111 年 國立中央大學化學工程與材料工程學系碩士班《單元操作與輸送現象》

這題主要考驗學生對淨正吸入壓頭 (NPSH) 的物理意義、重要性，以及常見的體積流量計量儀表的原理。

(a) 淨正吸入壓頭 (NPSH) 的物理意義與重要性

物理意義：
淨正吸入壓頭 (Net Positive Suction Head, NPSH) 是指在泵的吸入口處，流體壓力頭與流體蒸氣壓頭之間的差值。更具體地說，它代表了流體在進入泵葉輪之前，其壓力高於其在該溫度下的飽和蒸氣壓的程度。NPSH 的計算通常包含吸入口的絕對壓力、流體靜壓頭、流體動壓頭，並減去流體在該溫度下的飽和蒸氣壓頭。

數學上，NPSH 可以表示為：
$\text{NPSH} = h_{abs} - h_v$
其中：

• $h_{abs}$ 是吸入口處的絕對壓力頭 (absolute pressure head)。
• $h_v$ 是流體在該溫度下的飽和蒸氣壓頭 (vapor pressure head)。

重要性：
我們需要足夠的 NPSH 是為了防止泵發生汽蝕 (cavitation)。當流體壓力下降到低於其飽和蒸氣壓時，流體就會在低壓區域（例如泵葉輪的吸入口處）開始汽化，形成氣泡。這些氣泡隨著流體進入泵的高壓區域時，會迅速破裂，產生極高的局部衝擊壓力，進而損壞泵的葉輪、軸承等部件，導致噪音、振動、效率下降，甚至設備損壞。

足夠的 NPSH 意味著流體進入泵的壓力遠高於其飽和蒸氣壓，可以確保在泵的吸入口處不會發生汽化，從而保護泵的正常運行和延長使用壽命。

【答案】

(b) 三種測量體積流量的儀表及其原理

以下列出三種常用的體積流量計，並說明其測量原理：

1. 渦輪流量計 (Turbine Flowmeter)
   • 原理： 渦輪流量計是利用流體衝擊葉輪使其旋轉的原理來測量流量。當流體通過流量計時，會推動內部的渦輪葉片旋轉。渦輪的轉速與流體的流速成正比。通過感測器（通常是電磁感應或霍爾效應感測器）偵測渦輪的旋轉頻率，再根據流量計的校準係數，即可換算出體積流量。
   • 數學關係：
     $Q = K \cdot f$
     其中：
     • $Q$ 是體積流量。
     • $K$ 是流量計的校準係數 (或稱渦輪流量計的 K 值)，單位通常是 (流量單位)/(頻率單位)。
     • $f$ 是渦輪的旋轉頻率。

核心觀念

本題考查垂直圓管外壁之穩態層流液膜。依圖設定：

• 圓管半徑為 $R$。
• 液膜自由表面半徑為 $aR$，其中 $a>1$。
• $z$ 軸向下，故重力方向為正方向。
• 液體密度為 $\rho$、黏度為 $\mu$。
• 忽略端部效應，液膜為充分發展流。
• 圓管固定，管壁滿足無滑移條件。
• 氣液界面剪應力可忽略。

因此液膜流動範圍為

$$R\le r\le aR,$$

且速度只有軸向分量 $v_z=v_z(r)$。

解題方法

對穩態、軸對稱、充分發展流，$z$ 方向動量平衡式為

$$0=-\frac{dp}{dz}+\rho g+ \frac{\mu}{r}\frac{d}{dr} \left(r\frac{dv_z}{dr}\right).$$

液膜自由表面半徑固定，且外側氣體壓力可視為均勻，因此

$$\frac{dp}{dz}=0.$$

故

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left(r\frac{dv_z}{dr}\right) =-\frac{\rho g}{\mu}.$$

積分一次得

$$r\frac{dv_z}{dr} =-\frac{\rho g}{2\mu}r^2+C_1.$$

在自由表面 $r=aR$ 處，氣液界面剪應力為零：

$$\left.\mu\frac{dv_z}{dr}\right|_{r=aR}=0.$$

因此

$$C_1=\frac{\rho g}{2\mu}(aR)^2,$$

所以

$$\frac{dv_z}{dr} =\frac{\rho g}{2\mu} \left(\frac{a^2R^2}{r}-r\right).$$

再積分一次，並利用管壁無滑移條件

$$v_z(R)=0,$$

得到液膜速度分布：

$$\boxed{ v_z(r)= \frac{\rho g}{2\mu} \left[ a^2R^2\ln\left(\frac{r}{R}\right) -\frac{r^2-R^2}{2} \right] } \qquad (R\le r\le aR).$$

亦可寫成無因次形式。令 $\eta=r/R$，則

$$\boxed{ v_z= \frac{\rho gR^2}{4\mu} \left(2a^2\ln\eta-\eta^2+1\right) } \qquad (1\le \eta\le a).$$

自由表面速度為最大值：

核心觀念

本題考查多層圓筒壁的穩態徑向熱傳，以及外表面與室內環境間的對流熱傳。

對長度為 $L$ 的圓筒，半徑由 $r_i$ 傳至 $r_o$ 時，圓筒壁導熱熱阻為

$$R_{\text{cond}} = \frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi kL}$$

