核心觀念

本題考查突變型（abrupt）矽 $pn$ 接面在熱平衡與外加偏壓下的：

1. 摻雜濃度與費米能階的關係。
2. 內建電位與耗盡區總電位差。
3. 耗盡近似下的最大電場。
4. 順向偏壓下，兩側少數載子的擴散電流密度。

採用：

$$n_{n0}=n_i\exp\left(\frac{E_F-E_{Fi}}{kT}\right)$$ $$p_{p0}=n_i\exp\left(\frac{E_{Fi}-E_F}{kT}\right)$$

內建電位為：

$$V_{bi}=\frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)$$

對突變型 $pn$ 接面，在耗盡近似下：

$$E_{\max} = \sqrt{ \frac{2qV_D}{\varepsilon_s} \frac{N_A N_D}{N_A+N_D} }$$

其中 $V_D$ 為耗盡區的總電位差。順向偏壓下的少數載子電流密度為：

$$J_p=q\frac{D_p p_{n0}}{L_p} \left[\exp\left(\frac{V_F}{V_T}\right)-1\right]$$ $$J_n=q\frac{D_n n_{p0}}{L_n} \left[\exp\left(\frac{V_F}{V_T}\right)-1\right]$$

且：

$$L_p=\sqrt{D_p\tau_p}, \qquad L_n=\sqrt{D_n\tau_n}$$

---

摻雜濃度與內建電位

n 型區的施體濃度 $N_D$

題目給定：

$$E_F-E_{Fi}=0.407\ \text{eV}$$

因此：

$$N_D\approx n_{n0} = n_i\exp\left(\frac{0.407}{0.0259}\right)$$ $$N_D = 1.5\times10^{10} \exp(15.714) \approx 1.00\times10^{17}\ \text{cm}^{-3}$$

p 型區的受體濃度 $N_A$

題目給定：

$$E_{Fi}-E_F=0.3474\ \text{eV}$$

因此：

$$N_A\approx p_{p0} = n_i\exp\left(\frac{0.3474}{0.0259}\right)$$ $$N_A = 1.5\times10^{10} \exp(13.413) \approx 1.00\times10^{16}\ \text{cm}^{-3}$$

內建電位

也可直接由兩側費米能階差求得：

$$qV_{bi} = (E_F-E_{Fi})_n+(E_{Fi}-E_F)_p$$ $$qV_{bi} = 0.407+0.3474 = 0.7544\ \text{eV}$$

因為 $1\ \text{eV}/q=1\ \text{V}$，所以：

$$V_{bi}=0.7544\ \text{V}$$

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（a）反向偏壓下的總電位差與最大電場

1. 耗盡區總電位差

反向偏壓會增加耗盡區電位差，因此：

$$V_D=V_{bi}+V_R$$ $$V_D=0.7544+8 = 8.7544\ \text{V}$$

2. 矽的介電常數

$$\varepsilon_s = 11.7\varepsilon_0$$ $$\varepsilon_s = 11.7(8.85\times10^{-14}) = 1.03545\times10^{-12}\ \text{F/cm}$$

3. 有效摻雜濃度

$$\frac{N_A N_D}{N_A+N_D} = \frac{ (1.00\times10^{16})(1.00\times10^{17}) }{ 1.00\times10^{16}+1.00\times10^{17} }$$ $$\frac{N_A N_D}{N_A+N_D} = 9.09\times10^{15}\ \text{cm}^{-3}$$

4. 最大電場

$$E_{\max} = \sqrt{ \frac{2qV_D}{\varepsilon_s} \frac{N_A N_D}{N_A+N_D} }$$

代入：

$$E_{\max} = \sqrt{ \frac{ 2(1.6\times10^{-19})(8.7544) }{ 1.03545\times10^{-12} } (9.09\times10^{15}) }$$ $$E_{\max} \approx 1.57\times10^5\ \text{V/cm}$$

因此：

$$\boxed{V_D=8.7544\ \text{V}}$$ $$\boxed{E_{\max}\approx1.57\times10^5\ \text{V/cm}}$$

核心觀念

這題利用突變單邊 $n^+-p$ 接面在反向偏壓下的電容密度 $C$ 與偏壓關係。單邊接面中，空乏層主要延伸至低摻雜的 $p$ 側，因此 $1/C^2$ 對反向偏壓 $V_R$ 呈線性，其斜率可求出 $N_a$；直線的 $V_R$ 軸截距則可求內建電位 $V_{bi}$，再由內建電位公式求出 $N_d$。

解題方法

依原卷圖讀值：$V_R=1\,\text{V}$ 時，$1/C^2=2.12\times10^{16}$；$V_R=2\,\text{V}$ 時，$1/C^2=3.33\times10^{16}$。直線的 $V_R$ 軸截距為 $-0.75\,\text{V}$。題目附上的文字描述將 $3.33\times10^{16}$ 對應的電壓位置寫錯；以下依原卷圖計算。

