111 年 國立中山大學電機工程學系碩士班甲組《半導體概論》

核心觀念

本題考查突變式（abrupt）矽 $p$-$n$ 接面在熱平衡下的空乏區分析，包括：

1. 內建電位 $V_{bi}$
2. 空乏區電荷中性條件
3. $p$ 側與 $n$ 側空乏層寬度
4. 接面處峰值電場

採用空乏近似，並取矽在 $300\ \text{K}$ 時：

$$n_i \approx 1.0\times 10^{10}\ \text{cm}^{-3}$$

矽介電常數為：

$$\varepsilon_s=11.8\varepsilon_0 =11.8(8.854\times10^{-14}) \approx 1.044\times10^{-12}\ \text{F/cm}$$

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解題方法

1. 計算內建電位

熱平衡下，$p$-$n$ 接面的內建電位為：

$$V_{bi}=V_T\ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)$$

其中，$300\ \text{K}$ 時熱電壓：

$$V_T=\frac{kT}{q}\approx 0.02585\ \text{V}$$

代入：

$$N_A N_D =(5\times10^{15})(5\times10^{16}) =2.5\times10^{32}\ \text{cm}^{-6}$$

因此：

$$V_{bi} =0.02585\ln\left( \frac{2.5\times10^{32}}{(1.0\times10^{10})^2} \right)$$ $$=0.02585\ln(2.5\times10^{12}) \approx 0.738\ \text{V}$$

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2. 計算總空乏層寬度

突變式 $p$-$n$ 接面的總空乏層寬度為：

$$W=\sqrt{ \frac{2\varepsilon_s V_{bi}}{q} \left( \frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D} \right) }$$

先計算摻雜濃度倒數和：

$$\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D} = \frac{1}{5\times10^{15}} +\frac{1}{5\times10^{16}}$$ $$=2.0\times10^{-16} +2.0\times10^{-17} =2.2\times10^{-16}\ \text{cm}^3$$

代入 $q=1.602\times10^{-19}\ \text{C}$：

$$W= \sqrt{ \frac{2(1.044\times10^{-12})(0.738)} {1.602\times10^{-19}} (2.2\times10^{-16}) }$$ $$W\approx 4.60\times10^{-5}\ \text{cm}$$

由於 $1\ \mu\text{m}=10^{-4}\ \text{cm}$：

$$W\approx 0.460\ \mu\text{m}$$

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3. 分別計算兩側空乏層寬度

設 $p$ 側空乏寬度為 $x_p$，$n$ 側空乏寬度為 $x_n$。

核心觀念

本題考查 n-channel MOSFET 的臨界電壓 $V_T$，以及離子佈植所造成的臨界電壓調整。

對 p 型基板上的 n-channel MOSFET，在室溫且忽略體效應時，

$$V_T=V_{FB}+2\phi_F+\frac{|Q_D|}{C_{ox}}$$

其中：

• $V_{FB}$：平帶電壓
• $\phi_F$：費米電位
• $Q_D$：形成反轉層時的最大空乏層電荷
• $C_{ox}$：單位面積氧化層電容

若在通道區進行受體型離子佈植，例如硼離子佈植，電離後的受體帶負電，會使臨界電壓增加：

$$\Delta V_T=\frac{qD}{C_{ox}}$$

其中 $D$ 為離子佈植劑量，單位為 $\text{cm}^{-2}$。

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解題方法

先由基板摻雜濃度求費米電位，再求氧化層電容與最大空乏層電荷，計算未佈植前的臨界電壓。最後利用離子佈植造成的臨界電壓變化求出劑量。

以下採用室溫參數：

$$n_i=1.0\times10^{10}\ \text{cm}^{-3}$$ $$\frac{kT}{q}\approx 0.026\ \text{V}$$

矽與二氧化矽的介電常數分別為：

$$\varepsilon_{si}=11.7\varepsilon_0$$ $$\varepsilon_{ox}=3.9\varepsilon_0$$ $$\varepsilon_0=8.854\times10^{-14}\ \text{F/cm}$$

1. 求費米電位

基板為 p 型，故

$$\phi_F=\frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_A}{n_i}\right)$$

代入 $N_A=5\times10^{15}\ \text{cm}^{-3}$：

$$\phi_F =0.026\ln\left(\frac{5\times10^{15}}{10^{10}}\right)$$ $$\phi_F =0.026\ln(5\times10^5) \approx 0.341\ \text{V}$$

因此，

$$2\phi_F\approx 0.682\ \text{V}$$

2. 求氧化層電容

氧化層厚度為

$$t_{ox}=18\ \text{nm} =1.8\times10^{-6}\ \text{cm}$$

單位面積氧化層電容為

$$C_{ox}=\frac{\varepsilon_{ox}}{t_{ox}}$$

其中

$$\varepsilon_{ox} =3.9(8.854\times10^{-14}) =3.454\times10^{-13}\ \text{F/cm}$$

所以

$$C_{ox} =\frac{3.454\times10^{-13}}{1.8\times10^{-6}} \approx1.92\times10^{-7}\ \text{F/cm}^2$$

