109 年 國立中山大學電機工程學系碩士班甲組《半導體概論》

此題主要考查線性漸變 P-N 接面的崩潰電壓與崩潰電場、雜質濃度梯度之間的關係。

對於線性漸變的 P-N 接面，雜質濃度沿著接面深度 $x$ 的變化率（即雜質梯度）可以表示為 $|\frac{dN}{dx}| = G$。
崩潰電壓 $V_B$ 與最大電場 $E_m$ 以及雜質濃度梯度 $G$ 的關係式為：
$V_B = \frac{2 E_m^2 \varepsilon_s}{q G}$
其中 $q$ 為基本電荷，$q = 1.602 \times 10^{-19}$ C。
$\varepsilon_s$ 為半導體的介電常數，對於矽 (Si)，$\varepsilon_s = 11.9 \times \varepsilon_0$，其中 $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m。
因此，$\varepsilon_s = 11.9 \times 8.854 \times 10^{-12} \approx 1.0536 \times 10^{-10}$ F/m。

我們需要計算在給定的崩潰電壓範圍 $V_B = 250$ V 到 $750$ V，以及最大崩潰電場 $E_m = 2.5 \times 10^5$ V/cm 下，所需的雜質梯度 $G$ 的範圍。

首先，將單位統一。$E_m = 2.5 \times 10^5$ V/cm $= 2.5 \times 10^7$ V/m。
$\varepsilon_s = 1.0536 \times 10^{-10}$ F/m。

將公式改寫為 $G = \frac{2 E_m^2 \varepsilon_s}{q V_B}$。

當 $V_B = 250$ V 時：
$G_{min} = \frac{2 \times (2.5 \times 10^7 \text{ V/m})^2 \times (1.0536 \times 10^{-10} \text{ F/m})}{(1.602 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (250 \text{ V})}$

核心觀念

本題考查理想金屬—半導體接面（Schottky diode）在零偏壓下的：

1. Schottky barrier height（金屬與半導體之間的能障）
2. 內建電位 $V_{bi}$
3. 空乏層寬度 $W$
4. 空乏區最大電場 $E_{\max}$

對理想 n 型 Schottky 接面：

$$\phi_{Bn}=\phi_m-\chi$$

其中 $\phi_{Bn}$ 以 eV 表示時，也可視為數值相同的能障電壓（V）。

半導體端的費米能階位置為：

$$E_C-E_F=kT\ln\left(\frac{N_C}{N_D}\right)$$

因此內建電位為：

$$V_{bi}=\phi_{Bn}-\frac{E_C-E_F}{q}$$

在零外加偏壓下，n 型半導體形成均勻空乏區，其寬度為：

$$W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_s V_{bi}}{qN_D}}$$

最大電場出現在金屬—半導體界面：

$$E_{\max}=\frac{qN_DW}{\varepsilon_s} =\sqrt{\frac{2qN_DV_{bi}}{\varepsilon_s}}$$

---

解題方法與計算

1. Schottky barrier height

已知金屬功函數與矽電子親和力：

$$\phi_m=4.65\ \text{eV}$$ $$\chi=4.01\ \text{eV}$$

因此 n 型矽的理想 Schottky 能障高度為：

$$\phi_{Bn}=\phi_m-\chi$$ $$\phi_{Bn}=4.65-4.01=0.64\ \text{eV}$$

所以：

$$\boxed{\phi_{Bn}=0.64\ \text{eV}}$$

若以電位表示，則：

$$\boxed{\phi_{Bn}/q=0.64\ \text{V}}$$

---

2. 內建電位

在 $T=300\ \text{K}$ 時：

$$kT=0.02585\ \text{eV}$$

已知：

$$N_C=2.86\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}$$ $$N_D=5\times10^{16}\ \text{cm}^{-3}$$