對單邊 $n^+-p$ 接面：

$$\frac{1}{C^2} = \frac{2(V_{bi}+V_R)}{q\varepsilon_sN_a}$$

因此斜率 $m$ 為：

$$m = \frac{\Delta(1/C^2)}{\Delta V_R} = \frac{(3.33-2.12)\times10^{16}}{2-1} = 1.21\times10^{16} \ \frac{\text{cm}^4}{\text{F}^2\cdot\text{V}}$$

矽的介電常數為：

$$\varepsilon_s = 11.7\varepsilon_0 = 11.7(8.85\times10^{-14}) = 1.03545\times10^{-12}\ \text{F/cm}$$

由 $m=2/(q\varepsilon_sN_a)$，且 $q=1.6\times10^{-19}\,\text{C}$：

本題主要考驗對二極體 Ideality Factor ($n$) 的理解，以及造成 $n \neq 1$ 的物理機制。

核心觀念：

1. Ideality Factor ($n$)：在理想的 PN 接面二極體中，電流主要由少數載子擴散主導，其 ideality factor $n=1$。
2. 電流模型：
   • Diffusion Current ($n=1$)：在 PN 接面處，少數載子注入並擴散，是理想情況下的主要電流。
   • Recombination Current ($n=2$)：在接面擴散區 (depletion region) 內，電子和電洞可能在此處複合 (recombine)。這種複合過程對電流的貢獻，其 ideality factor $n=2$。
3. 其他因素：除了擴散和複合，電阻效應 (如串聯電阻 $R_s$) 也會影響二極體的 I-V 特性，但通常不直接體現在 ideality factor 的定義中，而是會導致在正向導通時，實際電壓降小於外加電壓，使得電流成長不如理想。然而，某些情況下，電阻效應與其他機制結合，也可能間接影響 I-V 曲線的斜率，但 $n=2$ 的主要原因通常與複合直接相關。

Ideality Factor 的意義：

• $n=1$：電流主要由接面兩側的少數載子擴散決定 (Diffusion current)。
• $n=2$：電流主要由擴散區內的複合決定 (Recombination current)。
• $1 < n < 2$：通常是擴散電流和複合電流的混合。

題目要求：
提供 $n=2$ 的可能原因。

解題：
當二極體的 I-V 特性接近 $I = I_s[\exp(qV_a/2kT) - 1]$ 時，其 ideality factor $n=2$。這表示電流的主要貢獻來自於擴散區內的載子複合。

可能原因：

1. 擴散區內的複合 (Recombination in the Depletion Region)：
   在 PN 接面的擴散區，電子和電洞的濃度都相對較低，但由於有較強的電場，載子壽命較短，容易發生複合。如果複合是主要的電流機制，那麼 ideality factor 會是 2。這種情況在低摻雜濃度、擴散區較寬的 PN 接面中比較常見。
   • 解釋：在擴散區內，電子和電洞的複合會消耗由外加電壓產生的載子注入。根據 Shockley-Read-Hall (SRH) 複合理論，在擴散區內的複合電流與 $\exp(qV_a/2kT)$ 成正比。

核心觀念

本題考查矽基 $p$-$i$-$n$ 接面在反向偏壓下的空乏區與電場分布。

在空乏近似下：

• 中間本質區 $i$ 完全空乏，寬度固定為 $W_i=1~\mu\text{m}$。
• $p$ 區與 $n$ 區分別向接面延伸空乏寬度 $x_p$、$x_n$。
• 空間電荷中性條件為

$$N_Ax_p=N_Dx_n$$

• 在本質區內，電場為最大值且近似為常數 $E_{\max}$。
• 總電壓包含內建電位與外加反向偏壓：

$$V=V_{bi}+V_R$$

矽的介電常數取

$$\varepsilon_s=11.8\varepsilon_0 =11.8(8.854\times10^{-14}) =1.044\times10^{-12}~\text{F/cm}$$

---

已知條件

$$W_i=1~\mu\text{m}=1.0\times10^{-4}~\text{cm}$$ $$N_A=10^{16}~\text{cm}^{-3},\qquad N_D=10^{17}~\text{cm}^{-3}$$ $$V_R=8~\text{V},\qquad T=300~\text{K}$$

