109 年 國立中山大學光電工程學系碩士班《電磁學》

核心觀念

本題涵蓋電荷分佈的電位與電場、介電質極化、導體球的感應偶極，以及電流間的磁力。解題時依序使用庫侖定律與高斯定律、介電質的本構關係，以及畢奧－沙伐定律與安培力公式。

以下假設介電球殼與金屬球周圍為真空，電位零點取在無限遠；題目中的導線視為無限長平行直導線。

解題方法與推導

1. 均勻帶電圓盤軸線上的電位（a）

令圓盤面電荷密度為 $\rho$，半徑為 $r$，觀察點位於軸線上、距圓心高度 $a$。取半徑為 $s$、寬度為 $ds$ 的圓環，其電荷量為

$$dq=\rho\,2\pi s\,ds.$$

圓環上各電荷到觀察點的距離相同，為 $\sqrt{s^2+a^2}$，因此電位為

$$V(a)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_0^r \frac{dq}{\sqrt{s^2+a^2}} =\frac{\rho}{2\epsilon_0}\int_0^r \frac{s\,ds}{\sqrt{s^2+a^2}}.$$

積分後得到

$$V(a)=\frac{\rho}{2\epsilon_0} \left(\sqrt{a^2+r^2}-a\right).$$

2. 均勻帶電球體的球外電場與電位（b）、（c）

球體半徑為 $r$，體積電荷密度為 $\rho_0$，總電荷為

$$Q=\rho_0\frac{4\pi r^3}{3}.$$

由球對稱性，球外半徑 $R>r$ 的電場大小在球面上處處相同。對半徑 $R$ 的球面使用高斯定律：

$$E(R)\,4\pi R^2=\frac{Q}{\epsilon_0}.$$

故球外電場與以無限遠為零點的電位為

$$E(R)=\frac{\rho_0 r^3}{3\epsilon_0R^2}, \qquad V(R)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R} =\frac{\rho_0r^3}{3\epsilon_0R}.$$

若 $\rho_0>0$，電場方向為徑向向外。

3. 點電荷置於介電球殼中心（d）、（e）、（f）

球殼內半徑為 $a$、外半徑為 $b$，相對介電係數為 $\epsilon_r$。取殼內材料區域 $a<R<b$ 的半徑為 $R$ 的球面，高斯定律對電位移向量 $\mathbf D$ 給出

$$\oint \mathbf D\cdot d\mathbf S=Q, \qquad \mathbf D(R)=\frac{Q}{4\pi R^2}\hat{\mathbf R}.$$

介電材料中 $\mathbf D=\epsilon_0\epsilon_r\mathbf E$，因此

$$\mathbf E(R)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rR^2}\hat{\mathbf R}.$$

極化向量為 $\mathbf P=\epsilon_0(\epsilon_r-1)\mathbf E$，故

$$\mathbf P(R)=\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r} \frac{Q}{4\pi R^2}\hat{\mathbf R}.$$

體積束縛電荷密度為 $\rho_{pv}=-\nabla\cdot\mathbf P$。在殼內材料區域，令 $C=\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r}\frac{Q}{4\pi}$，則 $\mathbf P=C\hat{\mathbf R}/R^2$。利用球座標中的散度公式：

$$\nabla\cdot\mathbf P =\frac{1}{R^2}\frac{d}{dR}\left(R^2P_R\right) =\frac{1}{R^2}\frac{dC}{dR}=0.$$

因此 $a<R<b$ 處的體積束縛電荷密度為零；束縛電荷集中在介電質的內、外表面。

4. 均勻電場中的金屬球感應偶極矩（g）

核心觀念

• 電磁波是由變化的電場 $\mathbf{E}$ 與磁場 $\mathbf{B}$ 互相耦合而產生的波動。
• 依據麥克斯韋方程式（真空中，無自由電荷與電流）

$$\begin{aligned} &\nabla\cdot\mathbf{E}=0, \qquad &&\nabla\cdot\mathbf{B}=0,\\ &\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, \qquad &&\nabla\times\mathbf{B}= \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}. \end{aligned}$$

• 從上述方程式可導出電場與磁場皆滿足波動方程式，且其波矢 $\mathbf{k}$ 必與 $\mathbf{E},\mathbf{B}$ 正交，形成橫波（transverse wave）。

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解題方法

1. 從麥克斯韋方程式導出波動方程式
   取真空中的 $\nabla\times$ 於 $\nabla\times\mathbf{E}$：

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^{2}\mathbf{E} =-\nabla^{2}\mathbf{E} \quad (\because \nabla\cdot\mathbf{E}=0).$$

