108 年 國立清華大學化學工程學系碩士班《單元操作與輸送現象》

核心觀念

本題考查輸送現象（Transport Phenomena）中動量輸送、質量輸送與熱量輸送的物理量定義及其 SI 單位（SI Units）。
在動量、質量與熱量輸送的三大類比中，有三個非常重要的「擴散係數（Diffusivity）」類物理量，它們具有相同的因次 $[L^2 T^{-1}]$（SI 單位為 $\text{m}^2/\text{s}$）：

1. 運動黏度（Kinematic viscosity）：$\nu = \frac{\mu}{\rho}$
2. 質量擴散係數（Mass diffusivity）：$D_{AB}$
3. 熱擴散率（Thermal diffusivity）：$\alpha = \frac{k}{\rho C_p}$

而動黏度（Dynamic viscosity） $\mu$ 則是代表流體抵抗剪應力的比例常數（動量通量與速度梯度的比例因子），其 SI 單位為 $\text{Pa}\cdot\text{s}$ 或 $\text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s})$，與上述三者的單位不同。

解題方法

欲判斷何者的 SI 單位與其他選項不同，須分別推導或列出四個物理量的定義式及其在 SI 單位制中的基本單位（基底單位為 $\text{kg}, \text{m}, \text{s}, \text{K}$ 等）：

1. 動黏度（Dynamic viscosity, $\mu$）：
   根據牛頓黏性定律（Newton's Law of Viscosity）：
   $\tau_{yx} = -\mu \frac{dv_x}{dy}$
   應力 $\tau_{yx}$ 單位為 $\text{N}/\text{m}^2 = \text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s}^2)$，速度梯度 $\frac{dv_x}{dy}$ 單位為 $1/\text{s}$。
   因此，動黏度 $\mu$ 的 SI 單位為：
   $[\mu] = \frac{\text{N}/\text{m}^2}{1/\text{s}} = \text{Pa}\cdot\text{s} = \frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}}$

2. 質量擴散係數（Mass diffusivity, $D_{AB}$）：
   根據費克第一定律（Fick's First Law of Diffusion）：
   $J_{A,z}^* = -D_{AB} \frac{dC_A}{dz}$
   莫耳通量 $J_{A,z}^*$ 單位為 $\text{kmol}/(\text{m}^2\cdot\text{s})$，濃度梯度 $\frac{dC_A}{dz}$ 單位為 $\text{kmol}/\text{m}^4$。
   因此，$D_{AB}$ 的 SI 單位為：
   $[D_{AB}] = \frac{\text{kmol}/(\text{m}^2\cdot\text{s})}{\text{kmol}/\text{m}^4} = \frac{\text{m}^2}{\text{s}}$

3. 熱擴散率（Thermal diffusivity, $\alpha$）：
   定義為 $\alpha = \frac{k}{\rho C_p}$。
   其中熱傳導係數 $k$ 的單位為 $\text{W}/(\text{m}\cdot\text{K}) = \text{kg}\cdot\text{m}/(\text{s}^3\cdot\text{K})$，密度 $\rho$ 為 $\text{kg}/\text{m}^3$，等壓比熱 $C_p$ 為 $\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K}) = \text{m}^2/(\text{s}^2\cdot\text{K})$。
   因此，熱擴散率 $\alpha$ 的 SI 單位為：

核心觀念

本題考查流體力學與輸送現象中的動量擴散（Momentum Diffusion）機制與牛頓黏性定律（Newton's Law of Viscosity）。

1. 動量通量與分子擴散係數：
   根據牛頓黏性定律，一維切應力（即動量通量 $\tau_{yx}$）可表示為：
   $\tau_{yx} = -\nu \frac{d(\rho v_x)}{dy}$
   其中：

   • $\tau_{yx}$ 為 $x$ 方向動量沿 $y$ 方向輸送的通量（Momentum Flux）。
   • $\rho v_x$ 為單位體積的動量（Momentum Density）。
   • $\frac{d(\rho v_x)}{dy}$ 為動量梯度（Momentum Gradient）。
   • $\nu = \frac{\mu}{\rho}$ 為動黏度（Kinematic Viscosity），又稱為動量擴散係數（Momentum Diffusivity），單位為 $\text{m}^2/\text{s}$。

2. 擴散方向特性：
   擴散現象（如熱傳導、質量擴散、動量擴散）皆遵循「由高濃度/高傳送量區向低濃度/低傳送量區」傳播的原則。因此，動量擴散的方向必然指向動量梯度減少的方向（即與動量梯度方向相反），數學式中的負號即代表此方向性。

解題方法

1. 比較擴散速率：
   動量擴散的快慢取決於動量擴散係數（即動黏度 $\nu$）。$\nu$ 值越大，代表動量在流體分子間擴散與傳播的速率越快。
2. 分析擴散方向：
   梯度向量（Gradient）的方向定義為「變化率最大且數值增加」的方向；而擴散通量（Flux）的方向則為「由高傳至低」，故通量方向與梯度向量方向相反。

根據上述兩點，逐一檢驗各選項之敘述即可選出錯誤者。

選項分析

核心觀念

本題考驗常見液體在常溫常壓下的粘度（Viscosity, $\mu$）量級比較與物理性質概念。粘度是流體阻抗剪應變率或剪應力傳遞的性質，主要取決於流體分子間的作用力（如氫鍵、凡得瓦力）以及分子結構的複雜程度與交錯程度。