在 $300~\text{K}$ 下，矽的本質載子濃度取

$$n_i\approx10^{10}~\text{cm}^{-3}$$

---

內建電位

熱電壓為

$$V_T=\frac{kT}{q}\approx0.02585~\text{V}$$

因此，$p$-$n$ 兩端的內建電位為

$$V_{bi}=V_T\ln\left(\frac{N_AN_D}{n_i^2}\right)$$

代入數值：

$$V_{bi} =0.02585\ln\left( \frac{10^{16}\times10^{17}}{(10^{10})^2} \right)$$ $$=0.02585\ln(10^{13}) \approx0.774~\text{V}$$

所以空乏區總電壓為

$$V=V_R+V_{bi} =8+0.774 =8.774~\text{V}$$

---

解題方法

設 $E_{\max}$ 為本質區中的最大電場。由高斯定律，$p$ 區與 $n$ 區的電荷所造成的電場大小相同，因此

$$E_{\max} =\frac{qN_Ax_p}{\varepsilon_s} =\frac{qN_Dx_n}{\varepsilon_s}$$

故

$$x_p=\frac{\varepsilon_sE_{\max}}{qN_A}, \qquad x_n=\frac{\varepsilon_sE_{\max}}{qN_D}$$

電壓降由三部分組成：

1. $p$ 區三角形電場區
2. $i$ 區矩形電場區
3. $n$ 區三角形電場區

因此

$$V =E_{\max}W_i +\frac{1}{2}E_{\max}x_p +\frac{1}{2}E_{\max}x_n$$

代入 $x_p$、$x_n$：

$$V =E_{\max}W_i +\frac{\varepsilon_sE_{\max}^2}{2q} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right)$$

整理為

$$\frac{\varepsilon_s}{2q} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right)E_{\max}^2 +W_iE_{\max}-V=0$$

其中

核心觀念

本題考查金屬—半導體蕭特基二極體的：

1. 理想蕭特基能障高度。
2. $p$ 型矽中的費米能階位置。
3. 內建電位。
4. 反向偏壓下的空乏區寬度與最大電場。

採用標準矽參數：

$$\chi_{\mathrm{Si}}=4.05\ \mathrm{eV},\qquad E_g=1.12\ \mathrm{eV}$$ $$\varepsilon_{\mathrm{Si}}=11.8\varepsilon_0 =11.8(8.854\times10^{-14}) =1.044\times10^{-12}\ \mathrm{F/cm}$$

其中題目未提供矽的電子親和力、能隙與介電常數，以上為 $300\ \mathrm{K}$ 常用標準值。

---

解題方法

對理想金屬—$p$ 型半導體接面：

• 電子蕭特基能障：

$$\phi_{Bn}=\phi_m-\chi$$

• 電洞蕭特基能障：

$$\phi_{Bp}=E_g-\phi_{Bn}$$

由於半導體為 $p$ 型，題目所需的蕭特基能障高度採用電洞能障 $\phi_{Bp}$。

半導體費米能階與價帶頂的距離為：

$$E_F-E_V=kT\ln\left(\frac{N_V}{N_A}\right)$$

內建電位為：

$$V_{bi}=\phi_{Bp}-\frac{E_F-E_V}{q}$$

在反向偏壓 $V_R$ 下，空乏區總電位降為：

$$V_{\mathrm{dep}}=V_{bi}+V_R$$

空乏區寬度與最大電場分別為：

$$W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_s(V_{bi}+V_R)}{qN_A}}$$ $$E_{\max}=\frac{qN_AW}{\varepsilon_s} =\frac{2(V_{bi}+V_R)}{W}$$

---

（a）理想蕭特基能障高度與內建電位

已知：

$$\phi_m=4.55\ \mathrm{eV}$$ $$N_A=3\times10^{15}\ \mathrm{cm^{-3}}$$ $$N_V=1.04\times10^{19}\ \mathrm{cm^{-3}}$$

在 $300\ \mathrm{K}$：

$$kT=0.02585\ \mathrm{eV}$$

1. 電子蕭特基能障

$$\phi_{Bn}=\phi_m-\chi$$ $$\phi_{Bn}=4.55-4.05=0.50\ \mathrm{eV}$$

2. 電洞蕭特基能障

$$\phi_{Bp}=E_g-\phi_{Bn}$$ $$\phi_{Bp}=1.12-0.50=0.62\ \mathrm{eV}$$

因此，$p$ 型矽所對應的理想蕭特基電洞能障為：

$$\boxed{\phi_{Bp}=0.62\ \mathrm{eV}}$$

3. 計算費米能階與價帶頂的距離

$$E_F-E_V=kT\ln\left(\frac{N_V}{N_A}\right)$$ $$E_F-E_V =0.02585\ln\left( \frac{1.04\times10^{19}}{3\times10^{15}} \right)\ \mathrm{eV}$$ $$\frac{1.04\times10^{19}}{3\times10^{15}} =3466.7$$ $$E_F-E_V =0.02585\ln(3466.7) \approx0.2107\ \mathrm{eV}$$

