115 年 國立中央大學化學工程與材料工程學系碩士班《單元操作與輸送現象》

本題主要考察輸送現象中的基本概念，包括牛頓黏滯定律、流體性質的定義、連續方程式、雙膜理論以及擴散定律。

(a) 牛頓黏滯定律 (Newton's Law of Viscosity)

牛頓黏滯定律描述了牛頓流體中，剪應力與剪應變率之間的線性關係。

• 方程式與草圖：
  對於一維流動，例如平行板間的流動，剪應力 ($\tau$) 與速度梯度 ($dv_x/dy$) 成正比。

  $\tau_{yx} = -\mu \frac{dv_x}{dy}$

  草圖如下：
  🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
  （圖示為一個流體層在另一個流體層上滑動，顯示速度梯度及剪應力的方向）

  • 項目的定義：

    • $\tau_{yx}$: 剪應力 (shear stress)，表示作用在垂直於 $y$ 方向的平面上，平行於 $x$ 方向的力。負號表示當 $y$ 增加時，$v_x$ 增加（速度梯度為負），流體會抵抗這種變形。
    • $\mu$: 動黏度 (dynamic viscosity)，流體的內在性質，表示流體抵抗剪應變的程度。
    • $\frac{dv_x}{dy}$: 速度梯度 (velocity gradient)，表示流體在 $y$ 方向上的速度變化率。

  • 標準 SI 單位：

    • $\tau_{yx}$: $N/m^2$ 或 $Pa$ (帕斯卡)
    • $\mu$: $Pa \cdot s$ 或 $kg/(m \cdot s)$
    • $\frac{dv_x}{dy}$: $s^{-1}$

  • 平行板流動的速度剖面草圖：
    考慮上下兩片水平平行板，上方板以速度 $v_x$ 移動，下方板靜止。流體為牛頓流體，無壓力降且重力效應忽略。此為層流（laminar flow）。
    速度剖面為線性。在下方板 ($y = -B$) 速度為 0，在上方板 ($y = B$) 速度為 $v_x$。
    $v_x(y) = \frac{v_x}{2B} (y+B)$
    草圖將顯示一條通過 $(-B, 0)$ 和 $(B, v_x)$ 點的直線。

  • 動量通量 (momentum flux) 的方向：
    動量通量（例如 $\rho v_x v_x$ 或 $\rho v_y v_x$）表示單位面積、單位時間通過的動量。在這種一維流動中，由於速度梯度存在，相鄰流體層之間會傳遞動量。
    剪應力 $\tau_{yx}$ 代表了 $y$ 方向的動量傳遞，從高速度區域傳遞到低速度區域。在這種情況下，由於上方板移動速度快，其動量會傳遞給下方較慢的流體。因此，動量通量（由剪應力體現）的方向是從上方流體層指向下方流體層，即沿著 $-y$ 方向。

(b) 基本流體性質的定義

• (i) Steady-State (穩態):
  穩態是指系統的性質（如溫度、壓力、速度、濃度等）隨時間的變化率為零。
  數學定義：
  $\frac{\partial \phi}{\partial t} = 0$
  其中 $\phi$ 是任何流體性質。
  例子： 在一個穩定的加熱管道中，管內流體的溫度分佈不隨時間改變。

• (ii) "No-slip" boundary condition (無滑動邊界條件):
  描述在固體表面與流體介面處，流體的速度與固體表面的速度相同。
  物理交互： 由於分子間作用力（如范德華力）和黏滯性，流體分子在緊貼固體表面的地方會被「黏住」，其相對運動速度為零。
  流體速度： 相對於固體邊界，流體速度為零。若固體邊界靜止，則流體在該點的速度為零 ($v_{fluid} = v_{solid} = 0$)。
  例子： 在管道流動中，管壁處的流體速度為零。

• (iii) Power-law fluid (冪次定律流體):
  冪次定律流體是一種非牛頓流體，其剪應力與剪應變率的關係為非線性。
  剪應力與剪應變率的關係：
  $\tau = -K \left| \frac{dv}{dy} \right|^{n-1} \frac{dv}{dy}$
  其中 $K$ 是稠度係數 (consistency index)，$n$ 是流變指數 (flow behavior index)。
  指數 $n$ 的定義：

  • $n < 1$: 剪切稀化流體 (Shear-thinning fluid)，黏度隨剪應變率增加而降低。
  • $n = 1$: 牛頓流體 (Newtonian fluid)。
  • $n > 1$: 剪切增稠流體 (Shear-thickening fluid)，黏度隨剪應變率增加而升高。
    例子： 番茄醬（剪切稀化）、玉米澱粉懸浮液（剪切增稠）。

本題主要考察層流、壓力驅動流動的動力學分析，特別是發展區的流動，以及動量通量的計算。

(a) 控制方程式與邊界條件 (Governing Equation and Boundary Conditions)

