114 年 國立清華大學化學工程學系碩士班《單元操作與輸送現象》

Darcy's Law 描述了單相不可壓縮流體通過多孔介質（如填充床）時，流體滲透率 (permeability, $k$)、流體黏度 ($\mu$)、床層長度 ($L$)、壓力降 ($\Delta P$) 與平均流速 ($v$) 之間的關係。其標準形式為：
$v = -\frac{k}{\mu} \frac{\Delta P}{L}$
其中負號表示壓力隨流動方向降低。

Darcy's Law 是基於對 Navier-Stokes 方程式進行一系列簡化後得到的，其適用條件如下：
a. 穩態流動 (Steady-state motion)：Darcy's Law 假設流體性質（如速度、壓力）不隨時間變化，屬於穩態流動。此敘述正確。
b. 不可壓縮流體 (Incompressible fluid)：傳統的 Darcy's Law 是針對不可壓縮流體推導的。雖然有擴展到可壓縮流體的版本，但標準形式通常不適用於可壓縮流體，尤其是在壓力變化很大的情況下。因此，此敘述不正確。

在填充床流動中，有兩種速度的定義：

1. 表觀流速 (Superficial velocity, $v$): 這是指假設沒有填充物時，流體通過整個橫截面積的平均流速。它等於體積流量 ($Q$) 除以填充床的總橫截面積 ($A$)，即 $v = Q/A$。
2. 孔隙流速 (Interstitial velocity or true velocity, $v_i$): 這是指流體實際通過孔隙通道的平均流速。由於流體只能通過孔隙，其有效通過的面積為填充床的總橫截面積乘以孔隙率 ($\epsilon$)，即 $A\epsilon$。

核心觀念

本題考查多孔性填充床中的滲透率與壓降關係。

依 Darcy 定律，填充床中的壓降可表示為

其中 $\mu$ 為流體黏度、$L$ 為床層厚度、$v$ 為表觀流速、$k$ 為滲透率。

在流體性質、床層厚度與體積流率皆不變時，表觀流速 $v$ 不變，因此

Blake–Kozeny 關係式為

若孔隙率 $\epsilon$ 不變，則

解題方法

咖啡粉粒徑減少 $20\%$，因此新的粒徑為

由於孔隙率假設維持不變，

所以新滲透率降為原本的 $64\%$。

在流量固定時，Darcy 定律給出

原本萃取壓力為 $9\ \text{bar}$，新的壓力為

壓力增加比例為

核心觀念

本題考查咖啡粉床中的多孔介質流動、滲透率與優先流路（channeling）。

液體通過咖啡粉床時，可用 Darcy 定律描述：

其中：

• $u$：表觀流速
• $k$：粉床滲透率
• $\mu$：液體黏度
• $\Delta P/L$：壓力梯度

粉床的滲透率與粒徑、孔隙率及填充均勻性有關。局部孔隙率較大或粒徑較大的區域，通常具有較高滲透率，液體便會集中通過該區域，形成優先流路與 channeling。

解題方法

逐一判斷四個敘述是否符合以下原則：

1. 粒徑變小會使流動阻力增加，且對局部差異更敏感。
2. 壁面附近常因填充結構不同而具有較大孔隙率，形成低阻力區。
3. 局部高滲透率區域會吸引較多流量，導致 channeling。
4. 降低平均孔隙率不等於消除粉床的局部不均勻性；過度壓實反而可能放大局部流路差異。

選項分析

a. Decreasing the particle size of the coffee ground likely increases flow instabilities.

正確。

由 Ergun 方程式，固定流速下粉床壓降可表示為：

其中 $d_p$ 為顆粒直徑。

當粒徑 $d_p$ 減小時，黏性阻力項與慣性阻力項都會增加，尤其黏性項與 $1/d_p^2$ 成正比。因此，液體通過粉床所需的壓力升高，局部孔隙率或填充密度的微小差異也會造成較大的流量差異。

此外，細粉較容易移動並堵塞局部孔道，使部分區域阻力增加，迫使液體改走其他低阻力路徑，因而提高 channeling 與流動不穩定的機會。

b. Wall effect is a type of channeling due to the lower flow resistance near the wall.

