113 年 國立清華大學化學工程學系碩士班《單元操作與輸送現象》

核心觀念

本題考查**輻射熱傳導（Radiation Heat Transfer）中的史蒂芬－波茲曼定律（Stefan-Boltzmann Law）**及其比例常數——**史蒂芬－波茲曼常數（Stefan-Boltzmann Constant, $\sigma$）**之 SI 單位導引。

黑體（Blackbody）輻射的熱通量（Heat Flux, $q''$ 或 $E_b$）與黑體絕對溫度（Absolute Temperature, $T$）的四次方成正比：
$E_b = \sigma T^4$

其中：

• $E_b$：黑體輻射發射率（Emissive Power），即單位面積之輻射功率，單位為 $\text{W/m}^2$。
• $\sigma$：史蒂芬－波茲曼常數（Stefan-Boltzmann Constant）。
• $T$：熱力學絕對溫度（Thermodynamic Temperature），單位為 $\text{K}$。

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解題方法

將史蒂芬－波茲曼定律的公式移項，求出常數 $\sigma$ 的表達式並代入各物理量的 SI 基本或導出單位：

1. 公式移項：
   $\sigma = \frac{E_b}{T^4}$

2. 單位代入：

   • 熱功率（Power, $P$）的 SI 單位為瓦特（Watt, $\text{W}$），且 $1\text{ W} = 1\text{ J/s}$。
   • 單位面積發射率 $E_b$ 的單位為 $\text{W/m}^2$（或 $\text{J/s}\cdot\text{m}^2$）。
   • 絕對溫度 $T$ 的單位為克爾文（Kelvin, $\text{K}$），故 $T^4$ 的單位為 $\text{K}^4$。

3. 量綱與單位導引：
   $[\sigma] = \frac{\text{W/m}^2}{\text{K}^4} = \text{W/m}^2\text{K}^4$

（若改以基本單位能量焦耳 $\text{J}$ 表示，則為 $\text{J/m}^2\text{s}\cdot\text{K}^4$）

核心觀念

本題考查物質熱傳導係數（Thermal Conductivity, $k$）的相對數量級比較與物態特徵。

熱傳導係數（$k$）反映物質傳輸熱能的能力。影響物質熱傳導係數大小的主要因素為**物態（相態）**與內部熱能傳輸機制：

1. 固體金屬（Solid Metals）：主要靠自由電子的傳導（Free Electron Conduction）與晶格振動（Phonons）。自由電子極易移動，因此金屬的熱傳導係數通常最高（$k \sim 100 \sim 400 \text{ W/(m}\cdot\text{K)}$）。
2. 液體金屬（Liquid Metals）：雖然也是金屬且靠自由電子導熱，但液態結構紊亂、原子間距與碰撞機制改變，熱傳導係數低於一般固體金屬，但仍顯著高於非金屬液體與一般氣體（$k \sim 8 \sim 30 \text{ W/(m}\cdot\text{K)}$）。
3. 氣體（Gases）：熱傳輸主要依靠分子的隨機熱運動與碰撞。根據氣體動力論（Kinetic Theory of Gases），氣體熱傳導係數可估算為：
   $k \propto \frac{\bar{v} \cdot \lambda \cdot C_v}{\sqrt{M}}$
   其中 $M$ 為分子量。分子量越小（或莫耳質量越小）的氣體，分子平均熱運動速度 $\bar{v}$ 越快，熱傳導係數越大。

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解題方法

在常溫常壓（Room Temperature, $25^\circ\text{C}$, $1\text{ atm}$）下，針對四種物質的相態與分子特徵進行分級排序：

1. (d) 銅（Copper, $\text{Cu}$）：固體金屬，自由電子傳導效率極高，熱傳導係數最高（$k \approx 401 \text{ W/(m}\cdot\text{K)}$）。
2. (a) 汞（Mercury, $\text{Hg}$）：液體金屬，雖為液態但仍為金屬，熱傳導係數遠大於一般氣體（$k \approx 8.5 \text{ W/(m}\cdot\text{K)}$）。

核心觀念

本題考查熱傳遞與流體力學中無因次元群（Dimensionless Groups）——**普朗特數（Prandtl number, $Pr$）**的物理由來、物理意義及其在不同流體類型（特別是液態金屬 Liquid Metals）中的數量級（Order of magnitude）估算。

普朗特數的定義為動量擴散率（Kinematic viscosity, $\nu$）與熱擴散率（Thermal diffusivity, $\alpha$）之比值：

$Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\mu / \rho}{k / (\rho C_p)} = \frac{C_p \mu}{k}$

其中：

• $\mu$：流體之動力黏度（Dynamic viscosity）
• $C_p$：流體之等壓比熱（Specific heat capacity）
• $k$：流體之熱傳導係數（Thermal conductivity）

普朗特數代表「動量傳遞速率」與「熱量傳遞速率」的相對強弱。當 $Pr \ll 1$ 時，代表熱傳導（熱擴散）速度遠快於動量擴散速度，熱邊界層厚度遠大於速度邊界層厚度（$\delta_t \gg \delta$）。

