112 年 國立中央大學土木工程學系碩士班丁：材料組在職生《工程統計學》

核心觀念

本題使用單因子變異數分析（one-way ANOVA），比較三種行動電源的平均供電時間是否相同。

設：

• 標準型平均數為 $\mu_1$
• 長效型平均數為 $\mu_2$
• 耐久型平均數為 $\mu_3$

假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$$ $$H_1:\text{至少有一組平均數不同}$$

以顯著水準 $\alpha=0.05$ 判斷，檢定統計量為：

$$F=\frac{MSF}{MSE}$$

其中 $SSF$ 衡量組間差異，$SSE$ 衡量組內差異。

解題方法與計算

1. 計算各組平均數與總平均數

三種行動電源的平均測試時間為：

$$\bar{Y}_1=\frac{100+200+300}{3}=200$$ $$\bar{Y}_2=\frac{200+300+400}{3}=300$$ $$\bar{Y}_3=\frac{300+400+100}{3}=\frac{800}{3}=266.67$$

總平均數為：

$$\bar{Y}=\frac{100+200+300+200+300+400+300+400+100}{9} =\frac{2300}{9}=255.56$$

2. 計算組間平方和 $SSF$

每組有 $n=3$ 筆資料，因此：

$$SSF=3\sum_{j=1}^{3}(\bar{Y}_j-\bar{Y})^2$$

代入數值：

$$\begin{aligned} SSF &=3\left[ (200-255.56)^2+(300-255.56)^2+(266.67-255.56)^2 \right]\\ &=\frac{140000}{9}=15555.56 \end{aligned}$$

3. 計算組內平方和 $SSE$

標準型：

$$(100-200)^2+(200-200)^2+(300-200)^2=20000$$

長效型：

$$(200-300)^2+(300-300)^2+(400-300)^2=20000$$

耐久型：

本題主要考驗對假設檢定中幾個基本概念的理解。

核心觀念： 假設檢定是在樣本數據的基礎上，對總體參數的某個陳述（假設）做出決策的統計方法。在這個過程中，可能產生兩種錯誤。

各項定義：

1. 顯著水準 (Significance Level, $\alpha$)：

   • 定義： 在虛無假設 ($H_0$) 為真時，錯誤地拒絕虛無假設的機率。
   • 說明： 顯著水準是研究者在進行假設檢定前自行設定的一個機率值，通常表示為 $\alpha$。常見的顯著水準有 0.05 (5%)、0.01 (1%) 或 0.10 (10%)。它代表了我們願意承擔的「型一錯誤」的最大風險。顯著水準越小，我們拒絕虛無假設的要求就越高。

2. 型一錯誤 (Type I Error)：

   • 定義： 當虛無假設 ($H_0$) 實際上為真時，卻拒絕了虛無假設。
   • 機率： 型一錯誤的機率恰好等於顯著水準 $\alpha$。
   • 比喻： 誤判無罪的人有罪。

3. 型二錯誤 (Type II Error)：

   • 定義： 當虛無假設 ($H_0$) 實際上為偽時，卻未能拒絕虛無假設（即接受了虛無假設）。
   • 機率： 型二錯誤的機率通常用 $\beta$ 表示。
   • 說明： 型二錯誤發生的機率 $\beta$ 與樣本大小、顯著水準以及效果大小（效應量）有關。

本題考驗對迴歸分析基本概念的理解。

核心觀念： 迴歸分析 (Regression Analysis) 是一種統計方法，用於研究一個或多個自變數 (independent variables) 如何影響一個應變數 (dependent variable)，以及預測應變數的值。

迴歸分析的說明：

1. 目的：

   • 建立數學模型： 找出一個數學方程式，用以描述自變數與應變數之間的關係。
   • 預測： 利用已建立的模型，根據自變數的值來預測應變數的值。
   • 解釋： 釐清自變數對應變數的影響程度和方向。
   • 控制： 在實際應用中，透過控制自變數來影響應變數。

2. 基本組成：

   • 應變數 (Dependent Variable, Y)： 我們想要解釋或預測的變數。
   • 自變數 (Independent Variable, X)： 用來解釋或預測應變數的變數。

3. 種類：

   • 簡單迴歸 (Simple Regression)： 只有一個自變數。
     • 模型形式：$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$
     • $\beta_0$：截距項 (Intercept)，表示當自變數 X 為 0 時，應變數 Y 的平均值。

