109 年 國立中山大學材料與光電科學系碩士班丙組《普通物理學》

本題考驗質心(center of mass)的計算。質心的定義是系統中所有質點位置向量的加權平均，權重為各質點的質量。

對於一維系統，若有 $n$ 個質點，質量分別為 $m_i$，位置分別為 $x_i$，則質心的位置 $X_{CM}$ 為：
$X_{CM} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$

在此問題中，我們有三個質量：
$m_1 = 200$ g，位置 $x_1 = 0$ cm
$m_2 = 500$ g，位置 $x_2 = 30$ cm
$m_3 = 400$ g，位置 $x_3 = 70$ cm

首先計算總質量 $M_{total}$：
$M_{total} = m_1 + m_2 + m_3 = 200 \text{ g} + 500 \text{ g} + 400 \text{ g} = 1100 \text{ g}$

本題考驗電容器儲存能量的計算。當電容器帶有電荷 $Q$ 且兩端電壓為 $V$ 時，其儲存的能量 $U$ 可以用幾種不同的公式表示。

電容器的電容 $C$ 定義為 $C = Q/V$。
能量 $U$ 的公式有：
$U = \frac{1}{2} Q V$
$U = \frac{1}{2} C V^2$
$U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$

題目給定：
電容 $C = 1.2 \, \mu\text{F} = 1.2 \times 10^{-6} \, \text{F}$
電壓 $V = 3.0 \, \text{kV} = 3.0 \times 10^3 \, \text{V}$

本題考驗管柱共振的觀念，包含封閉管柱與開放管柱的駐波條件。

已知條件：
聲源頻率 $f = 160$ Hz
空氣中聲速 $v = 340$ m/s

首先計算聲波的波長 $\lambda$：
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340 \, \text{m/s}}{160 \, \text{Hz}} = \frac{34}{16} \, \text{m} = \frac{17}{8} \, \text{m} = 2.125 \, \text{m}$

(a) 封閉管柱 (Pipe closed at one end)

對於一端封閉、一端開口的管柱，其共振條件為管柱長度 $L$ 必須是波長 $\lambda$ 的 $\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \dots$ 倍。也就是說，駐波的長度必須滿足 $L = (n + \frac{1}{2}) \frac{\lambda}{2}$ 或 $L = \frac{(2n+1)\lambda}{4}$，其中 $n = 0, 1, 2, \dots$。

最短的共振長度對應於最低的諧音，即 $n=0$ 的情況。此時，$L = \frac{\lambda}{4}$。

本題考驗均勻線電荷分佈所產生的電位計算。我們需要利用積分來求得總電位。

問題設定：
一個長度為 $2a$ 的線電荷，均勻分佈在 $y$-軸上，範圍從 $y = -a$ 到 $y = +a$。總電荷量為 $Q$。
我們要求在 $x$-軸上，距離原點 $x$ 處的點 $P$ 的電位 $V(P)$。

由於電荷是均勻分佈的，線電荷密度 $\lambda$ 為：
$\lambda = \frac{Q}{\text{總長度}} = \frac{Q}{2a}$

考慮 $y$-軸上一個微小的電荷元 $dq$，其位置在 $y$ 處，長度為 $dy$。這個電荷元 $dq$ 的值為 $dq = \lambda dy = \frac{Q}{2a} dy$。

點 $P$ 的位置是 $(x, 0)$。電荷元 $dq$ 的位置是 $(0, y)$。
從電荷元 $dq$ 到點 $P$ 的距離 $r$ 可以用畢氏定理計算：
$r = \sqrt{(x-0)^2 + (0-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

一個點電荷 $dq$ 在點 $P$ 產生的電位 $dV$ 為：
$dV = k \frac{dq}{r} = k \frac{\lambda dy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$
其中 $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ 是庫侖常數。

為了求得總電位 $V(P)$，我們需要對所有電荷元 $dq$ 在 $y$-軸上的分佈進行積分。積分範圍是從 $y = -a$ 到 $y = +a$。
$V(P) = \int dV = \int_{-a}^{+a} k \frac{\lambda dy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

將常數 $k$ 和 $\lambda$ 提出積分號：
$V(P) = k \lambda \int_{-a}^{+a} \frac{dy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

我們知道積分 $\int \frac{dy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 的結果是 $\ln(y + \sqrt{x^2 + y^2})$。
所以，
$V(P) = k \lambda \left[ \ln(y + \sqrt{x^2 + y^2}) \right]_{-a}^{+a}$

代入積分上下限：
$V(P) = k \lambda \left[ \ln(a + \sqrt{x^2 + a^2}) - \ln(-a + \sqrt{x^2 + (-a)^2}) \right]$
$V(P) = k \lambda \left[ \ln(a + \sqrt{x^2 + a^2}) - \ln(-a + \sqrt{x^2 + a^2}) \right]$

利用對數性質 $\ln A - \ln B = \ln(A/B)$：
$V(P) = k \lambda \ln\left(\frac{a + \sqrt{x^2 + a^2}}{-a + \sqrt{x^2 + a^2}}\right)$

最後，將 $\lambda = \frac{Q}{2a}$ 和 $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ 代入：
$V(P) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{2a} \ln\left(\frac{a + \sqrt{x^2 + a^2}}{-a + \sqrt{x^2 + a^2}}\right)$
$V(P) = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0 a} \ln\left(\frac{a + \sqrt{x^2 + a^2}}{-a + \sqrt{x^2 + a^2}}\right)$