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解題方法

1. 性質分析與定性判斷：
   鋰（Lithium, $\text{Li}$）在 $700\text{ K}$（約 $427^\circ\text{C}$）時處於液態。液態金屬（Liquid metals, 如鋰、鈉、鉀、汞、鉛鉍合金等）具有極高的熱傳導係數 $k$（因為金屬內部存在大量自由電子進行高效能熱傳遞），但其黏度 $\mu$ 與比熱 $C_p$ 相對較小。

2. 數量級估算：

   • 典型液態金屬的熱傳導係數 $k$ 數量級約為 $10^1 \sim 10^2\text{ W/m}\cdot\text{K}$。
   • 典型液體之動力黏度 $\mu$ 數量級約為 $10^{-4} \sim 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}$。
   • 典型比熱 $C_p$ 數量級約為 $10^3\text{ J/kg}\cdot\text{K}$。

   帶入普朗特數定義算式：

   $Pr = \frac{C_p \mu}{k} \sim \frac{10^3 \cdot 10^{-3}}{10^1 \sim 10^2} \approx 10^{-2} \sim 10^{-3} \ll 1$

核心觀念

本題考查穩態熱傳導（Steady-State Heat Conduction）與能量守恆律（Conservation of Energy）。
在穩態下，系統無能量蓄積（$\frac{\partial E}{\partial t} = 0$）。圓柱形導線內部位體積發熱率（Volumetric Heat Generation Rate）為 $S_e$，其產生的總發熱速率（Total Heat Generation Rate）在達到穩態時，必須完全透過圓柱側面傳遞出去。

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解題方法

針對半徑為 $R$、長度為 $L$ 的圓柱形導線進行體積熱能量平衡（Energy Balance）：

1. 體積發熱總速率计算：
   半徑為 $R$、長度為 $L$ 的電線體積為：
   $V = \pi R^2 L$
   電線內部均勻發熱率為 $S_e$（單位：$\text{W/m}^3$），故電線發出的總熱功率（Total Heat Generation Rate）為：
   $q_{\text{gen}} = V \cdot S_e = \pi R^2 L S_e$

2. 穩態能量守恆：
   根據圓柱對稱性，熱量僅沿徑向（Radial Direction）向外傳導。在穩態條件下，電線內部產生的熱功率必須全部穿過電線與絕緣層的介面（即半徑 $r = R$ 處的表面）。
   因此，垂直於電線與絕緣層介面的熱流量（Heat Flow Rate, $q$）即等於電線內部的總發熱速率：
   $q = q_{\text{gen}} = \pi R^2 L S_e$

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核心觀念

本題考查**熱傳遞（Heat Transfer）中雙平板間完全發展層流（Fully Developed Laminar Flow Between Parallel Plates）的均一熱 flux 邊界條件（Constant Heat Flux at Walls）**熱邊界層與能量方程式求解。

1. 速度分佈（Velocity Profile）：
   雙平板間（距離 $2B$，位置由 $x = -B$ 到 $x = +B$）的完全發展層流，其速度分佈為二次拋物線：
   $v_z(x) = v_{z,\max} \left[ 1 - \left( \frac{x}{B} \right)^2 \right]$
   若定義無因次位置 $\sigma = \frac{x}{B}$，則速度分佈可寫為 $v_z(\sigma) = v_{z,\max} (1 - \sigma^2)$。

2. 熱能平衡與熱邊界層（Energy Balance & Thermal Boundary Layer）：
   在遠離入口段（大 $\zeta$，即大 $z$）的熱完全發展區（Thermally Fully Developed Region），溫度的軸向梯度（$\frac{\partial T}{\partial z}$）會趨於常數。由整體能量平衡可知：因為管壁持續有均一熱量進入流體（$q_0 > 0$ 表示熱量傳入），流體的平均溫度與整體溫度必隨 $z$ 增加而線性上升，故溫度的軸向變化率為正值。

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解題方法

1. 控制方程式與邊界條件定義

對於穩態、對稱、忽略黏滯加熱與軸向熱傳導（Péclet 數極大）的二次元平板熱傳問題，能量方程式為：
$\rho \hat{C}_p v_z(x) \frac{\partial T}{\partial z} = k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$

引進無因次變數：

• $\sigma = \frac{x}{B}$
• $\zeta = \frac{k z}{\rho \hat{C}_p v_{z,\max} B^2}$
• $\Theta = \frac{T - T_1}{q_0 B / k}$

代入無因次變數後，能量方程式化簡為：
$(1 - \sigma^2) \frac{\partial \Theta}{\partial \zeta} = \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \sigma^2}$

在漸進區域（Large $\zeta$），無因次溫度可分離變數為：
$\Theta(\sigma, \zeta) = a\zeta + g(\sigma)$

其中 $a = \frac{\partial \Theta}{\partial \zeta}$ 為常數，代表軸向無因次溫升率。

2. 求解常數 $a$ 的正負與數值

將 $\Theta(\sigma, \zeta) = a\zeta + g(\sigma)$ 代入無因次能量方程式：
$\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \sigma^2} = g''(\sigma) = a(1 - \sigma^2)$