題目要求在「未靠近入口處」（即發展區，fully developed region）求解速度剖面 $v_x$。在此區域，流動是穩態的、不可壓縮的、牛頓流體，且只有 $x$ 方向的速度 $v_x$ 顯著。

• 簡化 Navier-Stokes 方程式：
  考慮 $x$ 方向的動量方程式。由於是發展區，速度不隨 $x$ 變化，即 $\frac{\partial v_x}{\partial x} = 0$。
  Navier-Stokes 方程式 (x-component):
  $\rho \left( \frac{\partial v_x}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left( \frac{\partial^2 v_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v_x}{\partial z^2} \right) + \rho g_x$
  根據題目假設：

  1. 穩態: $\frac{\partial v_x}{\partial t} = 0$
  2. $v_y = v_z = 0$
  3. 發展區: $\frac{\partial v_x}{\partial x} = 0$ 且 $\frac{\partial p}{\partial x} = \text{constant}$ (不隨 $x$ 變化)，且 $\frac{\partial^2 v_x}{\partial x^2} = 0$。
  4. 流體為不可壓縮牛頓流體。
  5. 忽略重力效應 ($g_x = 0$)。

  代入後，x-動量方程式簡化為：
  $0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{\partial^2 v_x}{\partial y^2}$
  整理得：
  $\frac{\partial^2 v_x}{\partial y^2} = \frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}$

• 邊界條件 (Boundary Conditions):
  流動發生在厚度為 $2B$ 的槽中，沿 $y$ 方向。槽的邊界是 $y = B$ 和 $y = -B$。
  由於是不可壓縮牛頓流體，在固體邊界處滿足無滑動邊界條件 (no-slip boundary condition)。

  1. 在 $y = B$ (上邊界): $v_x = 0$
  2. 在 $y = -B$ (下邊界): $v_x = 0$

(b) 速度剖面 $v_x$ 的求解 (Solving the Velocity Profile $v_x$)

對簡化後的 Navier-Stokes 方程式進行積分：
$\frac{\partial^2 v_x}{\partial y^2} = \frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}$
第一次積分：
$\frac{\partial v_x}{\partial y} = \frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x} y + C_1$
第二次積分：
$v_x(y) = \frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} y^2 + C_1 y + C_2$
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是積分常數。

應用邊界條件求解 $C_1$ 和 $C_2$：

• 在 $y = B$, $v_x = 0$:
  $0 = \frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} B^2 + C_1 B + C_2 \quad (1)$

• 在 $y = -B$, $v_x = 0$:
  $0 = \frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} (-B)^2 + C_1 (-B) + C_2$
  $0 = \frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} B^2 - C_1 B + C_2 \quad (2)$

  將 (1) 式減去 (2) 式：
  $0 = 2 C_1 B \implies C_1 = 0$
  將 $C_1 = 0$ 代入 (1) 式：
  $0 = \frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} B^2 + C_2 \implies C_2 = -\frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} B^2$

  將 $C_1$ 和 $C_2$ 代回 $v_x(y)$ 的表達式：
  $v_x(y) = \frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} y^2 - \frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} B^2$
  $v_x(y) = -\frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} (B^2 - y^2)$
  由於 $\frac{\partial p}{\partial x}$ 是負的（壓力隨 $x$ 增加而減小，驅動流動沿 $x$ 方向），所以 $v_x$ 是正的。

  【答案】
  $v_x(y) = -\frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} (B^2 - y^2)$

(c) 速度剖面 $v_x$ 的繪圖與最大速度位置 (Plotting $v_x$ and Position of $v_{x,max}$)

• 速度剖面繪圖：
  $v_x(y) = -\frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} (B^2 - y^2)$ 是一個拋物線。
  在 $y = B$ 和 $y = -B$ 處，$v_x = 0$。
  在 $y = 0$ 處，$v_x$ 最大。
  剖面圖是一個開口向下的拋物線，對稱於 $y=0$ 軸。
  🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
  （圖示為一條拋物線，在 $y = \pm B$ 處為零，在 $y = 0$ 處達到最大值。）

• 最大速度位置：
  為了找到最大速度，我們對 $v_x(y)$ 對 $y$ 求導並令其為零：
  $\frac{dv_x}{dy} = -\frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} (2y)$
  令 $\frac{dv_x}{dy} = 0$：
  $-\frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} (2y) = 0$
  由於 $-\frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \neq 0$ (因為有流動且壓力梯度存在)，因此 $2y = 0$，即 $y = 0$。
  最大速度出現在 $y = 0$ 處。

