113 年 國立中央大學土木工程學系碩士班丁：材料組一般生《工程統計學》

本題主要考驗單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的應用，目的是判斷不同種類的黏著劑（處理組）其黏度是否有顯著差異。

核心觀念：
單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 用於比較三個或三個以上獨立樣本的平均數是否存在統計上的顯著差異。其基本原理是將總變異分解為組間變異 (Between-group variation) 和組內變異 (Within-group variation)，透過比較這兩者的比例（F統計量）來判斷處理組的平均數是否有差異。

解題步驟：

1. 設定假設檢定：

   • 虛無假設 ($H_0$)：三種黏著劑的平均黏度沒有顯著差異。即 $\mu_{卓越型} = \mu_{前瞻型} = \mu_{耐候型}$。
   • 對立假設 ($H_1$)：至少有一種黏著劑的平均黏度與其他不同。

2. 計算相關統計量：

   • 樣本數：每組樣本數 $n_j = 3$ (j=1, 2, 3)。總樣本數 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 3+3+3 = 9$。
   • 組別數：$k = 3$。
   • 各組平均數：
     • $\bar{Y}_1$ (卓越型) = (2000 + 3000 + 4000) / 3 = 9000 / 3 = 3000
     • $\bar{Y}_2$ (前瞻型) = (3000 + 4000 + 5000) / 3 = 12000 / 3 = 4000
     • $\bar{Y}_3$ (耐候型) = (4000 + 5000 + 6000) / 3 = 15000 / 3 = 5000
   • 總平均數：$\bar{Y}$ = (2000 + 3000 + 4000 + 3000 + 4000 + 5000 + 4000 + 5000 + 6000) / 9 = 30000 / 9 = 3333.33
   • 組間平方和 (Sum of Squares Between, SSB)：根據提示公式 $SSF = \sum_{j=1}^{k} n_j (\bar{Y}_j - \bar{Y})^2$
     $SSB = 3 \times (3000 - 3333.33)^2 + 3 \times (4000 - 3333.33)^2 + 3 \times (5000 - 3333.33)^2$
     $SSB = 3 \times (-333.33)^2 + 3 \times (666.67)^2 + 3 \times (1666.67)^2$
     $SSB \approx 3 \times 111108.89 + 3 \times 444448.89 + 3 \times 2777778.89$
     $SSB \approx 333326.67 + 1333346.67 + 8333336.67 = 9999990$
     (為求精確，我們可以使用分數計算：$\bar{Y} = 30000/9 = 10000/3$
     $SSB = 3 \times (3000 - 10000/3)^2 + 3 \times (4000 - 10000/3)^2 + 3 \times (5000 - 10000/3)^2$

本題要求解釋三種常用的統計檢定方法：t-test、F-test 和 ANOVA。

核心觀念：
這三種方法都屬於假設檢定的範疇，用於比較樣本數據以推斷母體參數的關係。它們的應用場景和比較對象有所不同。

1. t-test (t檢定)

   • 目的： t-test 主要用於比較兩個母體的平均數是否存在顯著差異。
   • 情境：
     • 單樣本 t-test (One-sample t-test)： 比較一個樣本的平均數是否與已知或假設的母體平均數有顯著差異。例如，檢驗某批次產品的平均重量是否等於標準值。
     • 獨立樣本 t-test (Independent samples t-test)： 比較兩個獨立樣本的平均數是否存在顯著差異。例如，比較男性與女性的平均身高差異。
     • 配對樣本 t-test (Paired samples t-test)： 比較同一組對象在不同時間點或不同條件下的平均數差異，或者比較配對樣本的平均數差異。例如，比較同一批受試者在服用藥物前後的平均血壓差異。
   • 檢定統計量： t 統計量。其計算基於樣本平均數、樣本標準差以及樣本數。
   • 假設： 通常假設母體服從常態分配，且在獨立樣本 t-test 中，可能需要假設兩母體的變異數相等（或使用 Welch's t-test 處理變異數不相等的情況）。

2. F-test (F檢定)

   • 目的： F-test 的應用較廣，最常見的用途是檢定兩個母體的變異數是否相等，以及在 ANOVA 中檢定多個母體的平均數是否存在顯著差異。
   • 情境：
     • 變異數相等檢定： 比較兩個獨立樣本的變異數是否存在顯著差異。這通常是進行獨立樣本 t-test (假設變異數相等時) 或 ANOVA 前的一個預備檢定。
     • ANOVA 中的應用： 在 ANOVA 中，F 統計量是用來比較組間變異 (MSB) 與組內變異 (MSW) 的比例。如果 F 值顯著大於 1，表示組間變異大於組內變異，暗示各組的平均數存在差異。