先計算矽中導帶底與費米能階的差距：

$$E_C-E_F=kT\ln\left(\frac{N_C}{N_D}\right)$$ $$\frac{N_C}{N_D} = \frac{2.86\times10^{19}}{5\times10^{16}} =572$$ $$E_C-E_F = 0.02585\ln(572) \approx 0.164\ \text{eV}$$

因此：

$$V_{bi} = 0.64-0.164 \approx 0.476\ \text{V}$$

所以：

$$\boxed{V_{bi}\approx0.476\ \text{V}}$$

這個內建電位也可由金屬與半導體功函數差表示：

$$qV_{bi}=\phi_m-\phi_s$$

其中：

$$\phi_s=\chi+\frac{E_C-E_F}{q}$$

---

3. 零偏壓下的空乏層寬度

矽的介電常數取：

$$\varepsilon_s=11.8\varepsilon_0$$ $$\varepsilon_0=8.854\times10^{-14}\ \text{F/cm}$$

因此：

核心觀念

本題考查突變式 $p$-$n$ 接面的空乏層寬度推導，使用三個核心觀念：

1. 空乏近似：空乏區內的自由電子與電洞被掃除，只剩固定的離子化受體與施體。
2. 電中性條件：接面平衡時，空乏區內正、負離子總電荷量相等。
3. 卜瓦松方程式與內建電位：由空間電荷分布求電場，再積分電場得到內建電位 $V_{bi}$。

