108 年 國立中央大學化學工程與材料工程學系碩士班《單元操作與輸送現象》

本題主要在考察學生對流體在管路中流動時，摩擦因子與雷諾數的物理意義、定義及其在不同流況（層流、紊流）下的行為。

核心觀念：

• 雷諾數（Reynolds number）：用來判斷流體流動狀態（層流或紊流）的無因次參數。
• 摩擦因子（Friction factor）：表示流體流動時，因管壁摩擦所造成的壓力損失與動能的比例，是量化能量損失的重要指標。
• 層流與紊流的特性：在不同流況下，摩擦因子與雷諾數、管壁粗糙度的關係不同。

解題詳解：

(a) 雷諾數的物理意義：
雷諾數 ($Re$) 是慣性力與黏滯力之比。它是一個無因次參數，用於預測流體流過管道或物體時的流動模式。
$Re = \frac{\text{慣性力}}{\text{黏滯力}} = \frac{\rho \langle u\rangle D}{\mu}$
其中 $\rho$ 為流體密度，$\langle u\rangle$ 為平均流速，D 為管徑（或特徵長度），$\mu$ 為流體黏度。

• 當 $Re$ 值較小時，黏滯力佔主導地位，流動趨於穩定，呈現層流。
• 當 $Re$ 值較大時，慣性力佔主導地位，流動趨於不穩定，呈現紊流。

【答案】雷諾數代表流體中慣性力與黏滯力的比值，用以判斷流動的模式（層流或紊流）。

(b) 摩擦因子的物理意義：
摩擦因子 ($f$) 是用來量化因管壁粗糙度及流體黏滯性所導致的壓力損失（或能量損失）的無因次參數。它定義為實際壓力損失與動壓頭之比的四倍（對於圓管）。
$f=\frac{1}{4}\left(\frac{D}{L}\right)\left(\frac{P_{f}-P_{L}}{\frac{1}{2} \rho\langle u\rangle^{2}}\right)$
或者可以理解為，摩擦因子是單位管長度上，由流體剪應力所造成的壓力損失，與流體動壓的比值。

【答案】摩擦因子代表因管壁摩擦所造成的壓力損失與流體動壓的比例，是量化能量損失的指標。

(c) 非圓管的雷諾數與摩擦因子：
對於非圓管，需要引入「水力直徑」($D_h$) 來取代圓管的直徑 D。
水力直徑定義為：
$D_h = \frac{4 \times \text{流體通過的橫截面積}}{\text{潤濕的周長}}$
因此，對於非圓管：

• 雷諾數：
  $Re_h = \frac{D_h \langle u\rangle \rho}{\mu}$
• 摩擦因子：
  $f_h = \frac{1}{4}\left(\frac{D_h}{L}\right)\left(\frac{P_{f}-P_{L}}{\frac{1}{2} \rho\langle u\rangle^{2}}\right)$
  或更常見地，將摩擦因子定義為與水力直徑相關的動壓相比：
  $f_h = \frac{\tau_w}{\frac{1}{2} \rho\langle u\rangle^2}$
  其中 $\tau_w$ 是管壁的剪應力。

【答案】對於非圓管，雷諾數使用水力直徑 $D_h$ 取代 D，即 $Re_h = D_h\langle u\rangle\rho/\mu$；摩擦因子亦使用水力直徑 $D_h$ 來定義。

(d) 摩擦因子隨雷諾數增加而單調下降，以及剪應力的關聯：

• 下降原因：在層流區域，流體主要受黏滯力影響，剪應力與速度梯度大致呈線性關係，摩擦因子與雷諾數成反比。進入紊流區域後，流體中的渦流和脈動顯著增加，能量耗散主要來自於這些紊流結構的混合和耗散，而非單純的層狀滑動。雖然平均速度 $\langle u\rangle$ 增加，動壓 $\frac{1}{2} \rho\langle u\rangle^2$ 增加得更快（與 $\langle u\rangle^2$ 成正比），而實際的剪應力 $\tau_w$ 雖然可能增加，但相對於動壓的增加，其比例（即摩擦因子）卻下降。此外，對於光滑管，在高 Re 下，紊流邊界層變薄，壁面附近的平均速度梯度可能相對減小。
• 剪應力是否降低：摩擦因子單調下降並不意味著剪應力降低。事實上，隨著流體速度 $\langle u\rangle$ 的增加（通常伴隨著 $Re$ 的增加），管壁的剪應力 $\tau_w$ 通常是增加的，因為 $\tau_w$ 與速度梯度相關，而速度梯度在平均速度增加時傾向於增加。然而，摩擦因子 $f$ 是 $\tau_w$ 與動壓 $\frac{1}{2} \rho\langle u\rangle^2$ 的比值。雖然 $\tau_w$ 增加，但動壓的增加速度更快（與 $\langle u\rangle^2$ 成正比），導致 $f$ 下降。