本題要求解釋中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)。

核心觀念：
中央極限定理是統計學中最重要、最基礎的定理之一，它描述了從任何母體（不論其原始分布為何）抽取足夠大的樣本，這些樣本平均數的抽樣分布將近似於常態分配。

詳細說明：

假設我們有一個母體，其平均數為 $\mu$，標準差為 $\sigma$。不論這個母體的原始分布是均勻分布、指數分布、二項分布，甚至是未知的、不規則的分布。

現在，我們從這個母體中隨機抽取一個大小為 $n$ 的樣本。計算這個樣本的平均數 $\bar{X}$。
我們重複這個過程很多次，每次都抽取一個大小為 $n$ 的樣本，並計算其平均數。這樣，我們就得到了一系列的樣本平均數：$\bar{X}_1, \bar{X}_2, \bar{X}_3, \dots$。

中央極限定理指出：

1. 樣本平均數的平均數： 這些樣本平均數的平均值，會趨近於母體的真實平均數 $\mu$。即 $E(\bar{X}) = \mu$。
2. 樣本平均數的標準差： 這些樣本平均數的標準差（稱為標準誤, Standard Error, SE），會趨近於母體標準差除以樣本數的平方根。即 $SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

核心觀念

本題的核心觀念為單一樣本之母體平均數假設檢定（Hypothesis Testing for a Single Population Mean），亦可透過**雙尾或單尾信賴區間（Confidence Interval）**進行推論。

涉及的重要觀念、定理與公式如下：

1. 假設設定（Hypothesis Formulation）：
   廠商宣稱強度「可以達到 $10,000\text{ psi}$」，檢定其宣稱是否合宜（即平均強度是否顯著未達標或是否符合宣稱）。工程實務上，檢驗強度是否合格通常採左尾檢定；若檢驗宣稱數值是否成立，亦可採雙尾檢定。本題以工程實務最常見且嚴格的左尾檢定（單尾檢定）為主，並輔以雙尾檢定進行比對說明。
   • 虛無假設 $H_0: \mu \ge 10,000\text{ psi}$（或 $H_0: \mu = 10,000\text{ psi}$）
   • 對立假設 $H_1: \mu < 10,000\text{ psi}$（或 $H_1: \mu \ne 10,000\text{ psi}$）
2. 抽樣分佈（Sampling Distribution）：
   假設母體服從常態分佈 $N(\mu, \sigma^2)$。題目給定母體標準差 $\sigma = 200\text{ psi}$，且樣本數 $n = 4$。
   樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分佈為： $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$
3. 檢定統計量（Test Statistic）：
   由於母體標準差 $\sigma$ 已知，採用標準常態檢定統計量 $Z$： $$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$
4. 顯著水準與臨界值（Significance Level and Critical Value）：
   題目給定信心水準為 $95\%$（即 $1 - \alpha = 0.95$，顯著水準 $\alpha = 0.05$）：
   • 單尾檢定（左尾）：臨界值為 $-Z_{0.05} = -1.645$。若 $Z_{\text{calc}} < -1.645$，則拒絕 $H_0$。
   • 雙尾檢定：臨界值為 $\pm Z_{0.025} = \pm 1.96$。若 $|Z_{\text{calc}}| > 1.96$，則拒絕 $H_0$。

---

解題方法

步驟一：整理已知樣本資料與統計量

• 樣本數 $n = 4$
• 樣本觀測值：$X_1 = 9,200$、$X_2 = 9,500$、$X_3 = 9,800$、$X_4 = 9,400$
• 樣本平均數 $\bar{X}$ 計算： $$\bar{X} = \frac{9,200 + 9,500 + 9,800 + 9,400}{4} = \frac{37,900}{4} = 9,475\text{ psi}$$
• 母體標準差 $\sigma = 200\text{ psi}$
• 樣本平均數標準誤（Standard Error, SE）： $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{200}{\sqrt{4}} = 100\text{ psi}$$

步驟二：建立假設檢定

• 觀點一：工程規格單尾檢定（左尾檢定，工程品質驗收之標準作法）
  檢驗混凝土強度是否顯著低於廠商宣稱的 $10,000\text{ psi}$：

  $$\begin{cases} H_0: \mu \ge 10,000\text{ psi} \quad (\text{宣稱合宜，強度達標}) \\ H_1: \mu < 10,000\text{ psi} \quad (\text{宣稱不合宜，強度顯著未達標}) \end{cases}$$

  在 $\alpha = 0.05$ 下，拒絕域（Rejection Region）為：

  $$Z < -Z_{0.05} = -1.645$$

• 觀點二：雙尾檢定（檢驗強度是否等於宣稱之數值）

  $$\begin{cases} H_0: \mu = 10,000\text{ psi} \\ H_1: \mu \ne 10,000\text{ psi} \end{cases}$$

  在 $\alpha = 0.05$ 下，拒絕域為：

本題要求規劃一項試驗，以建立早強混凝土 3 天和 28 天抗壓強度之間的關係，並說明如何利用工程統計方法進行分析。

核心觀念：
這是一個典型的建立兩個連續變數之間關係的問題，適合使用迴歸分析 (Regression Analysis)。由於目標是預測或解釋一個變數（28 天強度）如何隨著另一個變數（3 天強度）的變化而變化，因此應規劃試驗並進行線性迴歸分析。