3. 求最大空乏層電荷

在強反轉開始時，表面電位為 $2\phi_F$，最大空乏層電荷的大小為

$$|Q_D|=\sqrt{4\varepsilon_{si}qN_A\phi_F}$$

矽的介電常數為

此題考查半導體中本質載子濃度 (intrinsic carrier concentration, $n_i$) 與溫度之間的關係。

核心觀念：

1. 本質載子濃度 ($n_i$)：在純淨半導體中，電子和電洞的濃度相等，稱為本質載子濃度。
2. 有效密度 of states ($N_C, N_V$)：導帶底部和價帶頂部的有效狀態密度，表示在這些能帶中可容納載流子的狀態數量。
3. 溫度對 $N_C$ 和 $N_V$ 的影響：$N_C$ 和 $N_V$ 與溫度 $T$ 的關係通常為 $T^{3/2}$。
4. 本質載子濃度與 $N_C, N_V$ 及能隙的關係：$n_i$ 與 $N_C$, $N_V$, $E_g$ 和 $T$ 有關。

解題步驟：

(a) 本質載子濃度 ($n_i$) 的基本公式

本質載子濃度 $n_i$ 的公式為：
$n_i = \sqrt{N_C N_V} \exp\left(-\frac{E_g}{2V_T}\right)$
其中：

• $N_C$ 是導帶有效狀態密度。
• $N_V$ 是價帶有效狀態密度。
• $E_g$ 是能隙寬度。
• $V_T = kT/q$ 是熱電壓。

(b) 溫度對 $N_C$ 和 $N_V$ 的影響

題目指出，$N_C$ 和 $N_V$ 都與 $T^{3/2}$ 成正比。
我們可以將 $N_C$ 和 $N_V$ 表示為：
$N_C(T) = N_{C,0} \left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}$
$N_V(T) = N_{V,0} \left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}$
其中 $T_0 = 300 \text{ K}$， $N_{C,0}$ 和 $N_{V,0}$ 是在 $T_0=300 \text{ K}$ 時的值。
題目給定的 $N_C = 2.8 \times 10^{19} \text{ cm}^{-3}$ 和 $N_V = 1.04 \times 10^{19} \text{ cm}^{-3}$ 是在 $T_0 = 300 \text{ K}$ 時的值。

(c) 計算 $n_i$ 在不同溫度下的值

我們可以先計算出在 $T_0 = 300 \text{ K}$ 時的 $n_i$ 值，然後利用溫度對 $N_C, N_V$ 的影響來推導其他溫度下的 $n_i$。

在 $T_0 = 300 \text{ K}$ 時：
$N_{C,0} = 2.8 \times 10^{19} \text{ cm}^{-3}$
$N_{V,0} = 1.04 \times 10^{19} \text{ cm}^{-3}$
$E_g = 1.12 \text{ eV}$
$V_T(300K) = kT/q = (8.617 \times 10^{-5} \text{ eV/K}) \times (300 \text{ K}) \approx 0.02585 \text{ eV}$。

$n_i(300K) = \sqrt{N_{C,0} N_{V,0}} \exp\left(-\frac{E_g}{2V_T(300K)}\right)$
$n_i(300K) = \sqrt{(2.8 \times 10^{19})(1.04 \times 10^{19})} \exp\left(-\frac{1.12}{2 \times 0.02585}\right)$
$n_i(300K) = \sqrt{2.912 \times 10^{38}} \exp\left(-\frac{1.12}{0.0517}\right)$
$n_i(300K) = 1.706 \times 10^{19} \exp(-21.66)$
$n_i(300K) \approx 1.706 \times 10^{19} \times 1.00 \times 10^{-10} \approx 1.706 \times 10^9 \text{ cm}^{-3}$
（注意：矽在 300K 的 $n_i$ 通常約為 $1.0 \times 10^{10} \text{ cm}^{-3}$，這表示給定的 $N_C, N_V$ 可能與標準值略有差異，我們應使用題目給定的數值進行計算。）

在 $T = 250 \text{ K}$ 時：
$T = 250 \text{ K}$
$V_T(250K) = kT/q = (8.617 \times 10^{-5} \text{ eV/K}) \times (250 \text{ K}) \approx 0.02154 \text{ eV}$。

$N_C(250K) = N_{C,0} \left(\frac{250}{300}\right)^{3/2} = (2.8 \times 10^{19}) \times (0.8333)^{1.5} \approx (2.8 \times 10^{19}) \times 0.760 \approx 2.128 \times 10^{19} \text{ cm}^{-3}$。
$N_V(250K) = N_{V,0} \left(\frac{250}{300}\right)^{3/2} = (1.04 \times 10^{19}) \times (0.8333)^{1.5} \approx (1.04 \times 10^{19}) \times 0.760 \approx 0.790 \times 10^{19} \text{ cm}^{-3}$。