【答案】摩擦因子隨雷諾數增加而下降，是因為動壓的增加速度快於剪應力的增加速度。這並不代表剪應力降低，實際上剪應力通常會隨速度增加而增加。

(e) 層流區域摩擦因子與雷諾數成反比的原因：
在層流區域 ($Re < 2100$)，流體質點間的運動是平滑、有序的，流動主要受黏滯力控制。對於圓管層流，速度分佈是拋物線形的，壁面處的速度梯度最大。根據牛頓黏滯定律，壁面剪應力 $\tau_w = \mu \frac{du}{dr}|_{r=R}$。而壓力損失 $\Delta P = P_f - P_L$ 與剪應力相關。Hagen-Poiseuille 方程式給出了層流的壓力損失：
$\Delta P = \frac{8 \mu L \langle u\rangle}{\pi R^4} = \frac{128 \mu L \langle u\rangle}{\pi D^4}$
將此代入摩擦因子公式：

本題主要考察學生對流體力學中「流函數」（Stream Function）與「速度勢函數」（Velocity Potential Function）的理解與應用。

核心觀念：

• 流函數 ($\psi$)：適用於二維、不可壓縮流體，且其定義確保了連續性方程式的滿足。
• 速度勢函數 ($\Phi$)：適用於無旋流（irrotational flow），且其定義確保了無旋條件的滿足。
• 兩者之間的關係：對於二維、不可壓縮、無旋流，兩者之間存在特定的數學關係。

解題詳解：

(a) 流函數 ($\psi$) 可用於二維壓縮流與不可壓縮流問題的解析。
錯誤。
流函數的定義是基於二維流場，並確保質量守恆（連續性方程式）的滿足。其定義為：
對於二維流場，速度分量 $u = \frac{\partial \psi}{\partial y}$ 且 $v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$。
將此代入連續性方程式 $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$：
$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{\partial \psi}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial y \partial x} = 0$
這個恆等式說明，只要流函數 $\psi$ 存在，連續性方程式就自動滿足。
然而，這個定義僅適用於不可壓縮流體。對於可壓縮流體，連續性方程式為 $\frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} = 0$。若要讓流函數滿足此式，需要引入密度 $\rho$：
$u = \frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial y}$ 且 $v = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial x}$。
但這樣會使數學處理變得複雜，且通常流函數的標準定義是針對不可壓縮流。因此，標準定義下的流函數主要用於二維不可壓縮流。

【答案】錯誤。流函數標準定義主要適用於二維不可壓縮流。

(b) 速度勢函數 ($\Phi$) 僅用於二維無旋流問題，對三維無旋流問題無效。
錯誤。
速度勢函數 ($\Phi$) 的定義是基於無旋流條件。速度分量與速度勢函數的關係為：
$u = \frac{\partial \Phi}{\partial x}$, $v = \frac{\partial \Phi}{\partial y}$, $w = \frac{\partial \Phi}{\partial z}$。
將此代入無旋條件 $\nabla \times \mathbf{v} = 0$，即 $\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial z}$, $\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial w}{\partial x}$, $\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}$。
例如，$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial y}$，而 $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y \partial x}$。
由於二階偏導數的順序可以交換，所以 $\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}$ 恆成立。這表示只要速度勢函數 $\Phi$ 存在，無旋條件就自動滿足。
速度勢函數的定義與空間維度無關，它可以應用於一維、二維或三維的無旋流問題。因此，該陳述是錯誤的。

