114 年國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《電子學》考古題與詳解

Question 1

(15%) A third-order low-pass filter has transmission zeros at $ \omega = 5 $ rad/s and at $ \omega = \infty $. Its natural modes are at $ s = -2 $ and $ s = -0.3 \pm j0.6 $. The de gain is unity. Find the transfer function $ T(s) $.

Accepted Answer

觀念說明

傳輸零點（Transmission Zeros）對應傳遞函數 $T(s)$ 分子的根，自然模式（Natural Modes / Poles）對應分母的根。
根據題意：

傳輸零點：
- 位於 $\omega = 5 \text{ rad/s}$ ，表示對應一對共軛虛數零點 $s = \pm j5$ ，零點因子為 $s^2 + 5^2 = s^2 + 25$ 。
- 位於 $\omega = \infty$ ，代表分子多項式次數小於分母多項式次數。
自然模式（極點）：
- 位於 $s = -2$ 與 $s = -0.3 \pm j0.6$ 。
- 實極點因子： $(s + 2)$
- 共軛極點因子： $(s - (-0.3 + j0.6))(s - (-0.3 - j0.6)) = (s + 0.3)^2 + 0.6^2 = s^2 + 0.6s + 0.45$
DC 增益：
- 在 $s = 0$ 時， $T(0) = 1$ 。

詳細推導

Question 2

(30%) In the circuit of Fig. 1, the NMOS transistor has $|V_t| = 0.9$ V, and $V_A = 100$ V, and operates with $V_D = V_{GS} = 2$ V. (a) What is the voltage gain $v_o/v_i$ ? (10%) (b) What does $V_D$ become when $I_{REF}$ increase to 1 mA? (10%) And (c) what is the new gain? (10%)

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Accepted Answer

核心觀念 本題為含有限輸出電阻 $ro$ 與回授電阻 $RG$ 的 NMOS 共源放大器。 中頻時，兩個耦合電容視為短路，且理想電流源的小訊號電阻視為無限大。相關公式為 $$ gm=\frac{2ID}{V{OV}},\qquad V{OV}=V{GS}-Vt $$ $$ ro=\frac{VA}{ID} $$ 其中 $$ RL=10\,	ext{k}\Omega,\qquad RG=10\,	ext{M}\Omega $$ --- (a) 電壓增益 $vo/vi$ 已知 $$ ID=500\,\mu	ext{A},\qquad V{GS}=2\,	ext{V},\qquad |Vt|=0.9\,	ext{V} $$ 因此 $$ V{OV}=2-0.9=1.1\,	ext{V} $$ $$ gm=\frac{2(500\,\mu	ext{A})}{1.1} =0.909\,	ext{mS} $$ $$ ro=\frac{100\,	ext{V}}{500\,\mu	ext{A}} =200\,	ext{k}\Omega $$ 對輸出節點寫 KCL： $$ \frac{vo}{RL}+\frac{vo-vi}{RG}+\frac{vo}{ro}+gmvi=0 $$ 整理得 $$ \frac{vo}{vi} = \frac{\dfrac{1}{RG}-gm} {\dfrac{1}{RL}+\dfrac{1}{RG}+\dfrac{1}{ro}} $$ 代入數值： $$ \frac{vo}{vi} = \frac{0.1\,\mu	ext{S}-0.909\,	ext{mS}} {100\,\mu	ext{S}+0.1\,\mu	ext{S}+5\,\mu	ext{S}} $$ $$ \boxed{\frac{vo}{vi}\approx -8.65} $$ 負號表示共源放大器具有 $180^\circ$ 相位反轉。 --- (b) $I{REF}$ 增加至 $1\,	ext{mA}$ 時的 $VD$ 直流時輸入與輸出耦合電容開路，閘極無直流電流，因此 $RG$ 上沒有壓降： $$ VG=VD $$ 又因為源極接地， $$ V{GS}=VD $$ 考慮通道長度調變： $$ ID=\frac{1}{2}kn'(VD-Vt)^2 \left(1+\frac{VD}{VA}ight) $$ 利用原本工作點與新工作點取比值：

