112 年 國立聯合大學材料科學工程學系碩士班《材料科學導論》

此題組主要考查面心立方（FCC）晶體結構的基本性質。

(1) FCC 結構的單位晶胞包含位於八個頂點的原子，每個頂點原子貢獻 1/8 的原子，以及位於六個面中心的原子，每個面中心原子貢獻 1/2 的原子。因此，單位晶胞中的總原子數為 $8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4$ 個原子。
【答案】(c) 4

(2) 配位數是指一個原子周圍最近鄰原子的数目。在 FCC 結構中，位於面中心的原子與其周圍 12 個頂點原子相接觸（每個頂點原子貢獻 1/8，但計算配位數時只看數量）。或者，可以想像一個頂點原子，它與同一平面上的 4 個面中心原子、上方平面上的 4 個面中心原子以及下方平面上的 4 個面中心原子相接觸，總共 12 個。
【答案】(c) 12

(3) FCC 結構的原子堆積效率（原子利用率）計算公式為：原子利用率 = (單位晶胞內原子體積) / (單位晶胞體積)。對於 FCC，單位晶胞體積為 $a^3$，其中 $a$ 是晶格常數。原子體積為 $N \times \frac{4}{3}\pi r^3$，其中 $N$ 是原子數，$r$ 是原子半徑。在 FCC 中，面中心的原子與頂點原子相接觸，所以 $a = 2\sqrt{2}r$。因此，$r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$。原子利用率 = $(4 \times \frac{4}{3}\pi r^3) / a^3 = (4 \times \frac{4}{3}\pi (\frac{a}{2\sqrt{2}})^3) / a^3 = \frac{16}{3}\pi \frac{a^3}{16\sqrt{2}a^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74$。因此，原子利用率為 74%。
【答案】(d) 74

(4) FCC 結構的最密堆積平面是 {111} 晶面族。這些晶面上的原子排列最為緊密。
【答案】(c) {111}

此題組主要考查材料的力學行為，包括彈性變形、塑性變形、應力-應變曲線、滑移與孿生等概念。

(10) 彈性變形是可逆的，移除外力後會完全恢復。選項 (a) 說彈性變形是可逆的，這是正確的。選項 (b) 和 (d) 描述了化學鍵的行為，這與彈性變形（物理變形）不同，雖然彈性變形涉及到鍵的伸長和彎曲，但「斷裂」或「有限數目的斷裂」並非彈性變形的定義。選項 (e) 則描述了原子間的相對移動，這通常發生在塑性變形中。題目問哪個「不是」彈性變形的特徵。雖然 (a) 是彈性變形的特徵，但問題問的是「不是」特徵。仔細閱讀選項，(b) 和 (d) 描述了化學鍵的永久性變化，這與彈性變形的物理恢復性不同。然而，彈性變形確實會導致化學鍵的暫時性伸長和彎曲，這才產生了恢復力。選項 (e) 描述了原子「滑移」，這是塑性變形的主要機制，因此絕對不是彈性變形的特徵。
【答案】(e) Atoms do not slip pass on each other

(11) 在彈性變形範圍內，材料的應變（$\epsilon$）與施加的應力（$\sigma$）成正比。這個關係稱為虎克定律（Hooke's Law）。
【答案】(a) Hooke's Law

(12) 應力-應變曲線中，區分彈性變形與塑性變形的點是彈性極限（elastic limit）。超過此點後，材料會開始發生永久性的塑性變形。比例極限（proportional limit）是應力與應變呈線性關係的最高點，通常非常接近彈性極限。屈服點（yield point）是材料開始顯著塑性變形的點，可能略高於彈性極限。
【答案】(b) elastic limit

(13) 在彈性應力場下，單位體積內的總應變能（或稱應變率）等於應力與應變的乘積，即 $\sigma \epsilon$。
【答案】(c) σε

(14) 具有最低臨界剪切應力（critical resolved shear stress, CRSS）的晶體結構通常更容易發生滑移。HCP 結構由於其非等軸的堆積方式和方向性鍵結，通常有較少的滑移系且 CRSS 較高，因此較脆。FCC 和 BCC 結構通常具有較多的滑移系和較低的 CRSS，因此延展性較好。在 FCC 和 BCC 中，HCP 結構（尤其是在 c/a 比值不理想時）由於滑移系的數量和取向，通常表現出較低的延展性。題目問的是「通常表現出最低臨界剪切應力」，這與延展性有關。FCC 結構通常被認為具有較好的延展性，但題目問的是「最低 CRSS」。在一些情況下，BCC 結構的 CRSS 可能比 FCC 更低。然而，題目選項中，(b) HCP 結構通常被認為是較脆的，而不是具有最低 CRSS。FCC 和 BCC 結構是延展性好的結構。考慮到題目所問的「通常」和選項，HCP 結構通常被認為是較脆的，這意味著其滑移的難易程度（由 CRSS 反映）可能不是最低的。FCC 和 BCC 結構通常具有較好的延展性，這與較低的 CRSS 有關。若題目是指「最容易發生滑移」，則需考慮滑移系的數量和取向。一般來說，BCC 結構的滑移系數量比 FCC 多，但滑移方向不限於最密方向，這使得其行為較複雜。FCC 的 {111}<110> 滑移系是明確的最密堆積滑移系。