熱傳率為

$$q=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}$$

外表面與室內之間則以牛頓冷卻定律表示：

$$q=hA_o(T_s-T_\infty)$$

其中外表面積為

$$A_o=2\pi r_oL$$

本題假設蒸汽溫度 $900^\circ\mathrm{F}$ 可視為鋼管內壁溫度；題目未提供管內對流係數，因此不另計管內對流熱阻。

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幾何尺寸換算

取 $L=1\ \mathrm{ft}$。

鋼管內、外半徑分別為

$$r_i=\frac{2.07/2}{12} =0.08625\ \mathrm{ft}$$ $$r_1=\frac{2.37/2}{12} =0.09875\ \mathrm{ft}$$

第一層保溫材料厚度為 $1.25$ in，因此兩層保溫材料的界面半徑為

$$r_2=\frac{2.37/2+1.25}{12} =0.20292\ \mathrm{ft}$$

外層保溫材料厚度為 $2.5$ in，因此最外表面半徑為

$$r_3=\frac{2.37/2+1.25+2.5}{12} =0.41125\ \mathrm{ft}$$

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解題方法

熱量依序經過鋼管、第一層保溫材料與第二層保溫材料。三者為串聯熱阻，因此

$$R_{\text{total}} = R_{\text{steel}}+R_1+R_2$$

鋼管熱阻：

$$R_{\text{steel}} = \frac{\ln(r_1/r_i)}{2\pi k_{\text{steel}}L} = \frac{\ln(0.09875/0.08625)} {2\pi(23.5)(1)}$$ $$R_{\text{steel}} =9.16\times10^{-4} \ \frac{\mathrm{hr}\cdot{}^\circ\mathrm{F}}{\mathrm{BTU}}$$

第一層保溫材料熱阻：

$$R_1 = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k_1L} = \frac{\ln(0.20292/0.09875)} {2\pi(0.058)(1)}$$ $$R_1=1.976 \ \frac{\mathrm{hr}\cdot{}^\circ\mathrm{F}}{\mathrm{BTU}}$$

第二層保溫材料熱阻：

$$R_2 = \frac{\ln(r_3/r_2)}{2\pi k_2L} = \frac{\ln(0.41125/0.20292)} {2\pi(0.042)(1)}$$ $$R_2=2.677 \ \frac{\mathrm{hr}\cdot{}^\circ\mathrm{F}}{\mathrm{BTU}}$$

因此

$$R_{\text{total}} = 0.000916+1.976+2.677 = 4.654 \ \frac{\mathrm{hr}\cdot{}^\circ\mathrm{F}}{\mathrm{BTU}}$$

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核心觀念

本題考查氣液兩相間的溶質傳遞，使用雙膜理論（two-film theory）與亨利定律。

亨利定律表示界面平衡關係：

$$p_A^*=H C_A$$

其中：

• $C_A$：液相中染料濃度，單位為 $\mathrm{kgmol/m^3}$
• $p_A$：氣相中染料分壓，單位為 $\mathrm{atm}$
• $H$：亨利常數，單位為 $\mathrm{atm/(kgmol/m^3)}$

液相與氣相的整體傳質通量可分別寫成：

$$N_A=K_L(C_A-C_A^*)$$ $$N_A=K_G(p_A^*-p_A)$$

本題氣流中幾乎不含染料，因此可取：

$$p_A \approx 0$$

相對應的平衡液相濃度為：

$$C_A^*=\frac{p_A}{H}=0$$

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解題方法

採用雙膜理論，將傳質阻力分成液膜阻力與氣膜阻力，再將兩者串聯合併為整體傳質阻力。

已知：

$$C_A=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{kgmol/m^3}$$ $$k_L=5.0\times10^{-4}\ \mathrm{kgmol/(m^2\cdot s)}$$ $$k_G=0.01\ \mathrm{kgmol/(m^2\cdot s\cdot atm)}$$ $$H=10\ \mathrm{atm/(kgmol/m^3)}$$

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(a) 整體質通量

以液相濃度差為推動力時，液相整體傳質係數為：

$$\frac{1}{K_L} = \frac{1}{k_L} + \frac{1}{Hk_G}$$

因此：

$$\frac{1}{K_L} = \frac{1}{5.0\times10^{-4}} + \frac{1}{10(0.01)}$$ $$\frac{1}{K_L}=2000+10=2010$$ $$K_L=\frac{1}{2010} =4.98\times10^{-4}\ \mathrm{m/s}$$

因為 $C_A^*=0$，所以：

$$N_A=K_L(C_A-C_A^*)$$ $$N_A=(4.98\times10^{-4})(1.0\times10^{-3})$$ $$\boxed{ N_A=4.98\times10^{-7}\ \mathrm{kgmol/(m^2\cdot s)} }$$

染料由液相傳至氣相，因此通量方向為液相 $\rightarrow$ 氣相。

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(b) 整體傳質係數 $K_L$ 與 $K_G$

以液相濃度為基準的整體傳質係數 $K_L$

$$\frac{1}{K_L} = \frac{1}{k_L} + \frac{1}{Hk_G}$$

代入數值：

$$K_L=4.98\times10^{-4}\ \mathrm{m/s}$$

因此：

$$\boxed{ K_L=4.98\times10^{-4}\ \mathrm{m/s} }$$

以氣相分壓為基準的整體傳質係數 $K_G$

以氣相分壓差為推動力時：

$$\frac{1}{K_G} = \frac{H}{k_L} + \frac{1}{k_G}$$

代入數值：

$$\frac{1}{K_G} = \frac{10}{5.0\times10^{-4}} + \frac{1}{0.01}$$ $$\frac{1}{K_G}=20000+100=20100$$