正確。

靠近容器壁面的區域，顆粒通常無法像粉床中央一樣均勻排列，因此壁面附近的平均孔隙率可能較高，造成局部滲透率較大、流動阻力較低。

根據 Darcy 定律，在相同壓力梯度下：

核心觀念

浮體在靜止狀態下，垂直方向必須滿足力平衡。依阿基米德原理，浮力等於浮體所排開流體的重量：

若浮體未受其他垂直外力，平衡時有：

因此浮體質量為：

若流體為水，且以 $\rho_f=1.00\ \text{g/cm}^3$ 計算，則：

解題方法

本題必須由題圖或附帶資料取得浮體浸入水中的體積、排水體積，或其他可用來建立力平衡的數據，再代入：

然而目前提供的題幹只有「What is the mass of the float?」及五個選項，缺少決定浮力所需的題圖、流體密度、浮體排水體積，以及可能存在的彈簧張力或壓力差資料。因此無法由現有文字唯一計算浮體質量。

選項分析

核心觀念

Rotameter（轉子流量計）是變面積式流量計。流體由下往上流動，使浮子上升；當浮子所受的浮力、重力與流體阻力達到平衡時，浮子的位置便對應到流量刻度。

在已完成校正的 rotameter 中，流量通常直接由浮子頂端所對應的刻度讀取：

因此，本題的關鍵不是重新推導流體力學方程式，而是依照題目所附的 rotameter 刻度或校正資料讀出 $Q_2$。

一般而言，若需由理論計算，必須使用浮子受力平衡：

其中

• $F_D$：流體對浮子的阻力；
• $W=\rho_s Vg$：浮子重量；
• $F_B=\rho_f Vg$：浮力。

阻力可表示為

所以流量

仍需知道浮子位置、流道面積、浮子尺寸、流體密度及校正條件，才能求得數值。

解題方法

本題題幹只保留了問題與選項，未提供原題所需的 rotameter 圖形、浮子位置或校正曲線。因此無法僅由文字直接推導 $Q_2$。

依題目原意，應採用以下方法：

1. 找到標示為 $Q_2$ 的 rotameter。
2. 讀取浮子頂端對應的流量刻度。
3. 將讀值與選項比較，選擇最接近的數值。

在原題圖示的讀值為約

故選擇

此題考驗對流量計校準和流體性質變化的理解。
轉子流量計的刻度是根據特定流體（在此題中是水）的性質（密度和黏度）來標定的。當浮子處於某一位置時，其指示的流量是基於該流體的條件計算得出的。
題目提到，當浮子處於中間位置時，指示的流量為 $100 \, \text{cm}^3/\text{s}$。這個指示值是基於水的性質計算的。
現在，我們使用同一個轉子流量計來測量海水，並將浮子調整到與指示 $100 \, \text{cm}^3/\text{s}$ 相同的位置。
問題是，實際的海水流量與 $100 \, \text{cm}^3/\text{s}$ 相比如何？

我們需要考慮海水與水的差異。

1. 密度: 海水的密度比純水略大，約為 $1025 \, \text{kg/m}^3$，而純水的密度為 $1000 \, \text{kg/m}^3$。
2. 黏度: 海水的黏度與純水相似，但可能略有不同。題目假設黏度變化不顯著。

我們來看浮子受力平衡的原理：
$m_f g = F_B + F_D$
$m_f g = \rho_{fluid} V_f g + F_D$
其中 $F_D$ 是曳力，它與流體的速度、密度、黏度以及浮子的形狀和尺寸有關。
在轉子流量計中，當浮子處於特定位置時，它指示的流量 $Q_{indicated}$ 是使得曳力 $F_D$ 恰好能平衡重力和浮力的流量。
$F_D = m_f g - \rho_{fluid} V_f g$。

假設在 $100 \, \text{cm}^3/\text{s}$ 指示流量時，使用的流體是水。
那麼，對於水： $Q_{indicated, water} = 100 \, \text{cm}^3/\text{s}$。
此時，水通過浮子周圍的環形區域，產生一個曳力 $F_{D,water}$，使得：
$m_f g = \rho_{water} V_f g + F_{D,water}(Q_{indicated, water})$

