111 年 國立中央大學土木工程學系碩士班丁：材料組在職生《工程統計學》

本題主要在考驗考生對工程統計學中幾個基本名詞的理解與掌握。

(1) 期望值 (Expected Value)：
期望值是機率論中的一個重要概念，它代表一個隨機變數在多次試驗中平均的結果。對於離散型隨機變數 $X$，其期望值 $E(X)$ 定義為所有可能值的加權平均，權重為其對應的機率 $P(X=x)$：
$E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)$
對於連續型隨機變數 $X$，其期望值 $E(X)$ 定義為機率密度函數 $f(x)$ 與 $x$ 的積分：
$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$
在工程應用中，期望值常用來預測系統的平均性能、成本或產量。

(2) 相關係數 (Correlation Coefficient)：
相關係數是衡量兩個隨機變數之間線性關係強度和方向的統計量。最常用的是皮爾遜積差相關係數 (Pearson Product-Moment Correlation Coefficient)，記為 $\rho$ (對於母體) 或 $r$ (對於樣本)。其值介於 -1 和 +1 之間：

• $\rho = +1$ 表示完全正相關。
• $\rho = -1$ 表示完全負相關。
• $\rho = 0$ 表示沒有線性相關。
• $0 < \rho < 1$ 表示正相關。
• $-1 < \rho < 0$ 表示負相關。
  計算公式為：
  $\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$

本題考驗對線性迴歸模型建立時樣本數要求的理解，以及其背後統計原理的認識。

建立線性迴歸模型時，要求數據達到 30 筆以上才具有代表性，主要原因與以下幾個統計學上的概念有關：

1. 中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的應用：
   線性迴歸模型假設殘差 (residuals) 的分佈近似於常態分佈。當樣本數較小時，即使母體的誤差項分佈接近常態，樣本殘差的分佈可能還無法穩定地呈現常態特徵。然而，中央極限定理指出，當樣本數足夠大 (通常 $n \ge 30$) 時，即使原始母體的誤差分佈不是常態，樣本平均數（或在此情況下，殘差的總體行為）的分佈也會趨近於常態。這使得我們能夠使用基於常態分佈的統計推論方法（如 t-檢定、F-檢定）來評估迴歸模型的顯著性、迴歸係數的顯著性以及進行預測。

2. 迴歸係數估計的穩定性與準確性：
   線性迴歸模型透過最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS) 來估計迴歸係數 ($\beta_0, \beta_1, ...$)。樣本數越多，OLS 估計量 ($\hat{\beta}$) 的變異數通常越小，使得估計值更接近真實的母體參數。根據高斯-馬可夫定理 (Gauss-Markov Theorem)，在某些假設下，OLS 估計量是最佳線性不偏估計量 (BLUE)。然而，這個「最佳」的意義是在所有線性不偏估計量中具有最小變異數。樣本數不足可能導致估計量變異數過大，使得模型對數據中的隨機波動過於敏感，泛化能力差。

核心觀念

本題為典型的**單因子變異數分析（One-Way ANOVA）與工程經濟（性價比評估）**之整合題型。

1. 單因子變異數分析（One-Way ANOVA）：
   用於檢定 $k$ 個獨立母體平均數是否相等。

   • 虛無假設 $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$
   • 對立假設 $H_1:$ 各處理平均數不全相等
   • 總變異分解：$SST = SS_{Tr} + SSE$（題目以 $SSF$ 代表處理平方和 $SS_{Tr}$）
     • 處理平方和（組間變異）： $$SSF = n \sum_{i=1}^k (\bar{Y}_{i\cdot} - \bar{Y}_{\cdot\cdot})^2$$
     • 誤差平方和（組內變異）： $$SSE = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n (Y_{ij} - \bar{Y}_{i\cdot})^2$$
   • 檢定統計量： $$F^* = \frac{MSF}{MSE} = \frac{SSF / (k-1)}{SSE / (N-k)} \sim F(k-1, N-k)$$ 其中 $k=3$（混凝土組數）、$n=3$（每組試驗次數）、總樣本數 $N = kn = 9$。

2. 性價比（Cost-Performance Ratio / 單位成本強度）分析：
   在土木材料工程中，決策指標需結合統計檢定結論與每單位成本所能提供的抗壓強度（$\text{psi} / \text{元}$）。

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解題方法

步驟一：計算各組平均數與總平均數

設三種混凝土分別為：

• 第 1 組（非常強）：$Y_{1j} = \{5000, 4000, 3000\}$
• 第 2 組（有夠強）：$Y_{2j} = \{4000, 3000, 2000\}$
• 第 3 組（普通強）：$Y_{3j} = \{3000, 2000, 1000\}$