核心觀念

本題考查二元固溶體與相圖中「互溶性有限」的形成原因，包含：

1. 相圖由各相的 Gibbs free energy 決定。
2. Hume–Rothery 規則可用來判斷元素形成置換型固溶體的可能性。
3. 異種原子鍵結能 $E_{AB}$ 若高於同種原子鍵結能的平均值，混合焓為正，系統傾向相分離。
4. 相分離系統對理想溶液呈現正偏差。
5. 由於原子混合受到抑制，混合熵的絕對值低於理想溶液。
6. 此類有限固溶度的相圖以共晶系統最具代表性。

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解題方法與各空答案

21. 決定相圖結構的熱力學量

正確答案：(e) Gibbs free energy

相平衡的根本條件是，在固定溫度、壓力與組成下，系統會選擇 Gibbs free energy 最低的相組合。因此，相圖中的液相線、固相線、溶解度界線與兩相區，皆由各相 Gibbs free energy 的相對大小決定。

混合 Gibbs free energy 可寫為：

$$\Delta G_{\mathrm{mix}} = \Delta H_{\mathrm{mix}} - T\Delta S_{\mathrm{mix}}$$

當某一均勻固溶相的 Gibbs free energy 高於兩個不同組成固相的總 Gibbs free energy 時，系統便會分解成 A-rich 與 B-rich 兩相。

選項分析：

• (a) Internal energy（內能）：內能會影響混合焓，但不能單獨決定相平衡，因為相穩定性還受到熵項 $-T\Delta S$ 影響。
• (b) Defect energy（缺陷能）：缺陷能是局部能量因素，並非決定整體相圖結構的主要熱力學函數。
• (c) Vacancy concentration（空孔濃度）：空孔濃度可能影響擴散與缺陷平衡，但不是建立相圖的基本判據。
• (d) Lattice energy（晶格能）：晶格能會影響鍵結與內聚能，但不能取代 Gibbs free energy 作為相平衡判準。
• (e) Gibbs free energy（Gibbs 自由能）：正確。平衡相是使 Gibbs free energy 最小的相組合。

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22. 晶體結構相容性的判斷規則

正確答案：(d) Hume-Rothery rule

Hume–Rothery 規則用來判斷兩種元素能否形成置換型固溶體，主要考慮：

• 原子半徑差異通常不宜太大；
• 晶體結構相同或相近；
• 電負度差異不宜過大；
• 價電子濃度具有相容性。

若兩元素的晶體結構差異過大，便難以形成均勻的置換型固溶體，容易產生有限固溶度及兩相分離。

選項分析：

• (a) level rule（槓桿定則）：用來計算兩相區內各相的比例，不是判斷晶體結構相容性的規則。
• (b) Fick's first law（菲克第一定律）：描述穩態擴散通量與濃度梯度的關係，與固溶體結構判斷無關。
• (c) First law of thermodynamics（熱力學第一定律）：描述能量守恆，不能直接判定兩元素是否形成均勻固溶體。
• (d) Hume-Rothery rule（休姆–羅瑟里規則）：正確，用於判斷置換型固溶體的形成條件。
• (e) Hall-Petch equation（Hall–Petch 方程式）：描述晶粒尺寸與降伏強度的關係，與相圖及固溶度無關。

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23. 異種原子鍵結能的關係

正確關係為：

$$E_{AB} > \frac{E_{AA}+E_{BB}}{2}$$

因此依題目選項的原意，答案為：(e)。

二元混合的混合焓與異種鍵和同種鍵的差異有關，可表示為：

$$\Delta H_{\mathrm{mix}} \propto \left[ E_{AB} - \frac{E_{AA}+E_{BB}}{2} \right] x_Ax_B$$

當：

$$E_{AB} > \frac{E_{AA}+E_{BB}}{2}$$

表示 A–B 異種鍵相對不利，混合焓為正：

$$\Delta H_{\mathrm{mix}}>0$$

系統為降低能量，會減少 A 與 B 的接觸，使 A 原子聚集成 A-rich 相、B 原子聚集成 B-rich 相，形成相分離。

題目選項中的括號與分母排版不完整；其正確物理判準是「$E_{AB}$ 大於 $E_{AA}$ 與 $E_{BB}$ 的平均值」，對應選項 (e) 的大於關係。

選項分析：

• (a)：將 $E_{AB}$ 與兩種同種鍵能作不適當的個別比較，不能代表混合焓判準。
• (b)：若異種鍵能等於同種鍵能平均值，則混合焓接近零，較接近理想混合，不是本題的相分離情況。
• (c)：若按照選項字面寫成 $E_{AB}>E_{AA}+E_{BB}$，比較基準錯誤，應是兩者的平均值。