Question 3

(30%) The current-steering circuit of Fig. 2 is fabricated in a CMOS technology for which $k_n' = 90$ $\mu$ A/V $^2$ , $k_p = 30$ $\mu$ A/V $^2$ , $V_{tn} = 0.8$ V, and $V_{tp} = -0.9$ V. If all devices have $L = 2$ $\mu$ m, design the circuit so that $I_{REF} = 20$ $\mu$ A, $I_2 = 100$ $\mu$ A, and $I_5 = 40$ $\mu$ A. Use the minimum width of 2 $\mu$ m for as many of the devices as possible. (a) Give the required width for each transistor and the value of R required. (10%) (b) What is the highest voltage possible at the drain of Q2? (5%) (c) What is the lowest voltage possible at the drain of Q5? (5%) If $V_{An} = 6 L$ and $|V_{Ap}| = 10 L$ , where $L$ is in $\mu$ m and $V_{An}$ and $V_{Ap}$ are in volts, (d) find the output resistance of the current source Q2, (5%) and (e) the output resistance of the current sink Q5. (5%)

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Accepted Answer

核心觀念

本題考查 CMOS 電流鏡與電流舵電路，使用下列公式：

在飽和區，忽略通道長度調變時，

I_D=\frac{1}{2}k'\frac{W}{L}V_{OV}^2

其中：

PMOS： $V_{OV,p}=V_{SG}-|V_{tp}|$
NMOS： $V_{OV,n}=V_{GS}-V_{tn}$

電流鏡匹配時，在相同 $L$ 與相同過驅電壓下，

\frac{I_{D2}}{I_{D1}}=\frac{W_2}{W_1}

輸出電阻則由通道長度調變決定：

r_o=\frac{|V_A|}{I_D}

解題方法

(a) 各電晶體寬度與電阻 $R$

PMOS 電流鏡 $Q_1$ 、 $Q_2$

令盡可能多的電晶體採用最小寬度：

L=2\ \mu\text{m},\qquad W_1=2\ \mu\text{m}

因為

\frac{I_2}{I_{REF}}=\frac{100}{20}=5

所以

\frac{W_2}{W_1}=5

因此

W_2=5(2)=10\ \mu\text{m}

$Q_1$ 的過驅電壓為

20=\frac{1}{2}(30)\left(\frac{2}{2}\right)V_{OV,p}^2

V_{OV,p}=\sqrt{\frac{40}{30}}=1.155\ \text{V}

因此

V_{SG1}=|V_{tp}|+V_{OV,p} =0.9+1.155=2.055\ \text{V}

PMOS 的源極接 $+5$ V，所以閘極電壓為

V_G=5-2.055=2.945\ \text{V}

電阻 $R$ 兩端電壓為 $2.945$ V，流過電阻的電流為 $I_{REF}=20\ \mu$ A：

R=\frac{2.945}{20\ \mu\text{A}} =147.3\ \text{k}\Omega

PMOS $Q_3$ 與 NMOS 電流鏡 $Q_4$ 、 $Q_5$

$Q_3$ 的電流需供應 $Q_4$ ，而 $Q_4$ 、 $Q_5$ 電流鏡要求

I_3=I_4=I_5=40\ \mu\text{A}

相對於 $Q_1$ ：

\frac{I_3}{I_{REF}}=\frac{40}{20}=2

故

W_3=2W_1=4\ \mu\text{m}

為使 $Q_5$ 使用最小寬度，令

W_4=W_5=2\ \mu\text{m}

此時 $Q_4$ 、 $Q_5$ 的電流皆為 $40\ \mu$ A。

(b) $Q_2$ 汲極的最高電壓

PMOS $Q_2$ 必須工作於飽和區：

V_{SD2}\geq V_{OV,p}

Question 4

(30%) The current-steering circuit of Fig. 2 is fabricated in a CMOS technology for which $k_n' = 90$ $\mu$ A/V $^2$ , $k_p = 30$ $\mu$ A/V $^2$ , $V_{tn} = 0.8$ V, and $V_{tp} = -0.9$ V. If all devices have $L = 2$ $\mu$ m, design the circuit so that $I_{REF} = 20$ $\mu$ A, $I_2 = 100$ $\mu$ A, and $I_5 = 40$ $\mu$ A. Use the minimum width of 2 $\mu$ m for as many of the devices as possible. (a) Give the required width for each transistor and the value of R required. (10%) (b) What is the highest voltage possible at the drain of Q2? (5%) (c) What is the lowest voltage possible at the drain of Q5? (5%) If $V_{An} = 6 L$ and $|V_{Ap}| = 10 L$ , where $L$ is in $\mu$ m and $V_{An}$ and $V_{Ap}$ are in volts, (d) find the output resistance of the current source Q2, (5%) and (e) the output resistance of the current sink Q5. (5%)