試驗規劃 (實驗設計)：

1. 確定目標： 建立混凝土 3 天抗壓強度 ($X$) 與 28 天抗壓強度 ($Y$) 之間的數學模型，以便在 3 天強度數據出來後，能快速預測 28 天的強度，用於施工品管。

2. 選擇樣本：

   • 需要從實際生產的混凝土中抽取樣本。假設實驗室常規生產幾種不同配比或不同級別的混凝土，或者在特定時間內採樣。
   • 為了確保關係的代表性，應盡可能涵蓋不同強度等級的混凝土。

3. 確定樣本數量：

   • 迴歸分析需要足夠的數據點才能得到可靠的模型。一般建議至少需要 20-30 個數據點。考慮到混凝土試驗的成本和時間，可以先設定一個目標，例如 30 個樣本。
   • 每個樣本都應同時測試 3 天和 28 天的抗壓強度。

4. 試驗步驟：

   • 取樣： 在混凝土澆築過程中，按照標準程序（例如 ASTM C31 或 CNS 11773）製作一定數量的標準圓柱體或方塊試體。
   • 養護： 試體應在標準的養護條件下進行養護（例如標準養護室，溫度 $23 \pm 2^\circ C$，相對濕度 $\ge 95\%$）。
   • 測試：
     • 在澆築後的第 3 天，從每個樣本中隨機抽取一部分試體進行抗壓強度測試，記錄為 3 天強度 ($X_i$)。
     • 在澆築後的第 28 天，從每個樣本中剩餘的試體進行抗壓強度測試，記錄為 28 天強度 ($Y_i$)。
     • 重要假設： 為了建立 $X$ 與 $Y$ 的直接關係，我們需要假設同一配比或同一批次的混凝土，其 3 天強度和 28 天強度的變化趨勢是相關的。如果在 3 天強度測試時，由於某種原因（例如水灰比略有不同）導致強度偏高，則在 28 天強度測試時，其強度也可能偏高。因此，我們通常會製作足夠的試體，使得同一批次的 3 天強度和 28 天強度數據能夠對應起來。例如，如果製作了 30 組試體，每組製作 6 個試體，則每組取 3 個測試 3 天強度，剩餘 3 個測試 28 天強度。

5. 數據記錄： 將每一組試驗得到的 3 天強度 ($X_i$) 和對應的 28 天強度 ($Y_i$) 記錄下來，形成一組 (Xi, Yi) 的配對數據。

工程統計方法分析：

1. 數據整理與初步觀察：

   • 將收集到的 $(X_i, Y_i)$ 數據對列出。
   • 計算樣本的平均值、標準差等描述性統計量。
   • 繪製散佈圖 (Scatter Plot)，將 3 天強度作為橫坐標 ($X$)，28 天強度作為縱坐標 ($Y$)。觀察點的分布趨勢，判斷是否存在線性關係，以及關係的方向（正相關或負相關）。

2. 建立迴歸模型：

   • 假設模型： 假設 3 天強度與 28 天強度之間存在線性關係，即 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$，其中 $\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 是斜率，$\epsilon$ 是隨機誤差項。
   • 最小平方法 (Least Squares Method)： 使用最小平方法估計迴歸係數 $\beta_0$ 和 $\beta_1$。
     • 估計的斜率 $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{S_{XY}}{S_{XX}}$
     • 估計的截距 $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$

本題要求說明迴歸分析的目的以及進行簡單線性迴歸分析時的基本假設。

核心觀念：
迴歸分析是一種統計方法，用於研究變數之間的關係。簡單線性迴歸是指只研究一個自變數與一個因變數之間的線性關係。

迴歸分析的目的：

迴歸分析的主要目的可以歸納為以下幾點：

1. 描述關係 (Description)： 了解一個或多個自變數 (independent variables, predictors) 如何影響因變數 (dependent variable, response)。例如，描述廣告支出如何影響銷售額。
2. 預測 (Prediction)： 根據已知的自變數值，預測因變數的可能數值。例如，根據房屋的面積、地點等特徵，預測房屋的銷售價格。
3. 解釋 (Explanation)： 量化自變數對因變數的影響程度。例如，每增加一單位廣告支出，銷售額預計會增加多少。
4. 控制 (Control)： 在多重迴歸中，可以透過固定其他自變數的值，來觀察某一個自變數的獨立影響。

簡單線性迴歸的基本假設：

進行簡單線性迴歸分析時，為了確保迴歸模型的估計值（係數）的有效性和推論的正確性，通常需要滿足以下幾個基本假設：

1. 線性關係 (Linearity)： 自變數 $X$ 與因變數 $Y$ 之間存在線性關係。這意味著殘差圖（殘差對預測值或自變數的圖）應顯示隨機散佈，沒有明顯的曲線模式。

   • 模型表示：$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$

2. 誤差項的獨立性 (Independence of Errors)： 殘差項 $\epsilon_i$ 之間應相互獨立。這意味著一個觀測值的誤差不應影響另一個觀測值的誤差。