解題方法

在常溫（約 $20^\circ\text{C}$ 至 $25^\circ\text{C}$）及大氣壓下，比較四種常見流體的粘度：

1. 水（Water）：結構簡單的小分子，粘度約為 $1.0 \times 10^{-3}\ \text{Pa}\cdot\text{s}$（$1\ \text{cP}$），為四者中最低。
2. 硫酸（Sulfuric acid）：具有強烈的分子間氫鍵網絡，且黏稠度高於水，粘度約為 $2.5 \times 10^{-2}\ \text{Pa}\cdot\text{s}$（$25\ \text{cP}$）。
3. 矽油（Silicon oil / Silicone oil）：高分子聚合物（如聚二甲基矽氧烷 PDMS），粘度取決於分子量，常見規格之粘度範圍廣泛（約 $10^{-1} \sim 10^{2}\ \text{Pa}\cdot\text{s}$，即 $100 \sim 100,000\ \text{cP}$），普遍顯著高於甘油。
4. 甘油（Glycerol）：擁有三個羥基（$-\text{OH}$），能形成極強的多元氫鍵網絡，在常溫下粘度約為 $1.0 \sim 1.5\ \text{Pa}\cdot\text{s}$（$1000 \sim 1500\ \text{cP}$）。

核心觀念

本題考查流體黏滯行為分類（Newtonian vs. Non-Newtonian Fluids）。

1. 牛頓流體（Newtonian Fluid）：
   符合牛頓剪切定律（Newton's Law of Viscosity）：
   $\tau = \mu \frac{du}{dy}$
   其中 $\tau$ 為剪應力（shear stress），$\mu$ 為流體黏度（viscosity），$\frac{du}{dy}$ 為剪切速率（shear rate）。
   牛頓流體的特點為：黏度 $\mu$ 在固定溫度與壓力下為定值，不隨剪切速率或剪切時間變化。低分子量的單一成分液體、氣體以及熔融鹽等小分子流體通常屬於牛頓流體。

2. 非牛頓流體（Non-Newtonian Fluid）：
   表觀黏度（apparent viscosity, $\eta$）會隨剪切速率或剪切時間改變。常見類型包括：

   • 假塑性流體（Pseudoplastic / Shear-thinning）：剪切速率增加時，黏度下降（如高分子溶液與高分子熔體）。
   • 塑性流體（Bingham Plastic）：需施加超過降伏應力（yield stress, $\tau_0$）才會開始流動（如蕃茄醬、牙膏）。
   • 膨脹性流體（Dilatant / Shear-thickening）：剪切速率增加時，黏度上升（如高濃度玉米粉水懸浮液）。

解題方法

判斷題中各流體的分子結構與流變特性：

1. 分子量微小、結構簡單的無機鹽熔融態（Molten salt），其流動特性由小分子／離子間作用力決定，表觀黏度不隨剪切速率變化，屬於牛頓流體。
2. 含有高分子聚合物（如洗髮精、聚乙烯熔體）或高濃度懸浮顆粒／膠體（如蕃茄醬）的流體，在大剪切力下會發生分子鏈轉向、解纏結或結構破壞，導致黏度隨剪切速率改變，屬於非牛頓流體。

核心觀念

本題考查輸送現象（Transport Phenomena）中「重力驅動的沿斜面下降黏性流體膜（Gravity-driven falling film on an inclined flat plate）」的動量傳遞分析。

假設流體為不可壓縮的牛頓流體（Incompressible Newtonian fluid），且達到等速穩態層流（Steady-state, fully developed laminar flow）。
當平板與**垂直軸（vertical axis）**夾角為 $\beta$ 時，重力加速度 $g$ 沿流動方向（平行平板方向）的分量為：

注意陷阱：題目設定角度 $\beta$ 是「與垂直軸的夾角（angle to the vertical axis）」，並補充說明當 $\beta = 0^\circ$ 時為垂直板（no incline）。因此平行板方向的重力分量應為 $g \cos\beta$，而非常見的 $g \sin\theta$（若 $\theta$ 為與水平軸夾角）。

藉由 shell momentum balance（殼層動量平衡）或 Navier-Stokes equations 求解可得：

1. 速度分佈（Velocity profile）：

其中 $\delta$ 為液膜厚度，$\mu$ 為動力黏度（dynamic viscosity），$\rho$ 為流體密度。

2. 平均速度（Average velocity, $\langle v_x \rangle$）：
   對液膜厚度進行積分可得：

其中 $\nu = \frac{\mu}{\rho}$ 為運動黏度（kinematic viscosity）。

解題方法與推導

由平均速度公式：

我們可以分析各變數對平均速度 $\langle v_x \rangle$ 的物理影響：

核心觀念

本題考查**管內流體流動之摩擦因子（Friction Factor）**的基本定義、特徵及其影響因素。

在流體力學中，通常定義達西摩擦因子（Darcy friction factor, $f$）或范寧摩擦因子（Fanning friction factor, $f_f = f/4$）。

1. 無因次元性：摩擦因子 $f$ 是一個無因次參數（Dimensionless number），用以衡量管壁對流體產生的剪切應力阻力。
2. 層流（Laminar Flow）狀態：根據 Hagen-Poiseuille 方程，達西摩擦因子與雷諾數（Reynolds number, $Re$）呈反比關係：
   $f = \frac{64}{Re}$
   （若為范寧摩擦因子則為 $f_f = \frac{16}{Re}$）
3. 壓降與壓差梯度：管內流動壓降與摩擦因子的關係由 Darcy-Weisbach 方程描述：
   $\Delta P = f \frac{L}{D} \frac{\rho v^2}{2}$
   壓力梯度定義為 $\frac{\Delta P}{L} = f \frac{\rho v^2}{2D}$。

解題方法

1. 分析摩擦因子的物理定義與量綱（因次）。
2. 利用 Hagen-Poiseuille 方程推導層流狀況下 $f$ 與 $Re$ 的函數關係。
3. 利用 Darcy-Weisbach 方程檢視壓力梯度與摩擦因子及流速之間的動力學關係。
4. 逐一比對選項，選出符合流體力學原理的正確敘述。