因此：

$$\frac{E_F-E_V}{q}=0.2107\ \mathrm{V}$$

4. 計算內建電位

$$V_{bi}=\phi_{Bp}-\frac{E_F-E_V}{q}$$ $$V_{bi}=0.62-0.2107 =0.4093\ \mathrm{V}$$

因此：

$$\boxed{V_{bi}\approx0.409\ \mathrm{V}}$$

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本題主要考驗 MOS 電容器的閾值電壓 ($V_{th}$) 以及高頻 C-V 曲線中的平帶電容 ($C_{FB}$) 和最小電容 ($C_{min}$) 的計算。

核心觀念：

1. MOS 電容器結構：金屬 (或 n⁺ 多晶矽) / 氧化層 (SiO₂) / 半導體 (n-type Si)。
2. 閾值電壓 ($V_{th}$)：達到強反轉 (Strong Inversion) 時所需的閘極電壓。強反轉的條件是表面電位 $|{\phi}_s| = 2{\phi}_F$，其中 ${\phi}_F$ 是半導體的費米電位。
3. 閾值電壓公式：$V_{th} = V_{FB} + {\phi}_s + V_{ox}$。其中 $V_{FB}$ 是平帶電壓，$V_{ox}$ 是氧化層電壓。$V_{ox} = -\frac{Q_s}{C_{ox}}$，$Q_s$ 是半導體表面的總電荷。
4. 平帶電壓 ($V_{FB}$)：當半導體表面沒有表面電位和表面電荷時，金屬與半導體之間的電位差。$V_{FB} = {\Phi}_{ms}$ (金屬與半導體功函數差)。
5. 高頻 C-V 曲線：在強反轉區，由於少數載子無法快速響應高頻信號，表面電荷變化主要由多數載子決定，導致電容下降。
6. 平帶電容 ($C_{FB}$)：在平帶條件下的總電容，等於氧化層電容 ($C_{ox}$) 與半導體電容 ($C_s$) 的串聯。在平帶時，$C_s$ 很大，所以 $C_{FB} \approx C_{ox}$。
7. 最小電容 ($C_{min}$)：在高頻 C-V 曲線的強反轉區，半導體電容達到最小值 ($C_{s,min}$)，總電容為 $C_{min} = \frac{C_{ox} C_{s,min}}{C_{ox} + C_{s,min}}$。

已知條件整理：

• n-type Si 摻雜濃度 $N_d = 10^{16}$ cm⁻³
• SiO₂ 氧化層厚度 $t_{ox} = 20$ nm = $20 \times 10^{-7}$ cm
• SiO₂ 介電常數 ${\epsilon}_{ox} = 3.9 \times 8.85 \times 10^{-14}$ F/cm $\approx 3.45 \times 10^{-13}$ F/cm
• Si 介電常數 ${\epsilon}_{Si} = 11.7 \times 8.85 \times 10^{-14}$ F/cm $\approx 1.036 \times 10^{-12}$ F/cm
• $kT = 0.0259$ eV
• $q = 1.6 \times 10^{-19}$ C
• $n_i = 1.5 \times 10^{10}$ cm⁻³ (來自題目 1)
• n⁺ 多晶矽閘極，假設 $E_F \approx E_c$，表示金屬功函數 ${\Phi}_{M}$ 接近導帶底的能量。
• Si 的電子親和勢 ${\chi}_{Si} = 4.01$ eV (來自題目 1)
• Si 的功函數 ${\Phi}_{Si}$ (需要從 $N_d$ 計算)
• Si 的帶隙 $E_g = 1.12$ eV (來自題目 1)

解題步驟：

(a) 計算閾值電壓 ($V_{th}$)

1. 計算費米電位 (${\phi}_F$)
對於 n-type 半導體，${\phi}_F = \frac{kT}{q} \ln\left(\frac{N_d}{n_i}\right)$
${\phi}_F = 0.0259 \text{ eV} \times \ln\left(\frac{10^{16} \text{ cm}^{-3}}{1.5 \times 10^{10} \text{ cm}^{-3}}\right)$
${\phi}_F = 0.0259 \text{ eV} \times \ln(6.67 \times 10^5)$
${\phi}_F = 0.0259 \text{ eV} \times 13.41 \approx 0.347$ eV。

2. 計算表面電位 (${\phi}_s$)
在強反轉條件下，${\phi}_s = 2{\phi}_F$。
${\phi}_s = 2 \times 0.347 \text{ eV} = 0.694$ eV。