【答案】錯誤。速度勢函數適用於任何維度的無旋流問題。

(c) 若速度勢函數為 $\Phi = (5/3)x^3-5xy^2$，則其對應的流函數為 $\psi = 5x^2y$。
錯誤。
對於二維、不可壓縮、無旋流，速度勢函數 $\Phi$ 和流函數 $\psi$ 之間必須滿足柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）：
$\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y}$
$\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$

給定 $\Phi = \frac{5}{3}x^3 - 5xy^2$。
計算其偏導數：
$\frac{\partial \Phi}{\partial x} = 5x^2 - 5y^2$
$\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -10xy$

根據柯西-黎曼方程，我們期望：
$\frac{\partial \psi}{\partial y} = 5x^2 - 5y^2$
$-\frac{\partial \psi}{\partial x} = -10xy \implies \frac{\partial \psi}{\partial x} = 10xy$

現在我們來積分：
從 $\frac{\partial \psi}{\partial y} = 5x^2 - 5y^2$，積分得到 $\psi(x,y) = \int (5x^2 - 5y^2) dy = 5x^2y - \frac{5}{3}y^3 + f(x)$。

本題考察學生對熱傳導中重要無因次參數「努塞爾數」（Nusselt number）與「畢奧數」（Biot number）的定義、區別及影響因素的理解。

核心觀念：

• 努塞爾數 ($Nu$)：表示物體表面對流傳熱係數與流體熱擴散率之比，衡量對流傳熱相對於導熱的相對重要性。
• 畢奧數 ($Bi$)：表示物體內部的導熱阻力與物體表面到流體之間的對流阻力之比，衡量物體內部溫度分佈的均勻程度。
• 影響努塞爾數的因素：流體性質、流速、幾何形狀等。

解題詳解：

(a) 努塞爾數與畢奧數的定義與區別：

努塞爾數 (Nusselt number, $Nu$)
定義：努塞爾數是物體表面與周圍流體之間對流傳熱係數 ($h$) 與流體熱擴散率 ($k_f/C_p\rho_f$) 之比，通常乘以一個特徵長度 ($L$)。
$Nu = \frac{h L}{k_f}$
其中：

• $h$：對流傳熱係數 (convective heat transfer coefficient)
• $L$：特徵長度 (characteristic length)
• $k_f$：流體的導熱係數 (thermal conductivity of the fluid)

物理意義：努塞爾數代表了在邊界層內，對流傳熱相對於導熱（在流體內部）的相對重要性。

• $Nu$ 值越大，表示對流傳熱越強，流體內部導熱的貢獻相對較小。
• $Nu$ 值越小，表示對流傳熱越弱，流體內部導熱的貢獻相對較大。

畢奧數 (Biot number, $Bi$)
定義：畢奧數是物體內部的導熱阻力與物體表面到周圍流體之間的對流阻力之比。
$Bi = \frac{h L}{k_s}$
其中：

• $h$：對流傳熱係數 (convective heat transfer coefficient)
• $L$：特徵長度 (characteristic length)
• $k_s$：物體固體的導熱係數 (thermal conductivity of the solid)

物理意義：畢奧數衡量了物體內部導熱的難易程度相對於物體表面與流體之間對流傳熱的難易程度。

• $Bi$ 值較小時（通常 $Bi < 0.1$），表示物體內部的導熱阻力遠小於表面對流阻力，物體內部溫度分佈近似均勻，可以將物體視為集總參數系統（Lumped System）。
• $Bi$ 值較大時，表示物體內部的導熱阻力較大，物體內部溫度分佈不均勻，需要考慮空間溫度變化。

兩者之間的區別：

1. 比較對象不同：
   • 努塞爾數比較的是物體表面與流體之間的對流傳熱與流體內部的導熱。
   • 畢奧數比較的是物體內部的導熱與物體表面到流體之間的對流傳熱。
2. 導熱係數不同：
   • 努塞爾數中使用的是流體的導熱係數 ($k_f$)。
   • 畢奧數中使用的是物體固體的導熱係數 ($k_s$)。
3. 物理意義不同：
   • 努塞爾數主要用於分析外部流體對物體表面的傳熱特性。
   • 畢奧數主要用於分析物體內部的溫度分佈和導熱情況。