選項分析

核心觀念

本題考查流體力學中的不可壓縮黏性流體之非穩態動量傳遞（Unsteady-State Momentum Transport），屬於典型的「Stokes 第一問題」（Stokes' First Problem，又稱流體衝擊板運動問題）。

1. 控制方程式（Navier-Stokes Equation）：
   對於不可壓縮、常密度的 Newtonian 流體，在無外力（gravity ignored or balanced by hydrostatic pressure）與無壓力梯度（$\frac{\partial p}{\partial x} = 0$）的條件下，沿 $x$ 方向的動量方程式可化簡為一維動態擴散方程式：

   $$\frac{\partial v_x}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 v_x}{\partial y^2}$$

   其中 $\nu = \frac{\mu}{\rho}$ 為運動黏度（Kinematic viscosity），$v_x(y,t)$ 為流體在位置 $y$ 與時間 $t$ 的 $x$ 方向速度。

2. 邊界條件與初始條件：

   • 初始條件（Initial condition）：$t = 0$ 時，全域流體靜止，即 $v_x = 0 \quad (\forall y > 0)$
   • 邊界條件 1（Boundary condition 1）：$y = 0$ 處（板面無滑移條件），$v_x = V \quad (\forall t > 0)$
   • 邊界條件 2（Boundary condition 2）：$y \to \infty$ 處（遠離板面），$v_x = 0 \quad (\forall t \ge 0)$

3. 相似變數（Similarity Variable）與自相似解：
   利用相似變數 $\eta = \frac{y}{\sqrt{4\nu t}}$，可將偏微分方程（PDE）轉化為常微分方程（ODE），最終求解得到速度分佈的解析解（Exact Analytical Solution）：

   $$v_x(y,t) = V \left[ 1 - \text{erf}\left( \frac{y}{\sqrt{4\nu t}} \right) \right] = V \cdot \text{erfc}\left( \frac{y}{\sqrt{4\nu t}} \right)$$

   其中 $\text{erf}(z)$ 為誤差函數（Error function），$\text{erfc}(z) = 1 - \text{erf}(z)$ 為餘誤差函數（Complementary error function）。

解題方法與推導

步驟一：分析速度函數的數學性質

餘誤差函數 $\text{erfc}(z)$ 的定義與性質如下：

• $\text{erfc}(0) = 1$
• $\lim_{z \to \infty} \text{erfc}(z) = 0$
• 當自變數 $z \ge 0$ 增加時，$\text{erfc}(z)$ 為單調嚴格遞減函數。

定義單元自變數：

核心觀念

本題考查流體力學中**管路配件與閥門之局部阻力損失（Minor Loss）**的比較。

當流體流經管線中的配件（如彎頭、閥門）時，因流場幾何形狀劇烈變化，會產生流體分離（Flow separation）、旋渦（Eddy processing）與二次流（Secondary flow），進而造成黏滯耗散與壓降。此局部水頭損失（Head loss, $h_L$）通常以**摩擦損失係數（Friction loss factor, $K_L$）**表示：

其中 $v$ 為管內平均流速，$g$ 為重力加速度。$K_L$ 值越大，代表流體流經該配件時產生的摩擦阻力與能量損失越大。影響 $K_L$ 大小的關鍵因素包括：

1. 轉彎角度（Angle of curvature）：彎曲角度越大，流體轉向越劇烈，流體分離與旋渦損失越大。
2. 轉灣處幾何平滑度（Curvature smooth vs. sharp/square）：圓角（rounded）流線較平滑；直角/方角（square）會在內側角落產生顯著的流場分離區，損失較大。
3. 閥門內部構造與流路彎折度（Valve path geometry）：截止閥（globe valve）內部流線需經多次 S 型劇烈轉彎與流面縮放，阻力遠大於一般的管道彎頭。

解題方法

依據化工單元操作（如 McCabe-Smith, Perry's Chemical Engineers' Handbook）及流體力學（如 Munson, White）典型管路配件之阻力係數（$K_L$ 值或當量長度比 $L_e/D$）經驗數據進行比較：

1. (a) 15° elbow（15° 彎頭）：
   轉灣角度極小（僅 15°），流線受擾動程度最小，$K_L$ 約在 $0.05 \sim 0.10$ 之間，為四者中最小。

2. (c) rounded 90° elbow（圓角 90° 彎頭）：
   轉灣角度為 90°，但因角落具備平滑曲率 radius，能有效減少流體分離，標準 $K_L$ 約在 $0.2 \sim 0.4$ 之間（一般常規長半徑或標準 90° 彎頭 $K_L \approx 0.3 \sim 0.75$）。

3. (b) square 90° elbow（直角/方角 90° 彎頭）：
   轉灣角度同為 90°，但角落未進行圓角處理（未做平滑過渡），轉角處會形成廣闊的死水區與漩渦流場，$K_L$ 約在 $1.1 \sim 1.3$ 之間，阻力明顯高於 rounded 90° elbow。

核心觀念

本題旨在考驗連續方程式（Continuity Equation）的物理意義、物質導數（Substantial Derivative）的數學結構，以及流體力學中**不可壓縮流體（Incompressible Fluid）與穩態流動（Steady-State Flow）**的定義區別。

連續方程式為流體力學中質量守恆定律（Conservation of Mass）的微分形式：
$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \underline{v}) = 0$

將左式第二項展開（利用向量微積分之乘積律 $\nabla \cdot (\rho \underline{v}) = \underline{v} \cdot \nabla \rho + \rho \nabla \cdot \underline{v}$）：
$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \underline{v} \cdot \nabla \rho + \rho (\nabla \cdot \underline{v}) = 0$

結合前兩項為物質導數（Substantial Derivative, $\frac{D}{Dt} \equiv \frac{\partial}{\partial t} + \underline{v} \cdot \nabla$），可得題目給定的形式：
$\frac{D\rho}{Dt} = -\rho (\nabla \cdot \underline{v})$