3. 計算平帶電壓 ($V_{FB}$)
$V_{FB} = {\Phi}_{ms}$。
${\Phi}_{ms} = {\Phi}_{M} - {\Phi}_{S}$。
${\Phi}_{M}$ (n⁺ 多晶矽閘極)：由於 $E_F \approx E_c$，${\Phi}_{M}$ 接近 Si 的導帶底能量。
${\Phi}_{M} = {\chi}_{Si} + (E_c - E_F)_{Si}$。
對於 n-type Si，$E_c - E_F = {\phi}_F = 0.347$ eV。
${\Phi}_{M} = 4.01 \text{ eV} + 0.347 \text{ eV} = 4.357$ eV。
${\Phi}_{S}$ (Si 半導體功函數)：${\Phi}_{S} = {\chi}_{Si} + (E_c - E_F)_{Si} = 4.01 \text{ eV} + 0.347 \text{ eV} = 4.357$ eV。
${\Phi}_{ms} = {\Phi}_{M} - {\Phi}_{S} = 4.357 \text{ eV} - 4.357 \text{ eV} = 0$ V。
所以，$V_{FB} = 0$ V。 (這表示閘極材料和半導體功函數非常接近，理想情況下)

4. 計算氧化層電容 ($C_{ox}$)
$C_{ox} = \frac{{\epsilon}_{ox}}{t_{ox}}$

本題主要考驗 MOS 電容器的閾值電壓 ($V_{th}$) 以及高頻 C-V 曲線中的平帶電容 ($C_{FB}$) 和最小電容 ($C_{min}$) 的計算。

核心觀念：

1. MOS 電容器結構：金屬 (或 n⁺ 多晶矽) / 氧化層 (SiO₂) / 半導體 (n-type Si)。
2. 閾值電壓 ($V_{th}$)：達到強反轉 (Strong Inversion) 時所需的閘極電壓。強反轉的條件是表面電位 $|{\phi}_s| = 2{\phi}_F$，其中 ${\phi}_F$ 是半導體的費米電位。
3. 閾值電壓公式：$V_{th} = V_{FB} + {\phi}_s - \frac{Q_s}{C_{ox}}$。其中 $V_{FB}$ 是平帶電壓，$Q_s$ 是半導體表面的總電荷 (耗盡層電荷 $Q_d$ 和反轉層電荷 $Q_{inv}$)。在高頻下，$Q_{inv}$ 在強反轉區可忽略。
4. 平帶電壓 ($V_{FB}$)：當半導體表面沒有表面電位和表面電荷時，金屬與半導體之間的電位差。$V_{FB} = {\Phi}_{ms}$。
5. 高頻 C-V 曲線：在強反轉區，由於少數載子無法快速響應高頻信號，表面電荷變化主要由多數載子決定，導致電容下降。
6. 平帶電容 ($C_{FB}$)：在平帶條件下的總電容，等於氧化層電容 ($C_{ox}$) 與半導體電容 ($C_s$) 的串聯。在平帶時，$C_s$ 很大，所以 $C_{FB} \approx C_{ox}$。
7. 最小電容 ($C_{min}$)：在高頻 C-V 曲線的強反轉區，半導體電容達到最小值 ($C_{s,min}$)，總電容為 $C_{min} = \frac{C_{ox} C_{s,min}}{C_{ox} + C_{s,min}}$。

已知條件整理：

• n-type Si 摻雜濃度 $N_d = 10^{16}$ cm⁻³
• SiO₂ 氧化層厚度 $t_{ox} = 20$ nm = $20 \times 10^{-7}$ cm
• SiO₂ 介電常數 ${\epsilon}_{ox} = 3.9 \times 8.85 \times 10^{-14}$ F/cm $\approx 3.45 \times 10^{-13}$ F/cm
• Si 介電常數 ${\epsilon}_{Si} = 11.7 \times 8.85 \times 10^{-14}$ F/cm $\approx 1.036 \times 10^{-12}$ F/cm
• $kT = 0.0259$ eV
• $q = 1.6 \times 10^{-19}$ C
• $n_i = 1.5 \times 10^{10}$ cm⁻³ (引用自題目 1)
• n⁺ 多晶矽閘極，假設 $E_F \approx E_c$，表示金屬功函數 ${\Phi}_{M}$ 接近導帶底的能量。
• Si 的電子親和勢 ${\chi}_{Si} = 4.01$ eV (引用自題目 1)

解題步驟：

(a) 計算閾值電壓 ($V_{th}$)

1. 計算費米電位 (${\phi}_F$)
對於 n-type 半導體，${\phi}_F = \frac{kT}{q} \ln\left(\frac{N_d}{n_i}\right)$
${\phi}_F = 0.0259 \text{ eV} \times \ln\left(\frac{10^{16} \text{ cm}^{-3}}{1.5 \times 10^{10} \text{ cm}^{-3}}\right)$
${\phi}_F = 0.0259 \text{ eV} \times \ln(6.67 \times 10^5)$
${\phi}_F = 0.0259 \text{ eV} \times 13.41 \approx 0.347$ eV。