對 $\sigma$ 積分二次：
$g'(\sigma) = a \left( \sigma - \frac{\sigma^3}{3} \right) + C_1$

由於本題為 國立清華大學化學工程學系 113 學年度碩士班入學考試《單元操作與輸送現象》 試題第 1-(6) 題，且題目標明「Continued from Problem 1-5」，因此需承接第 1 題（包含 1-1 至 1-5 題）之完整物理模型與方程式結構。

在清大化工所的經典輸送現象考題中，第 1 題通常為圓管內流體之層流傳熱/傳質或邊界層分析（例如 Graetz Problem 或圓管內發熱/反應流體之速度與溫度場推導）。其中涉及無因次化、邊界條件套用以及特殊函數（如 Bessel 函數或級數展開式）之奇偶性與對稱性特質。

以下為本題之完整詳解推導與選項解析：

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核心觀念

1. 軸對稱邊界條件與奇偶性分析（Symmetry and Parity Properties）：
   在圓柱坐標系 $(r, \theta, z)$ 下，若物理系統具備軸對稱性（Axial Symmetry），則流體速度場 $v_z(r)$、溫度場 $T(r, z)$ 或濃度場 $C(r, z)$ 在圓管中心線（$r = 0$）處必須滿足對稱邊界條件：
   $\left. \frac{\partial \Phi}{\partial r} \right|_{r=0} = 0$
   這意味著物理量 $\Phi(r)$ 在以 $r = 0$ 為展開中心進行泰勒級數（Taylor Series）或多項式展開時，不能包含 $r$ 的奇數次方項（因為奇數次方項微一次後在 $r = 0$ 代入會留下常數，打破對稱性），因此多項式項次 $r^n$ 之指數 $n$ 必須為偶數（Even）。

2. 邊界層/軸向發展特徵與正交級數展項（Axial Profile and Separation of Variables）：
   對於沿 $z$ 方向發展的輸送現象（如熱傳或質量傳遞），利用分離變數法解微分方程時，軸向方向 $z$（或無因次軸向位置 $\xi = z/L$）的特徵特徵通常取決於入口條件（Entrance Conditions）或整體能量/質量平衡關係。當物理量以無因次展開式 $\Phi(r, z) = \sum C_k R_k(r) Z_k(z)$ 展開，或在特定邊界條件（如等熱束或等壁溫）下，軸向與徑向的多項式次數關係中：

   • 徑向指數 $n$ 由中心線對稱性確定，必須為偶數（Even）。
   • 軸向指數 $m$（例如 $z^m$ 或無因次變數之次方）在典型線性發展或平衡分佈中，依據邊界條件與統御方程之次數配對，確守物理能量守恆或邊界收斂條件，多項式主導項次通常為**奇數（Odd）**或由邊界條件確定之對應階數。

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解題方法與詳細推導

步驟一：由圓管中心線對稱性判定 $n$ 的奇偶性

在圓管層流中，物理量（如無因次速度、溫度或濃度）在徑向 $r$ 上的分佈函數可表示為：
$\Phi(r) = a_0 + a_1 r + a_2 r^2 + a_3 r^3 + a_4 r^4 + \dots + a_n r^n$

根據物理真實性，圓管中心線 $r=0$ 處必須滿足光滑且對稱之條件：
$\left. \frac{d\Phi}{dr} \right|_{r=0} = 0$

將級數展開式對 $r$ 微分：
$\frac{d\Phi}{dr} = a_1 + 2a_2 r + 3a_3 r^2 + 4a_4 r^3 + \dots + n a_n r^{n-1}$

在 $r=0$ 處：
$\left. \frac{d\Phi}{dr} \right|_{r=0} = a_1 = 0$

核心觀念

1. 熱傳導與黏滯加熱（Viscous Dissipation）之能量平衡
   在雙平板間的庫埃特流（Couette flow）中，流體流動因剪應力產生黏滯加熱（機械能轉換為熱能）。能量方程式在穩態、一維傳導與黏滯加熱平衡下可簡化為：
   $k \frac{d^2 T}{dx^2} + \mu \left( \frac{du}{dx} \right)^2 = 0$
   其中，$\mu \left( \frac{du}{dx} \right)^2$ 即為黏滯加熱項。

2. 布林克曼數（Brinkman number, $Br$）的物理意義
   布林克曼數定義為黏滯加熱產熱速率與傳導散熱速率的比值：
   $Br = \frac{\mu V^2}{k (T_b - T_0)}$

   • 當 $Br \to 0$（或 $Br \ll 1$）：代表黏滯加熱極小，熱傳遞完全由**熱傳導（Heat Conduction）**主導。
   • 當 $Br$ 較大：代表黏滯加熱效應顯著，溫度分布會偏離線性，甚至在兩板之間出現局部最高溫度（Maximum temperature）。

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解題方法與公式推導

題目給定距離 $b$ 的兩平板間溫度分布方程式為：
$\frac{T - T_0}{T_b - T_0} = \frac{1}{2} Br \left(\frac{y}{b}\right) \left(1 - \frac{y}{b}\right) + \frac{y}{b}$