本題考驗對品質管理領域三個重要概念的理解及其相互關係。

核心觀念： 這三個術語都與產品或服務的品質有關，但它們的層級和關注點有所不同。

定義：

1. SQC (Statistical Quality Control, 統計品質管制)：

   • 定義： 利用統計方法來監測、控制和改進產品或服務的品質。它強調使用統計工具（如管制圖、抽樣檢驗）來分析生產過程中的數據，以確保品質穩定並及時發現偏差。
   • 關注點： 主要關注生產過程中的品質變異，透過數據分析來識別和減少變異。

2. SPC (Statistical Process Control, 統計製程管制)：

   • 定義： SQC 的一個重要組成部分，特別強調在生產過程中即時監控和控制製程，以防止不良品的產生。SPC 透過管制圖 (Control Charts) 等工具，監測製程參數，當製程出現異常變異時發出警示，以便及時採取糾正措施。
   • 關注點： 專注於「製程」，強調預防，而非事後檢驗。目標是讓製程穩定並維持在可控狀態。

3. TQM (Total Quality Management, 全面品質管理)：

   • 定義： 一種更為廣泛、系統性的品質管理哲學和方法論。TQM 強調組織內所有部門、所有人員的全面參與，從客戶需求出發，持續改進產品、服務和流程，以達成客戶滿意和組織的長期成功。
   • 關注點： 涵蓋組織的每一個面向，包括客戶、員工、供應商、流程、產品和服務。

本題考驗對製程管制圖 (Control Chart) 中管制上限 (Upper Control Limit, UCL) 和管制下限 (Lower Control Limit, LCL) 的建立概念，以及如何應用於混凝土強度管制。

核心觀念： 管制上限和管制下限是製程管制圖的關鍵組成部分，它們基於製程的歷史數據（或期望的製程能力）來定義製程變異的正常範圍。超出此範圍的點被視為製程異常。

建立管制上限 (UCL) 和管制下限 (LCL) 的步驟與說明：

1. 定義管制目標：

   • 題目給定混凝土的要求強度為 $350 \text{ kgf/cm}^2$。這通常是我們希望製程達到的 目標值 (Target Value) 或 中心值 (Center Value)。

2. 收集製程數據：

   • 需要收集代表該混凝土生產製程的歷史強度數據。這些數據應當是從穩定的製程中取得的。
   • 假設： 由於題目未提供數據，我們需要做合理假設。假設我們收集了 $m$ 個子群 (subgroups)，每個子群有 $n$ 個樣本（例如，每天取 5 個試體，連續取 20 天，則 $m=20, n=5$）。
   • 假設： 假設這些歷史數據已經過初步分析，確認製程是統計上穩定的（即沒有特殊原因變異）。

3. 計算製程中心線 (Center Line, CL)：

   • 中心線通常設定為目標值，或者根據歷史數據計算的平均值。
   • 假設： 我們假設製程中心線 (CL) 就是目標強度，即 $CL = 350 \text{ kgf/cm}^2$。

4. 估計製程變異：

   • 這是建立 UCL 和 LCL 的關鍵。變異通常用標準差 $\sigma$ 來衡量。

   • 方法一：使用子群極差 (Range, R)：

     • 計算每個子群的極差 $R_i = Y_{max} - Y_{min}$。
     • 計算所有子群極差的平均值 $\bar{R} = \frac{\sum R_i}{m}$。
     • 估計製程標準差 $\sigma \approx \frac{\bar{R}}{d_2}$，其中 $d_2$ 是一個常數，取決於子群大小 $n$ (例如，若 $n=5$，則 $d_2 \approx 2.326$)。

   • 方法二：使用子群標準差 (Standard Deviation, s)：

     • 計算每個子群的標準差 $s_i$。
     • 計算所有子群標準差的平均值 $\bar{s} = \frac{\sum s_i}{m}$。
     • 估計製程標準差 $\sigma \approx \frac{\bar{s}}{c_4}$，其中 $c_4$ 是一個常數，取決於子群大小 $n$。

   • 方法三：使用所有數據的標準差 (較不常用於管制圖)： 直接計算所有 $N=mn$ 個數據的標準差 $s_{total}$。

   • 假設： 假設我們選用子群極差法，且子群大小為 $n=5$。經過數據分析，我們得到平均極差 $\bar{R} = 40 \text{ kgf/cm}^2$。查表可知，當 $n=5$ 時，$d_2 \approx 2.326$。

   • 則製程標準差的估計值 $\hat{\sigma} \approx \frac{40}{2.326} \approx 17.19 \text{ kgf/cm}^2$。