2. 計算表面電位 (${\phi}_s$)
在強反轉條件下，${\phi}_s = 2{\phi}_F$。
${\phi}_s = 2 \times 0.347 \text{ eV} = 0.694$ eV。

3. 計算平帶電壓 ($V_{FB}$)
$V_{FB} = {\Phi}_{ms}$。
${\Phi}_{ms} = {\Phi}_{M} - {\Phi}_{S}$。
${\Phi}_{M}$ (n⁺ 多晶矽閘極)：由於 $E_F \approx E_c$，${\Phi}_{M}$ 接近 Si 的導帶底能量。
${\Phi}_{M} = {\chi}_{Si} + (E_c - E_F)_{Si}$。
對於 n-type Si，$E_c - E_F = {\phi}_F = 0.347$ eV。
${\Phi}_{M} = 4.01 \text{ eV} + 0.347 \text{ eV} = 4.357$ eV。

本題主要考驗半導體元件中 PN 接面在不同偏壓下的電位分佈、電場以及載子電流密度計算。

核心觀念：

1. 內建電位 (Built-in Potential, $V_{bi}$)：由兩側半導體的費米能階決定。
2. 接面電位 (Junction Potential)：外加偏壓下的總電位差，等於內建電位減去外加偏壓。
3. 最大電場 ($E_{max}$)：與接面電位和擴散區寬度有關。
4. 擴散區寬度 (Depletion Region Width, $W$)：由摻雜濃度和接面電位決定。
5. 載子電流密度：包含擴散電流和漂移電流，在接面邊緣，擴散電流佔主導。

已知條件整理：

• T = 300 K
• $E_F - E_{Fi} = 0.407$ eV (n region)
• $E_{Fi} - E_F = 0.3474$ eV (p region)
• p-type: $D_p = 25$ cm²/s, $\tau_p = 0.5$ µs = $0.5 \times 10^{-6}$ s
• n-type: $D_n = 10$ cm²/s, $\tau_n = 0.1$ µs = $0.1 \times 10^{-6}$ s
• $q = 1.6 \times 10^{-19}$ C
• $kT = 25.9$ meV = $0.0259$ eV
• $\epsilon_{Si} = 11.7 \times 8.85 \times 10^{-14}$ F/cm $\approx 1.036 \times 10^{-12}$ F/cm

解題步驟：

首先，我們需要計算內建電位 ($V_{bi}$)。內建電位與兩側半導體的費米能階與本質費米能階的差值有關。
$qV_{bi} = (E_F - E_{Fi})_n + (E_{Fi} - E_F)_p$
$qV_{bi} = 0.407 \text{ eV} + 0.3474 \text{ eV} = 0.7544 \text{ eV}$
$V_{bi} = \frac{0.7544 \text{ eV}}{q} = 0.7544 \text{ V}$

為了計算接面電位和最大電場，我們需要知道兩側半導體的摻雜濃度。
由 $E_F - E_{Fi} = kT \ln \frac{N_d}{n_i}$，可知 $N_d = n_i \exp\left(\frac{E_F - E_{Fi}}{kT}\right)$
$N_d = 1.5 \times 10^{10} \text{ cm}^{-3} \exp\left(\frac{0.407 \text{ eV}}{0.0259 \text{ eV}}\right) \approx 1.5 \times 10^{10} \times \exp(15.71) \approx 1.5 \times 10^{10} \times 7.35 \times 10^6 \approx 1.1 \times 10^{17} \text{ cm}^{-3}$

由 $E_{Fi} - E_F = kT \ln \frac{N_a}{n_i}$，可知 $N_a = n_i \exp\left(\frac{E_{Fi} - E_F}{kT}\right)$
$N_a = 1.5 \times 10^{10} \text{ cm}^{-3} \exp\left(\frac{0.3474 \text{ eV}}{0.0259 \text{ eV}}\right) \approx 1.5 \times 10^{10} \times \exp(13.41) \approx 1.5 \times 10^{10} \times 6.64 \times 10^5 \approx 9.96 \times 10^{15} \text{ cm}^{-3}$

(a) 反向偏壓下的總電位差與最大電場

反向偏壓 $V_R = 8$ V。
總電位差 $V_J = V_{bi} + V_R = 0.7544 \text{ V} + 8 \text{ V} = 8.7544 \text{ V}$。