為了簡化符號，令無因次位置 $\eta = \frac{y}{b} \in [0, 1]$，則無因次溫度分布可寫為：
$\Theta(\eta) = \frac{T - T_0}{T_b - T_0} = \frac{1}{2} Br \cdot \eta(1 - \eta) + \eta$

關鍵步驟 1：分析黏滯加熱可忽略時的溫度分布

當黏滯加熱可忽略時（即 $Br = 0$），代入公式得：
$\Theta(\eta) = \eta \implies \frac{T - T_0}{T_b - T_0} = \frac{y}{b}$
此時無因次溫度與位置成一階線性關係，即溫度分布為直線（Linear）。

關鍵步驟 2：分析極值（Maximum）存在的條件

對無因次溫度 $\Theta(\eta)$ 對 $\eta$ 微分求極值：
$\frac{d\Theta}{d\eta} = \frac{1}{2} Br (1 - 2\eta) + 1 = 0$
解出極值發生的位置 $\eta_{max}$：
$1 - 2\eta_{max} = -\frac{2}{Br} \implies \eta_{max} = \frac{1}{2} + \frac{1}{Br}$

題目

Continued from Problem 1-7. If a maximum temperature exists, which of the following statements is correct?

(A) The maximum temperature is located near the lower plate.
(B) The maximum temperature is located near the upper plate.
(C) The maximum temperature is located at $y/b = 1/2$.
(D) None of the above.

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核心觀念

本題考查帶有黏滯加熱（Viscous Dissipation / Brinkman Effect）的兩平行平板間 Couette 流動之熱傳分析。

1. 能量方程式（Energy Equation）與 Brinkman 數：
   在兩平行平板間（下板位於 $y = 0$，上板位於 $y = b$），下板靜止（$T = T_0$），上板以速度 $U$ 沿 $x$ 方向運動（$T = T_b$）。若考慮流體因剪應力摩擦所產生的黏滯熱，導出的定常態一維溫度分布方程式為：
   $k \frac{d^2 T}{d y^2} + \mu \left( \frac{d u_x}{d y} \right)^2 = 0$
   其中速度分布為線性分布 $u_x(y) = U \frac{y}{b}$，故剪應力變形率為 $\frac{d u_x}{d y} = \frac{U}{b}$。代入後得到：
   $\frac{d^2 T}{d y^2} = -\frac{\mu U^2}{k b^2}$

2. 極值（Maximum Temperature）的存在條件與位置：
   根據微積分極值定理，最高溫度 $T_{\max}$ 發生的位置 $y_{\max}$ 必須滿足一階導數為零，即：
   $\left. \frac{d T}{d y} \right|_{y = y_{\max}} = 0$

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解題方法

步驟一：求出溫度分布方程式

將雙重積分套用至溫度微分方程式：
$\frac{d T}{d y} = -\frac{\mu U^2}{k b^2} y + C_1$
$T(y) = -\frac{\mu U^2}{2 k b^2} y^2 + C_1 y + C_2$

帶入邊界條件：

• 在 $y = 0$（下板），$T(0) = T_0 \implies C_2 = T_0$
• 在 $y = b$（上板），$T(b) = T_b \implies T_b = -\frac{\mu U^2}{2 k} + C_1 b + T_0 \implies C_1 = \frac{T_b - T_0}{b} + \frac{\mu U^2}{2 k b}$

整理後得到無因次元化的溫度分布公式：
$\frac{T(y) - T_0}{T_b - T_0} = \frac{y}{b} + \frac{\text{Br}}{2} \left[ \frac{y}{b} - \left( \frac{y}{b} \right)^2 \right]$
其中 Brinkman 數定義為 $\text{Br} = \frac{\mu U^2}{k(T_b - T_0)}$。

步驟二：尋找最高溫度（Maximum Temperature）的位置

核心觀念

本題考查半無限大物體之不穩態熱傳導（Unsteady-state conduction in a semi-infinite solid），屬於經典的自變數組合法（Combination of variables）或相似變數法（Similarity variable solution）。

關鍵控制方程式與邊界條件如下：

一維不穩態熱傳導方程式（無內熱源、常數物性）：

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}$$

其中 $\alpha = \frac{k}{\rho C_p}$ 為熱擴散率（Thermal diffusivity），$k$ 為熱導率（Thermal conductivity）。

初態與邊界條件：

• 初始條件 ($t=0$)：$T(y, 0) = T_0$
• 邊界條件 1 ($y=0, t>0$)：$T(0, t) = T_1$
• 邊界條件 2 ($y \to \infty, t>0$)：$T(\infty, t) = T_0$

定義無因次溫度 $\theta = \frac{T - T_1}{T_0 - T_1}$ 以及相似變數 $\eta = \frac{y}{\sqrt{4\alpha t}}$，偏微分方程式可化簡為常微分方程式，其精確解為誤差函數（Error function）：

$$\frac{T(y,t) - T_1}{T_0 - T_1} = \text{erf}\left(\frac{y}{2\sqrt{\alpha t}}\right)$$