  【答案】
  速度剖面為關於 $y=0$ 對稱的拋物線。最大速度出現在 $y=0$。

(d) 壓力梯度 $\frac{\partial p}{\partial x}$ 的計算 (Determining the Pressure Gradient)

我們需要將速度剖面與質量流量 $m$ 聯繫起來。
總質量流量 $m$ 可以通過對速度剖面積分得到：
$m = \int_{-B}^{B} \int_{0}^{W} \rho v_x(y) dz dy$
由於 $v_x$ 只與 $y$ 有關，且 $W$ 是常數：
$m = \rho W \int_{-B}^{B} v_x(y) dy$
代入 $v_x(y)$ 的表達式：
$m = \rho W \int_{-B}^{B} \left( -\frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} (B^2 - y^2) \right) dy$
$m = -\frac{\rho W}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \int_{-B}^{B} (B^2 - y^2) dy$
計算積分：
$\int_{-B}^{B} (B^2 - y^2) dy = \left[ B^2 y - \frac{y^3}{3} \right]_{-B}^{B}$
$= \left( B^2(B) - \frac{B^3}{3} \right) - \left( B^2(-B) - \frac{(-B)^3}{3} \right)$
$= \left( B^3 - \frac{B^3}{3} \right) - \left( -B^3 + \frac{B^3}{3} \right)$
$= \frac{2B^3}{3} - \left( -\frac{2B^3}{3} \right) = \frac{4B^3}{3}$
將積分結果代回質量流量方程式：
$m = -\frac{\rho W}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \left( \frac{4B^3}{3} \right)$

本題主要考察球座標系下的熱傳導問題，特別是考慮了熱導率隨溫度的變化。

(a) 設定微分方程式 (Setting up the Differential Equation)

考慮球座標系下，以球心為原點，半徑為 $r$ 的流體區域。由於流體是靜止的 (quiescent)，沒有對流效應，且流體包圍著一個加熱的球體，因此溫度分佈只與徑向距離 $r$ 有關，即 $T = T(r)$。

我們需要使用能量守恆定律，特別是熱傳導方程式。在球座標系下，對於穩態、無熱源、只與徑向有關的溫度分佈，能量方程式（或熱傳導方程式）可以簡化。

穩態能量方程式的一般形式（忽略對流和體積熱源）：
$\nabla \cdot (\mathbf{q}) = 0$
其中 $\mathbf{q}$ 是熱通量向量。在球座標系下，熱通量只有徑向分量 $\mathbf{q} = q_r \mathbf{e}_r$。
熱通量由傅立葉定律給出：$\mathbf{q} = -k \nabla T$。
在球座標系下，$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial r} \mathbf{e}_r$。
所以，$\mathbf{q} = -k \frac{\partial T}{\partial r} \mathbf{e}_r$。
即 $q_r = -k \frac{\partial T}{\partial r}$。

球座標系下的散度算子 $\nabla \cdot (\mathbf{q})$ 為：
$\nabla \cdot \mathbf{q} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 q_r)$
將 $q_r = -k \frac{\partial T}{\partial r}$ 代入：
$\nabla \cdot \mathbf{q} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \left( -k \frac{\partial T}{\partial r} \right) \right) = 0$
$\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( -k r^2 \frac{\partial T}{\partial r} \right) = 0$
$\frac{\partial}{\partial r} \left( k r^2 \frac{\partial T}{\partial r} \right) = 0$

題目給出熱導率 $k = k_0(1 + \beta T)$，其中 $k_0$ 和 $\beta$ 是常數。將此代入方程式：
$\frac{\partial}{\partial r} \left( k_0(1 + \beta T) r^2 \frac{\partial T}{\partial r} \right) = 0$
這就是所求的微分方程式。

【答案】
$\frac{\partial}{\partial r} \left( k_0(1 + \beta T) r^2 \frac{\partial T}{\partial r} \right) = 0$

(b) 積分微分方程式與確定積分常數 (Integrating the Differential Equation and Determining Constants)

首先，對微分方程式積分一次：
$k_0(1 + \beta T) r^2 \frac{\partial T}{\partial r} = C_1$
其中 $C_1$ 是積分常數。

核心觀念

本題考查圓管內紊流、充分發展流動下的：

1. 管壁局部熱通量與流體平均溫度的能量平衡。
2. 流體混合平均溫度 $T_m$ 沿軸向的變化。
3. 牛頓冷卻定律：

$$q_s''(x)=h\left[T_s(x)-T_m(x)\right]$$

其中：

• 管周長 $P=\pi D$
• 質量流率為 $\dot m$
• 流體比熱為 $c_p$
• 紊流充分發展，因此可視為局部對流熱傳係數 $h$ 為常數
• $q_s''(x)$ 定義為由管壁傳給流體的有號熱通量