各組樣本平均數：

$$\bar{Y}_{1\cdot} = \frac{5000 + 4000 + 3000}{3} = 4000\text{ (psi)}$$ $$\bar{Y}_{2\cdot} = \frac{4000 + 3000 + 2000}{3} = 3000\text{ (psi)}$$ $$\bar{Y}_{3\cdot} = \frac{3000 + 2000 + 1000}{3} = 2000\text{ (psi)}$$

總平均數：

$$\bar{Y}_{\cdot\cdot} = \frac{\bar{Y}_{1\cdot} + \bar{Y}_{2\cdot} + \bar{Y}_{3\cdot}}{3} = \frac{4000 + 3000 + 2000}{3} = 3000\text{ (psi)}$$

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步驟二：計算變異數分析各項平方和與自由度

1. 處理平方和（$SSF$）：

   $$SSF = 3 \times \left[(4000 - 3000)^2 + (3000 - 3000)^2 + (2000 - 3000)^2\right]$$ $$SSF = 3 \times \left[1000^2 + 0^2 + (-1000)^2\right] = 3 \times 2{,}000{,}000 = 6{,}000{,}000$$

   自由度 $df_F = k - 1 = 3 - 1 = 2$。

2. 誤差平方和（$SSE$）：
   每組樣本離均差平方和計算：

   • 第 1 組：$(5000-4000)^2 + (4000-4000)^2 + (3000-4000)^2 = 1000^2 + 0 + (-1000)^2 = 2{,}000{,}000$
   • 第 2 組：$(4000-3000)^2 + (3000-3000)^2 + (2000-3000)^2 = 1000^2 + 0 + (-1000)^2 = 2{,}000{,}000$

本題旨在考驗考生對統計假設檢定中三個核心概念的理解：檢定力、顯著水準和信賴水準。

1. 顯著水準 (Significance Level, $\alpha$)
   顯著水準，通常用希臘字母 $\alpha$ 表示，是在進行假設檢定時，我們預先設定的、願意承擔的犯第一類錯誤 (Type I Error) 的機率上限。第一類錯誤是指當虛無假設 ($H_0$) 為真時，我們卻拒絕了它。
   例如，若設定 $\alpha = 0.05$ (即 5%)，表示我們願意承擔 5% 的風險，在 $H_0$ 為真時，錯誤地宣稱 $H_0$ 不成立。
   顯著水準 $\alpha$ 決定了我們拒絕虛無假設的臨界值。$\alpha$ 值越小，表示我們對犯第一類錯誤越謹慎，拒絕 $H_0$ 的標準就越高。

2. 檢定力 (Power of a Test, $1-\beta$)
   檢定力，通常表示為 $1-\beta$，是假設檢定中一個非常重要的概念，它衡量了當對立假設 ($H_1$) 為真時，我們能夠正確地拒絕虛無假設 ($H_0$) 的機率。換句話說，檢定力是正確偵測到真實存在的效應 (如果該效應存在於母體中) 的能力。
   $\beta$ 代表第二類錯誤 (Type II Error) 的機率，即當對立假設 ($H_1$) 為真時，我們卻未能拒絕虛無假設 ($H_0$)。
   因此，檢定力 $1-\beta = P(\text{Reject } H_0 | H_1 \text{ is true})$。
   檢定力越高，表示檢定越能有效地發現真實存在的差異或關係。

本題考驗考生對變異數分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 的基本定義、目的與原理的理解。

什麼是變異數分析 (ANOVA)?

變異數分析 (ANOVA) 是一種統計方法，用於比較兩個或兩個以上群體 (或處理組) 的平均數之間是否存在顯著差異。儘管其名稱是「變異數分析」，但其核心目的並非直接分析變異數本身，而是利用變異數來推斷平均數的差異。

ANOVA 的基本思想是將總體數據的總變異 (Total Variation) 分解為不同來源的變異。對於單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)，總變異被分解為：

1. 組間變異 (Between-Group Variation)：也稱為處理變異 (Treatment Variation) 或因子變異 (Factor Variation)。這部分變異反映了不同群體平均數之間的差異。如果不同群體的平均數差異很大，組間變異就會較大。
2. 組內變異 (Within-Group Variation)：也稱為隨機變異 (Random Variation) 或誤差變異 (Error Variation)。這部分變異反映了同一群體內各觀測值之間的隨機波動或誤差。它代表了由於抽樣誤差或其他未受控制因素造成的變異。