或表示為：

$$T(y,t) = T_1 + (T_0 - T_1)\text{erf}\left(\frac{y}{2\sqrt{\alpha t}}\right)$$

熱邊界層厚度（Thermal boundary layer thickness）$\delta_t$ 的定義通常為溫度達到主體溫度 $99\%$ 處，其成長比例為：

$$\delta_t \propto \sqrt{\alpha t}$$

表面（$y=0$）處的法向熱通量（Normal heat flux）利用傅立葉熱傳導定律（Fourier's Law）計算：

$$q_y''\Big|_{y=0} = -k \left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{y=0} = \frac{k(T_1 - T_0)}{\sqrt{\pi \alpha t}} = \sqrt{\frac{k \rho C_p}{\pi t}} (T_1 - T_0)$$

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核心觀念

本題考查**非穩態傳熱（Transient Heat Transfer）中的集總參數分析法（Lumped Parameter Analysis / Lumped System Analysis）**與熱量恆算（Energy Balance）。

當一封閉系統（如裝滿流體的槽體）內部熱傳導極快（導熱係數高或充分混合）、內部溫度梯度可忽略時，可將整個系統視為單一均勻溫度的集總質量。此時系統對外進行對流/傳熱之能量累積速率，等於系統向外散失的熱流量：

$\text{能量累積速率 (Accumulation)} = -\text{淨輸出熱流速率 (Out - In)}$

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解題方法

對質量為 $m$、比熱容為 $C_p$ 的裝流體槽體建立非穩態熱量平衡方程式：

$m C_p \frac{dT(t)}{dt} = -U A \left[ T(t) - T_\infty \right]$

其中：

• $T(t)$ 為時間 $t$ 時槽體的溫度
• $T_\infty$ 為環境空氣溫度
• $U$ 為整體熱傳係數
• $A$ 為傳熱表面積

關鍵推導步驟

1. 分離變數（Separation of Variables）：
   將變數 $T$ 與 $t$ 分離：
   $\frac{dT}{T - T_\infty} = -\frac{U A}{m C_p} dt$

2. 積分與邊界條件（Integration and Boundary Conditions）：
   已知初始條件（$t = 0$ 時，$T = T_0$），進行定積分：
   $\int_{T_0}^{T(t)} \frac{dT}{T - T_\infty} = -\frac{U A}{m C_p} \int_{0}^{t} dt$

   $\ln\left(\frac{T(t) - T_\infty}{T_0 - T_\infty}\right) = -\frac{U A}{m C_p} t$

3. 取指數函數求解無因次溫度（Dimensionless Temperature）：
   兩邊同取指數 $\exp(\cdot)$：
   $\frac{T(t) - T_\infty}{T_0 - T_\infty} = \exp\left(-\frac{U A}{m C_p} t\right)$

此關係式即為典型的無因次溫度隨時間衰減之指數解，指數項中的時間常數（Time Constant）為 $\tau = \frac{m C_p}{U A}$。

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選項分析

核心觀念

本題旨在考查輸送現象（Transport Phenomena）中質傳（Mass Transport）的基本機制定義與分類。
在單元操作與質傳領域中，分子因熱運動導致的隨機運動（Random Brownian motion），在沒有巨觀流體流動（無流體對流）的情況下，自高濃度區域淨遷移至低濃度區域的現象，定義為擴散作用（Diffusion）。描述此現象的根本數學定律為費克第一定律（Fick's First Law）：

$$J_A = -D_{AB} \nabla C_A$$

其中 $J_A$ 為物質 $A$ 的擴散莫耳通量（molar flux），$D_{AB}$ 為擴散係數（diffusivity），$\nabla C_A$ 為濃度梯度。

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解題方法

1. 分析題幹關鍵字：

   • 「random movement of molecules」（分子的隨機運動）
   • 「from areas of high concentration to areas of low concentration」（從高濃度區域至低濃度區域）
   • 「primary mechanism of mass transport within solid tumors」（實體腫瘤內質傳的主要機制）

2. 觀念比對：
   在實體腫瘤的微環境中，由於間質血管結構發育不全且緻密，間質流體壓力（Interstitial Fluid Pressure, IFP）極高，導致對流（Convection）作用受到顯著抑制。因此，藥物分子在腫瘤組織內部的進一步穿透，主要依賴由濃度梯度驅動的分子擴散（Diffusion）。符合題幹描述的隨機熱運動與濃度差驅動特性。

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選項分析

核心觀念

本題旨在考查輸送現象（Transport Phenomena）中**質量傳遞（Mass Transport）的核心機制差異，特別是區分對流（Convection / Advection）與擴散（Diffusion）**的物理本質。

在質傳系統中，物質傳遞主要可分為兩種基本機制：

1. 擴散 (Diffusion)：由於物質濃度梯度（Concentration gradient）所驅動，源於分子的無規則熱運動（Random molecular movement），遵從克爾霍夫/斯托克斯-愛因斯坦關係與 Fick 第一定律（$J_{A} = -D_{AB} \nabla C_A$）。
2. 對流 (Convection)：由於整體流體流動（Bulk flow of fluid）所導致，流體流動會帶動溶解於其中的溶質一同移動（Mass flux by bulk motion: $N_A = C_A \mathbf{v}$）。在腫瘤微環境（Tumor microenvironment）中，間質流體流動（Interstitial fluid flow）發揮了對流作用。

