108 年 國立中央大學土木工程學系碩士班丁：材料組一般生《工程統計學》

本題主要考驗單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的應用。河馬先生面臨選擇三種不同價格的 LED，需要根據測試數據 (Lux 照度) 來判斷哪種 LED 在亮度上具有顯著差異，並考量價格，做出最佳選擇。

解題步驟：

1. 建立假設檢定：

   • 虛無假設 ($H_0$)：三種 LED 的平均照度沒有顯著差異。($\mu_1 = \mu_2 = \mu_3$)
   • 對立假設 ($H_1$)：至少有一種 LED 的平均照度與其他不同。

2. 計算各組平均值與總平均值：

   • 超級亮 ($\bar{Y}_1$) = (13000 + 15000 + 16000) / 3 = 14666.67
   • 有夠亮 ($\bar{Y}_2$) = (11000 + 14000 + 13000) / 3 = 12666.67
   • 剛剛好 ($\bar{Y}_3$) = (12000 + 14000 + 10000) / 3 = 12000
   • 總平均值 ($\bar{Y}$) = (13000 + 15000 + 16000 + 11000 + 14000 + 13000 + 12000 + 14000 + 10000) / 9 = 13000

3. 計算 SSF (Sum of Squares for Factor) / SSB (Sum of Squares Between Groups)：

   • $SSF = n\sum(\bar{Y}_i - \bar{Y})^2$
   • 其中 $n$ 為每組樣本數 = 3，$k$ 為組數 = 3。
   • $SSF = 3 \times [(14666.67 - 13000)^2 + (12666.67 - 13000)^2 + (12000 - 13000)^2]$
   • $SSF = 3 \times [(1666.67)^2 + (-333.33)^2 + (-1000)^2]$
   • $SSF = 3 \times [2777788.89 + 111111.11 + 1000000]$
   • $SSF = 3 \times 3888899.99 \approx 11666700$

4. 計算 SSE (Sum of Squares for Error) / SSW (Sum of Squares Within Groups)：

   • $SSE = \sum\sum(Y_{ij} - \bar{Y}_i)^2$
   • 超級亮：$(13000-14666.67)^2 + (15000-14666.67)^2 + (16000-14666.67)^2$
     $= (-1666.67)^2 + (333.33)^2 + (1333.33)^2 \approx 2777777.89 + 111111.11 + 1777777.89 = 4666666.89$
   • 有夠亮：$(11000-12666.67)^2 + (14000-12666.67)^2 + (13000-12666.67)^2$
     $= (-1666.67)^2 + (1333.33)^2 + (333.33)^2 \approx 2777777.89 + 1777777.89 + 111111.11 = 4666666.89$
   • 剛剛好：$(12000-12000)^2 + (14000-12000)^2 + (10000-12000)^2$

本題要求解釋五個基本統計學名詞。

1. 常態分佈 (Normal Distribution)

   • 觀念： 常態分佈，又稱高斯分佈 (Gaussian Distribution)，是一種機率分佈，其機率密度函數呈鐘形曲線。它是統計學中最重要、最常見的分佈之一。
   • 特性：
     • 機率密度函數為對稱的，以平均值為中心。
     • 平均值、中位數、眾數三者相同。
     • 分佈由平均值 ($\mu$) 和標準差 ($\sigma$) 兩個參數決定。
     • 其機率密度函數公式為：$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$。
     • 許多自然現象和測量誤差都近似服從常態分佈。
   • 應用： 中心極限定理表明，當樣本數足夠大時，來自任何分佈的樣本平均值的抽樣分佈都近似於常態分佈，這使得常態分佈在統計推論中至關重要。

2. 信心水準 (Confidence Level)

   • 觀念： 信心水準是指在進行多次抽樣時，由抽樣方法產生的信賴區間 (Confidence Interval) 能夠包含真實母體參數 (如母體平均值) 的比例。它通常表示為一個百分比。
   • 表示： 常見的信心水準有 90%、95%、99%。例如，95% 的信心水準表示，如果我們重複進行 100 次抽樣並計算 100 個信賴區間，預期其中約 95 個區間會包含真實的母體參數。
   • 與顯著水準的關係： 信心水準 $(1-\alpha)$ 與顯著水準 ($\alpha$) 是互補的。例如，95% 的信心水準對應 5% 的顯著水準。
   • 誤解： 信心水準不是指單一信賴區間包含真實母體參數的機率，而是指抽樣方法的長期頻率。

3. 變異數 (Variance)

   • 觀念： 變異數是衡量一組數據離散程度或分散程度的統計量，它表示數據點與其平均值之間的平均平方偏差。
   • 計算：
     • 樣本變異數 ($s^2$)：$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2}{n-1}$
     • 母體變異數 ($\sigma^2$)：$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(X_i - \mu)^2}{N}$
   • 單位： 變異數的單位是原始數據單位的平方，這使得它不如標準差直觀。

