108 年 國立中央大學土木工程學系碩士班丁：材料組在職生《工程統計學》

本題考驗單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的應用。題目要求在考量 LED 的亮度與價格後，選出最適合的 LED。在統計學上，我們通常會透過 ANOVA 來檢定不同組別的平均值是否有顯著差異。

核心觀念： 單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 用於比較三個或以上獨立樣本的平均數是否存在統計上的顯著差異。

解題步驟：

1. 設定假設檢定：

   • 虛無假設 ($H_0$)：三種 LED 的平均照度沒有顯著差異。($\mu_{超級亮} = \mu_{有夠亮} = \mu_{剛剛好}$)
   • 對立假設 ($H_1$)：至少有一種 LED 的平均照度與其他不同。

2. 計算各組樣本平均值與總體平均值：

   • 樣本數 $n_i = 3$ 對於所有組別。
   • 超級亮：$\bar{Y}_{超級亮} = \frac{13000 + 15000 + 16000}{3} = \frac{44000}{3} \approx 14666.67$
   • 有夠亮：$\bar{Y}_{有夠亮} = \frac{11000 + 14000 + 13000}{3} = \frac{38000}{3} \approx 12666.67$
   • 剛剛好：$\bar{Y}_{剛剛好} = \frac{12000 + 14000 + 10000}{3} = \frac{36000}{3} = 12000$
   • 總體樣本數 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 3 + 3 + 3 = 9$
   • 總體平均值 $\bar{Y} = \frac{44000 + 38000 + 36000}{9} = \frac{118000}{9} \approx 13111.11$

3. 計算平方和 (Sum of Squares)：

   • 組間平方和 (Sum of Squares Between, SSB 或 SSG)： $SSG = \sum_{i=1}^{k} n_i(\bar{Y}_i - \bar{Y})^2$
     $SSG = 3 \times (14666.67 - 13111.11)^2 + 3 \times (12666.67 - 13111.11)^2 + 3 \times (12000 - 13111.11)^2$
     $SSG = 3 \times (1555.56)^2 + 3 \times (-444.44)^2 + 3 \times (-1111.11)^2$
     $SSG = 3 \times 2419753.09 + 3 \times 197529.64 + 3 \times 1234567.90$
     $SSG \approx 7259259.27 + 592588.92 + 3703703.70 \approx 11555551.96$
     (使用原始分數計算更精確)
     $SSG = 3 \times (\frac{44000}{3} - \frac{118000}{9})^2 + 3 \times (\frac{38000}{3} - \frac{118000}{9})^2 + 3 \times (12000 - \frac{118000}{9})^2$
     $SSG = 3 \times (\frac{132000-118000}{9})^2 + 3 \times (\frac{114000-118000}{9})^2 + 3 \times (\frac{108000-118000}{9})^2$
     $SSG = 3 \times (\frac{14000}{9})^2 + 3 \times (\frac{-4000}{9})^2 + 3 \times (\frac{-10000}{9})^2$
     $SSG = 3 \times \frac{196000000}{81} + 3 \times \frac{16000000}{81} + 3 \times \frac{100000000}{81}$
     $SSG = \frac{3 \times (196000000 + 16000000 + 100000000)}{81} = \frac{3 \times 312000000}{81} = \frac{312000000}{27} \approx 11555555.56$

   • 組內平方和 (Sum of Squares Within, SSE)： $SSE = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y}_i)^2$

     • 超級亮：$(13000-14666.67)^2 + (15000-14666.67)^2 + (16000-14666.67)^2$
       $= (-1666.67)^2 + (333.33)^2 + (1333.33)^2$
       $\approx 2777789.89 + 111111.11 + 1777777.78 \approx 4666678.78$
       (使用原始分數計算更精確)
       $\sum (Y_{ij} - \bar{Y}_{超級亮})^2 = (13000 - \frac{44000}{3})^2 + (15000 - \frac{44000}{3})^2 + (16000 - \frac{44000}{3})^2$
       $= (\frac{39000-44000}{3})^2 + (\frac{45000-44000}{3})^2 + (\frac{48000-44000}{3})^2$
       $= (\frac{-5000}{3})^2 + (\frac{1000}{3})^2 + (\frac{4000}{3})^2 = \frac{25000000 + 1000000 + 16000000}{9} = \frac{42000000}{9} \approx 4666666.67$
     • 有夠亮：$(11000-12666.67)^2 + (14000-12666.67)^2 + (13000-12666.67)^2$