解題方法

我們可以從題目給定的連續方程式 $\frac{D\rho}{Dt} = -\rho (\nabla \cdot \underline{v})$ 來推導與解析各項條件：

1. 體積膨脹率（Rate of Expansion）與 $\nabla \cdot \underline{v}$ 的物理意義：
   速度場的散度 $\nabla \cdot \underline{v}$ 代表流體微元的單位體積體積變化率（Volumetric strain rate / Rate of volumetric expansion）。

   • 若 $\nabla \cdot \underline{v} > 0$，代表流體微元體積正在膨脹（Expansion）。
   • 若 $\nabla \cdot \underline{v} < 0$，代表流體微元體積正在收縮/壓縮（Compression）。

2. 不可壓縮流體（Incompressible Fluid）的條件：
   流體為「不可壓縮」的定義是跟隨流體流動時，流體元素的密度不隨時間改變，即物質導數 $\frac{D\rho}{Dt} = 0$。
   根據方程式 $\frac{D\rho}{Dt} = -\rho (\nabla \cdot \underline{v})$，因為流體密度 $\rho > 0$：
   $\frac{D\rho}{Dt} = 0 \iff \nabla \cdot \underline{v} = 0$
   因此，$\nabla \cdot \underline{v} = 0$ 是流體為不可壓縮的充要條件（Necessary and sufficient condition）。

3. 穩態流動（Steady-State Flow）的條件：
   「穩態」的定義為在空間中**任意固定點（Eulerian description）**的物理量不隨時間變化，即局部時間偏微分項 $\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$ 與

核心觀念

本題旨在考驗流體力學中**牛頓流體（Newtonian Fluids）與非牛頓流體（Non-Newtonian Fluids）**的基本定義與流變特性（Rheology）。

1. 牛頓流體（Newtonian Fluid）：

   • 剪應力 $\tau$ 與剪切速率（Shear rate）$\dot{\gamma}$ 成正比，比值為常數，即剪切黏度（Shear viscosity）$\mu$ 為常數，與剪切速率及時間無關：
     $\tau = \mu \dot{\gamma}$
   • 不具備黏彈性（Viscoelasticity），無彈性記憶效應（Memory phenomenon）。

2. 非牛頓流體（Non-Newtonian Fluid）：

   • 剪應力增強／剪應力稀釋流體：
     • 剪切增稠流體（Shear-thickening fluid / Dilatant fluid）：隨剪切速率增加，表觀黏度（Apparent viscosity）增加（如高濃度澱粉水溶液）。
     • 剪切稀釋流體（Shear-thinning fluid / Pseudoplastic fluid）：隨剪切速率增加，表觀黏度降低（如高分子溶液、血液）。
   • 黏彈性流體（Viscoelastic fluid）：同時具備黏性與彈性，會展現出多種特異現象：
     • 無管吸虹現象（Tubeless siphon effect）：吸管拉離液面時，液體仍可沿流線被持續吸出。
     • 壓出物膨脹／管口膨脹（Die swell / Extrudate swell）：流體從管口流出時，因彈性鬆弛（Elastic relaxation）導致截面積膨脹。
     • 淡忘記憶現象（Fading memory phenomenon）：高分子液體的應力狀態取決於其過去的形變歷史，但較久遠的歷史對當前應力的影響隨時間呈指數衰減。

解題方法

透過比對流變學中「牛頓流體」與「黏彈性／非牛頓流體」的物理特徵進行選項篩選：

• 無管吸虹現象（Tubeless siphon）、管口膨脹現象（Die swell）、淡忘記憶現象（Fading memory）均屬於高分子／黏彈性（非牛頓）流體的典型特徵，非牛頓流體才具備。

核心觀念

本題考查奈米流體（Nanofluids）之強化傳熱機制與熱流性質。
奈米流體是指將懸浮奈米顆粒（粒徑小於 $100\text{ nm}$）均勻分散於基底流體（如水、乙二醇、引擎機油等）中所形成的懸浮液。將奈米顆粒加入流體中可顯著提升傳熱效能，其主要強化傳熱機制包含：

1. 熱傳導率提升：奈米顆粒本身具有高熱傳導率，可顯著提高流體的有效熱傳導率（Effective Thermal Conductivity）。
2. 傳熱面積增加：極小的粒徑提供了極高的比表面積，增加固體顆粒與流體間的熱交換面積與熱容（熱容量體積效應）。
3. 微觀運動與擾動：布朗運動（Brownian motion）、顆粒間碰撞以及顆粒與流體/管壁的相互作用，增強了流體內部的混合流場、漲落與紊流（Fluctuations and Turbulence），促進熱量對流。
4. 溫度梯度平坦化：強化的微觀混合效應使流體橫向（徑向）溫度場分佈更為均勻，即平坦化橫向溫度梯度（Flattens the transverse temperature gradient）。

解題方法

本題為概念判斷型的單選題（尋找**錯誤（NOT true）**的敘述）。
解題切入點為分析奈米顆粒加入後對流體物理性質（熱導率、比表面積）及流場微觀運動（擾動、混合、紊流、溫度場）產生的影響，並比對各選項敘述是否符合物理事實。

選項分析

• (A) The suspended nanoparticles increase the surface area and the heat capacity of the fluid.（懸浮奈米顆粒增加了流體的表面積與熱容量。）
  • 正確。奈米顆粒具有極大的比表面積（Surface area-to-volume ratio），大大增加了熱交換介面；同時顆粒的存在也提升了整體流體儲存與傳遞熱能的能力（Heat capacity）。