本題探討在進行有害物質檢測時，應優先考量檢定力 (Power) 還是信心水準 (Confidence Level)，並要求說明理由與學理依據。這是一個關於統計檢定中 Type I error 和 Type II error 的權衡問題，尤其是在高風險情境下的決策。

核心觀念：

• 虛無假設 ($H_0$)： 材料不含有害物質。
• 對立假設 ($H_1$)： 材料含有害物質。
• Type I error (第一類錯誤)： 錯誤地拒絕正確的虛無假設。在這種情境下，是誤判材料「含有」有害物質，但實際上「不含有」。其機率為 $\alpha$ (顯著水準)。
• Type II error (第二類錯誤)： 錯誤地接受錯誤的虛無假設。在這種情境下，是誤判材料「不含有」有害物質，但實際上「含有」。其機率為 $\beta$。
• 檢定力 (Power)： 檢定力是正確拒絕錯誤的虛無假設的機率，即 $1 - \beta$。它衡量的是統計檢定在真實存在效應時，能夠檢測出該效應的能力。

分析與決策：

在「高危險有害物質」的抽樣調查情境下，若我們犯了 Type II error (即材料實際上含有害物質，但我們卻判定為「不含有」)，其後果可能非常嚴重：

• 對人體健康造成嚴重危害。
• 對環境造成長期污染。
• 可能導致法律責任和重大的經濟損失。

相比之下，犯 Type I error (即誤判為「含有」有害物質，但實際上「不含有」) 的後果通常是：

• 進行額外的、可能不必要的進一步檢測。
• 可能暫時延誤工程進度。
• 增加一些額外的檢測成本。

這些後果雖然也不理想，但與 Type II error 的潛在災難性後果相比，通常是較為輕微且可控的。

因此，在這種高風險情境下，我們應該極力避免 Type II error。

• 信心水準 ($\alpha$)： 代表 Type I error 的機率。我們通常設定一個較低的 $\alpha$ 值（如 0.05 或 0.01）來控制犯 Type I error 的風險。
• 檢定力 ($1 - \beta$)： 代表正確檢測出真實有害物質的能力。要提高檢定力，通常需要：
  • 增加樣本數 ($n$)。
  • 增加效應大小 (如果可能)。
  • 提高顯著水準 ($\alpha$)（但這會增加 Type I error 的風險，所以需權衡）。

結論：

本題要求解釋兩種常見的統計檢定方法：t-test 和 Z-test，並說明它們各自的應用時機。

1. Z-test (Z 檢定)

• 觀念： Z-test 是一種統計檢定，用於比較樣本平均值與已知母體平均值，或比較兩個樣本平均值，其核心是假設母體的標準差已知，且樣本數足夠大 (通常 $n \ge 30$)，或是母體本身服從常態分佈且其標準差 ($\sigma$) 已知。Z-test 假設檢定統計量服從標準常態分佈 (平均值為 0，標準差為 1)。
• 應用時機：
  • 單一樣本 Z-test： 當我們想檢定單一樣本的平均值是否與已知母體平均值有顯著差異，且母體標準差 $\sigma$ 已知，或樣本數 $n \ge 30$ 時。
    • 公式：$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
  • 雙樣本 Z-test： 當我們想檢定兩個獨立樣本的平均值是否有顯著差異，且兩個母體的標準差 $\sigma_1, \sigma_2$ 皆已知，或兩個樣本數都足夠大 ($n_1 \ge 30, n_2 \ge 30$) 時。
    • 公式：$Z = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$
  • 比例 Z-test： 用於檢定單一樣本比例與已知母體比例的差異，或兩個獨立樣本比例的差異。
• 前提條件：
  • 母體標準差已知 ($\sigma$ 已知)。
  • 樣本數足夠大 ($n \ge 30$)，或母體服從常態分佈。
  • 樣本是隨機抽樣。
  • 對於雙樣本檢定，兩個樣本應獨立。

2. t-test (t 檢定)

• 觀念： t-test 是一種統計檢定，用於比較樣本平均值與已知母體平均值，或比較兩個樣本平均值，當母體的標準差 ($\sigma$) 未知，且樣本數相對較小時 (通常 $n < 30$)，我們使用樣本標準差 ($s$) 來估計母體標準差。此時，檢定統計量服從 t 分佈 (t-distribution)，其形狀類似於常態分佈，但尾部較厚，且其形狀取決於自由度 (degrees of freedom, df)。
• 應用時機：
  • 單一樣本 t-test： 當我們想檢定單一樣本的平均值是否與某個已知值有顯著差異，但母體標準差 $\sigma$ 未知，且樣本數 $n$ 較小時 (或假設母體服從常態分佈)。
    • 公式：$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$，自由度 $df = n-1$。
  • 獨立樣本 t-test (Two-sample t-test)： 當我們想檢定兩個獨立樣本的平均值是否有顯著差異，但兩個母體的標準差 $\sigma_1, \sigma_2$ 皆未知時。
    • 假設變異數相等 (Pooled variance)： 如果假設兩個母體的變異數相等，則使用合併變異數。
      • 公式：$t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$，其中 $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$，自由度 $df = n_1+n_2-2$。
    • 假設變異數不相等 (Welch's t-test)： 如果不假設兩個母體的變異數相等，則使用 Welch's t-test，自由度計算較複雜。
  • 配對樣本 t-test (Paired t-test)： 當我們想檢定兩個相關樣本 (如同一對象在不同時間點的測量，或配對的對象) 的平均值是否有顯著差異時。我們計算差值的平均值，然後對差值進行單一樣本 t-test。