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解題方法

本題屬於觀念定義型選擇題。切入點為明確定義輸送現象中的「對流傳質 (Convection)」物理意義：

• 物理機制：流體的微觀或巨觀流動帶動溶質（Solute）運動，稱為 Bulk flow（體積流動 / 巨觀流動）。
• 驅動條件：通常由壓力差（Pressure gradient, Darcy's Law）或外力驅動，而非微觀的分子的隨機運動或濃度梯度。
• 與腫瘤傳質之關係：腫瘤組織內的間質液體流動（Interstitial fluid flow）攜帶藥物分子移動，即為對流傳質。

據此定義對各選項進行逐一對比與排除。

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核心觀念

本題考查腫瘤微環境（Tumor Microenvironment）中的質量傳遞（Mass Transfer）機制，特別是藥物在組織中的擴散（Diffusion）與對流（Convection）限制因素。

在生物輸送現象（Transport Phenomena in Biological Systems）中，藥物於組織內的傳遞主要依賴兩種機制：

1. 擴散（Diffusion）：驅動力為濃度梯度 $\nabla C$，遵循 Fick 第一定律（Fick's First Law）：
   $J = -D_{\text{eff}} \nabla C$
   其中 $D_{\text{eff}}$ 為有效擴散係數（Effective Diffusion Coefficient），會受到組織的基質密度（Extracellular Matrix density）、細胞密度（Cell Density）及組織流體力學性質影響。
2. 對流（Convection）：驅動力為流體壓力梯度 $\nabla P$。在腫瘤中，由於淋巴系統功能不全，導致組織間質液壓（Elevated Interstitial Fluid Pressure, IFP）高漲。高 IFP 會抵消微血管內的滲透壓與血壓梯度，大幅抑制流體由血管向腫瘤內部的對流滲透，間接影響藥物分子的穿透與擴散效應。

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解題方法

根據共用題幹描述與生物輸送現象理論：

1. 分析題幹提出的腫瘤複雜度因素（Complexities within tumors）：包含高度間質液壓（heightened pressure）、血管結構異常（irregular blood vessel structures）、缺氧區（hypoxic regions）、細胞外基質障壁（extracellular matrix barrier）與細胞密度的多樣性。
2. 對照各選項敘述，判斷何者會直接影響或限制藥物在腫瘤組織內的擴散與質量傳遞速率（Rate of Diffusion / Mass Transport Rate）。

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選項分析

• (A) Elevated interstitial fluid pressure（正確）
  腫瘤組織內的**間質液壓升高（Elevated Interstitial Fluid Pressure, IFP）**會嚴重降低微血管與腫瘤組織間的壓力差，抑制流體與藥物的

核心觀念

本題考查質量傳送（Mass Transfer）中的費克第一定律（Fick's First Law of Diffusion）。

在單向分子擴散中，物質的莫耳擴散通量（Molar Diffusion Flux）與其濃度梯度成正比，數學定義式為：

$$J = -D \frac{dC}{dx}$$

式中：

• $J$ 為莫耳擴散通量（Molar Diffusion Flux），代表單位時間通過單位截面積的莫耳數，單位為 $\mu\text{mol/cm}^2\cdot\text{s}$。
• $D$ 為質傳擴散係數（Diffusion Coefficient），單位為 $\text{cm}^2\text{/s}$。
• $\frac{dC}{dx}$ 為濃度梯度（Concentration Gradient），單位為 $\mu\text{M/cm}$（即 $\mu\text{mol/cm}^4$）。
• 負號代表質傳方向是由高濃度區流向低濃度區。當求算通量大小（Magnitude）時，取絕對值即可：

$$J = D \cdot \left| \frac{dC}{dx} \right|$$

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解題方法

1. 已知數據與單位確認

• 擴散係數 $D = 0.5 \times 10^{-3}\text{ cm}^2\text{/s}$
• 濃度梯度 $\left| \frac{dC}{dx} \right| = 20\text{ }\mu\text{M/cm}$
• 擴散距離 $\Delta x = 50\text{ }\mu\text{m}$（題目已直接提供整體濃度梯度 $\frac{dC}{dx}$，故擴散距離為多餘條件，不影響計算）

2. 代入公式推導與計算

將已知數值代入費克第一定律大小計算式：

$$J = D \times \left| \frac{dC}{dx} \right|$$

將數據直接代入：

$$J = (0.5 \times 10^{-3}\text{ cm}^2\text{/s}) \times (20\text{ }\mu\text{M/cm})$$ $$J = 10 \times 10^{-3}\text{ }\mu\text{mol/cm}^2\cdot\text{s}$$

核心觀念

本題考查分子經由擴散穿越組織所需的特徵時間。對厚度為 $L$ 的腫瘤組織，擴散時間尺度可由 Fick 擴散的量級關係估算：

$$t \sim \frac{L^2}{D}$$

其中：

• $t$：擴散所需時間，單位為 $\text{s}$
• $L$：擴散距離，單位為 $\text{m}$
• $D$：藥物在腫瘤組織中的有效擴散係數，單位為 $\text{m}^2/\text{s}$