另一方面，由法拉第定律 $\nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t$，再取時間導數並代入安培-麥克斯韋定律：

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=-\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\mathbf{B}\bigr) =-\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\right) =-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}} .$$

合併兩式得

$\boxed{\nabla^{2}\mathbf{E}-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=0},$

同理可得到 $\mathbf{B}$ 的波動方程式。

2. 平面波解的形式
   假設解為平面波

$$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}, \qquad \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\mathbf{B}_0\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},$$

核心觀念

本題考垂直入射面偏振的電磁波在兩介質交界面上的反射與穿透。圖中電場垂直紙面，因此入射、反射與穿透電場方向相同；波的磁場方向則由 $\mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu$ 及 $\mathbf{k}\times\mathbf{E}$ 決定。

在沒有表面電流的介面上，切向電場與切向磁場連續：

$$E_i+E_r=E_t$$ $$H_{i,\parallel}+H_{r,\parallel}=H_{t,\parallel}$$

以下依題目所給公式，假設兩側介質為非磁性介質，故波阻抗 $\eta=\eta_0/n$。

解題方法

令介面為 $z=0$，入射波從介質 1 射向介質 2。由圖中波的行進方向與電場方向，入射波和穿透波的切向磁場分量方向相同，反射波的切向磁場分量方向相反。因此磁場邊界條件可寫成

$$H_i\cos\theta_i-H_r\cos\theta_r = H_t\cos\theta_t$$

反射定律給出 $\theta_r=\theta_i$，且平面波滿足 $H=E/\eta$。代入 $\eta_j=\eta_0/n_j$，並消去共同因子 $\eta_0$：

$$n_1(E_i-E_r)\cos\theta_i = n_2E_t\cos\theta_t$$

定義電場振幅反射係數與穿透係數為

$$r=\frac{E_r}{E_i}, \qquad t=\frac{E_t}{E_i}$$

核心觀念

• 皮膚深度 (skin depth, δ)：在導體內部，時間諧波電磁場的幅度隨深度呈指數衰減。皮膚深度定義為場幅度衰減至表面值的 $1/e$（約 37%）時的深度。
• 相關物理量：角頻率 $\omega$、導體磁導率 $\mu$（通常取 $\mu\approx\mu_0$），電導率 $\sigma$。
• 主要公式：
  $\boxed{\displaystyle \delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\,\mu\,\sigma}}}$

解題方法

1. 從麥克斯韋方程式出發：在均勻良導體中，時間諧波電磁場可寫成平面波形式 $\mathbf{E}(z)=\mathbf{E}_0 e^{-\gamma z}$，其中複傳播常數
   $\gamma = \alpha + j\beta,\qquad \alpha = \beta = \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}$
   （對於良導體 $\sigma \gg \omega\varepsilon$，忽略位移電流）。
2. 定義皮膚深度：場的幅度為 $|\mathbf{E}(z)| = |\mathbf{E}_0|e^{-\alpha z}$，令 $e^{-\alpha\delta}=1/e$，得 $\alpha\delta = 1$。
3. 代入 $\alpha$ 的表達式，解得
   $\delta = \frac{1}{\alpha} = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}$

常見應用與判斷技巧

• 頻率依賴：$\delta\propto\omega^{-1/2}$，頻率越高，皮膚深度越小，電流傾向於集中在表層。

核心觀念

將材料中的束縛電荷視為受外加電場驅動的諧振子。電荷位移形成偶極矩，許多偶極矩的總和形成極化量 $P$，進而改變材料的介電常數。忽略阻尼，並假設相對磁導率 $\mu_r=1$，則折射率滿足 $n^2=\epsilon_r$。

解題方法

令電荷 $q$ 的位移為 $x(t)$。束縛力為 $-m\omega_0^2x$，外加電場對電荷施力為 $qE_0\cos(\omega t)$，因此運動方程為

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+m\omega_0^2x=qE_0\cos(\omega t)$$

在穩態下，位移與外加電場同頻，令 $x(t)=x_0\cos(\omega t)$。代入運動方程：

$$m(\omega_0^2-\omega^2)x_0=qE_0$$

所以

$$x_0=\frac{qE_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}$$

偶極矩振幅為 $p_0=qx_0$，故

$$p_0=\frac{q^2E_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}$$

若材料中每單位體積有 $N$ 個這類振子，極化量為 $P=Np$，因此極化率為