$n_i(250K) = \sqrt{N_C(250K) N_V(250K)} \exp\left(-\frac{E_g}{2V_T(250K)}\right)$
$n_i(250K) = \sqrt{(2.128 \times 10^{19})(0.790 \times 10^{19})} \exp\left(-\frac{1.12}{2 \times 0.02154}\right)$
$n_i(250K) = \sqrt{1.681 \times 10^{38}} \exp\left(-\frac{1.12}{0.04308}\right)$
$n_i(250K) = 1.296 \times 10^{19} \exp(-25.99)$

核心觀念

本題考查突變式（abrupt）矽 $p$-$n$ 接面的空乏層寬度與接面電容。

反向偏壓下，接面電容主要來自空乏區，其定義為

$$C_j=\frac{\varepsilon_s A}{W}$$

其中：

• $\varepsilon_s$：矽的介電常數
• $A$：接面截面積
• $W$：空乏層總寬度

空乏層寬度為

$$W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right) (V_{bi}+V_R^{*})}$$

其中 $V_R^{*}=|V_R|$ 為反向偏壓大小，$V_{bi}$ 為內建電位。

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解題方法

1. 計算內建電位

矽在 $300\ \text{K}$ 時，取

$$n_i=10^{10}\ \text{cm}^{-3}$$

熱電壓為

$$V_T=\frac{kT}{q}\approx 0.0259\ \text{V}$$

因此

$$V_{bi}=V_T\ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)$$

代入

$$V_{bi} =0.0259\ln\left( \frac{(10^{16})(10^{15})}{(10^{10})^2} \right)$$ $$=0.0259\ln(10^{11}) \approx 0.656\ \text{V}$$

反向偏壓為 $V_R=-5\ \text{V}$，故其大小為

$$V_R^{*}=5\ \text{V}$$

空乏區實際承受的總電位為

$$V_{bi}+V_R^{*}=0.656+5=5.656\ \text{V}$$

2. 計算矽的介電常數

$$\varepsilon_s=\varepsilon_r\varepsilon_0$$

取矽的相對介電常數 $\varepsilon_r=11.8$，且

$$\varepsilon_0=8.854\times10^{-14}\ \text{F/cm}$$

所以

$$\varepsilon_s =11.8(8.854\times10^{-14}) \approx 1.045\times10^{-12}\ \text{F/cm}$$

核心觀念

本題考查 MOSFET 的「穿通效應」（punch-through）。當源極與汲極的空乏區沿著低摻雜的 $p$ 型通道向內延伸，且兩者剛好接觸時，源極與汲極之間形成直接的電場通路，稱為穿通。

對於 $n^+/p$ 突變接面，因為 $n^+$ 區的摻雜濃度遠高於通道區，空乏區幾乎全部延伸到 $p$ 型通道中。因此可使用單邊突變接面的空乏層公式：

$$W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{qN_A}V_{\text{junction}}}$$

其中：

• $\varepsilon_s$：矽的介電常數
• $q$：基本電荷量
• $N_A$：通道區的受體濃度
• $V_{\text{junction}}$：接面內建電位與外加偏壓的總和

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解題方法

源極與本體接地，因此源極—本體接面的外加偏壓為 $0$；汲極加上反向偏壓 $V_D$。

1. 計算內建電位

假設室溫 $T=300\ \text{K}$，矽的本質載子濃度取

$$n_i=10^{10}\ \text{cm}^{-3}$$

內建電位為

$$V_{bi}=V_T\ln\left(\frac{N_DN_A}{n_i^2}\right)$$

其中室溫熱電壓

$$V_T=\frac{kT}{q}\approx 0.0259\ \text{V}$$

代入

$$V_{bi} =0.0259\ln\left( \frac{10^{19}\times 10^{16}}{(10^{10})^2} \right)$$ $$=0.0259\ln(10^{15}) \approx 0.894\ \text{V}$$

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2. 計算源極空乏區寬度

源極與本體間沒有外加電壓，因此源極接面的總電位差為 $V_{bi}$：

$$W_S= \sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{qN_A}V_{bi}}$$

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3. 計算汲極空乏區寬度

汲極與本體間承受反向偏壓 $V_D$，因此總接面電位為

$$V_{bi}+V_D$$

汲極空乏區寬度為

$$W_D= \sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{qN_A}(V_{bi}+V_D)}$$

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4. 使用穿通條件

穿通發生時，兩側空乏區剛好相接：

$$W_S+W_D=L$$

通道長度為

$$L=1.2\ \mu\text{m}=1.2\times10^{-4}\ \text{cm}$$

矽的介電常數為