設接面位於 $x=0$，空乏區向 $p$ 側延伸 $x_p$，向 $n$ 側延伸 $x_n$，因此總空乏層寬度為

$$W=x_p+x_n$$

假設接面為突變式接面，且採用空乏近似。

---

解題方法

1. 建立空間電荷分布

在 $p$ 側空乏區 $-x_p<x<0$，只剩帶負電的離子化受體：

$$\rho(x)=-qN_A$$

在 $n$ 側空乏區 $0<x<x_n$，只剩帶正電的離子化施體：

$$\rho(x)=qN_D$$

空乏區外的半導體近似為電中性，因此

$$\rho(x)=0$$

---

2. 使用電荷中性條件

整個空乏區必須滿足總電荷為零：

$$qN_Dx_n=qN_Ax_p$$

因此

$$N_Dx_n=N_Ax_p$$

可得兩側空乏區寬度的比例：

$$\frac{x_p}{x_n}=\frac{N_D}{N_A}$$

所以摻雜濃度較低的一側，空乏區會延伸得較寬。

---

3. 由卜瓦松方程式求電場

半導體中的卜瓦松方程式為

$$\frac{dE}{dx}=\frac{\rho(x)}{\varepsilon_s}$$

在 $p$ 側：

$$\frac{dE}{dx}=-\frac{qN_A}{\varepsilon_s}$$

利用空乏區邊界的電場條件 $E(-x_p)=0$，積分得

$$E(x)=-\frac{qN_A}{\varepsilon_s}(x+x_p) \qquad (-x_p\leq x\leq 0)$$

在 $n$ 側：

$$\frac{dE}{dx}=\frac{qN_D}{\varepsilon_s}$$

利用 $E(x_n)=0$，積分得

$$E(x)=\frac{qN_D}{\varepsilon_s}(x-x_n) \qquad (0\leq x\leq x_n)$$

電場方向由 $n$ 側指向 $p$ 側；若只計算電場大小，接面處的最大電場為

$$E_{\max}=\frac{qN_Ax_p}{\varepsilon_s} =\frac{qN_Dx_n}{\varepsilon_s}$$

---

4. 由電場積分得到內建電位

內建電位等於空乏區電場的積分。取電位差的正值：

$$V_{bi}=\int_{-x_p}^{x_n}|E(x)|\,dx$$

兩側電場分布皆為三角形，因此也可直接寫成

$$V_{bi} =\frac{1}{2}E_{\max}(x_p+x_n)$$

代入 $E_{\max}$：

$$V_{bi} =\frac{1}{2} \left(\frac{qN_Ax_p}{\varepsilon_s}\right) (x_p+x_n)$$

亦可寫成

$$V_{bi} =\frac{q}{2\varepsilon_s} \left(N_Ax_p^2+N_Dx_n^2\right)$$

---

5. 求出總空乏層寬度

由電荷中性條件：

$$N_Ax_p=N_Dx_n$$

且

$$W=x_p+x_n$$

可得

核心觀念

這題考查雙極性接面電晶體的射極注入效率 $\gamma$。

以 NPN 電晶體為例，射極注入效率定義為射極注入基底的電子電流，占射極總電流的比例：

$$\gamma = \frac{J_{nE}}{J_{nE}+J_{pE}}$$

其中：

• $J_{nE}$：射極注入基底的電子電流密度
• $J_{pE}$：基底注入射極的電洞電流密度

射極摻雜濃度越高，從基底注入射極的電洞電流越小，射極注入效率越高。

在低階注入、少數載子濃度呈線性分布的假設下：

$$J_{nE} \approx qD_B\frac{n_i^2}{N_Bx_B}$$ $$J_{pE} \approx qD_E\frac{n_i^2}{N_Ex_E}$$

因此，射極注入效率可寫成：

$$\gamma = \frac{1} {1+\dfrac{J_{pE}}{J_{nE}}}$$

代入電流密度公式後，內建電位、熱平衡少數載子濃度及電子電荷量皆會約去，得到常用公式：

$$\gamma = \frac{1} {1+ \left(\frac{D_E}{D_B}\right) \left(\frac{N_B}{N_E}\right) \left(\frac{x_B}{x_E}\right)}$$

---

解題方法

已知：

$$N_B=3\times10^{15}\ \text{cm}^{-3}$$ $$N_E=2\times10^{17}\ \text{cm}^{-3}$$ $$x_B=0.8\ \mu\text{m}$$ $$x_E=0.5\ \mu\text{m}$$ $$D_B=20\ \text{cm}^2/\text{s}$$ $$D_E=10\ \text{cm}^2/\text{s}$$

使用射極注入效率公式：

$$\gamma = \frac{1} {1+ \left(\frac{D_E}{D_B}\right) \left(\frac{N_B}{N_E}\right) \left(\frac{x_B}{x_E}\right)}$$

先計算三個比例：

核心觀念

本題考查短通道效應中的「電荷分享效應（charge sharing）」：

短通道 MOSFET 中，源極與汲極的空乏區會向通道中央延伸，使閘極不必再獨自提供完整的通道空乏電荷。因此，形成反轉層所需的閘極電壓降低，造成臨界電壓下降：

$$\Delta V_T<0$$

在常用的一階近似模型中，短通道造成的臨界電壓位移為

$$\Delta V_T = -\frac{qN_A}{C_{ox}}\frac{r_j^2}{L}$$

其中：

• $q$：基本電荷量
• $N_A$：基板受體濃度
• $C_{ox}$：單位面積氧化層電容
• $r_j$：接面深度
• $L$：通道長度

---

解題方法

1. 計算氧化層電容

單位面積氧化層電容為

$$C_{ox}=\frac{\varepsilon_{ox}}{t_{ox}}$$

氧化層介電常數為

$$\varepsilon_{ox} = 3.9\varepsilon_0 = 3.9(8.854\times10^{-14}) = 3.453\times10^{-13}\ \text{F/cm}$$

氧化層厚度：

$$t_{ox}=200\ \text{\AA} =200\times10^{-8}\ \text{cm} =2.00\times10^{-6}\ \text{cm}$$

因此

$$C_{ox} = \frac{3.453\times10^{-13}} {2.00\times10^{-6}} = 1.727\times10^{-7}\ \text{F/cm}^2$$

---

2. 將長度換成公分

$$r_j=0.3\ \mu\text{m} =3.0\times10^{-5}\ \text{cm}$$ $$L=1\ \mu\text{m} =1.0\times10^{-4}\ \text{cm}$$

所以