本題要求解釋五個統計學中的基本名詞。

核心觀念： 這些是統計學中最基礎且重要的概念，理解它們是進行後續統計分析的基礎。

解釋如下：

• 常態分佈 (Normal Distribution)：
  又稱為高斯分佈 (Gaussian Distribution)，是一種機率分佈，其機率密度函數呈鐘形曲線。它是許多統計方法的理論基礎，因為許多自然現象和測量結果都近似於常態分佈。常態分佈由其平均值 ($\mu$) 和標準差 ($\sigma$) 兩個參數完全決定。其特性包括：對稱於平均值、平均值、中位數和眾數重合、曲線下總面積為 1、標準差決定曲線的離散程度（標準差越大，曲線越平坦；標準差越小，曲線越尖峭）。

• 信心水準 (Confidence Level)：
  在統計學中，信心水準是指在重複抽樣的情況下，估計的區間 (信心區間) 包含母體參數 (如母體平均數) 的機率。它通常以百分比表示，例如 95% 的信心水準表示，如果我們從同一母體中進行無限次的抽樣並計算信心區間，其中 95% 的區間將會包含真實的母體參數。信心水準與顯著水準 ($\alpha$) 是互補的，信心水準 = $1 - \alpha$。

• 變異數 (Variance)：
  變異數是衡量一組數據離散程度的統計量，它表示數據點與其平均值之間的平均平方偏差。變異數越大，表示數據點越分散；變異數越小，表示數據點越集中在平均值附近。

本題考驗對假設檢定中「檢定力」與「信心水準」的理解，並將其應用於實際情境。

核心觀念： 檢定力 (Power of a test) 和信心水準 (Confidence Level) 是假設檢定中兩種重要的概念，它們分別代表了檢定在不同方面的「成功率」。

解題思路：

在抽查「高度危險有害物質」的工地時，我們最關心的是「誤判」的後果。假設我們設定的虛無假設 ($H_0$) 是「材料不含有害物質」，對立假設 ($H_1$) 是「材料含有害物質」。

• 信心水準 ($1-\alpha$)： 代表在虛無假設為真時，我們「不拒絕」虛無假設的機率。換句話說，它代表了 第一類錯誤 (Type I Error) 的機率，即 $\alpha$。第一類錯誤是指「當材料實際上不含有害物質時，我們卻錯誤地判斷它含有害物質」。
• 檢定力 ($1-\beta$)： 代表在對立假設為真時，我們「拒絕」虛無假設的機率。換句話說，它代表了 第二類錯誤 (Type II Error) 的機率，即 $\beta$。第二類錯誤是指「當材料實際上含有害物質時，我們卻錯誤地判斷它不含有害物質」。

情境分析與優先考量：

在此情境下，如果我們錯誤地判斷「材料不含有害物質」(第二類錯誤)，其後果可能非常嚴重，例如：

• 施工安全受到威脅。
• 工人健康受損，甚至引發職業病。
• 環境污染，對周邊居民造成長期影響。
• 法律責任和聲譽損失。

相較之下，如果我們錯誤地判斷「材料含有害物質」(第一類錯誤)，其後果可能只是：

• 該批材料被隔離或重新檢測。
• 增加額外的檢測成本。
• 項目延遲。

因此，為了避免極嚴重的後果，我們必須盡量降低第二類錯誤 ($\beta$) 的發生機率，也就是盡量提高檢定力 ($1-\beta$)。

結論：

在抽查高度危險有害物質的工地時，我會比較注重檢定力 (Power of a test)。

理由與學理依據：

本題要求解釋 t-test 和 Z-test 的定義及其適用時機。

核心觀念： t-test 和 Z-test 都是用於比較樣本平均值與母體平均值，或比較兩個樣本平均值之間是否存在顯著差異的統計檢定方法。它們的根本區別在於對母體標準差的了解程度。

解釋如下：

• Z-test (Z 檢定)：

  • 定義： Z 檢定是一種統計檢定方法，用於檢定母體平均數。它假設樣本是從一個服從常態分佈的母體中抽取，並且母體的標準差 ($\sigma$) 是已知的。
  • 計算公式 (單樣本)： $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中 $\bar{X}$ 是樣本平均數，$\mu_0$ 是虛無假設下的母體平均數，$\sigma$ 是已知的母體標準差，$n$ 是樣本數。
  • 計算公式 (兩獨立樣本)： $Z = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$，其中 $\bar{X}_1, \bar{X}_2$ 是兩個樣本的平均數，$(\mu_1 - \mu_2)_0$ 是虛無假設下的兩母體平均數差，$\sigma_1, \sigma_2$ 是已知的母體標準差，$n_1, n_2$ 是樣本數。
  • 應用時機：
    1. 當母體標準差 ($\sigma$) 已知時。
    2. 當樣本數很大 (通常 $n \ge 30$) 時，即使母體標準差未知，樣本標準差 ($s$) 也近似於母體標準差，此時也可以使用 Z-test (此時稱為 Z-test for large samples)。
    3. 用於比例檢定，當樣本數足夠大時。