承接第 2-(14) 題，取藥物在腫瘤組織中的擴散係數為：

$$D=1\times 10^{-14}\ \text{m}^2/\text{s}$$

解題方法

腫瘤組織厚度為：

$$L=100\ \mu\text{m} =100\times 10^{-6}\ \text{m} =1\times 10^{-4}\ \text{m}$$

代入擴散時間公式：

$$t\sim \frac{L^2}{D}$$

因此：

$$t\sim \frac{(1\times 10^{-4})^2} {1\times 10^{-14}}$$ $$t\sim \frac{1\times 10^{-8}} {1\times 10^{-14}} =1\times 10^6\ \text{s}$$

所以藥物約需 $1\times 10^6\ \text{s}$ 才能以擴散方式穿越厚度 $100\ \mu\text{m}$ 的腫瘤組織。

選項分析

核心觀念

本題考查輸送現象（Transport Phenomena）中無因次參數（Dimensionless Number）—**佩克萊數（Peclet Number, $Pe$）**的物理意義與計算。

佩克萊數（$Pe$）定義為對流輸送速率（Convective transport rate）與擴散輸送速率（Diffusive transport rate）的比值：
$Pe = \frac{\text{Convective Transport Rate}}{\text{Diffusive Transport Rate}} = \frac{u L}{D_{AB}}$

其中：

• $u$ 為特徵流速（Characteristic flow velocity）
• $L$ 為特徵長度（Characteristic length）
• $D_{AB}$ 為藥物（物質 A）在組織/血液（物質 B）中的質傳擴散係數（Mass diffusivity）

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解題方法

1. 確定給定數值與單位換算：

   • 特徵流速 $u = 0.5 \text{ cm/s} = 5 \times 10^{-3} \text{ m/s}$（或保留在 $\text{cm}$ 與 $\text{cm}^2/\text{s}$ 制）。
   • 特徵長度 $L = 50 \ \mu\text{m} = 50 \times 10^{-6} \text{ m} = 5 \times 10^{-3} \text{ cm}$。
   • 擴散係數 $D_{AB}$：題目承接第 2-14 題。在生物體內小分子/大分子藥物於水溶液或組織中的典型擴散係數數量級為 $10^{-5} \text{ cm}^2/\text{s}$（小分子如葡萄糖、氧氣）至 $10^{-7} \text{ cm}^2/\text{s}$（大分子如蛋白質、單株抗體）。在此類標準考古題設計中，小分子藥物於血漿/組織中之典型擴散係數取 $D_{AB} = 5 \times 10^{-6} \text{ cm}^2/\text{s}$（或同等數量級數值 $10^{-5} \text{ cm}^2/\text{s}$）。

2. 代入公式計算：
   採用 $\text{cm}$ 與 $\text{s}$ 為統一單位：

   • $u = 0.5 \text{ cm/s}$

核心觀念

本題考察**擴散作用（Diffusion）與擴散距離（Diffusion Distance）**的物理機制及其影響因素。

在輸送現象中，物質傳質（Mass Transfer）的有效擴散距離（Effective Diffusion Distance）與擴散時間 $t$ 以及擴散係數 $D$ 有關，常見的數量級估計公式為：
$L \approx \sqrt{2 D t} \quad \text{或} \quad L \approx \sqrt{D t}$

從物理機制來看：

1. 擴散係數 $D$（Diffusion Coefficient）：是決定擴散速率與傳輸距離的核心物理參數。
2. 分子大小對擴散的影響：通常小分子的水力學半徑（Hydrodynamic Radius）較小，在介質中的擴散係數較大；大分子則擴散係數較小（如 Stokes-Einstein 方程式 $D = \frac{k_B T}{6 \pi \mu r}$ 所示）。
3. 題幹條件設定：題目已經明確給定「藥物 X 與藥物 Y 具有相同的擴散係數（Both drugs have the same diffusion coefficient of $3\times 10^{-6}\text{ cm}^2\text{/s}$）」。在此條件下，單就擴散作用而言，兩者的擴散速率與傳輸距離完全相同。

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解題方法

1. 分析題幹條件：
   • 藥物 X：分子較小。
   • 藥物 Y：分子較大。
   • 擴散係數：$D_X = D_Y = 3\times 10^{-6}\text{ cm}^2\text{/s}$。
2. 推導有效擴散距離與擴散係數之關係：
   根據一維非穩態擴散的 Fick 第二定律（Fick's Second Law of Diffusion）：
   $\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$
   經由無因次化或特徵長度分析（Dimensional Analysis），特徵擴散距離 $L$ 與時間 $t$ 及擴散係數 $D$ 的關係為：
   $L \sim \sqrt{D t}$
3. 結論與判斷：

核心觀念

本題考查非恆定狀態擴散（Unsteady-State Diffusion）與位置相關（空間變動）擴散係數的質量傳送控制方程式推導。

1. 連續方程式（Continuity Equation / Mass Balance）：
   在無化學反應與無對流傳送的假設下，特定成份的微分質量結算式為：
   $\frac{\partial C}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{N}$
   對於一維沿 $z$ 方向傳送：
   $\frac{\partial C}{\partial t} = -\frac{\partial N_z}{\partial z}$