本題要求說明如何建立水灰比 (Water-Cement Ratio, W/C) 與抗壓強度 (Compressive Strength) 之間的關係式，並說明判斷模型適用性的方法。這屬於迴歸分析 (Regression Analysis) 的範疇，特別是簡單線性迴歸 (Simple Linear Regression)。

1. 統計方法：簡單線性迴歸分析 (Simple Linear Regression Analysis)

• 原理：
  • 目標： 建立一個數學模型來描述一個應變數 (Dependent Variable, Y) 與一個或多個自變數 (Independent Variable, X) 之間的關係。在本例中，應變數是抗壓強度 (Y)，自變數是水灰比 (X)。
  • 模型假設： 我們假設抗壓強度與水灰比之間存在線性關係。模型可以表示為：
    $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$
    其中：
    • $Y_i$：第 $i$ 組實驗的抗壓強度。
    • $X_i$：第 $i$ 組實驗的水灰比。
    • $\beta_0$：截距 (Intercept)，表示當水灰比為 0 時的預測強度 (雖然在實際工程中水灰比為 0 不可能，但數學模型需要)。
    • $\beta_1$：斜率 (Slope)，表示水灰比每增加一個單位，抗壓強度預測變化的量。根據工程經驗，水灰比增加通常會導致抗壓強度下降，因此預期 $\beta_1$ 為負值。
    • $\epsilon_i$：誤差項 (Error Term)，代表除了水灰比以外，其他影響抗壓強度的因素 (如水泥種類、養護條件、骨材特性、測試誤差等) 所造成的隨機變異。
  • 參數估計： 我們使用 100 組實際資料來估計 $\beta_0$ 和 $\beta_1$。最常用的方法是最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS)。OLS 的目標是找到一組 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$ (估計值)，使得實際觀測值 $Y_i$ 與模型預測值 $\hat{Y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i$ 之間的殘差平方和 (Sum of Squared Residuals, SSR) 最小。
    $SSR = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{Y}_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i))^2$
    透過微分並令導數為零，可以解出 $\hat{\beta}_1$ 和 $\hat{\beta}_0$ 的估計式：
    $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2} = \frac{Cov(X, Y)}{Var(X)}$
    $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$
  • 模型建立： 估計出 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$ 後，我們就得到了一個經驗性的迴歸模型：
    $\hat{Y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i$
    這個模型可以用來預測在給定水灰比 $X$ 時的抗壓強度 $\hat{Y}$。

2. 如何判斷該模型的適用性是否足夠？

判斷迴歸模型的適用性，需要從多個角度進行評估：

• a. 迴歸係數的統計顯著性檢定：

  • 檢定斜率 ($\beta_1$)： 我們需要檢定斜率 $\beta_1$ 是否顯著異於零。
    • 虛無假設 ($H_0$)：$\beta_1 = 0$ (表示水灰比對抗壓強度沒有線性影響)。
    • 對立假設 ($H_1$)：$\beta_1 \ne 0$ (表示水灰比對抗壓強度有線性影響)。
    • 檢定方法：計算 t 統計量 $t = \frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)}$，其中 $SE(\hat{\beta}_1)$ 是斜率估計值的標準誤。將計算出的 t 值與自由度為 $n-2$ 的 t 分配臨界值進行比較，或計算 p-value。如果 p-value 小於預設的顯著水準 $\alpha$ (例如 0.05)，則拒絕 $H_0$，認為 $\beta_1$ 顯著異於零，表示水灰比對抗壓強度有顯著的線性影響。
  • 檢定截距 ($\beta_0$)： 通常也會檢定截距是否顯著異於零，但對於水灰比與強度關係，其顯著性不如斜率重要。

• b. 模型的整體擬合優度 (Goodness of Fit)：

  • 決定係數 ($R^2$)： $R^2$ 是衡量迴歸模型解釋應變數變異能力的指標。它表示應變數 (抗壓強度) 的總變異中，有多少比例可以被自變數 (水灰比) 的線性模型所解釋。
    $R^2 = 1 - \frac{SSR}{SST} = \frac{SSM}{SST}$