115 年 國立中山大學電機工程學系碩士班甲組《半導體概論》

本題考查半導體在熱平衡狀態下，給定摻雜濃度時，如何計算電洞與電子的濃度。

在熱平衡狀態下，對於一個非簡併的半導體，我們有以下幾個基本關係式：

1. 電中性條件：$n + N_a^- = p + N_d^+$，其中 $n$ 為電子濃度，$p$ 為電洞濃度，$N_a^-$ 為已游化的受質原子濃度，$N_d^+$ 為已游化的給質原子濃度。在熱平衡時，所有摻雜原子都已游化，所以 $N_a^- = N_a$ 且 $N_d^+ = N_d$。
2. 質量作用定律：$np = n_i^2$

給定條件：
$T = 300 \text{ K}$
$N_d = 2.5 \times 10^{14} \text{ cm}^{-3}$ (給質雜質濃度)
$N_a = 1.5 \times 10^{14} \text{ cm}^{-3}$ (受質雜質濃度)
$n_i = 5 \times 10^{13} \text{ cm}^{-3}$ (本質載子濃度)

首先，判斷半導體的類型。由於 $N_d > N_a$，此半導體為 n 型。

應用電中性條件：
$n + N_a = p + N_d$
$n + 1.5 \times 10^{14} = p + 2.5 \times 10^{14}$
$n - p = (2.5 - 1.5) \times 10^{14} = 1.0 \times 10^{14} \text{ cm}^{-3}$

由質量作用定律，我們有 $p = \frac{n_i^2}{n}$。將此代入電中性條件的差值式中：
$n - \frac{n_i^2}{n} = 1.0 \times 10^{14}$
$n^2 - n_i^2 = (1.0 \times 10^{14}) n$
$n^2 - (1.0 \times 10^{14}) n - n_i^2 = 0$

將 $n_i = 5 \times 10^{13} \text{ cm}^{-3}$ 代入：
$n_i^2 = (5 \times 10^{13})^2 = 25 \times 10^{26} = 2.5 \times 10^{27} \text{ cm}^{-6}$

所以，二次方程式為：
$n^2 - (1.0 \times 10^{14}) n - 2.5 \times 10^{27} = 0$

使用二次方程式的求根公式：$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
其中 $a=1$, $b = -1.0 \times 10^{14}$, $c = -2.5 \times 10^{27}$

$n = \frac{1.0 \times 10^{14} \pm \sqrt{(-1.0 \times 10^{14})^2 - 4(1)(-2.5 \times 10^{27})}}{2(1)}$
$n = \frac{1.0 \times 10^{14} \pm \sqrt{1.0 \times 10^{28} + 10.0 \times 10^{27}}}{2}$
$n = \frac{1.0 \times 10^{14} \pm \sqrt{1.0 \times 10^{28} + 1.0 \times 10^{28}}}{2}$
$n = \frac{1.0 \times 10^{14} \pm \sqrt{2.0 \times 10^{28}}}{2}$

核心觀念

本題考查「非均勻摻雜半導體在熱平衡下的內建電場」。由於施體濃度隨位置改變，電子會因濃度梯度產生擴散電流；熱平衡時，電場造成的漂移電流必須抵消擴散電流，因此總電子電流為零。

電子電流密度為

$$J_n=q\mu_n nE+qD_n\frac{dn}{dx}$$

熱平衡時 $J_n=0$，因此

$$E=-\frac{D_n}{\mu_n}\frac{1}{n}\frac{dn}{dx}$$

利用 Einstein 關係式

$$\frac{D_n}{\mu_n}=\frac{kT}{q}$$

可得

$$E=-\frac{kT}{q}\frac{1}{n}\frac{dn}{dx} =-\frac{kT}{q}\frac{d(\ln n)}{dx}$$

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解題方法

假設施體完全游離，且半導體為非簡併、熱平衡狀態，則多數載子電子濃度近似等於施體濃度：

$$n(x)\approx N_d(x)$$

題目給定

$$N_d(x)=10^{16}e^{-10^{19}x}\ \text{cm}^{-3}$$

因此

$$\ln n(x)=\ln(10^{16})-10^{19}x$$

對 $x$ 微分：

$$\frac{d(\ln n)}{dx}=-10^{19}\ \text{cm}^{-1}$$

代入內建電場公式：

$$E=-\frac{kT}{q}\left(-10^{19}\right)$$

在 $T=300\ \text{K}$ 時，

本題考查非平衡載子壽命問題，特別是少數載子濃度在產生後，由於複合作用而隨時間衰減的行為。

在非平衡狀態下，少數載子的濃度變化率由產生率、複合率和擴散率決定。在此題中，我們忽略擴散效應，只考慮產生和複合。

少數載子（在此為電洞，因為是 n 型半導體）的濃度變化可以用以下微分方程式描述：
$\frac{dp}{dt} = g'_p - R_p$
其中 $p$ 是電洞濃度，$g'_p$ 是電洞的產生率，$R_p$ 是電洞的複合率。