核心觀念

本題考查 Kirkendall 效應、空位擴散、擴散速率的判斷，以及兩相平衡的化學勢條件。

當兩種置換型原子的反向擴散通量大小不同，便會產生淨原子通量及反向空位通量；過剩空位若未被晶界、差排等吸收，便可聚集形成孔洞。這也是 Kirkendall 效應支持空位機制的重要依據。劍橋大學材料教學資料

兩相達到局部平衡時，同一成分在兩相中的化學勢相等，而化學勢就是偏莫耳吉布斯自由能：

$$\mu_i=\overline{G}_i =\left(\frac{\partial G}{\partial n_i}\right)_{T,P,n_{j\ne i}}, \qquad \mu_i^\alpha=\mu_i^\beta.$$

解題方法

原圖由上至下為 $\mathrm{Sn}/\mathrm{Cu_6Sn_5}/\mathrm{Cu_3Sn}/\mathrm{Cu}$，並標示 Kirkendall 孔洞及約 $2\,\mu\mathrm{m}$ 的比例尺；圖中沒有擴散通量箭頭、擴散係數或應力分布。

因此，第 27、28 題由擴散機制判斷，第 29 題比較純元素熔點，第 32 題使用兩相平衡條件。第 30、31 題缺少比較兩相擴散快慢及定位壓應力所需的資料，須明列附加條件才能給出選項。

選項分析

第 27 題：Kirkendall 孔洞的成因

• (a) 原子尺寸：錯。 尺寸會影響晶格畸變與擴散難易，但不是 Kirkendall 效應的直接定義。
• (b) 擴散速率：對。 Sn、Cu 的反向本徵擴散通量大小不同，造成空位輸運不平衡；過剩空位聚集後形成孔洞。
• (c) 鍵結種類：錯。 鍵結可影響擴散活化能，但不能直接取代「擴散速率不同」這項成因。
• (d) 電負度：錯。 電負度差異不是判定 Kirkendall 孔洞的條件。
• (e) 密度：錯。 密度差異本身不代表存在不平衡的原子通量。

故選 (b)。

第 28 題：置換型擴散的主要機制

• (a) 直接交換機制：錯。 兩原子成對交換位置，無法解釋兩成分具有不同的反向淨輸運量。
• (b) 環狀機制：錯。 多原子協同循環換位，不能作為本題 Kirkendall 效應所支持的主要機制。
• (c) 空位機制：對。 原子跳入鄰近空位，各成分可具有不同跳躍頻率，因而形成不同的本徵擴散速率。
• (d) 踢出機制：錯。 涉及間隙原子將晶格原子踢入間隙位置，不是本題的主要置換型擴散機制。
• (e) Frank–Turnbull 機制：錯。 涉及間隙態與置換態經由空位反應轉換，並非本題所指的一般空位跳躍機制。

故選 (c)。

第 29 題：Sn 與 Cu 的熔點比較

Sn 的熔點約為 $232\,^\circ\mathrm{C}$，Cu 約為 $1085\,^\circ\mathrm{C}$，因此 Sn 的熔點較低。NIST 焊料材料資料

• (a) 較低：對。 $T_{\mathrm m,Sn}<T_{\mathrm m,Cu}$。
• (b) 較高：錯。 與實際熔點大小相反。
• (c) 相等：錯。 兩者熔點相差甚大。

故選 (a)。

第 30 題：不同介金屬相中的擴散快慢

題目比較的是「Sn 在 $\mathrm{Cu_6Sn_5}$ 中」與「Cu 在 $\mathrm{Cu_3Sn}$ 中」的擴散，並非比較純 Sn 與純 Cu 的自擴散。擴散係數一般寫成：

$$D=D_0\exp\left(-\frac{Q}{RT}\right).$$

因此，在相同溫度下：

核心觀念

本題考鑄件凝固時的晶粒分區。熔融金屬接觸低溫模壁後，模壁附近冷卻很快，會形成細小、等軸且晶體方向大致隨機的晶粒區，稱為激冷區（chill zone）。隨凝固向鑄件中心推進，晶粒可發展成柱狀區；中心也可能形成等軸晶區。

解題方法

原卷文字指出，該區位於模壁接觸處，晶粒細小、等軸，且晶體方向大致隨機；右側示意圖則對照柱狀晶是否延伸至中心，以及中心是否出現等軸晶區。判斷時以「模壁附近、快速冷卻」辨認激冷區，不能只因晶粒呈等軸形狀就選中央的等軸晶區。