• t-test (t 檢定)：

  • 定義： t 檢定是一種統計檢定方法，用於檢定母體平均數。它也假設樣本是從一個服從常態分佈的母體中抽取，但與 Z-test 不同的是，母體的標準差 ($\sigma$) 是未知的，我們必須使用樣本標準差 ($s$) 來估計它。
  • 計算公式 (單樣本)： $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$，其中 $\bar{X}$ 是樣本平均數，$\mu_0$ 是虛無假設下的母體平均數，$s$ 是樣本標準差，$n$ 是樣本數。此統計量服從自由度為 $n-1$ 的 t 分佈。
  • 計算公式 (兩獨立樣本)：

本題考驗對迴歸分析的理解及其應用，特別是針對建立兩個連續變數之間的關係模型，並評估模型的適用性。

核心觀念： 當我們想要建立兩個連續變數之間的關係模型時，最常用的統計方法是迴歸分析 (Regression Analysis)。在此情境下，水灰比 (Water-cement ratio) 通常被視為自變數 (自變數或預測變數)，而抗壓強度 (Compressive strength) 被視為應變數 (應變數或反應變數)。

統計方法：

我們將使用 簡單線性迴歸分析 (Simple Linear Regression Analysis) 來建立水灰比與抗壓強度之間的關係。

1. 模型建立：
   • 模型形式： 簡單線性迴歸模型假設應變數 (抗壓強度, $Y$) 與自變數 (水灰比, $X$) 之間存在線性關係，可以表示為：
     $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$
     其中：
     • $Y_i$ 是第 i 組資料的抗壓強度。
     • $X_i$ 是第 i 組資料的水灰比。
     • $\beta_0$ 是截距 (intercept)，代表當水灰比為 0 時的理論抗壓強度 (在實際應用中可能無意義)。
     • $\beta_1$ 是斜率 (slope)，代表水灰比每增加一個單位時，抗壓強度預期改變的量。
     • $\epsilon_i$ 是隨機誤差項，代表模型未能解釋的變異。
   • 參數估計： 我們使用最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS) 來估計 $\beta_0$ 和 $\beta_1$。OLS 的目標是最小化觀測值與模型預測值之間的平方差總和 (Sum of Squared Errors, SSE)。估計出的參數記為 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$，估計出的迴歸線為：
     $\hat{Y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i$
     其中 $\hat{Y}_i$ 是根據模型預測的抗壓強度。

原理：

簡單線性迴歸的原理是尋找一條最佳直線，該直線能夠最佳地描述兩個變數之間的線性關係。透過最小化誤差平方和，OLS 方法確保了這條直線能夠盡可能地接近所有數據點。斜率 $\hat{\beta}_1$ 的符號和大小將指示水灰比對抗壓強度的影響方向和程度。根據混凝土科學，水灰比與抗壓強度通常呈現負相關，即水灰比越高，抗壓強度越低。

判斷模型適用性是否足夠：

建立模型後，我們需要評估其適用性，即模型是否能夠足夠好地解釋數據的變異，以及預測是否可靠。以下是常用的評估指標：

1. 判定係數 ($R^2$)：

   • 定義： 判定係數，也稱為決定係數，表示自變數 (水灰比) 解釋了應變數 (抗壓強度) 總變異的比例。
   • 計算： $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$，其中 $SST$ 是總平方和 (Total Sum of Squares)，$SSR$ 是迴歸平方和 (Regression Sum of Squares)，$SSE$ 是誤差平方和 (Error Sum of Squares)。
   • 判斷： $R^2$ 的值介於 0 到 1 之間。值越接近 1，表示模型對數據的解釋能力越強，自變數對應變數的影響越大。對於混凝土的水灰比與抗壓強度關係，通常期望 $R^2$ 值較高 (例如 $> 0.7$ 或 $> 0.8$)。
   • 注意事項： 僅有 $R^2$ 可能不足，特別是在進行複迴歸時。

2. 殘差分析 (Residual Analysis)：

   • 定義： 殘差是觀測值與模型預測值之間的差異 ($e_i = Y_i - \hat{Y}_i$)。殘差分析用於檢查模型的假設是否成立。
   • 常用圖形：
     • 殘差對預測值圖 (Residuals vs. Fitted Values)： 理想情況下，殘差應隨機散佈在水平線 0 附近，沒有明顯的模式 (如曲線、扇形)。如果出現趨勢 (如 U 型或倒 U 型)，表示線性模型可能不適用；如果出現扇形 (變異數擴大)，表示殘差的變異性不恆定 (異質變異數)。
     • 殘差對自變數圖 (Residuals vs. Independent Variable)： 類似於殘差對預測值圖，檢查是否有模式。
     • 殘差的直方圖或 Q-Q 圖： 用於檢驗殘差是否服從常態分佈。如果殘差大致呈常態分佈，則迴歸模型的假設得到支持。