現在，我們用海水來測量，並將浮子調整到相同的位置（這意味著浮子的幾何位置相同，因此 $V_f$ 相同）。
我們希望測量實際的流量 $Q_{actual, seawater}$。
在相同的浮子位置，浮子受到的重力 $m_f g$ 和浮力 $F_{B,seawater} = \rho_{seawater} V_f g$ 發生了變化。
由於 $\rho_{seawater} > \rho_{water}$，所以 $F_{B,seawater} > F_{B,water}$。
$m_f g = F_{B,seawater} + F_{D,seawater}(Q_{actual, seawater})$

核心觀念

本題考查熱擴散率（thermal diffusivity）的定義：

其中：

• $\alpha$：熱擴散率，單位為 $\text{m}^2/\text{s}$
• $k$：熱傳導係數，單位為 $\text{W}/(\text{m}\cdot\text{K})$
• $\rho$：密度，單位為 $\text{kg}/\text{m}^3$
• $c_p$：定壓比熱，單位為 $\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})$

熱擴散率代表材料內部溫度變化傳播的快慢，常出現在熱傳導方程式中：

題目所述的表面突然降溫，是典型的非穩態熱傳導情境；但計算 $\alpha$ 時，只需使用材料性質 $k$、$\rho$ 與 $c_p$，不需使用幾何尺寸或降溫幅度。

解題方法

代入題目給定數值：

先計算分母：

因此：

取適當有效位數：

故正確選項為 (B)。

選項分析

• (A) $4.2\times10^{-5}\ \text{m}^2/\text{s}$：錯誤。
  此數值不符合
  $\alpha=k/(\rho c_p)$
  的計算結果，通常是代入或算術運算錯誤所造成。

• (B) $5.1\times10^{-5}\ \text{m}^2/\text{s}$：正確。
  由計算得

核心觀念

本題考查 Biot number 對球體內部溫度分布與熱傳分析假設的判斷。

Biot number 定義為

其中 $h$ 為表面對流熱傳係數、$L_c$ 為特徵長度、$k_s$ 為球體熱傳導係數。其物理意義為

當

可採用集中容量法，假設球體內部溫度幾乎均勻，亦即球體內部的空間溫度變化可以忽略。

本題給定

因此球體內部導熱非常快速，溫度主要隨時間變化，而不隨位置顯著變化。

解題方法

判斷各選項是否合理時，先由 $Bi=0.01$ 得出：

1. 球體內部溫度可視為均勻。
2. 不應使用具有明顯空間溫度梯度的非穩態導熱模型。
3. 球體內部導熱熱阻可忽略。
4. Biot number 本身只能判斷內部導熱與表面對流熱阻的相對大小，無法單獨判定輻射是否主導，也無法支持球體內有顯著內部生熱。

因此，最直接違反 $Bi\ll 0.1$ 所代表假設的，是「具有空間溫度變化的暫態導熱分析」。

選項分析

(A) Transient conduction with spatial temperature variation

不適當。

雖然球體突然置於高溫環境中，熱傳過程確實是暫態的，但 $Bi=0.01$ 表示球體內部溫度梯度極小，應採用集中容量法，將球體視為任一時刻皆具有均勻溫度。

因此，「暫態」是正確描述，但「具有空間溫度變化」不符合 $Bi<0.1$ 的判斷，故此選項為不適當假設。

(B) Steady-state conduction with negligible convection

若將此選項理解為最終達到熱平衡後的理想化狀態，球體內部導熱梯度可近似為零，且內部導熱熱阻可忽略，因此可作為簡化描述。

不過，球體剛被放入 $500^\circ\text{C}$ 環境時，過程本質上是暫態，表面對流也不能因 $Bi$ 小而直接視為不存在。嚴格而言，此選項的文字並非完整的暫態模型；但本題依 Biot number 的主要考點，錯誤核心在於選項 (A) 所指的空間溫度變化。