選項分析

• (A) equiaxed zone：錯。 等軸晶區通常指鑄件中心形成的等軸晶區；雖然其晶粒也是等軸形狀，但題幹指定的位置是模壁附近。

核心觀念

鑄件凝固時，晶粒組織常由模壁往中心依序形成：靠近模壁的細小等軸晶區，稱為激冷區；再往內，晶粒沿熱流方向伸長，形成柱狀晶區；鑄件中心若有新晶核形成，則可出現等軸晶區。第 34 題考的是「晶粒變得細長」所對應的組織名稱。

解題方法

圖中（a）顯示柱狀晶由鑄件兩側向中心延伸；（b）則可見中心有等軸晶區。題幹指出晶粒朝鑄件中心凝固時「變得細長」，因此該區域是柱狀晶區。

選項分析

• (A) equiaxed zone：錯。 等軸晶區的晶粒各方向尺寸相近，不符合題幹所述的細長晶粒。
• **(B) chill zone：錯。

核心觀念

本題考凝固時的溫度梯度與樹枝晶形成。沿凝固界面前進方向觀察，若前方液體的溫度低於界面附近，便會出現過冷，促使界面失穩並向外分枝，形成樹枝晶；依本題採用的判斷方式，這對應前方溫度梯度為負。

解題方法

原卷小圖 (a) 顯示柱狀晶延伸至鑄件中心；小圖 (b) 則有中心等軸晶區。判斷第 35 題時，依題幹所指的凝固界面前方溫度梯度，選出代表負梯度的選項。

沿界面前進方向，負溫度梯度表示前方液體溫度隨距離增加而下降，形成過冷區。界面凸出的部分較容易持續生長，周圍則發展出側枝，因此凝固形貌呈樹枝狀。

選項分析

核心觀念

本題考查鑄件凝固時的晶粒分區。典型鑄件可形成靠近模壁的細小等軸晶區、向內延伸的柱狀晶區，以及鑄件中央的等軸晶區。題目問：在什麼情況下，柱狀晶區會一路延伸至鑄件中心，沒有中央等軸晶區。

純金屬凝固時，沒有溶質偏析造成的成分過冷，中央較不容易形成新的等軸晶核，因此柱狀晶較容易持續向鑄件中心生長。合金或含有雜質的熔湯則較容易形成成分過冷，促進中央等軸晶的生成。

解題方法

原卷圖 (a) 顯示柱狀晶由鑄件兩側向中央延伸，中央沒有等軸晶區；圖 (b) 則可見中央有等軸晶。依題幹，(36) 要填入能對應圖 (a) 的材料條件。標準凝固分區中，純金屬較符合柱狀晶延伸至中心、沒有中央等軸晶區的情況，因此選純金屬。

選項分析

核心觀念

本題考查立方金屬凝固時，枝晶的優先生長方向。立方晶體具有方向性，枝晶通常沿生長速率較快的晶向延伸；對立方金屬而言，常見的快速生長方向為 $\langle100\rangle$ 晶向族。

解題方法

原卷文字指出生長傾向沿著快速生長方向；圖中（a）顯示柱狀晶區延伸至鑄件中心，（b）則顯示中心形成等軸晶區。圖示用來說明凝固組織分區；判斷第 37 題則依據立方金屬枝晶的快速生長晶向。

選項分析

• (A) $\langle100\rangle$：正確。 立方金屬枝晶常沿 $\langle100\rangle$ 晶向快速延伸。
• **(B) $\langle110\rangle$：錯誤。

核心觀念

本題考鑄錠凝固時的晶粒區域與凝固組織形貌。鑄錠常見的晶粒區域包括靠模壁的細小等軸晶區、向內延伸的柱狀晶區，以及可能出現在中心的等軸晶區；枝晶則是凝固時常見的生長形貌。

解題方法

圖中 (a) 顯示柱狀晶延伸至鑄件中心，(b) 顯示中心有等軸晶區；題幹也指出枝晶生長與固液界面前方的溫度梯度有關。判斷第 38 題時，須區分常見的枝晶形貌與較少見的細胞狀形貌。

鑄錠凝固常形成枝晶，整體晶粒區域則常見柱狀晶與等軸晶。因此「鑄錠組織很少呈現」應選較少見的細胞狀組織。

選項分析

• (A) cellular（細胞狀）— 正確。 細胞狀是固化界面的生長形貌；就題幹所指的典型鑄錠組織而言，較少以細胞狀形貌呈現。

核心觀念

本題考凝固時的偏析。微偏析發生在枝晶或晶粒尺度；宏偏析則是鑄錠不同區域之間的大尺度成分差異。熔湯中的溶質分布不均，加上密度差造成的重力對流，會使溶質在鑄件較大範圍內移動，形成宏偏析。

解題方法

原卷圖示比較兩種鑄錠組織：圖 (a) 的柱狀晶延伸至鑄件中心，沒有形成中心等軸晶區；圖 (b) 則可見中心等軸晶區。題目第 39 題問的是重力效應常造成哪一類偏析。判斷關鍵是看成分變化的尺度：重力引起熔湯流動，影響鑄錠的大範圍成分分布，因此對應宏偏析。