擴散區寬度 $W$ 可以近似為：
$W = \sqrt{\frac{2\epsilon_{Si}}{q} \left(\frac{1}{N_a} + \frac{1}{N_d}\right) V_J}$
由於 $N_d \gg N_a$，所以 $W \approx \sqrt{\frac{2\epsilon_{Si}}{qN_a} V_J}$
$\epsilon_{Si} = 11.7 \times 8.85 \times 10^{-14} \text{ F/cm} \approx 1.036 \times 10^{-12} \text{ F/cm}$
$W \approx \sqrt{\frac{2 \times 1.036 \times 10^{-12} \text{ F/cm}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ C} \times 9.96 \times 10^{15} \text{ cm}^{-3}} \times 8.7544 \text{ V}}$
$W \approx \sqrt{\frac{2.072 \times 10^{-12}}{1.594 \times 10^{-3}} \times 8.7544} \text{ cm}$
$W \approx \sqrt{1.3 \times 10^{-9} \times 8.7544} \text{ cm} \approx \sqrt{11.38 \times 10^{-9}} \text{ cm} \approx 1.067 \times 10^{-4} \text{ cm} = 1.067 \text{ µm}$

最大電場 $E_{max}$ 發生在接面中心，其值為：
$E_{max} = \frac{2V_J}{W}$
$E_{max} = \frac{2 \times 8.7544 \text{ V}}{1.067 \times 10^{-4} \text{ cm}} \approx \frac{17.5088}{1.067 \times 10^{-4}} \text{ V/cm} \approx 1.64 \times 10^5 \text{ V/cm}$

或者也可以用 $E_{max} = \sqrt{\frac{2q N_a V_J}{\epsilon_{Si}}}$ (假設 $N_a$ 決定擴散區寬度)
$E_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} \times 9.96 \times 10^{15} \text{ cm}^{-3} \times 8.7544 \text{ V}}{1.036 \times 10^{-12} \text{ F/cm}}}$
$E_{max} = \sqrt{\frac{2.79 \times 10^{-2}}{1.036 \times 10^{-12}}} \text{ V/cm} = \sqrt{2.69 \times 10^{10}} \text{ V/cm} \approx 1.64 \times 10^5 \text{ V/cm}$

(b) 正向偏壓下的載子電流密度

正向偏壓 $V_F = 0.72$ V。
此時，主要的載子電流是少數載子的擴散電流。
在接面邊緣，少數載子的濃度接近其平衡濃度，而多數載子濃度則因注入效應而升高。
我們需要計算 n 區邊緣 (x=0) 的少數載子 (電洞 $p_n$) 和 p 區邊緣 (x=0) 的少數載子 (電子 $n_p$) 的濃度。

首先計算平衡時的少數載子濃度：

核心觀念

這題利用突變單邊 $n^+-p$ 接面在反向偏壓下的電容密度 $C$ 與偏壓關係。單邊接面中，空乏層主要延伸至低摻雜的 $p$ 側，因此 $1/C^2$ 對反向偏壓 $V_R$ 呈線性，其斜率可求出 $N_a$；直線的 $V_R$ 軸截距則可求內建電位 $V_{bi}$，再由內建電位公式求出 $N_d$。

解題方法

依原卷圖讀值：$V_R=1\,\text{V}$ 時，$1/C^2=2.12\times10^{16}$；$V_R=2\,\text{V}$ 時，$1/C^2=3.33\times10^{16}$。直線的 $V_R$ 軸截距為 $-0.75\,\text{V}$。題目附上的文字描述將 $3.33\times10^{16}$ 對應的電壓位置寫錯；以下依原卷圖計算。

對單邊 $n^+-p$ 接面：

$$\frac{1}{C^2} = \frac{2(V_{bi}+V_R)}{q\varepsilon_sN_a}$$

因此斜率 $m$ 為：

$$m = \frac{\Delta(1/C^2)}{\Delta V_R} = \frac{(3.33-2.12)\times10^{16}}{2-1} = 1.21\times10^{16} \ \frac{\text{cm}^4}{\text{F}^2\cdot\text{V}}$$

矽的介電常數為：

$$\varepsilon_s = 11.7\varepsilon_0 = 11.7(8.85\times10^{-14}) = 1.03545\times10^{-12}\ \text{F/cm}$$

由 $m=2/(q\varepsilon_sN_a)$，且 $q=1.6\times10^{-19}\,\text{C}$：

本題主要考驗對二極體 Ideality Factor ($n$) 的理解，以及造成 $n \neq 1$ 的物理機制。

核心觀念：

1. Ideality Factor ($n$)：在理想的 PN 接面二極體中，電流主要由少數載子擴散主導，其 ideality factor $n=1$。
2. 電流模型：
   • Diffusion Current ($n=1$)：在 PN 接面處，少數載子注入並擴散，是理想情況下的主要電流。
   • Recombination Current ($n=2$)：在接面擴散區 (depletion region) 內，電子和電洞可能在此處複合 (recombine)。這種複合過程對電流的貢獻，其 ideality factor $n=2$。
3. 其他因素：除了擴散和複合，電阻效應 (如串聯電阻 $R_s$) 也會影響二極體的 I-V 特性，但通常不直接體現在 ideality factor 的定義中，而是會導致在正向導通時，實際電壓降小於外加電壓，使得電流成長不如理想。然而，某些情況下，電阻效應與其他機制結合，也可能間接影響 I-V 曲線的斜率，但 $n=2$ 的主要原因通常與複合直接相關。