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Accepted Answer

核心觀念

本題考查 CMOS 電流鏡與電流舵電路，使用下列公式：

在飽和區，忽略通道長度調變時，

I_D=\frac{1}{2}k'\frac{W}{L}V_{OV}^2

其中：

PMOS： $V_{OV,p}=V_{SG}-|V_{tp}|$
NMOS： $V_{OV,n}=V_{GS}-V_{tn}$

電流鏡匹配時，在相同 $L$ 與相同過驅電壓下，

\frac{I_{D2}}{I_{D1}}=\frac{W_2}{W_1}

輸出電阻則由通道長度調變決定：

r_o=\frac{|V_A|}{I_D}

解題方法

(a) 各電晶體寬度與電阻 $R$

PMOS 電流鏡 $Q_1$ 、 $Q_2$

令盡可能多的電晶體採用最小寬度：

L=2\ \mu\text{m},\qquad W_1=2\ \mu\text{m}

因為

\frac{I_2}{I_{REF}}=\frac{100}{20}=5

所以

\frac{W_2}{W_1}=5

因此

W_2=5(2)=10\ \mu\text{m}

$Q_1$ 的過驅電壓為

20=\frac{1}{2}(30)\left(\frac{2}{2}\right)V_{OV,p}^2

V_{OV,p}=\sqrt{\frac{40}{30}}=1.155\ \text{V}

因此

V_{SG1}=|V_{tp}|+V_{OV,p} =0.9+1.155=2.055\ \text{V}

PMOS 的源極接 $+5$ V，所以閘極電壓為

V_G=5-2.055=2.945\ \text{V}

電阻 $R$ 兩端電壓為 $2.945$ V，流過電阻的電流為 $I_{REF}=20\ \mu$ A：

R=\frac{2.945}{20\ \mu\text{A}} =147.3\ \text{k}\Omega

PMOS $Q_3$ 與 NMOS 電流鏡 $Q_4$ 、 $Q_5$

$Q_3$ 的電流需供應 $Q_4$ ，而 $Q_4$ 、 $Q_5$ 電流鏡要求

I_3=I_4=I_5=40\ \mu\text{A}

相對於 $Q_1$ ：

\frac{I_3}{I_{REF}}=\frac{40}{20}=2

故

W_3=2W_1=4\ \mu\text{m}

為使 $Q_5$ 使用最小寬度，令

W_4=W_5=2\ \mu\text{m}

此時 $Q_4$ 、 $Q_5$ 的電流皆為 $40\ \mu$ A。

(b) $Q_2$ 汲極的最高電壓

PMOS $Q_2$ 必須工作於飽和區：

V_{SD2}\geq V_{OV,p}

Question 5

(25%) In the emitter follower in Fig. 3, the signal source is directly coupled to the transistor base. If the dc component of $v_s$ is zero, (a) find the dc emitter current. Assume $\beta = 120$ . (5%) Neglecting $r_o$ , (b) find $R_i$ , (5%) (c) the voltage gain $v_o/v_s$ , (5%) (d) the current gain $i_o/i_i$ , (5%) and (e) the output resistance $R_o$ . (5%)

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Accepted Answer

核心觀念 本題為 PNP 射極跟隨器，考查： - 直流偏壓分析； - 射極跟隨器的小訊號電壓增益； - 輸入電阻 $Ri$； - 電流增益 $io/ii$； - 輸出電阻 $Ro$。 取 $V{BE}\approx 0.7	ext{ V}$、$VT\approx25	ext{ mV}$。中頻時耦合電容視為短路，電源端視為交流接地。 --- 解題方法 (a) 直流射極電流 直流時耦合電容開路，負載 $1	ext{ k}\Omega$ 不參與直流分析。 由於 $vs$ 的直流分量為零，且訊號源接地，因此 $$ VB=0	ext{ V} $$ PNP 電晶體的射極電壓約為 $$ VE=VB+0.7=0.7	ext{ V} $$ 因此射極電流為 $$ IE=\frac{5-0.7}{3.3	ext{ k}\Omega} =1.303	ext{ mA} $$ 由 $\beta=120$， $$ IC=\frac{\beta}{\beta+1}IE =\frac{120}{121}(1.303	ext{ mA}) =1.292	ext{ mA} $$ 小訊號參數為 $$ gm=\frac{IC}{VT} =\frac{1.292	ext{ mA}}{25	ext{ mV}} =51.7	ext{ mS} $$ $$ r\pi=\frac{\beta}{gm} =2.32	ext{ k}\Omega $$ --- (b) 輸入電阻 $Ri$ 交流時，射極同時接有 $3.3	ext{ k}\Omega$ 與 $1	ext{ k}\Omega$，故射極等效負載為 $$ RE'=3.3	ext{ k}\Omega\parallel1	ext{ k}\Omega =767.4\ \Omega $$ 由射極跟隨器的輸入電阻公式， $$ Ri=r\pi+(\beta+1)RE' $$ 所以 $$ Ri =2.32	ext{ k}\Omega+121(767.4\ \Omega) $$ $$ \boxed{Ri\approx95.2	ext{ k}\Omega} $$ --- (c) 電壓增益 $vo/vs$ 射極對基極的小訊號電壓增益為 $$ \frac{vo}{vb} =\frac{(\beta+1)RE'} {r\pi+(\beta+1)RE'} $$ 代入數值： $$ \frac{vo}{vb} =\frac{121(767.4)} {2.32	ext{ k}\Omega+121(767.4)} \approx0.9756 $$ 訊號源具有 $100	ext{ k}\Omega$ 串聯電阻，因此 $$ \frac{vb}{vs} =\frac{Ri}{100	ext{ k}\Omega+Ri} $$ $$ \frac{vb}{vs}…