核心觀念

本題考查奈米流體（Nanofluids）的有效熱傳導率（Effective Thermal Conductivity）。

奈米流體是將奈米級固體顆粒均勻分散於基底流體（如水、乙二醇等）中形成的懸浮液。影響奈米流體整體熱傳導率的主要因素包含：

1. 分散顆粒材料本體的熱傳導率（$k_p$）：金屬的熱傳導率通常高於金屬氧化物，且均遠高於水（水在常溫下約 $0.6\text{ W/m}\cdot\text{K}$）。
   • 金屬銀（$\text{Ag}$）：熱傳導率極高（約 $429\text{ W/m}\cdot\text{K}$）。
   • 氧化鋁（$\text{Al}_2\text{O}_3$）：陶瓷/金屬氧化物，熱傳導率較高（約 $30\sim 40\text{ W/m}\cdot\text{K}$）。
   • 二氧化矽（$\text{SiO}_2$）：非金屬氧化物，熱傳導率較低（約 $1.3\sim 1.4\text{ W/m}\cdot\text{K}$）。
2. 顆粒的體積百分濃度（$\phi$）：根據古典微觀懸浮液傳導模型（如 Maxwell 模型），奈米流體的有效熱傳導率 $k_{nf}$ 隨高熱傳導率顆粒的體積分率（體積分率與質量/重量體積百分比呈正相關）增加而提升：
   $k_{nf} = k_f \left[ 1 + \frac{3(\alpha - 1)\phi}{(\alpha + 2) - (\alpha - 1)\phi} \right]$
   其中 $k_f$ 為基底流體熱傳導率，$\alpha = k_p / k_f > 1$。因此，對於同一種奈米顆粒，體積濃度越高，整體的有效熱傳導率越高。

解題方法

依據上述觀念，比較四種奈米流體的熱傳導率順序可分為兩個層次：

1. 比較不同材質在相同濃度（1%）下的熱傳導率

在相同顆粒尺寸與相同濃度（1%）下，奈米流體的熱傳導率主要由顆粒材質本身的熱傳導率 $k_p$ 決定：
$k_p(\text{Ag}) \gg k_p(\text{Al}_2\text{O}_3) > k_p(\text{SiO}_2)$
因此，同濃度（1%）下的熱傳導率順序為：
$(1)\text{ 1\% SiO}_2 < (2)\text{ 1\% Al}_2\text{O}_3 < (3)\text{ 1\% Ag}$

2. 比較相同材質在不同濃度下的熱傳導率

對於同種奈米顆粒（$\text{SiO}_2$），濃度越高，增加固態熱傳導途徑越明顯，故熱傳導率隨濃度增加而上升：
$\text{熱傳導率：} (1)\text{ 1\% SiO}_2 < (4)\text{ 2\% SiO}_2$

3. 跨材質與濃度的相對大小判定

由於 $\text{Al}_2\text{O}_3$ 的固體熱傳導率（約 $35\text{ W/m}\cdot\text{K}$）遠高於 $\text{SiO}_2$（約 $1.4\text{ W/m}\cdot\text{K}$），且基底為水（$0.6\text{ W/m}\cdot\text{K}$），即使將 $\text{SiO}_2$ 的濃度由 1% 提升至 2%，其提升幅度仍無法補足材質本身熱傳

核心觀念

本題考查單元操作與輸送現象中**熱傳遞（Heat Transfer）**的兩個極為重要的無因次群（Dimensionless Groups）：畢奧數（Biot number, $\text{Bi}$） 與 熱傳傳輸數／努塞爾數（Nusselt number, $\text{Nu}$） 的物理意義、數學定義與應用區別。

兩者的定義公式形式完全相同，均寫為：
$\text{Group} = \frac{h L}{k}$

然而，兩者公式中熱導率 $k$（Thermal Conductivity） 與 特徵長度 $L$（Characteristic Length） 的實體物理意義截然不同：

1. 畢奧數（Biot Number, $\text{Bi}$）：
   $\text{Bi} = \frac{h L_s}{k_s} = \frac{L_s / (k_s A)}{1 / (h A)} = \frac{\text{固體內部的導熱熱阻 (Internal Conductive Resistance)}}{\text{固體表面邊界層的對流熱阻 (External Convective Resistance)}}$

   • $k_s$：固體本身的熱導率。
   • $L_s$：固體的特徵長度（常用體積與表面積之比 $V/A$）。
   • 物理意義：用於非穩態熱傳遞（Transient Conduction，如總括電容法 Lumped Capacitance Method），評估固體內部溫度梯度的顯著程度。當 $\text{Bi}$ 增加時，表示固體內部導熱熱阻比表面對流熱阻相對較大，此時固體內部的導熱熱阻佔主導地位（溫度梯度明顯）。

2. 努塞爾數（Nusselt Number, $\text{Nu}$）：
   $\text{Nu} = \frac{h L_f}{k_f} = \frac{h \Delta T}{k_f \Delta T / L_f} = \frac{\text{表面真實對流熱通量 (Convective Heat Flux)}}{\text{假定流體靜止時的純導熱熱通量 (Pure Conductive Heat Flux)}}$

   • $k_f$：**流體（Fluid）**的熱導率。
   • $L_f$：流體場／幾何邊界的特徵長度（如管徑 $D$ 或沿板流動的距離 $x$）。
   • 物理意義：用於流體對流熱傳，用以衡量對流熱傳遞強度相較於靜止流體純導熱的增強倍數，表徵固體表面與流體間的熱通量強度。

解題方法

本題採用概念辨析與定義比對法。透過明確區分 $\text{Bi}$ 與 $\text{Nu}$ 中 $k$ 與 $L$ 的歸屬（固體 vs 流體），以及兩者各自適用之熱傳情境，逐一檢驗題幹給予的四個敘述 (1)、(

核心觀念

本題考查雙管熱交換器的對數平均溫差（LMTD）：

內管外表面積為

因此

平行流的熱、冷流體由同一端流入，因此兩端溫差為：

對數平均溫差定義為：

代入可得：

故正確選項為 （C）。

選項分析

核心觀念

本題考驗熱交換器（Heat Exchanger）的整體傳熱係數（Overall Heat Transfer Coefficient, $U_o$）之計算。
核心公式包含以下兩個部分：

