$P(X_1|Y_1) = 0.90$, $P(X_2|Y_1) = 0.10$
$P(X_1|Y_2) = 0.15$, $P(X_2|Y_2) = 0.85$

(b) 計算熵 $H(X)$ 和 $H(Y)$：
熵的定義為 $H(X) = -\sum_i P(x_i) \log_2 P(x_i)$。

計算 $H(X)$：
$P(X_1) = 0.60$, $P(X_2) = 0.40$。
$H(X) = -[P(X_1)\log_2 P(X_1) + P(X_2)\log_2 P(X_2)]$
$H(X) = -[0.60 \log_2(0.60) + 0.40 \log_2(0.40)]$
$\log_2(0.60) \approx -0.737$
$\log_2(0.40) \approx -1.322$
$H(X) \approx -[0.60 \times (-0.737) + 0.40 \times (-1.322)]$
$H(X) \approx -[-0.4422 - 0.5288] = -[-0.971] = 0.971$ bits。

計算 $H(Y)$：
$P(Y_1) = 0.60$, $P(Y_2) = 0.40$。
由於 $P(Y_1)=P(X_1)$ 且 $P(Y_2)=P(X_2)$，所以 $H(Y) = H(X)$。
$H(Y) = -[0.60 \log_2(0.60) + 0.40 \log_2(0.40)] \approx 0.971$ bits。

(c) 計算條件熵 $H(X|Y)$ 並描述其物理意義：
條件熵的定義為 $H(X|Y) = \sum_j P(y_j) H(X|Y=y_j)$。
其中 $H(X|Y=y_j) = -\sum_i P(x_i|y_j) \log_2 P(x_i|y_j)$。

我們先計算 $H(X|Y=Y_1)$ 和 $H(X|Y=Y_2)$。
$P(X_1|Y_1) = 0.90$, $P(X_2|Y_1) = 0.10$。

核心觀念

這題考卷積碼的編碼器輸出、狀態轉移，以及以 Viterbi 演算法做最大概似解碼。

令兩個暫存器的內容依序為 $(a,b)$，其中 $a$ 是第一個暫存器、$b$ 是第二個暫存器。依圖中的連接方式，輸出為

$$v_1=u\oplus a\oplus b,\qquad v_2=b,\qquad v_3=u\oplus b$$

輸入一個位元 $u$ 後，狀態轉移為

$$(a,b)\longrightarrow(u,a)$$

以下假設編碼器從全零狀態 $00$ 開始；第 (c) 小題未指定終止狀態，因此取累積路徑距離最小的終止狀態。

解題方法

(a) 求編碼序列

由初始狀態 $00$ 開始，逐位代入輸出公式。每組輸出依序排列為 $(v_1,v_2,v_3)$。

輸入 $u$	輸入前狀態 $(a,b)$	輸出 $(v_1v_2v_3)$
1	00	101
1	10	001
1	11	110
0	11	011
1	01	010
0	10	100
0	01	111

因此，對 $\mathbf{u}=(1\ 1\ 1\ 0\ 1\ 0\ 0)$，編碼結果為

$$\mathbf{v}=(101\ 001\ 110\ 011\ 010\ 100\ 111)$$

(b) 狀態圖

狀態圖的每條分支標示為「輸入／輸出」。由狀態 $(a,b)$ 輸入 $u$ 時，輸出由 $u,a,b$ 算出，下一狀態為 $(u,a)$。

目前狀態	輸入 0：下一狀態／輸出	輸入 1：下一狀態／輸出
00	$00/000$	$10/101$
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