選項分析

• (A) micro segregation（微偏析）：發生在枝晶或晶粒內部，主要由凝固時溶質分配不均造成，不是重力引起的大範圍成分差異。

核心觀念

本題考鑄件凝固時的氣體缺陷。凝固過程中，氣泡若被已凝固的金屬困住，會形成 blowholes（氣孔／吹孔）；wormholes 則是沿凝固前緣延伸成長的長條狀孔道。

解題方法

原卷相關句子寫的是「緩慢生長的氣泡被固體困住，並形成（40）」，選項列有 vacancy、dendritic porosity、large cavity at the top、blowholes、wormholes。圖中的鑄件示意圖呈現凝固區域，判斷第 40 題時，關鍵是句子描述的「氣泡被固體困住」。

這種情況形成的是被凝固金屬包住的氣孔，即 blowholes。若氣泡沿凝固前緣持續伸長，形成長孔道，才對應 wormholes。

選項分析

核心觀念

本題考克羅格－溫克缺陷符號（Kröger–Vink notation）。符號通常寫成 $A_B^q$：

• $A$：實際佔據晶格位置的離子或缺陷。
• $B$：該位置原本所屬的晶格位置。
• $q$：相對於理想晶格的有效電荷；$\bullet$ 表示有效正電，$'$ 表示有效負電，$\times$ 表示有效電荷為零。

解題方法

原卷第 41 題的題幹指出，$\mathrm{Y}^{3+}$ 取代陽離子子晶格上的 $\mathrm{Zr}^{4+}$；旁邊的相圖是後續題目所需，本題依題幹判斷取代位置與有效電荷即可。以 $\mathrm{Zr}^{4+}$ 所在位置為參考，取代它的 $\mathrm{Y}^{3+}$ 少一個正電荷，因此符號為 $\mathrm{Y}_{\mathrm{Zr}}^{\prime}$。

選項分析

• (A) $\mathrm{Zr}_{\mathrm{Y}}^{\bullet}$：表示 $\mathrm{Zr}$ 佔據 $\mathrm{Y}$ 的位置，取代元素與晶格位置顛倒，錯誤。

核心觀念

本題考 Kröger–Vink 缺陷符號。符號中的下標表示缺陷所在的晶格位置，上標表示相對於完整晶格的有效電荷；空位的有效電荷與被移除的離子電荷相反。

解題方法

原卷此段文字指出要表示「O 位點上的空位」；旁邊的相圖與第 42 題無關。氧離子為 $\mathrm{O}^{2-}$，若移除一個氧離子，留下的空位相對於完整晶格帶有 $+2$ 的有效電荷。因此記號為 $V_{\mathrm{O}}^{\bullet\bullet}$：$V$ 表示空位，下標 $\mathrm{O}$ 表示氧位點，兩個點表示有效正電荷 $+2$。

選項分析

• (A) $V_{\mathrm{O}}^{\bullet\bullet}$：正確。 表示氧位點空位，且具有 $+2$ 有效電荷。
• (B) $V_{\mathrm{O}}^{\prime\prime}$：錯誤。 兩撇表示有效電荷 $-2$，與氧離子移除後留下的空位電荷符號相反。

核心觀念

本題考相圖中的不變反應。共晶反應是在固定溫度下，液相同時轉變為兩種固相：

$$L \rightarrow \alpha+\beta$$

解題方法

圖的縱軸是溫度，橫軸是 $\mathrm{Y_2O_3}$ 莫耳百分比。在約 $83\ \mathrm{mol\%}\ \mathrm{Y_2O_3}$ 處，液相線形成低谷，並與兩側固相區的界線交會；這是液相在定溫下轉變為兩種固相的共晶點，因此第 44 題選共晶。

選項分析

• (A) eutectic，共晶：正確。 液相轉變成兩種固相，符合圖中約 $83\ \mathrm{mol\%}$ 的不變點。

核心觀念

本題考相圖中的不變反應。包晶反應在冷卻時由液相與一個固相生成另一個固相：

$$L+\alpha\rightarrow\beta$$

其中 $L$ 代表液相，$\alpha$、$\beta$ 代表不同固相。判斷時要看不變點是否涉及液相，以及反應物、生成物各有幾個相。

解題方法

原圖是 $\mathrm{ZrO_2-Y_2O_3}$ 二元相圖，橫軸為 $\mathrm{Y_2O_3}$ 莫耳百分比，縱軸為溫度。圖中 $76\pm1\ \mathrm{mol\%}$ 的不變點涉及液相；對照不變反應的定義，此點為液相與一個固相生成另一個固相的包晶反應。該系統的相圖研究亦記載，$76\pm1\ \mathrm{mol\%}$ $\mathrm{Y_2O_3}$ 為包晶點。原始相圖研究