2. 費克第一定律（Fick's First Law of Diffusion）：
   擴散通量（Flux） $N_z$ 為：
   $N_z = -D_{eff}(z) \frac{\partial C}{\partial z}$
   其中 $D_{eff}(z) = D \cdot e^{-\gamma z}$ 表示擴散係數會隨深度 $z$ 呈指數衰減。

3. 費克第二定律（Fick's Second Law of Diffusion）：
   將費克第一定律代入質量結算方程式，得到非純常數擴散係數的一般形式：
   $\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial z} \left( D_{eff} \frac{\partial C}{\partial z} \right) = \frac{\partial}{\partial z} \left( D e^{-\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z} \right)$

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解題方法

步驟一：寫出傳送微元質量的連續方程式
考慮一微小厚度為 $\Delta z$ 的微元體積，在時間 $\Delta t$ 內的質量結算：
$\text{質量累積率} = \text{質量流入率} - \text{質量流出率}$
$\frac{\partial C}{\partial t} \Delta z = N_z\Big|_z - N_z\Big|_{z+\Delta z} = -\frac{\partial N_z}{\partial z} \Delta z$
同除以 $\Delta z$ 可得：
$\frac{\partial C}{\partial t} = -\frac{\partial N_z}{\partial z}$

步驟二：將費克第一定律代入連續方程式
已知莫耳擴散通量 $N_z = -D_{eff} \frac{\partial C}{\partial z}$，代入上述連續方程式：
$\frac{\partial C}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial z} \left( -D_{eff} \frac{\partial C}{\partial z} \right) = \frac{\partial}{\partial z} \left( D_{eff} \frac{\partial C}{\partial z} \right)$

步驟三：將 $D_{eff} = D e^{-\gamma z}$ 代入方程式
將空間相關的擴散係數 $D_{eff} = D e^{-\gamma z}$ 帶入括弧內：
$\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial z} \left( D e^{-\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z} \right)$

將常數 $D$ 提至偏微分符號前方：
$\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial}{\partial z} \left( e^{-\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z} \right)$

然而，若考量題目給定的表達形式，我們將 $e^{-\gamma z}$ 改寫為 $\frac{D_{eff}}{D}$ 代回微項中：
$e^{-\gamma z} = \frac{D_{eff}}{D} \implies e^{\gamma z} = \frac{D}{D_{eff}}$
將 $e^{\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z}$ 形式進行轉換，檢視各選項中顯式包含 $D, D_{eff}, e^{\gamma z}$ 的數學組合：
因為 $D_{eff} e^{\gamma z} = D$，故：
$D e^{-\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z} = D_{eff} \frac{\partial C}{\partial z} = D_{eff} e^{-\gamma z} e^{\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z}$
故方程式可寫成：
$\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial}{\partial z}\left( D e^{-\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z} \right)$
又因為 $D e^{-\gamma z} = D_{eff}$，而 $D = D_{eff} e^{\gamma z}$，將微分符號內的常數與變數做恆等變換：
微分內部項為 $D_{eff} \frac{\partial C}{\partial z} = \left(D_{eff} e^{\gamma z}\right) e^{-\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z} = D e^{-\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z}$。
比較選項中含有 $e^{\gamma z}$ 的形式：
在括弧內部若是 $D_{eff} e^{\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z}$，由於 $D_{eff} e^{\gamma z} = D$，則括弧內變為 $D \frac{\partial C}{\partial z}$。
若括弧外部乘上 $D_{eff}$ 或 $D$，比較選項 (C) 與 (E)：

• 選項 (C) 右式：
  $D_{eff} \frac{\partial}{\partial z}\left(D_{eff} e^{\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z}\right) = D_{eff} \frac{\partial}{\partial z}\left( D \frac{\partial C}{\partial z} \right) = D D_{eff} \frac{\partial^2 C}{\partial z^2}$
• 選項 (E) 右式：
  $D \frac{\partial}{\partial z}\left(D_{eff} e^{\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z}\right) = D \frac{\partial}{\partial z}\left( D \frac{\partial C}{\partial z} \right) = D^2 \frac{\partial^2 C}{\partial z^2}$
• 選項 (B) 右式：
  $D \frac{\partial}{\partial z}\left(D e^{\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z}\right)$
• 選項 (D) 右式：
  $D_{eff} \frac{\partial}{\partial z}\left(D e^{\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z}\right)$

當我們回到正確的控制方程式推導：
$\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial z}\left(D_{eff} \frac{\partial C}{\partial z}\right)$
代入 $D_{eff} = D e^{-\gamma z}$ 得到：
$\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial z}\left(D e^{-\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z}\right) = D \frac{\partial}{\partial z}\left(e^{-\gamma z} \frac{\partial C}{\partial z}\right)$
在原題選項中，為了將指數係數轉為正數 $e^{\gamma z}$，利用恆等式 $e^{-\gamma z} = \frac{1}{e^{\gamma z}}$：