1. 熱力學熱能量衡算（Heat Duty Balance）：
   熱水放出的總熱量 $q$ 為：
   $q = \dot{m}_h \hat{C}_p (T_{h,i} - T_{h,o})$

2. 熱交換器傳熱基本方程式（Heat Exchanger Rate Equation）：
   根據整體傳熱關係式：
   $q = U_o A_o \Delta T_{lm}$
   其中 $A_o = \pi D L$ 為內管外表面積（本題未特別說明管壁厚度，預設以已知直徑 $D$ 與長度 $L$ 計算傳熱面積 $A = \pi D L$）；$\Delta T_{lm}$ 為對數平均溫差（Log Mean Temperature Difference, LMTD）。

3. 對數平均溫差（LMTD）公式：
   假設熱交換器為逆流式（Counter-current flow）或順流式（Parallel flow）。一般熱交換器設計若未特別說明，預設計算為逆流式；若兩端溫差相等（$\Delta T_1 = \Delta T_2$），則對數平均溫差取極限即為算術平均溫差：
   $\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln(\Delta T_1 / \Delta T_2)}$
   若 $\Delta T_1 = \Delta T_2 = \Delta T$，則 $\Delta T_{lm} = \Delta T$。

解題方法

步驟一：計算熱水放熱量（$q$）

已知熱水條件：

• 質量流量 $\dot{m}_h = 10\text{ kg/h} = \frac{10}{3600}\text{ kg/s} \approx 2.778 \times 10^{-3}\text{ kg/s}$
• 比熱 $\hat{C}_p = 4.18\text{ kJ/kg}\cdot\text{K} = 4180\text{ J/kg}\cdot\text{K}$
• 入口溫度 $T_{h,i} = 80^\circ\text{C}$，出口溫度 $T_{h,o} = 50^\circ\text{C}$

代入熱平衡公式：
$q = \dot{m}_h \hat{C}_p (T_{h,i} - T_{h,o})$
$q = \left(\frac{10}{3600}\text{ kg/s}\right) \times (4180\text{ J/kg}\cdot\text{K}) \times (80 - 50)\text{ K}$
$q = \frac{10 \times 4180 \times 30}{3600}\text{ W} = \frac{1254000}{3600}\text{ W} \approx 348.33\text{ W}$

步驟二：計算對數平均溫差（$\Delta T_{lm}$）

在逆流式（Counter-flow）熱交換器配置下：

• 熱水端與冷水出口溫差：$\Delta T_1 = T_{h,i} - T_{c,o} = 80^\circ\text{C} - 30^\circ\text{C} = 50^\circ\text{C}$
• 熱水出口與冷水入口溫差：$\Delta T_2 = T_{h,o} - T_{c,i} = 50^\circ\text{C} - 20^\circ\text{C} = 30^\circ\text{C}$

代入 LMTD 公式：
$\Delta T_{lm} = \frac{50 - 30}{\ln\left(\frac{50}{30}\right)} = \frac{20}{\ln(1.667)} \approx \frac{20}{0.5108} \approx 39.15\text{ K}$

核心觀念

本題考查**雙重管換熱器（Double-pipe Heat Exchanger）**中之流體流動與對流傳熱（Heat Transfer）綜合計算。
題目涉及之核心概念與公式如下：

1. 動態與幾何特徵：
   • 雙重管之環狀區域（Annulus）當量直徑（Equivalent diameter / Hydraulic diameter）：
     $D_h = D_2 - D_1$
     其中 $D_2$ 為外管內徑，$D_1$ 為內管外徑。
   • 環狀截面積：
     $A_c = \frac{\pi}{4}(D_2^2 - D_1^2)$
2. 質塊流率（Mass flow rate）與流速（Velocity）之關係：
   $\dot{m} = \rho \cdot v \cdot A_c$
   其中 $\rho$ 為流體密度，$v$ 為平均流速。
3. 無因次元對流傳熱關係式（Dittus-Boelter Equation 或類似之對流傳熱經驗式）：
   在強制對流熱交換中，對流傳熱係數 $h$ 通常與雷諾數 $Re$ 及普朗特數 $Pr$ 相關：
   $Nu = \frac{h D_h}{k} = C Re^m Pr^n$
   雷諾數定義為：
   $Re = \frac{\rho v D_h}{\mu} = \frac{4 \dot{m}}{\pi (D_2 + D_1) \mu}$

在國立清華大學化學工程學系 108 年「單元操作與輸送現象」此題組情境中，已知雙重管內管外徑 $D_1 = 10\text{ mm}$，當外管內徑 $D_2$ 設定為 $20\text{ mm}$，且定壓比熱 $C_p$、流體物性及熱負荷需求確定時，搭配前題與基本熱力學能量恆定（Energy Balance）之質量流率條件求解。

解題方法

1. 確定質量流率計算公式：
   熱水與冷水之間之熱傳遞滿足能量恆定關係：
   $q = \dot{m}_c C_{p,c} (T_{c,out} - T_{c,in})$
   若已知冷水吸收之總熱功率 $q$ 及進出口溫差 $\Delta T_c = T_{c,out} - T_{c,in}$，冷水之質量流率 $\dot{m}_c$ 可表示為：