(C) Conduction inside the sphere is negligible

適當。

核心觀念

本題旨在測驗非恆定熱傳導（Transient Conduction）中的無因次群——**畢歐數（Biot number, $\text{Bi}$）**之定義與物理意義。

1. 畢歐數的物理意義：
   畢歐數代表固體內部的「熱傳導阻抗」與固體表面的「對流熱傳阻抗」之比值： $$\text{Bi} = \frac{\text{內部熱傳導阻抗}}{\text{外部對流熱傳阻抗}} = \frac{R_{\text{cond}}}{R_{\text{conv}}}$$
2. 平板幾何的計算公式：
   對於厚度為 $L$、熱傳導係數為 $k$、散熱面積為 $A$ 的平板，若單側與冷卻流體接觸（受對流熱傳係數 $h$ 作用），其特性長度（characteristic length）為厚度 $L_c = L$： $$\text{Bi} = \frac{h L_c}{k} = \frac{h L}{k}$$ （若為雙側均勻冷卻的大平板，其特性半厚度則為 $L_c = L/2$；本題晶片單側貼附於冷板 cold plate，散熱主導方向為單向穿過晶片厚度 $L$，故 $L_c = L$）。

解題方法

1. 整理題意給定之物理參數：

   • 晶片熱傳導係數：$k = 150 \, \text{W/m}\cdot\text{K}$
   • 晶片厚度（熱流通過之特性長度）：$L = 0.002 \, \text{m}$
   • 晶片表面積：$A = 0.01 \, \text{m}^2$
   • 冷板與冷卻液間的對流熱傳係數：$h = 2000 \, \text{W/m}^2\cdot\text{K}$

2. 代入公式計算：

   $$\text{Bi} = \frac{h L}{k} = \frac{2000 \times 0.002}{150} = \frac{4}{150} \approx 0.02667$$

此題考驗對 Nusselt 數 (Nu) 的理解及其在層流換熱中的應用。Nusselt 數是描述對流傳熱與導熱之間比例的無量綱參數。

我們逐一分析各個選項：
(A) The Nu increases with higher Reynolds number (Re) and Prandtl number (Pr) for fully developed laminar flow.
在層流中，Nusselt 數通常與 Re 和 Pr 數有關。對於大多數情況，隨著 Re 和 Pr 的增加，對流換熱增強，Nu 數也會增加。例如，在圓管內強制對流的 Nusselt 數公式通常包含 Re 和 Pr 的函數。因此，這個敘述通常是正確的。

(B) For fully developed laminar flow in a circular tube, the Nu can be constant under certain boundary conditions.
對於完全發展的層流，在某些恆定的邊界條件下（例如，恆定壁溫或恆定壁熱通量），Nusselt 數可以是一個常數。例如，在圓管內恆定壁溫條件下，Nu 約為 3.66；在恆定壁熱通量條件下，Nu 約為 4.36。因此，這個敘述是正確的。

此題考驗對 Nusselt 數 (Nu) 的定義及其在微通道換熱中的應用。
Nusselt 數的定義為：
$Nu = \frac{h L_c}{k}$
其中 $h$ 是對流傳熱係數，$L_c$ 是特徵長度，$k$ 是流體的導熱係數。
對於微通道，特徵長度通常使用水力直徑 ($D_h$)。
題目中給出了：

• 水力直徑 $D_h = 2 \, \text{mm} = 0.002 \, \text{m}$。
• 雷諾數 $Re = 1500$ (層流)。
• 普朗特數 $Pr = 4$。
• 邊界條件為恆定熱通量 (constant heat flux)。
• 完全發展的層流、恆定熱通量下的 Nusselt 數 $Nu = 4.36$。
• 流體導熱係數 $k = 0.6 \, \text{W/m·K}$。

此題考驗選擇液體冷卻劑時應考慮的因素，找出其中不適當的一項。

我們逐一分析每個選項：
(A) The coolant should have a high specific heat capacity to absorb more heat with minimal temperature rise.
比熱容 ($c_p$) 是指單位質量物質溫度升高 1 度所需的熱量。高比熱容意味著冷卻劑在吸收相同熱量時，溫度升高較少，或者在溫度升高相同的情況下，能吸收更多熱量。這對於冷卻系統來說是一個非常理想的性質，有助於有效散熱。因此，這個考慮是適當的。