選項分析

核心觀念

螢石型結構的化學式為 $MX_2$：$M$ 離子形成面心立方排列，$X$ 離子填入四面體間隙。本題考晶胞中離子數目的計算與化學式判讀。

解題方法

原卷右側相圖的縱軸為溫度，橫軸為 $Y_2O_3$ 莫耳百分比；第 46 題則根據共用題幹所述的螢石型結構判斷化學式。面心立方晶胞有 $4$ 個規則位置上的 $M$ 離子，並有 $8$ 個四面體間隙。若間隙全由 $X$ 離子填入，則晶胞內比例為

$$M:X=4:8=1:2$$

因此化學式為 $MX_2$。

選項分析

核心觀念

螢石型結構的化學式為 $MX_2$：$M$ 離子形成面心立方晶格，$X$ 離子填入其中全部的四面體間隙。第 47 題問的是面心立方晶格每個單位晶胞內有幾個四面體間隙。

解題方法

原卷右側相圖的縱軸是溫度、橫軸是 $\mathrm{Y_2O_3}$ 莫耳百分比，供前面相圖題使用；第 47 題所需資訊在題幹對螢石型結構的敘述中。面心立方單位晶胞共有 $8$ 個四面體間隙，因此填滿這些位置的 $X$ 離子數為 $8$。

選項分析

核心觀念

本題考螢石型（fluorite）結構的晶格配置。螢石型化合物的通式為 $MX_2$：$M$ 離子形成面心立方（FCC）晶格，$X$ 離子則占據其中的四面體間隙位置。每個常規 FCC 晶胞有 4 個 $M$ 晶格點與 8 個四面體間隙，因此晶胞內 $M:X=4:8=1:2$，符合 $MX_2$ 化學計量比。

解題方法

原頁右側相圖的橫軸為 $\mathrm{Y_2O_3}$ 莫耳百分比，縱軸為溫度；本題第 48 題則問螢石型結構中 $M$ 離子的排列。依題幹，$X$ 離子占據四面體間隙，$M$ 離子位於規則晶格點；螢石型結構中這些 $M$ 晶格點排列成面心立方，因此選 FCC。

選項分析

核心觀念

螢石型結構的通式為 $MX_2$。其中，$M$ 離子形成面心立方排列，$X$ 離子則占據面心立方晶胞中的 8 個四面體間隙位置。螢石結構的空間群為 $Fm\bar{3}m$。

解題方法

原卷右側相圖的縱軸為溫度，橫軸為 $\mathrm{Y_2O_3}$ 莫耳百分比，圖中標示了 $F_{\mathrm{ss}}$ 區域；題幹說明 $F_{\mathrm{ss}}$ 是螢石型固溶體。本題據此辨認螢石型結構的空間群，不需從相圖讀取特定數值。

螢石型結構可用 $\mathrm{CaF_2}$ 作為代表：陽離子形成面心立方晶格，陰離子占滿四面體間隙，因此每個陽離子對應兩個陰離子，通式為 $MX_2$。此結構屬立方晶系，空間群為 $Fm\bar{3}m$。

選項分析

核心觀念

能隙（band gap，記為 $E_g$）是價帶頂端與導帶底端之間的能量差：

$$E_g = E_{\mathrm{C}} - E_{\mathrm{V}}$$

其中 $E_{\mathrm{C}}$ 是導帶底端的能量，$E_{\mathrm{V}}$ 是價帶頂端的能量。能隙大小是半導體的重要性質，會影響電子從價帶躍遷至導帶所需的能量。

解題方法

題幹直接詢問 band gap 的定義。依照定義，能隙比較的是價帶頂端與導帶底端的能量，不是費米能階、真空能階或核心能階。因此選擇同時包含價帶與導帶的選項。

選項分析

• (A) the core level and the valence band：錯誤。 核心能階與價帶之間的能量差不是半導體能隙的定義。
• **(B) the valence band and the Fermi level：錯誤。

核心觀念

本題考查能隙與半導體電性的關係。半導體的本質載子濃度 $n_i$ 會隨能隙 $E_g$ 增大而降低。對本質半導體而言，近似關係為

$$n_i \propto \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)$$

其中 $k$ 為波茲曼常數，$T$ 為絕對溫度。因此，在相同溫度下，能隙較大的材料具有較低的本質載子濃度，通常也具有較高的電阻率。

電導率與電阻率互為倒數：

$$\sigma=\frac{1}{\rho}$$

解題方法

題幹指出寬能隙半導體相較於矽具有較高的某項性質。依據 $n_i$ 與能隙的指數關係，能隙增大會使熱激發產生的電子與電洞減少，材料的電導率通常降低、電阻率則提高。因此應選「電阻率」。