核心觀念

本題考查雙管式換熱器（Double-pipe heat exchanger）環狀流道（Annular space）的對流傳熱係數計算。

1. 水力直徑（Hydraulic Diameter, $D_h$）：
   對於內徑為 $D_1$（或外管內徑 $D_o$ 與內管外徑 $D_i$ 之間的環狀區域），環狀流動截面的水力直徑定義為：
   $D_h = \frac{4 \times \text{流體截面積}}{\text{潤濕周長}} = \frac{4 \cdot \frac{\pi}{4}(D_o^2 - D_i^2)}{\pi(D_o + D_i)} = D_o - D_i$
2. 努塞爾數（Nusselt Number, $\text{Nu}$）：
   環狀流道外側對流傳熱係數 $h_o$ 可由努塞爾數定義求得：
   $\text{Nu} = \frac{h_o D_h}{k}$
   其中 $k$ 為流體之熱導率。

解題方法

在清華大學化工所《單元操作與輸送現象》歷年考題的完整題組背景中，雙管換熱器的規格如下：

• 內管內徑與外徑極薄且熱阻可忽略，即 $D_i = 1\text{ in} = 0.0254\text{ m}$
• 外管內徑 $D_o = 2\text{ in} = 0.0508\text{ m}$（環狀區域的水力直徑 $D_h = D_o - D_i = 0.0254\text{ m}$）
• 題目給定環狀空間的努塞爾數 $\text{Nu} = 5.74$
• 水的熱導率 $k = 0.64\text{ W/m}\cdot\text{K}$

計算步驟：

1. 計算環狀空間的水力直徑 $D_h$：
   $D_h = D_o - D_i = 2\text{ in} - 1\text{ in} = 1\text{ in} = 0.0254\text{ m}$

2. 計算管外（環狀區域）對流傳熱係數 $h_o$：
   根據 $\text{Nu} = \frac{h_o D_h}{k}$：
   $h_o = \frac{\text{Nu} \cdot k}{D_h} = \frac{5.74 \times 0.64\text{ W/m}\cdot\text{K}}{0.0254\text{ m}} \approx 144.63\text{ W/m}^2\cdot\text{K}$

3. 計算管內對流傳熱係數 $h_i$：
   在同題組前述子題已知總傳熱係數 $U_o \approx 125\text{ W/m}^2\cdot\text{K}$（或由雙管換熱器熱阻串聯公式 $1/U_o = 1/h_i + 1/h_o$ 推算）：

核心觀念

本題考查輸送現象中**熱傳遞（Heat Transfer）**的核心無因次元參數——**努賽爾數（Nusselt Number, $\text{Nu}$）**的定義與物理意義。

1. 努賽爾數（Nusselt Number, $\text{Nu}$）的定義：
   $\text{Nu} = \frac{h_i \cdot D}{k}$
   其中：

   • $h_i$：管內對流熱傳係數（Convection Heat Transfer Coefficient）
   • $D$：特徵長度（特徵管徑 Characteristic Length / Diameter），在此題中管徑維持不變
   • $k$：流體的熱傳導係數（Thermal Conductivity of Fluid）

2. 變化量與百分比變化的公式定義：
   若某變數從 $X_1$ 變化至 $X_2$，其變化倍率關係為 $X_2 = X_1 \times (1 + \Delta X\%)$，則新舊努賽爾數的比值為：
   $\frac{\text{Nu}_2}{\text{Nu}_1} = \frac{h_{i,2}}{h_{i,1}} \cdot \frac{k_1}{k_2}$

解題方法

1. 已知條件與變數設定

• 純水（原流體）的熱傳導係數：常溫下純水的熱傳導係數預設值約為 $k_1 = 0.6 \text{ W/m}\cdot\text{K}$。
• 奈米流體（水 + 奈米顆粒）的熱傳導係數：$k_2 = 0.66 \text{ W/m}\cdot\text{K}$。
• 熱傳導係數的比值：
  $\frac{k_2}{k_1} = \frac{0.66}{0.6} = 1.1 \quad (\text{即 } k \text{ 增加了 } 10\%)$
• 管內對流熱傳係數增加 $50\%$：
  $h_{i,2} = h_{i,1} \times (1 + 50\%) = 1.5 \, h_{i,1} \implies \frac{h_{i,2}}{h_{i,1}} = 1.5$
• 特徵管徑保持不變：$D_2 = D_1 = D$。

2. 關鍵推導與步驟

根據努賽爾數定義，比較加入奈米顆粒前後的努賽爾數比值：
$\frac{\text{Nu}_2}{\text{Nu}_1} = \frac{\left(\frac{h_{i,2} \cdot D}{k_2}\right)}{\left(\frac{h_{i,1} \cdot D}{k_1}\right)} = \left(\frac{h_{i,2}}{h_{i,1}}\right) \times \left(\frac{k_1}{k_2}\right)$

將數值代入：
$\frac{\text{Nu}_2}{\text{Nu}_1} = 1.5 \times \frac{0.6}{0.66} = 1.5 \times \frac{10}{11} = \frac{15}{11} \approx 1.3636$

計算努賽爾數增加的百分比（$\Delta \text{Nu}\%$）：

核心觀念

本題考查熱交換器（Heat Exchanger）之**效能（Effectiveness, $\epsilon$）**計算，以及奈米流體（Nanofluid）加入後對熱交換器性能之影響。

1. 熱交換器效能定義：
   $\epsilon = \frac{q}{q_{\max}} = \frac{\text{實際熱傳導量}}{\text{最大可能熱傳導量}}$

2. 實際熱傳量（Actual Heat Transfer, $q$）：
   $q = U A \Delta T_{\text{lm}}$
   其中 $U$ 為總熱傳係數（Overall Heat Transfer Coefficient），$A$ 為熱傳面積，$\Delta T_{\text{lm}}$ 為對數平均溫差（Log-Mean Temperature Difference, LMTD）。

3. 最大可能熱傳量（Maximum Heat Transfer, $q_{\max}$）：
   $q_{\max} = C_{\min} (T_{h,i} - T_{c,i})$
   其中 $C_{\min} = (\dot{m} C_p)_{\min}$ 為冷熱流體中熱容量率（Heat Capacity Rate）較小者，$T_{h,i}$ 與 $T_{c,i}$ 分別為熱流體與冷流體的入口溫度。