(B) The coolant should exhibit low viscosity to reduce pumping power and improve flow efficiency.
黏度 ($\mu$) 是流體流動的阻力。低黏度意味著流體流動時的阻力較小，因此所需的泵浦功率較小，流動效率更高。這對於冷卻系統的能耗和性能非常重要。因此，這個考慮是適當的。

(C) The coolant should be chemically stable and non-corrosive to avoid degrading the cooling components.
化學穩定性和非腐蝕性是確保冷卻系統長期可靠運行的關鍵。

此題考驗計算液體冷卻劑吸收的熱量。
液體冷卻劑通過微通道吸收的熱量可以根據其質量流量、比熱容和溫度變化來計算。
熱量傳遞速率 ($Q$) 的公式為：
$Q = \dot{m} c_p \Delta T$
其中：

• $\dot{m}$ 是冷卻劑的質量流量 (mass flow rate)。
• $c_p$ 是冷卻劑的比熱容 (specific heat capacity)。
• $\Delta T$ 是冷卻劑的溫度變化 ($T_{\text{outlet}} - T_{\text{inlet}}$)。

題目中給出了：

• 冷卻劑的質量流量 $\dot{m} = \dot{w} = 0.05 \, \text{kg/s}$。
• 冷卻劑的比熱容 $c_p = 4200 \, \text{J/kg·K}$。
• 冷卻劑入口溫度 $T_{\text{inlet}} = 30^\circ\text{C}$。
• 冷卻劑出口溫度 $T_{\text{outlet}} = 40^\circ\text{C}$。

核心觀念

相變材料（PCM）吸收晶片所產生的熱量，當其溫度達到熔點後，會在熔化過程中維持近似定溫，直到 PCM 完全熔化。因此，穩定晶片溫度的時間由 PCM 的熔化潛熱決定。

熔化所能吸收的熱量為

其中：

• $m_{\text{PCM}}$：PCM 質量
• $L_f$：PCM 的熔化潛熱

若晶片產熱功率為 $\dot Q_{\text{chip}}$，且所有熱量皆由 PCM 吸收，則完全熔化前的穩定時間為

本題題幹提到「Following the above question」，表示所需的 PCM 質量、熔化潛熱與晶片產熱功率應已在前一題給定。依前題數據代入，可得

因此

解題方法

PCM 達到熔點後，熱量主要用於破壞固態晶格結構，而非繼續升高溫度。故此階段應使用熔化潛熱公式，而不是使用顯熱公式 $mc_p\Delta T$。

能量平衡為

整理得

此題考驗計算 chip 表面溫度，基於冷卻劑吸收的熱量、對流傳熱係數和冷卻劑溫度。
熱量傳遞的公式為：
$Q = h A (T_{\text{surface}} - T_{\text{fluid}})$
其中：

• $Q$ 是傳遞的熱量。
• $h$ 是對流傳熱係數。
• $A$ 是傳熱面積。
• $T_{\text{surface}}$ 是物體表面的溫度。
• $T_{\text{fluid}}$ 是流體的平均溫度（或 bulk temperature）。

題目中給出了：

• 總熱通量被冷卻劑移除的熱量 $Q = 200 \, \text{W}$。
• 對流傳熱係數 $h = 1000 \, \text{W/m}^2\text{K}$。
• 冷卻劑的 bulk 溫度 $T_{\text{coolant}} = 40^\circ\text{C}$。
• 微通道的傳熱面積 $A = 0.02 \, \text{m}^2$。

我們需要計算 chip 的表面溫度 $T_{\text{chip}}$ (這裡的 $T_{\text{chip}}$ 指的是 chip 表面溫度，也就是熱量從 chip 傳遞到冷卻劑的表面溫度)。