選項分析

核心觀念

半導體的能隙，是價帶頂端與導帶底端之間的能量差。判斷直接能隙或間接能隙，關鍵在於比較這兩個能帶極值是否出現在相同的波向量 $k$：

• 直接能隙：價帶頂端與導帶底端位於相同的 $k$ 值。
• 間接能隙：兩者位於不同的 $k$ 值。

本題共用題幹指出，GaN 的價帶頂端與導帶底端出現在相同的波向量位置，因此 GaN 屬於直接能隙半導體。

解題方法

核心觀念

本題考查半導體的直接能隙與間接能隙。能帶圖以能量 $E$ 為縱軸、波向量 $k$ 為橫軸；波向量與晶體動量相關。若價帶頂端與導帶底端出現在相同的 $k$ 值，材料便是直接能隙半導體。

題幹已指出 GaN 是直接能隙半導體，因此價帶頂端與導帶底端發生在相同的動量位置。

解題方法

沿用題幹對直接能隙的定義，將能帶圖中橫軸所代表的量與選項比對。能帶圖的橫軸是波向量 $k$，它對應晶體動量，因此第（53）格應填 momentum。

選項分析

• (A) energy：錯誤。能隙是導帶底端與價帶頂端的能量差；直接能隙指兩者具有相同的波向量位置，並非相同的能量。

核心觀念

固體中的熱量可由晶格振動傳遞；晶格振動的量子稱為聲子。在 SiC 這類熱傳導材料中，聲子能快速移動並在散射前傳播較長距離，因此熱導率高。

在簡化的動力學模型中，熱導率可表示為

$$\kappa \approx \frac{1}{3} C v_g \ell$$

其中 $C$ 為體積熱容、$v_g$ 為聲子群速度、$\ell$ 為聲子平均自由程。題幹所指的高群速度載子是聲子。

解題方法

先判斷句子談的是 SiC 的熱傳導機制，再辨認晶體中主要傳遞晶格熱能的準粒子。代入熱導率關係式，題幹的「high (54) group velocity」對應高聲子群速度；第 55 格則對應較長的聲子平均自由程。

選項分析

核心觀念

晶體中的熱量主要由聲子傳遞。固體的晶格熱導率可用下式理解：

$$\kappa \approx \frac{1}{3} C_v v_g \ell$$

其中 $C_v$ 是體積熱容量、$v_g$ 是聲子群速度，$\ell$ 是聲子平均自由程。聲子群速度越高、平均自由程越長，熱傳導能力通常越強。

解題方法

核心觀念

矽碳化物（SiC）中的矽與碳都屬於第 14 族元素。摻雜原子取代晶格中的原子時，若價電子數較少，便會形成受體能階，接受電子後留下電洞，使材料呈現 p 型導電。

鋁（Al）屬於第 13 族，價電子數比矽少一個。Al 取代 SiC 中的矽原子時可作為受體摻雜，因此 p 型 SiC 基板通常稱為鋁摻雜基板。

解題方法

先判斷各元素在週期表中的族別，再比較其價電子數與矽的差異：

• 價電子數比矽少的受體摻雜，主要產生電洞，形成 p 型半導體。
• 價電子數比矽多的施體摻雜，主要提供電子，形成 n 型半導體。
• 與矽同族的元素通常不會直接提供受體或施體所需的價電子差異。

因此，能作為 SiC 常見 p 型受體摻雜元素的是 Al。

選項分析

核心觀念

費米能階 $E_F$ 表示電子占據能態的機率分布所對應的能量位置。半導體摻入受體雜質後形成 p 型半導體，電洞成為多數載子，費米能階會向價帶頂端 $E_V$ 移動，因此位於價帶附近。

解題方法

題幹指出基板為 p 型 SiC，直接依 p 型半導體的能帶特徵判斷：其費米能階與價帶頂端的能量差較小，即 $E_F$ 靠近價帶。

在非簡併、熱平衡的近似下，電洞濃度可寫為

$$p = N_V \exp\left(-\frac{E_F-E_V}{kT}\right)$$

核心觀念

本題考查**熱塑性高分子（thermoplastic）的定義，以及它與熱固性高分子（thermosetting polymer）**的差異。

熱塑性高分子受熱時會軟化，溫度足夠高時可熔融；冷卻後則重新硬化。此過程通常可重複進行，因此材料可透過加熱重新成形。熱塑性高分子的鏈結構通常為線型或支鏈型，分子鏈之間沒有形成大量永久性的三維共價交聯網絡。

相較之下，熱固性高分子經固化後會形成三維交聯網絡，通常不能再加熱熔融重塑。

解題方法

題幹指出乙基纖維素（EC）具有熱塑性。判斷時直接套用熱塑性高分子的定義：加熱會軟化並熔融，冷卻後再硬化。因此，選項中描述受熱後軟化與熔融的敘述符合定義。

選項分析

核心觀念

纖維素分子含有多個羥基，羥基的官能基表示式為 $-\mathrm{OH}$。這些羥基可與不同試劑反應，形成纖維素酯或纖維素醚等衍生物，改變材料的溶解性與其他性質。

解題方法

題幹指出纖維素的「hydroxyl groups」可進一步反應形成衍生物。依官能基定義，羥基由氧原子與氫原子組成，寫作 $-\mathrm{OH}$，因此選擇表示羥基的選項。