5. 計算管制上限 (UCL) 和管制下限 (LCL)：

   • 最常見的管制圖是 X-bar 管制圖 (用於監測平均值) 和 R 管制圖 (用於監測變異)。
   • 對於 X-bar 管制圖 (監測平均強度)：
     • $UCL_X = CL + 3 \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}$
     • $LCL_X = CL - 3 \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}$
     • 其中 $\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}$ 是子群平均值的標準差。
     • 或者，使用基於極差的常數 $A_3$: $UCL_X = CL + 3 A_3 \bar{R}$， $LCL_X = CL - 3 A_3 \bar{R}$。對於 $n=5$, $A_3 \approx 1.028$。
     • 計算 (假設 CL=350, $\hat{\sigma} \approx 17.19, n=5$)：
       • $\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \approx \frac{17.19}{\sqrt{5}} \approx \frac{17.19}{2.236} \approx 7.688$
       • $UCL_X = 350 + 3 \times 7.688 = 350 + 23.06 = 373.06 \text{ kgf/cm}^2$
       • $LCL_X = 350 - 3 \times 7.688 = 350 - 23.06 = 326.94 \text{ kgf/cm}^2$
     • 計算 (使用 $A_3$ 常數)：
       • $UCL_X = 350 + 3 \times 1.028 \times 40 = 350 + 123.36 = 473.36 \text{ kgf/cm}^2$

本題考驗對變異來源的理解（組內變異與組間變異）以及如何利用離散趨勢指標評估數據的穩定性與品質。

核心觀念： 在統計分析中，總變異可以分解為不同來源的變異。對於混凝土強度試驗，可能有多個因素（如不同的配比、不同的養護條件、不同的試驗批次等）導致強度數據產生變異。

1. 組內變異 (Within-Group Variation) 與組間變異 (Between-Group Variation)：

• 組內變異 (Within-Group Variation)：

  • 定義： 指的是在 同一組 內，各數據點與該組平均數之間的差異。它反映了在相同條件或類別下，由於隨機因素、測量誤差或微小差異所引起的變異。
  • 說明： 例如，如果我們將混凝土試體按「配比 A」、「配比 B」分成兩組，那麼「配比 A」這一組內，不同試體的強度差異就是組內變異。它通常被視為製程固有變異或隨機變異。
  • 統計指標： 通常由組內平方和 (SSE, Sum of Squares Error) 或組內均方 (MSE, Mean Square Error) 來衡量，這在單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 中是關鍵部分。

• 組間變異 (Between-Group Variation)：

  • 定義： 指的是 不同組別的平均數 與 總平均數 之間的差異。它反映了由於不同組別的特性（如不同的處理、不同的類別、不同的條件）所引起的變異。
  • 說明： 在上述例子中，如果「配比 A」的平均強度與「配比 B」的平均強度不同，這種差異就是組間變異。它代表了不同處理或類別之間造成的系統性差異。
  • 統計指標： 通常由組間平方和 (SSB, Sum of Squares Between) 或組間均方 (MSB, Mean Square Between) 來衡量，這也是 ANOVA 的核心。

2. 離散趨勢指標與強度評估五準則：

題目要求以離散趨勢（全距、標準差、變異係數）說明強度評估的「五準則」。這裡的「五準則」可能指的是利用這些指標來評估數據分散程度、穩定性、均勻性、製程能力等面向。以下是常見的評估方式：

• a. 全距 (Range, R)：

  • 定義： 一組數據中的最大值與最小值之差 ($R = X_{max} - X_{min}$)。
  • 評估準則：
    • 變異程度指標： 全距提供了一個簡單快速的變異範圍概念。全距越大，表示數據的分散程度越大。
    • 製程穩定性： 在管制圖中，R 管制圖用於監測製程的變異是否穩定。較小的、穩定的全距（或平均極差 $\bar{R}$）意味著製程變異較小。
    • 優點： 計算簡單。
    • 缺點： 只考慮了極端值，忽略了數據分佈的細節。

• b. 標準差 (Standard Deviation, $\sigma$ 或 $s$)：

  • 定義： 衡量數據點偏離平均數的平均程度。樣本標準差 $s = \sqrt{\frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n-1}}$。
  • 評估準則：
    • 變異程度指標： 標準差是衡量數據分散程度最常用的指標。標準差越小，數據越集中在平均值附近，表示數據點的變異性越小。
    • 製程能力評估： 在評估製程能力時（如 $C_p$, $C_{pk}$），標準差是計算的關鍵參數，用於衡量製程的固有變異（通常用 $\sigma$ 表示）。
    • 品質評估： 在品質管制中，較小的標準差通常意味著產品的一致性較高。