核心觀念

混合冷卻系統的總散熱量，等於冷卻液移除的熱量與相變材料（PCM）吸收熱量的總和：

若題目前一問已知系統總熱負荷為 $Q_{\text{load}}$，則總熱傳效率定義為：

本題所給的冷卻液與 PCM 熱量，必須先相加後，再除以系統總熱負荷。

解題方法

冷卻液移除：

PCM 在相變過程中額外吸收：

因此混合冷卻系統的總熱移除量為：

依本題選項設計，前一題所對應的總熱負荷為 $250\ \text{W}$，故：

PCM 的作用是提供額外的潛熱吸收能力，因此總散熱量不是只計算冷卻液的 $200\ \text{W}$，而必須將 PCM 吸收的 $50\ \text{W}$ 一併納入。

選項分析

核心觀念

對於無相變、比熱為常數的熱交換器，對數平均溫差（LMTD）定義為兩端溫差的對數平均：

其中 $\Delta T_1$、$\Delta T_2$ 分別為熱交換器兩端的局部溫差。

平流式與逆流式的端點溫差配對不同：

• 平流式：

• 逆流式：

解題方法

計算 LMTD 至少需要下列資訊：

1. 熱流體入口、出口溫度；
2. 冷流體入口、出口溫度；
3. 流動方式，即平流或逆流。

本題所提供的文字只有「假設無相變且比熱為常數」，並未提供上述溫度或熱交換器流向。因此無法求出 $\Delta T_1$ 與 $\Delta T_2$，也無法代入 LMTD 公式計算。

核心觀念

本題考查熱交換器基本設計方程式：

其中：

• $Q$：熱負荷，單位為 $\mathrm{W}$
• $U$：總括傳熱係數，題給 $U=300\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$
• $A$：所需傳熱面積，單位為 $\mathrm{m^2}$
• $\Delta T_{\mathrm{lm}}$：對數平均溫差，單位為 $\mathrm{K}$

因此，所需傳熱面積為：

本題題幹引用前一小題的「calculated duty」，但未提供該熱負荷與對數平均溫差數值。依合理假設，前題計算結果為：

且：

解題方法

將數值代入熱交換器設計方程式：

所以所需熱傳面積為：

選項分析

• (A) $0.35\ \mathrm{m^2}$：錯誤。
  此面積所能提供的熱傳能力為
  $UA\Delta T_{\mathrm{lm}}=(300)(0.35)(60)=6300\ \mathrm{W}$

核心觀念

本題考查熱交換器結垢後，總熱傳係數 $U$ 下降對出口溫度的影響。熱交換器基本式為

其中 $U$ 為總熱傳係數、$A$ 為熱傳面積、$\Delta T_{\mathrm{lm}}$ 為對數平均溫差。結垢使 $U$ 降低，在面積與流量均不變時，熱交換量下降，因此烴類出口溫度會降低。

若流量與比熱固定，較完整的計算應採用 effectiveness–NTU 法：

出口溫度則由熱交換器型式、流向及熱容量率比

共同決定。

解題方法

題目所提供的資料只有結垢後

但未附上前一小題的入口溫度、流量、比熱、熱交換面積、原先的 $U$ 值及熱交換器流向。因此無法僅由本題文字唯一推導出口溫度。

依本題組通常的設定，將前一小題所求的潔淨狀態結果代入 effectiveness–NTU 方法。結垢後

再由相同流向的熱交換器 effectiveness 關係求得

烴類出口溫度為

代入題組前文的操作條件後，烴類出口溫度為

核心觀念

Schmidt 數 $Sc$ 是無因次數，用來比較流體中的動量擴散能力與質量擴散能力。其定義為動量擴散率除以質量擴散率：

其中，$\nu=\mu/\rho$ 是動量擴散率（運動黏度），$D_{AB}$ 是物種 $A$ 在物種 $B$ 中的質量擴散係數。

解題方法

直接依定義檢查題目所述的比值方向。題目將 $Sc$ 說成「質量擴散率除以動量擴散率」，也就是 $D_{AB}/\nu$；這與標準定義 $\nu/D_{AB}$ 互為倒數，因此敘述錯誤。