ANOVA 透過比較組間變異與組內變異的相對大小來判斷群體平均數之間是否存在顯著差異。具體做法是計算一個 F 統計量，該統計量是組間變異的均方 (Mean Square Between) 與組內變異的均方 (Mean Square Within) 的比值。

本題考驗考生將統計學知識應用於實際工程問題的能力，特別是關於混凝土強度與時間的關係，以及如何進行試驗規劃與數據分析。

身為品管工程師，我會按照以下步驟來規劃試驗並分析結果：

第一階段：試驗規劃 (Experimental Design)

1. 確定試驗目的與範圍：

   • 主要目的：建立混凝土 7 天和 28 天抗壓強度之間的關係模型，以便在 7 天強度數據出來後，能較準確地預測 28 天強度，從而及時進行施工品質判斷與決策。
   • 次要目的：評估模型的準確性，以及確定模型的適用範圍（例如，適用於哪種配合比的混凝土）。

2. 選擇代表性樣本：

   • 混凝土配合比：需要確定要測試的混凝土配合比。如果實驗室負責多種配合比的混凝土，應當針對主要或關鍵的幾種配合比分別建立模型，或者在設計中納入配合比作為一個因子。為簡化，在此假設我們關注一種或幾種標準配合比。
   • 試體製作：按照標準試驗方法 (如 ASTM C31 或 CNS 11774) 製作混凝土圓柱或立方試體。試體的尺寸應符合標準。
   • 樣本數量：為了建立可靠的關係模型，需要足夠的樣本。假設我們計畫收集 $n$ 組數據點 (每組數據點包含一組 7 天強度與對應的 28 天強度)。為了獲得良好的統計推論，建議 $n$ 至少為 30 個數據點。
   • 試體數量：對於每一組數據點，我們需要製作足夠的試體。例如，為了測量 7 天和 28 天的強度，我們需要製作至少兩組試體。為確保數據的可靠性，建議每組試驗（例如，同一批混凝土的 7 天和 28 天強度）製作至少 3 個試體，取平均值作為一個數據點。因此，總共可能需要 $3 \times n$ 個試體。

3. 試驗步驟：

   • 混凝土拌合：按照選定的配合比，在標準環境下拌合混凝土。
   • 試體製作：將拌合好的混凝土分批裝模，進行搗實或振實，並進行標準的養護。
   • 7 天強度測試：在混凝土澆置後的第 7 天，從每組中取出指定數量的試體，按照標準方法 (如 ASTM C39 或 CNS 11774) 進行抗壓強度測試。記錄每組試體的 7 天平均抗壓強度。
   • 28 天強度測試：在混凝土澆置後的第 28 天，取出與 7 天測試同一批拌合的剩餘試體，按照標準方法進行抗壓強度測試。記錄每組試體的 28 天平均抗壓強度。
   • 數據記錄：將每一組的 7 天平均強度 (記為 $X_i$) 和對應的 28 天平均強度 (記為 $Y_i$) 記錄下來，形成 $n$ 對 $(X_i, Y_i)$ 數據點。

第二階段：工程統計方法分析試驗結果

1. 數據探索與可視化：

   • 散佈圖 (Scatter Plot)：首先，繪製 7 天強度 ($X$) 與 28 天強度 ($Y$) 的散佈圖。這有助於直觀地觀察兩者之間的關係形態（線性、非線性）、關係方向（正向或負向）以及數據的離散程度。
   • 計算基本統計量：計算 7 天強度的平均值、標準差，以及 28 天強度的平均值、標準差。

2. 模型建立：

   • 假設模型：根據散佈圖的觀察，最常見的假設是 7 天強度與 28 天強度之間存在線性關係。因此，我們可以使用簡單線性迴歸模型來描述這種關係：
     $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$
     其中：
     • $Y_i$ 是第 $i$ 個觀測樣本的 28 天抗壓強度。
     • $X_i$ 是第 $i$ 個觀測樣本的 7 天抗壓強度。
     • $\beta_0$ 是截距項 (Intercept)，代表 7 天強度為 0 時的預測 28 天強度（在物理上可能無意義，但統計上是模型的一部分）。
     • $\beta_1$ 是斜率項 (Slope)，代表 7 天強度每增加一個單位，28 天強度預計增加的量。
     • $\epsilon_i$ 是誤差項，代表模型無法解釋的隨機變異，假設 $\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2)$。