為了使分母有理化，我們可以乘以共軛複數：
$\frac{a + \sqrt{x^2 + a^2}}{-a + \sqrt{x^2 + a^2}} \times \frac{a + \sqrt{x^2 + a^2}}{a + \sqrt{x^2 + a^2}} = \frac{(a + \sqrt{x^2 + a^2})^2}{(x^2 + a^2) - a^2} = \frac{(a + \sqrt{x^2 + a^2})^2}{x^2}$

所以，
$V(P) = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0 a} \ln\left(\frac{(a + \sqrt{x^2 + a^2})^2}{x^2}\right)$
$V(P) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 a} \ln\left(\frac{a + \sqrt{x^2 + a^2}}{x}\right)$ （這裡利用了 $\ln(A^2/B^2) = 2 \ln(A/B)$，但要注意 $x$ 的符號，如果 $x>0$ 則 $x=|x|$）

如果我們考慮 $x > 0$ 的情況，那麼 $\frac{(a + \sqrt{x^2 + a^2})^2}{x^2} = \left(\frac{a + \sqrt{x^2 + a^2}}{x}\right)^2$。
$V(P) = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0 a} \ln\left[\left(\frac{a + \sqrt{x^2 + a^2}}{x}\right)^2\right]$

本題考驗導體的電阻計算。電阻 $R$ 與導體的長度 $L$、截面積 $A$ 和材料的電阻率 $\rho$ 有關，公式為 $R = \rho \frac{L}{A}$。

題目給定：
導體長度 $L = 2$ m
導體直徑 $d = 8$ mm $= 8 \times 10^{-3}$ m
電阻率 $\rho = 4 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}$

首先，我們需要計算導體的截面積 $A$。導體是圓柱形的，所以截面積是圓的面積。
半徑 $r = \frac{d}{2} = \frac{8 \times 10^{-3} \, \text{m}}{2} = 4 \times 10^{-3} \, \text{m}$。
截面積 $A = \pi r^2 = \pi (4 \times 10^{-3} \, \text{m})^2 = \pi (16 \times 10^{-6} \, \text{m}^2) = 16\pi \times 10^{-6} \, \text{m}^2$。

本題考驗電功率和電費計算。

(a) 熱能發展的速率 (功率)

電功率 $P$ 是指單位時間內轉化為熱能或其他形式能量的速率。對於一個電阻為 $R$ 的元件，當通過的電流為 $I$ 時，其消耗的功率（或產生的熱功率）可以由以下公式計算：
$P = I^2 R$
$P = V I$
$P = \frac{V^2}{R}$

題目給定：
電阻 $R = 8.0 \, \Omega$
電流 $I = 15$ A

我們使用 $P = I^2 R$ 來計算功率：
$P = (15 \, \text{A})^2 \times (8.0 \, \Omega)$
$P = 225 \, \text{A}^2 \times 8.0 \, \Omega$
$P = 1800 \, \text{W}$

所以，熱能發展的速率是 1800 瓦特 (W)。

(b) 操作成本計算

本題考驗帶電粒子在磁場中受力（勞倫茲力）的計算。

勞倫茲力 $F$ 的公式為：
$\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})$
其中 $q$ 是粒子的電荷，$\vec{v}$ 是粒子的速度，$\vec{B}$ 是磁場強度。

力的量值 $|F|$ 可以表示為：
$|F| = |q| |v| |B| \sin\theta$
其中 $\theta$ 是速度向量 $\vec{v}$ 與磁場向量 $\vec{B}$ 之間的夾角。

對於質子 (proton)：
電荷 $q = +e = +1.602 \times 10^{-19}$ C
速度 $v = 2.0 \times 10^7$ m/s
磁場強度 $B = 1.5$ Wb/m²
速度與磁場夾角 $\theta = 30^\circ$

核心觀念

電荷在電位差中移動時，電位能變化為

其中電子電荷

電池正端與負端的電位差為

題目要求電子由正端移至負端，因此

解題方法

電子由高電位的正端移向低電位的負端。由於電子帶負電，其電位能反而增加：

代入數值：

若以等速方式搬運電子，外力所需做的功等於電位能增加量，因此

以電子伏特表示：

電場力所做的功則為

核心觀念

磁通量由磁場穿過指定面的面積分定義：

磁場可由磁向量位勢 $\mathbf{A}$ 求得：

圖中的陰影面沿圓柱軸方向延伸，跨越內半徑 $r_1$ 至外半徑 $r_2$；其法向量沿周向 $\hat{\mathbf a}_\phi$。

解題方法

已知

在圓柱座標中，當向量位勢只有 $A_z$ 分量時，旋度的周向分量為

代入 $A_z=-k\ln r$：

核心觀念

球沿斜面無滑動滾動時，初始機械能包含平移動能與轉動動能。球到達最高點時瞬間停止，平移與轉動動能都轉換為重力位能。均勻實心球的轉動慣量為 $I=\frac{2}{5}mR^2$，無滑動條件為 $\omega=\frac{v}{R}$。

解題方法

圖中球先以 $20\,\mathrm{m/s}$ 在水平面上滾動，再沿與水平面夾角 $30^\circ$ 的斜面上升；$h$ 表示球上升的垂直高度。由於摩擦損失可忽略，使用機械能守恆。

初始總動能為

代入實心球的轉動慣量及 $\omega=v/R$：