【答案】努塞爾數 $Nu = hL/k_f$，表示物體表面對流傳熱與流體內部導熱之比。畢奧數 $Bi = hL/k_s$，表示物體內部導熱與物體表面對流傳熱之比。兩者區別在於比較對象、使用的導熱係數（流體 vs. 固體）以及所衡量的物理現象（外部對流 vs. 內部導熱）。

本題主要考察學生在考慮溫度相關的導熱係數下，求解圓柱形（環狀）區域的穩態導熱問題。

核心觀念：

• 傅立葉導熱定律 (Fourier's Law of Heat Conduction)：描述熱流密度與溫度梯度之間的關係。
• 穩態導熱 (Steady-state heat conduction)：系統的溫度不隨時間變化。
• 溫度相關的導熱係數：導熱係數 $k$ 隨溫度 $T$ 變化。
• 徑向導熱 (Radial heat conduction)：在圓柱座標下，熱量沿半徑方向傳遞。

解題詳解：
考慮一個具有內半徑 $r_0$ 和外半徑 $r_1$ 的環狀壁。熱量從內壁 ($r=r_0$) 流向外壁 ($r=r_1$)。
假設為穩態、一維徑向導熱。
傅立葉導熱定律在圓柱座標下可寫為：
$q_r = -k(T) A_r \frac{dT}{dr}$
其中 $q_r$ 是沿徑向的熱流率（Heat flow rate），$k(T)$ 是隨溫度變化的導熱係數， $A_r = 2\pi r L$ 是通過半徑 $r$ 的圓柱表面積（假設壁厚為 L），$\frac{dT}{dr}$ 是溫度沿半徑的梯度。

已知導熱係數 $k$ 隨溫度 $T$ 呈線性變化，從 $T_0$ 的 $k_0$ 到 $T_1$ 的 $k_1$。
我們可以將 $k(T)$ 表示為：
$k(T) = k_0 + \frac{k_1 - k_0}{T_1 - T_0}(T - T_0)$
令 $m = \frac{k_1 - k_0}{T_1 - T_0}$，則 $k(T) = k_0 + m(T - T_0)$。

將傅立葉導熱定律代入，並分離變數：
$q_r = -(2\pi r L) \left(k_0 + m(T - T_0)\right) \frac{dT}{dr}$
$q_r dr = -(2\pi L) \left(k_0 + m(T - T_0)\right) dT$

對上式進行積分，積分範圍是從內邊界 ($r=r_0, T=T_0$) 到外邊界 ($r=r_1, T=T_1$)。由於 $q_r$ 在穩態下是常數，我們可以將其提出積分。
$\int_{r_0}^{r_1} q_r dr = \int_{T_0}^{T_1} -(2\pi L) \left(k_0 + m(T - T_0)\right) dT$
$q_r (r_1 - r_0) = -2\pi L \int_{T_0}^{T_1} \left(k_0 + m(T - T_0)\right) dT$
$q_r (r_1 - r_0) = -2\pi L \left[ k_0 T + m \left(\frac{T^2}{2} - T_0 T\right) \right]_{T_0}^{T_1}$
$q_r (r_1 - r_0) = -2\pi L \left[ \left(k_0 T_1 + m \left(\frac{T_1^2}{2} - T_0 T_1\right)\right) - \left(k_0 T_0 + m \left(\frac{T_0^2}{2} - T_0^2\right)\right) \right]$
$q_r (r_1 - r_0) = -2\pi L \left[ k_0 (T_1 - T_0) + m \left(\frac{T_1^2}{2} - T_0 T_1 - \frac{T_0^2}{2} + T_0^2\right) \right]$
$q_r (r_1 - r_0) = -2\pi L \left[ k_0 (T_1 - T_0) + m \left(\frac{T_1^2}{2} - T_0 T_1 + \frac{T_0^2}{2}\right) \right]$
$q_r (r_1 - r_0) = -2\pi L \left[ k_0 (T_1 - T_0) + m \left(\frac{T_1^2 - 2T_0 T_1 + T_0^2}{2}\right) \right]$
$q_r (r_1 - r_0) = -2\pi L \left[ k_0 (T_1 - T_0) + m \frac{(T_1 - T_0)^2}{2} \right]$