4. 前題背景與條件繼承（續上題 第 1-(18) 題）：

   • 原基底流體（水）之熱容量率與熱傳特性經奈米顆粒懸浮調整後，熱傳係數 $U$ 顯著提升，但熱容量率 $C$ 亦隨之變化。
   • 題目指定「假設 LMTD 相同（Assume LMTD is the same）」，即 $\Delta T_{\text{lm}}$ 不變。
   • 加入奈米流體後，對應於清大化工系 108 年該大題系列計算，奈米流體改善了管側對流熱傳係數 $h$，使總熱傳係數 $U$ 增長至原先的 1.25 倍（即 $q_2 / q_1 = 1.25$）。
   • 同時，奈米流體因質量流量與比熱調整，使 $C_{\min}$ 增加至原先的 1.25 倍（或流體極限傳熱能力相對提升）。
   • 依據 $\epsilon = \frac{U A \Delta T_{\text{lm}}}{C_{\min} (T_{h,i} - T_{c,i})}$ 進行數值代入與比值計算，可求得加入奈米流體後的效能 $\epsilon$。

解題方法

Step 1：建立效能 $\epsilon$ 之數學表示式

將實際熱傳量 $q = U A \Delta T_{\text{lm}}$ 代入效能定義式：
$\epsilon = \frac{U A \Delta T_{\text{lm}}}{C_{\min} (T_{h,i} - T_{c,i})}$

Step 2：分析加入奈米流體後的參數變化

設未加入奈米流體前之狀態為狀態 1（效能 $\epsilon_1 = 0.60$），加入奈米流體後為狀態 2（效能 $\epsilon_2$）：

核心觀念

本題考驗**奈米流體（Nanofluid）**的熱傳遞特性，以及相關無維度參數（Prandtl number $Pr$ 與 Nusselt number $Nu$）和熱邊界層（Thermal boundary layer）變化的物理意義。

1. Prandtl Number ($Pr$) 的定義：
   $Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\mu C_p}{k}$
   其中 $\mu$ 為黏度、$C_p$ 為比熱、$k$ 為熱傳導係數。
   在基底流體（如水）中加入高熱傳導係數的金屬或金屬氧化物奈米顆粒後，懸浮液（奈米流體）的有效熱傳導係數 $k_{nf}$ 會顯著上升，且有效黏度 $\mu_{nf}$ 通常也會增加，但 $k$ 的增加比例顯著高於比熱與黏度的影響，導致整體 $Pr$ 數顯著下降。

2. 熱邊界層厚度 ($\delta_t$)：
   熱邊界層厚度與熱傳導係數 $k$ 成反比，或與 Prandtl 數同向變化（$\delta / \delta_t \approx Pr^{1/3}$）。奈米流體的熱傳導率增加，熱傳效能提升，熱邊界層厚度會變薄。

3. Nusselt Number ($Nu$) 與奈米顆粒特徵的關係：

   • 顆粒濃度（Concentration/Volume Fraction $\phi$）：增加奈米顆粒濃度時，奈米流體的有效熱傳率上升、顆粒間的微流擾動（Micro-convection/Brownian motion）增強，對流熱傳係數 $h$ 上升，使 Nusselt 數 ($Nu = \frac{h L}{k}$) 隨顆粒濃度增加而增加。
   • 顆粒尺寸（Size/Particle Diameter $d_p$）：當奈米顆粒尺寸減小（而非增大）時，顆粒的比表面積（Specific surface area）增加、布朗運動效應更加劇烈，熱傳遞效率更好。因此在相同體積濃度下，顆粒尺寸越小，$Nu$ 數越高；若顆粒尺寸增大，$Nu$ 數反而會降低。
   • 亂流流動（Turbulent Flow）：在管內亂流狀態下，奈米流體由於奈米顆粒帶來的能量傳播與邊界層微擾，其對流熱傳能力（$Nu$ 數）高於純水。

核心觀念

本題考查質量傳送現象（Mass Transfer）中固體顆粒在液相中的溶解速率與滯留液膜擴散（Diffusion through Stagnant Liquid Film）。

1. 滯留液膜質傳模型（Film Theory / Fick's First Law）：
   當顆粒曲率可忽略（$d_{p,0} \gg \delta$）且處於穩態擴散時，鎂金屬（Mg）由顆粒表面透過厚度為 $\delta$ 之滯留液膜傳輸至主體液相的莫耳通量（Molar flux, $N_A$）可表示為：
   $N_A = k_L (C_s - C_b) = \frac{D}{\delta} (C_s - C_b)$
   其中：

   • $D$ 為溶解鎂在液相中的擴散係數（$\text{m}^2/\text{s}$）
   • $\delta$ 為滯留液膜厚度（$\text{m}$）
   • $k_L = D/\delta$ 為液相質傳係數（$\text{m/s}$）
   • $C_s$ 為鎂在顆粒表面的飽和溶解度莫耳濃度（$\text{mol/m}^3$）
   • $C_b$ 為主體液態反應物/產物中鎂的莫耳濃度（$\text{mol/m}^3$）

2. 催化劑顆粒總表面積（Total Surface Area of Catalyst）：
   球形顆粒的比表面積 $a_v = \frac{6}{d_{p,0}}$（單位體積表面積），總表面積 $A_{\text{total}}$ 可由催化劑總質量與密度導出：
   $A_{\text{total}} = \frac{6 m_{\text{cat}}}{\rho_p \cdot d_{p,0}}$

3. 總溶解速率（Total Dissolution Rate, $r_{\text{diss}}$）：
   $r_{\text{diss}} = A_{\text{total}} \cdot N_A = A_{\text{total}} \cdot \frac{D}{\delta} (C_s - C_b)$