已知：

$$q_s''(x)=q_0\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)$$

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解題方法

取管內一小段長度 $dx$，對流體作能量平衡：

$$\dot m c_p\,dT_m=Pq_s''(x)\,dx$$

因此：

$$\dot m c_p\frac{dT_m}{dx} = \pi D q_0\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)$$

並利用入口條件：

$$T_m(0)=T_{m,i}$$

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(a) 管壁傳給流體的總熱傳率

總熱傳率為局部熱通量沿管壁面積積分：

$$q=\int_0^L q_s''(x)P\,dx$$

代入 $P=\pi D$ 與題目給定的熱通量：

$$q = \pi Dq_0\int_0^L \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\,dx$$ $$q = \pi Dq_0 \left[ \frac{L}{\pi} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) \right]_0^L$$

由於 $\sin\pi=\sin0=0$，所以：

$$\boxed{q=0}$$

這表示前半段管壁將熱量傳給流體，後半段因熱通量為負值，流體反而將熱量傳回管壁；全長的淨熱傳率為零。

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(b) 流體出口溫度

由能量平衡方程式：

$$\frac{dT_m}{dx} = \frac{\pi Dq_0}{\dot m c_p} \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)$$

積分 $0$ 到 $x$：

$$T_m(x)-T_{m,i} = \frac{\pi Dq_0}{\dot m c_p} \int_0^x \cos\left(\frac{\pi \xi}{L}\right)\,d\xi$$

因此：

$$T_m(x) = T_{m,i} + \frac{q_0DL}{\dot m c_p} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)$$

在出口 $x=L$：

$$T_{m,o} = T_{m,i} + \frac{q_0DL}{\dot m c_p}\sin\pi$$

故：

$$\boxed{T_{m,o}=T_{m,i}}$$

流體平均溫度在 $x=L/2$ 達到最高值：

$$T_{m,\max} = T_{m,i}+\frac{q_0DL}{\dot m c_p}$$

但因為後半段熱通量為負，出口溫度又回到入口溫度。

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(c) 管壁溫度分布

依牛頓冷卻定律：

$$q_s''(x)=h\left[T_s(x)-T_m(x)\right]$$

所以：

$$T_s(x)=T_m(x)+\frac{q_s''(x)}{h}$$

代入 $T_m(x)$ 與 $q_s''(x)$：

核心觀念

本題是圓管內空氣受強制對流加熱。因為管內壁溫度固定為 $T_w=488.7\ \mathrm{K}$，空氣平均主流溫度為 $T_b=477.6\ \mathrm{K}$，需依序完成：

1. 由理想氣體定律求空氣密度。
2. 計算 Reynolds 數，判斷流態。
3. 使用管內紊流的 Sieder–Tate 關係式求 Nusselt 數。
4. 由 Nusselt 數求對流熱傳係數。
5. 使用牛頓冷卻定律求單位面積熱通量。

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解題方法

1. 空氣分子量與密度

空氣含氧莫耳分率為 $0.21$，視其餘部分為氮氣，因此平均分子量為

$$\overline{M} =0.21(32)+0.79(28) =28.84\ \mathrm{g/gmol}$$

壓力換算為大氣壓：

$$P=\frac{206.8\times 10^3}{1.01325\times 10^5} =2.041\ \mathrm{atm}$$

利用理想氣體定律

$$\rho=\frac{P\overline{M}}{RT}$$

其中

$$R=82.057\ \mathrm{cm^3\,atm/(gmol\cdot K)}$$

因此

$$\rho = \frac{(2.041)(28.84)} {(82.057)(477.6)} \ \mathrm{g/cm^3}$$ $$\rho=1.502\times10^{-3}\ \mathrm{g/cm^3} =1.502\ \mathrm{kg/m^3}$$

管內徑為

$$D=1\ \mathrm{in}=0.0254\ \mathrm{m}$$

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2. Reynolds 數與流態判斷

Reynolds 數為

$$\mathrm{Re} = \frac{\rho VD}{\mu_b}$$

代入

$$\mathrm{Re} = \frac{(1.502)(7.62)(0.0254)} {2.60\times10^{-5}}$$ $$\boxed{\mathrm{Re}=1.12\times10^4}$$

此值大於一般圓管內流由層流轉為紊流的臨界範圍，因此採用紊流管內對流關係式。

此外，

$$\frac{L}{D} = \frac{1}{0.0254} =39.4$$

管長相對於管徑足夠大，可將流動視為已充分發展的管內流。

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3. 使用 Sieder–Tate 關係式

對於管內紊流且壁面溫度與流體平均溫度不同的情況，使用 Sieder–Tate 關係式：

$$\mathrm{Nu} = 0.027\mathrm{Re}^{0.8} \mathrm{Pr}^{1/3} \left(\frac{\mu_b}{\mu_w}\right)^{0.14}$$

題目給定