代回 $m = \frac{k_1 - k_0}{T_1 - T_0}$：

核心觀念

本題考查「無限靜止流體中，球形界面外的穩態球對稱擴散」。使用的基本關係為：

1. 穩態、無反應、球對稱下的物種守恆：

   $\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2N_{Ar}\right)=0$

2. 稀薄溶液且忽略擴散誘發的整體流動時，使用 Fick 第一定律：

   $N_{Ar}=-D_{AB}C\frac{dX_A}{dr}$

其中 $D_{AB}$ 為 A 在流體中的擴散係數，$C$ 為流體總莫耳濃度，且假設為常數。

邊界條件為：

$X_A(a)=X_{A1},\qquad X_A(\infty)=0$

球面內的純 A 不需進行擴散分析，只需計算球面外流體中的 A 傳輸。

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解題方法：先求濃度分布與通量

由穩態球對稱物料衡算：

$r^2N_{Ar}=K$

代入 Fick 定律：

$N_{Ar}=-D_{AB}C\frac{dX_A}{dr}$

可得：

$-D_{AB}Cr^2\frac{dX_A}{dr}=K$

積分並套用邊界條件：

$X_A(r)=X_{A1}\frac{a}{r}$

因此：

$\frac{dX_A}{dr}=-X_{A1}\frac{a}{r^2}$

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(a) A 的莫耳通量 $N_{Ar}(r)$

代入 Fick 定律：

$$N_{Ar}(r) =-D_{AB}C\frac{dX_A}{dr}$$

因此：

$$\boxed{ N_{Ar}(r)=\frac{D_{AB}CX_{A1}a}{r^2} }$$

方向為徑向向外。因為 $X_A$ 從球面上的 $X_{A1}$ 向無限遠處的零逐漸降低，所以通量為正。

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(b) 球面上的 A 莫耳傳質速率 $W_A$

在半徑 $r$ 的球面上，總莫耳傳質速率為：

$W_A=4\pi r^2N_{Ar}(r)$

代入上式：

$$W_A =4\pi r^2 \left( \frac{D_{AB}CX_{A1}a}{r^2} \right)$$

故：

$$\boxed{ W_A=4\pi D_{AB}CX_{A1}a }$$

此結果與 $r$ 無關，符合穩態下穿過任意球面的總傳質速率相同。

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(c) 球半徑隨時間的變化 $a(t)$

球內純 A 的質量為：

$m_A=\rho\left(\frac{4}{3}\pi a^3\right)$

球體因溶解或蒸發而減少的質量速率為：

$\frac{dm_A}{dt}=-M_AW_A$

另一方面：

$$\frac{dm_A}{dt} =4\pi\rho a^2\frac{da}{dt}$$

因此：

$$4\pi\rho a^2\frac{da}{dt} = -M_A\left(4\pi D_{AB}CX_{A1}a\right)$$

整理得：

$$\frac{da}{dt} = -\frac{D_{AB}CX_{A1}M_A}{\rho a}$$

令：

$K=\frac{D_{AB}CX_{A1}M_A}{\rho}$

則：

$a\frac{da}{dt}=-K$

由初始條件 $a(0)=a_0$：

$$\frac{1}{2}(a^2-a_0^2)=-Kt$$

所以：

$$\boxed{ a(t)= \left[ a_0^2- \frac{2D_{AB}CX_{A1}M_A}{\rho}t \right]^{1/2} }$$

半徑變化速率則為：

$$\boxed{ \frac{da}{dt} = -\frac{D_{AB}CX_{A1}M_A}{\rho a} }$$

奈米化的優點

由完全溶解時間可知：

$t_{\mathrm{diss}}\propto a_0^2$

因此將初始半徑縮小至奈米尺度，可大幅縮短溶解或蒸發所需時間，使藥物溶出、噴霧乾燥等操作更快速。

此外，表面通量為：

$N_{Ar}(a_0)\propto \frac{1}{a_0}$

半徑越小，單位表面積的擴散通量越大。須注意的是，時間尺度比值與 $a_0$ 無關，因此奈米化主要縮短絕對時間，不會改變準穩態假設本身的適用條件。

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(d) 半徑為 $a_0$ 時的表面通量 $N_{Ar}(a_0)$

將 $r=a_0$ 且球面半徑 $a=a_0$ 代入 (a)：

$$N_{Ar}(a_0) = \frac{D_{AB}CX_{A1}a_0}{a_0^2}$$

因此：