選項分析

• (A) $-\mathrm{COOH}$：錯誤。 這是羧基，常見於羧酸。
• (B) $-\mathrm{SH}$：錯誤。 這是巰基，含硫原子。

核心觀念

纖維素分子鏈上有許多羥基 $-\mathrm{OH}$，可與試劑反應，將羥基上的氫或整個羥基位置轉換成取代基，形成纖維素衍生物。纖維素醚的代表性官能基可寫為 $-\mathrm{OR}$，其中 $\mathrm{R}$ 代表烷基或其他有機基團；纖維素酯則具有酯鍵 $-\mathrm{O-C(=O)-R}$。

解題方法

題目要辨認的是纖維素衍生物中常見的取代基表示法。選項中，$-\mathrm{OH}$ 是反應前的羥基；取代後若形成醚，常以 $-\mathrm{OR}$ 表示。因此本題選擇 $-\mathrm{OR}$。須留意，酯與醚的完整結構不同；題幹將兩類衍生物概括在一起時，選項中最符合衍生後有機取代基表示法的是 $-\mathrm{OR}$。

選項分析

核心觀念

本題考查聚合物分子量對溶液黏度的影響。高分子鏈越長，溶解後形成的線團尺寸通常越大，與周圍溶劑分子的作用也越顯著，因此溶液流動時受到的阻力增加，黏度上升。

在稀溶液中，特性黏度常以馬克－豪溫克關係描述：

$$[\eta]=K M^a$$

其中 $[\eta]$ 為特性黏度，$M$ 為分子量，$K$ 與 $a$ 為和聚合物、溶劑及溫度有關的常數。此式表示在適用條件下，分子量增加會使特性黏度增加。

解題方法

核心觀念

高分子溶於溶劑後，分子鏈通常呈隨機捲曲並膨潤的狀態。高分子鏈與周圍溶劑分子之間的相對運動會受到阻力；分子量越高，鏈通常越長，流動時受到的阻力越大，因此溶液黏度上升。題幹所描述的是分子間運動造成的摩擦阻力。

解題方法

依題幹語意判斷：黏度增加的原因，是高分子鏈與溶劑分子彼此相對移動時受到阻礙。這種阻礙對應「摩擦力」，因此第 62 格應填入 friction force。

選項分析

• (A) electric force（電力）：描述帶電粒子間的電作用力，不是題幹所指的流動阻力。
• (B) gravitational force（重力）：與物體質量及重力場相關，不能說明高分子溶液黏度增加的原因。

核心觀念

本題考查聚合物的玻璃轉移溫度 $T_g$ 與分子量的關係。對非晶聚合物而言，分子量增加時，鏈端所占比例降低，鏈端較高的活動性對整體鏈段運動的影響隨之減弱，因此 $T_g$ 會隨分子量增加而上升，並逐漸趨近極限值。

此關係可用 Fox–Flory 關係式表示：

$$T_g = T_{g,\infty} - \frac{K}{M_n}$$

其中 $T_{g,\infty}$ 是分子量趨近無限大時的玻璃轉移溫度，$K$ 是與聚合物種類相關的常數，$M_n$ 是數均分子量。隨著 $M_n$ 增大，$K/M_n$ 減小，因此 $T_g$ 上升。

解題方法

核心觀念

本題考查非晶態高分子在玻璃轉移溫度 $T_g$ 附近的物理狀態變化。當溫度由低往高升至 $T_g$，高分子鏈段活動能力明顯增加，材料由堅硬、脆性的玻璃態（glassy state）轉為具有彈性的橡膠態（rubbery state）。

玻璃轉移不是結晶高分子由固態熔化成液態的熔融轉變；它描述的是非晶態區域的鏈段運動與材料性質發生明顯變化。

解題方法

題幹指出溫度正在上升，因此依序判斷 $T_g$ 前後的狀態：

$$T<T_g：\text{玻璃態} \quad\longrightarrow\quad T>T_g：\text{橡膠態}$$

第 64 格詢問的是升溫前的狀態，因此填入 glassy。

選項分析

核心觀念

本題考查非晶態高分子的玻璃轉移溫度 $T_g$。當溫度低於 $T_g$ 時，高分子鏈段的活動受限，材料呈現堅硬、脆性的玻璃態；溫度升至 $T_g$ 附近並高於 $T_g$ 後，鏈段活動性增加，材料轉為柔軟、可彈性變形的橡膠態。

玻璃轉移是非晶區鏈段活動性改變所造成的轉變，不等同於晶體熔化。

解題方法

題幹指出，溫度上升時，非晶態高分子會由一種狀態轉變為另一種狀態。依 $T_g$ 的定義，轉變方向是：

$$\text{玻璃態} \xrightarrow{\text{升溫至 }T_g} \text{橡膠態}$$

因此，第 65 格應填「橡膠態」，選項為 (C) rubbery。

選項分析