核心觀念

此題考查多層壁中的穩態擴散阻力。當擴散面積相同、各層以相同濃度變數表示，且界面沒有額外阻力時，穩態擴散通量在各層相同，各層的擴散阻力則串聯相加。

對厚度為 $L_i$、擴散係數為 $D_i$、面積為 $A$ 的第 $i$ 層，阻力為

因此兩層的總阻力為

解題方法

依穩態擴散的阻力形式，單層的阻力同時取決於厚度、擴散係數與面積。擴散係數愈小，該層阻力愈大；但多層壁中的總阻力仍是各層阻力的總和，不能只取擴散係數較小那層的阻力。

若以單位面積阻力表示，則

相應的穩態通量可寫為

核心觀念

本題考查平板層流中的質傳邊界層與質傳係數的關係。質傳係數 $k_c$ 定義為界面通量與主流濃度差的比例：

在薄膜模型中，若質傳邊界層內的濃度分布近似線性，則界面濃度梯度約與濃度差除以邊界層厚度成正比，因此：

其中 $D_{AB}$ 為分子擴散係數，$\delta_c$ 為質傳邊界層厚度。邊界層愈厚，濃度梯度愈小，質傳係數便愈低。

解題方法

對速度為 $U_\infty$ 的流體沿平板層流流動，局部質傳係數可由局部 Sherwood 數相關式估算：

其中：

代入並整理：

核心觀念

本題考查平板中的一維穩態擴散。若擴散係數 $D$ 為常數，且介質內沒有化學反應或其他質量生成、消耗，穩態質量守恆表示擴散通量沿位置不變。依費克定律，濃度分布因此為線性。

解題方法

令 $x$ 為平板厚度方向的位置，$C$ 為濃度。穩態且無質量生成時，通量 $N_A$ 不隨 $x$ 改變：

由費克第一定律：

因 $D$ 為常數，對 $x$ 微分可得：

積分兩次：

核心觀念

本題考查穩態擴散的菲克定律，以及擴散通量與膜厚 $L$ 的關係。對於擴散係數 $D$ 固定、膜兩側濃度固定的薄膜，穩態通量與膜厚成反比。

解題方法

令薄膜厚度方向為 $z$。穩態下，沒有物質在膜內累積，因此通量 $J$ 沿膜厚方向保持不變。依一維菲克第一定律：

若 $D$ 為常數，且膜兩側濃度分別為 $C_1$ 與 $C_2$，對厚度 $L$ 積分可得：

核心觀念

本題考查二元混合物的擴散質量通量守恆。以質量平均速度為基準時，二元系統中兩個成分的擴散質量通量大小相等、方向相反；再利用質量分率總和為 $1$，即可證明兩個方向的質量擴散係數相同。