Ideality Factor 的意義：

• $n=1$：電流主要由接面兩側的少數載子擴散決定 (Diffusion current)。
• $n=2$：電流主要由擴散區內的複合決定 (Recombination current)。
• $1 < n < 2$：通常是擴散電流和複合電流的混合。

題目要求：
提供 $n=2$ 的可能原因。

解題：
當二極體的 I-V 特性接近 $I = I_s[\exp(qV_a/2kT) - 1]$ 時，其 ideality factor $n=2$。這表示電流的主要貢獻來自於擴散區內的載子複合。

可能原因：

1. 擴散區內的複合 (Recombination in the Depletion Region)：
   在 PN 接面的擴散區，電子和電洞的濃度都相對較低，但由於有較強的電場，載子壽命較短，容易發生複合。如果複合是主要的電流機制，那麼 ideality factor 會是 2。這種情況在低摻雜濃度、擴散區較寬的 PN 接面中比較常見。
   • 解釋：在擴散區內，電子和電洞的複合會消耗由外加電壓產生的載子注入。根據 Shockley-Read-Hall (SRH) 複合理論，在擴散區內的複合電流與 $\exp(qV_a/2kT)$ 成正比。

核心觀念

本題考查矽基 $p$-$i$-$n$ 接面在反向偏壓下的空乏區與電場分布。

在空乏近似下：

• 中間本質區 $i$ 完全空乏，寬度固定為 $W_i=1~\mu\text{m}$。
• $p$ 區與 $n$ 區分別向接面延伸空乏寬度 $x_p$、$x_n$。
• 空間電荷中性條件為

$$N_Ax_p=N_Dx_n$$

• 在本質區內，電場為最大值且近似為常數 $E_{\max}$。
• 總電壓包含內建電位與外加反向偏壓：

$$V=V_{bi}+V_R$$

矽的介電常數取

$$\varepsilon_s=11.8\varepsilon_0 =11.8(8.854\times10^{-14}) =1.044\times10^{-12}~\text{F/cm}$$

---

已知條件

$$W_i=1~\mu\text{m}=1.0\times10^{-4}~\text{cm}$$ $$N_A=10^{16}~\text{cm}^{-3},\qquad N_D=10^{17}~\text{cm}^{-3}$$ $$V_R=8~\text{V},\qquad T=300~\text{K}$$

在 $300~\text{K}$ 下，矽的本質載子濃度取

$$n_i\approx10^{10}~\text{cm}^{-3}$$

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內建電位

熱電壓為

$$V_T=\frac{kT}{q}\approx0.02585~\text{V}$$

因此，$p$-$n$ 兩端的內建電位為

$$V_{bi}=V_T\ln\left(\frac{N_AN_D}{n_i^2}\right)$$

代入數值：

$$V_{bi} =0.02585\ln\left( \frac{10^{16}\times10^{17}}{(10^{10})^2} \right)$$ $$=0.02585\ln(10^{13}) \approx0.774~\text{V}$$

所以空乏區總電壓為

$$V=V_R+V_{bi} =8+0.774 =8.774~\text{V}$$

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解題方法

設 $E_{\max}$ 為本質區中的最大電場。由高斯定律，$p$ 區與 $n$ 區的電荷所造成的電場大小相同，因此

$$E_{\max} =\frac{qN_Ax_p}{\varepsilon_s} =\frac{qN_Dx_n}{\varepsilon_s}$$

故

$$x_p=\frac{\varepsilon_sE_{\max}}{qN_A}, \qquad x_n=\frac{\varepsilon_sE_{\max}}{qN_D}$$

電壓降由三部分組成：

1. $p$ 區三角形電場區
2. $i$ 區矩形電場區
3. $n$ 區三角形電場區

因此

$$V =E_{\max}W_i +\frac{1}{2}E_{\max}x_p +\frac{1}{2}E_{\max}x_n$$

代入 $x_p$、$x_n$：

$$V =E_{\max}W_i +\frac{\varepsilon_sE_{\max}^2}{2q} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right)$$

整理為

$$\frac{\varepsilon_s}{2q} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right)E_{\max}^2 +W_iE_{\max}-V=0$$

其中