題目給定：

1. 半導體是 n 型 GaAs，摻雜濃度 $N_d = 10^{16} \text{ cm}^{-3}$。
2. 在 $t = 0$ 時，均勻產生了 $10^{14} \text{ cm}^{-3}$ 的電子-電洞對。這表示初始的非平衡電洞濃度 $\Delta p(0) = 10^{14} \text{ cm}^{-3}$。
3. 對於 $t > 0$，產生率 $g' = 0$。
4. 少數載子（電洞）的壽命 $\tau_{p0} = 50 \text{ ns}$。

在 n 型半導體中，熱平衡時的電洞濃度為 $p_0$。由於 $N_d = 10^{16} \text{ cm}^{-3}$，且 GaAs 的本質載子濃度 $n_i$ 在室溫下約為 $1.8 \times 10^6 \text{ cm}^{-3}$，所以 $N_d \gg n_i$。
因此，$p_0 = \frac{n_i^2}{N_d} \ll N_d$。
在 $t=0$ 時，總電洞濃度 $p(0) = p_0 + \Delta p(0) = p_0 + 10^{14} \text{ cm}^{-3}$。
由於 $p_0 \ll 10^{14} \text{ cm}^{-3}$，我們可以近似認為 $p(0) \approx 10^{14} \text{ cm}^{-3}$。

複合率 $R_p$ 通常與載子濃度有關。對於輻射複合或 SRH 複合，在非平衡狀態下，複合率與非平衡載子濃度 $\Delta p$ 成正比：$R_p = \frac{\Delta p}{\tau_{p0}}$。
這裡的 $\tau_{p0}$ 是少數載子（電洞）的壽命。

因此，少數載子濃度的變化率方程式為：
$\frac{d(\Delta p)}{dt} = g'_p - \frac{\Delta p}{\tau_{p0}}$
由於 $g'_p = 0$ 對於 $t > 0$，方程式簡化為：

核心觀念

本題考查矽中少數載子因電子—電洞對產生與復合所造成的 SRH（Shockley–Read–Hall）復合率。

復合率公式為

$$R=\frac{np-n_i^2}{\tau_{p0}(n+n')+\tau_{n0}(p+p')}$$

其中：

• $n$、$p$：受激發後的電子與電洞濃度
• $n_i$：本質載子濃度
• $\tau_{n0}$、$\tau_{p0}$：載子生命期參數
• $n'$、$p'$：與陷阱能階有關的參數

由於產生的是電子—電洞對，且題目給定

$$\delta n=\delta p=10^{14}\ \text{cm}^{-3}$$

因此復合率 $R$ 即為過剩載子的復合速率，單位為 $\text{cm}^{-3}\text{s}^{-1}$。

解題方法

1. 求平衡載子濃度

矽為 $n$ 型半導體，且

$$N_d=10^{16}\ \text{cm}^{-3},\qquad N_a=0$$

假設雜質完全游離，且 $N_d\gg n_i$，平衡電子濃度近似為

$$n_0\simeq N_d=10^{16}\ \text{cm}^{-3}$$

由熱平衡關係

$$n_0p_0=n_i^2$$

得到

$$p_0=\frac{n_i^2}{n_0} =\frac{(1.5\times10^{10})^2}{10^{16}} =2.25\times10^4\ \text{cm}^{-3}$$

2. 求受激發後的載子濃度

$$n=n_0+\delta n =10^{16}+10^{14} =1.01\times10^{16}\ \text{cm}^{-3}$$ $$p=p_0+\delta p =2.25\times10^4+10^{14} \approx 1.000000225\times10^{14}\ \text{cm}^{-3}$$

3. 代入復合率公式

題目給定

$$n'=p'=n_i=1.5\times10^{10}\ \text{cm}^{-3}$$

以及

$$\tau_{n0}=\tau_{p0}=5\times10^{-7}\ \text{s}$$

分子為