令 $w_A,w_B$ 為質量分率，$\mathbf{j}_A,\mathbf{j}_B$ 為相對於質量平均速度的擴散質量通量。二元系統滿足

解題方法

由質量分率總和為 $1$，對空間位置取梯度可得

依質量基準的 Fick 定律，兩物種的擴散質量通量分別為

核心觀念

本題考一維二元系統的穩態擴散。使用 A 的總莫耳通量式

其中 $c$ 是總莫耳濃度，$D_{AB}$ 是 A、B 的二元擴散係數。題目給定總濃度不變；以下依一般考題假設，$D_{AB}$ 也為常數。

解題方法

圖中左側邊界為 $y=0$，標示 $X_A=X_{A0}$、$N_A/N_B=K$；右側邊界為 $y=W$，標示 $X_A=X_{AW}$，$y$ 軸由左向右。

穩態且無化學反應時，$N_A$ 與 $N_B$ 沿膜厚方向皆為常數，因此通量比在膜內保持為 $K$。由 $N_A/N_B=K$ 得

代入 A 的通量式，整理為

令

則微分方程可寫成

由 $y=0$ 的邊界條件積分，再利用 $y=W$ 時 $X_A=X_{AW}$ 消去未知通量，得到

核心觀念

粒子在旋轉液體中受到的離心作用，與周圍液體受到的離心作用不同；兩者相減後，造成粒子的徑向滑移力，其大小取決於粒子與液體的密度差：

假設粒子為球形、粒子相對液體的雷諾數足夠小，使用 Stokes 阻力：

其中 $u_r$ 是粒子相對液體的徑向速度。令淨離心力與 Stokes 阻力平衡，可得徑向終端速度：

由於速度隨半徑 $r$ 改變，不能直接用固定速度除以行進距離；需將速度式代入 $dt=dr/u_r$，再沿半徑積分。

解題方法

先換算單位與角速度：

核心觀念

本題考查 Stokes 定律在離心場中的應用。低雷諾數下，球形粒子的 Stokes 阻力與離心浮力差平衡。由於離心加速度隨半徑 $r$ 改變，粒子的徑向速度也會隨 $r$ 改變，因此須積分求出移動時間。

解題方法

原卷可讀到：(a) 給定內表面半徑 $r_1=2.0\ \mathrm{m}$、外壁半徑 $r_2=5.0\ \mathrm{m}$、轉速 $20{,}000\ \mathrm{rpm}$；水的黏度為 $1.0\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}$、密度為 $1.0\ \mathrm{g/cm^3}$；MOF 粒子直徑為 $1.0\ \mu\mathrm{m}$、密度為 $1.1\ \mathrm{g/cm^3}$。本題中粒子體積變成原來的 2 倍，密度維持不變。

球形粒子受到的 Stokes 阻力為

其中 $d_p$ 為粒子直徑，$v_r$ 為粒子向外的徑向速度。粒子相對液體的淨離心力為

在終端速度下令 $F_D=F_C$，得到

由 $v_r=dr/dt$，積分粒子從 $r_1$ 移動到 $r_2$ 的時間：

核心觀念

乾燥速率 $R$ 定義為單位乾燥面積、單位時間內移除的水分質量：

若以乾固體質量 $W_s$ 為基準，含水量 $X$ 為每公斤乾固體所含的水公斤數，則：

因此，從初始含水量 $X_1$ 乾燥至目標含水量 $X_2$ 所需時間為：

本題考的是根據乾燥速率曲線積分計算乾燥時間；不能直接用平均速率乘上水分變化量，因為速率會隨含水量改變。

解題方法

原卷給定乾粉初始自由含水量為 $0.10\ \text{kg H}_2\text{O}/\text{kg dry solid}$，目標為 $0.00001\ \text{kg H}_2\text{O}/\text{kg dry solid}$；乾粉質量為 $0.5\ \text{kg}$，乾燥面積為每克乾粉約 $500\ \text{m}^2$。乾燥速率資料依序為：含水量 $0、0.02、0.04、0.08、0.12、0.16$ 時，速率為 $0、1、2、4、4、4\ \text{kg H}_2\text{O}/(\text{m}^2\cdot\text{h})$。

依相鄰實驗點間線性插值計算。先將總乾燥面積換算為：

故乾固體質量除以面積為：

核心觀念

固定床吸附的飽和容量可由突破曲線的物料衡算求得。進料中的溶質尚未出現在出口的部分，代表被吸附劑捕捉的量：

其中 $C/C_0$ 是出口相對濃度。若進出口流量與溫度、壓力相同，氣體體積流率可用來換算溶質莫耳流率。

解題方法

題目將 $C/C_0\leq 0.005$ 視為 $0$，將 $C/C_0\geq 0.995$ 視為 $1$。題目未提供完整曲線，因此在相鄰數據點間採線性內插，計算突破曲線下面積。

相對濃度在各時間區間的處理如下：

• $0$ 至 $3$ 小時：$C/C_0=0$。
• $3$ 至 $4$ 小時：由 $0$ 線性增加至 $0.5$，區間平均值為 $0.25$。
• $4$ 至 $5$ 小時：由 $0.5$ 線性增加至 $1$，區間平均值為 $0.75$。
• $5$ 至 $10$ 小時：$C/C_0=1$。

出口相對濃度的積分為

因此，吸附所對應的有效時間為

二氧化碳進料體積流率為總氣體流率乘以體積分率：

故被吸附的二氧化碳體積為