114 年國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《電子學》

第 1 題15 分

觀念說明

詳細推導

第 2 題30 分

核心觀念

(a) 電壓增益 $v_o/v_i$

(b) $I_{REF}$ 增加至 $1\,\text{mA}$ 時的 $V_D$

第 3 題30 分

核心觀念

解題方法

(a) 各電晶體寬度與電阻 $R$

PMOS 電流鏡 $Q_1$ 、 $Q_2$

PMOS $Q_3$ 與 NMOS 電流鏡 $Q_4$ 、 $Q_5$

(b) $Q_2$ 汲極的最高電壓

第 3 題30 分

核心觀念

解題方法

(a) 各電晶體寬度與電阻 $R$

PMOS 電流鏡 $Q_1$ 、 $Q_2$

PMOS $Q_3$ 與 NMOS 電流鏡 $Q_4$ 、 $Q_5$

(b) $Q_2$ 汲極的最高電壓

第 4 題25 分

核心觀念

解題方法

(a) 直流射極電流

(b) 輸入電阻 $R_i$

(c) 電壓增益 $v_o/v_s$

其他考古題

114 年中山大學的其他科目

中山大學《電子學》其他年度

其他學校的電機系考古題

114 年 國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《電子學》

第 1 題15 分

觀念說明

詳細推導

第 2 題30 分

核心觀念

(a) 電壓增益 vo/viv_o/v_ivo​/vi​

(b) IREFI_{REF}IREF​ 增加至 1 mA1\,\text{mA}1mA 時的 VDV_DVD​

第 3 題30 分

核心觀念

解題方法

(a) 各電晶體寬度與電阻 RRR

PMOS 電流鏡 Q1Q_1Q1​、Q2Q_2Q2​

PMOS Q3Q_3Q3​ 與 NMOS 電流鏡 Q4Q_4Q4​、Q5Q_5Q5​

(b) Q2Q_2Q2​ 汲極的最高電壓

第 3 題30 分

核心觀念

解題方法

(a) 各電晶體寬度與電阻 RRR

PMOS 電流鏡 Q1Q_1Q1​、Q2Q_2Q2​

PMOS Q3Q_3Q3​ 與 NMOS 電流鏡 Q4Q_4Q4​、Q5Q_5Q5​

(b) Q2Q_2Q2​ 汲極的最高電壓

第 4 題25 分

核心觀念

解題方法

(a) 直流射極電流

(b) 輸入電阻 RiR_iRi​

(c) 電壓增益 vo/vsv_o/v_svo​/vs​

其他考古題

114 年中山大學的其他科目

中山大學《電子學》其他年度

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114 年國立中山大學電機工程學系碩士班戊組《電子學》

(a) 電壓增益 $v_o/v_i$

(b) $I_{REF}$ 增加至 $1\,\text{mA}$ 時的 $V_D$

(a) 各電晶體寬度與電阻 $R$

PMOS 電流鏡 $Q_1$ 、 $Q_2$

PMOS $Q_3$ 與 NMOS 電流鏡 $Q_4$ 、 $Q_5$

(b) $Q_2$ 汲極的最高電壓

(a) 各電晶體寬度與電阻 $R$

PMOS 電流鏡 $Q_1$ 、 $Q_2$

PMOS $Q_3$ 與 NMOS 電流鏡 $Q_4$ 、 $Q_5$

(b) $Q_2$ 汲極的最高電壓

(b) 輸入電阻 $R_i$

(c) 電壓增益 $v_o/v_s$