108 年 國立聯合大學材料科學工程學系碩士班《材料科學導論》

這題考驗對分子極性與分子間作用力的基本理解。
偶極鍵 (dipole bond) 是指由於分子內部電荷分布不均勻，導致分子具有永久性的偶極矩，進而產生分子間的吸引力。這種現象稱為極性。
然而，"Electrically symmetric molecules" 意指分子的電荷分布是對稱的，也就是說，即使分子中有極性鍵，但由於結構對稱，總偶極矩為零，因此分子本身是非極性的。非極性分子本身無法直接形成偶極鍵。
偶極鍵通常發生在極性分子之間（永久偶極-永久偶極作用，或稱 Keesom interaction），或是極性分子與非極性分子之間（永久偶極-誘導偶極作用，或稱 Debye interaction），甚至非極性分子之間（倫敦分散力，或稱倫敦力，是瞬時偶極-誘導偶極作用）。
題目說「電學上對稱的分子可以誘導形成偶極鍵」，這句話有歧義。

核心觀念

本題考查高分子物理與材料科學中**高分子結晶結構（Polymer Crystallinity）**的核心微觀機制——鏈摺疊模型（Chain-Folded Model）。

1. 高分子鏈長與晶片厚度的尺度矛盾：高分子單一分子鏈完全伸展時的長度（Contour Length）通常可達數百至數千奈米（$\sim 100\text{--}1000\text{ nm}$ 或以上），但在溶液結晶或熔體結晶中，實驗測得的結晶薄片（Lamellae）厚度通常僅有 $10\text{--}20\text{ nm}$。
2. 鏈摺疊機制（Keller, 1957）：為了解決長度不對稱的矛盾，高分子長鏈分子在結晶過程中，藉由共價鍵的旋轉與排列，在晶片表面進行反覆、有規則的來回摺疊（fold back and forth），平行排列組裝成板狀結晶晶片（Lamellae）。

解題方法

判斷此是非題的切入點為比對題幹名詞定義與材料科學經典理論：

• 定義比對：
  • 題幹指出：「"Chain-fold model" is a way that polymer molecular chains fold back and forth on themselves to form a crystalline structure.」
  • 根據 Callister 等權威《材料科學導論》教科書定義，Chain-Folded Model 即描述個別分子鏈藉由自我反覆摺疊（Regularly or irregularly fold back and forth upon themselves）的方式嵌入結晶晶格中，構成晶片（Lamellae）。
  • 題幹之描述完全符合其物理定義與晶體生成機制。

選項分析（是非判斷）

這題考驗對離子晶體中點缺陷的理解。
離子晶體中常見的點缺陷有兩種：

1. Schottky 缺陷 (Schottky defect)：在離子晶體中，由於熱激勵或製程因素，導致晶格中同時有一個陽離子和一個陰離子從其正常位置脫離，在晶體表面形成空位。因此，Schottky 缺陷總是成對出現，即一個陽離子空位和一個陰離子空位。這種缺陷的形成不會改變晶體的整體電中性。

這題考驗對位錯類型及其 Burgers 向量方向的理解。
位錯 (dislocation) 是晶體中一種線缺陷，其運動是導致金屬塑性變形的主要機制。位錯主要分為兩種基本類型：刃位錯 (edge dislocation) 和螺位錯 (screw dislocation)。

1. 刃位錯 (Edge Dislocation)：其位錯線的方向與 Burgers 向量的方向垂直。Burgers 向量代表了晶格在位錯處的總錯排量。

這題考驗對工程應力 (Engineering Stress) 和真實應力 (True Stress) 的定義與關係的理解。
在材料的拉伸試驗中，我們定義兩種應力：

1. 工程應力 (Engineering Stress, $\sigma_e$)：定義為外加載荷 ($P$) 除以試樣的初始橫截面積 ($A_0$)。
   $\sigma_e = \frac{P}{A_0}$
2. 真實應力 (True Stress, $\sigma_t$)：定義為外加載荷 ($P$) 除以試樣瞬時橫截面積 ($A$)。

這題考驗對退火 (annealing) 過程中各階段的順序理解。
退火是熱處理的一種，用於改善材料的機械性能，例如降低硬度、提高延展性。退火通常包含三個主要階段：

1. 回復 (Recovery)：在較低的退火溫度下進行。這個階段主要消除由於冷加工或塑性變形引入的點缺陷和位錯，降低內應力，減輕位錯密度，但晶粒尺寸基本不變。這有助於恢復材料的導電性等性能。
2. 再結晶 (Recrystallization)：在比回復階段更高的溫度下進行。

這題考驗對相變反應類型的理解，特別是 Eutectoid 反應。
相變反應是指在特定溫度和組成下，一種或多種相轉變為另一種或多種相的過程。常見的二元合金相變反應有：

1. Eutectic 反應：液相 (L) $\rightarrow$ 兩種固相 ($\alpha + \beta$)。
2. Eutectoid 反應：一種固相 ($\gamma$) $\rightarrow$ 兩種固相 ($\alpha + \beta$)。
3. Peritectic 反應：液相 (L) + 固相 ($\alpha$) $\rightarrow$ 另一種固相 ($\beta$)。

這題考驗對脆性斷裂過程中裂紋擴展路徑的理解。
在多晶脆性材料（如陶瓷、某些金屬合金在低溫或特定條件下）中，裂紋擴展可以沿著兩種主要路徑進行：

1. 穿晶斷裂 (Transgranular fracture)：裂紋穿過晶粒內部擴展。這種斷裂通常發生在較高的應變速率或較低的溫度下，裂紋直接克服晶粒內的原子鍵結而前進。
2. 沿晶斷裂 (Intergranular fracture)：裂紋沿著晶粒的晶界 (grain boundary) 擴展。

這題考驗對 CCT 圖 (Continuous-Cooling Transformation Diagram) 的理解。
CCT 圖（連續冷卻變換圖），也稱為 TTT 圖的變體，用於描述合金在連續冷卻過程中的相變行為。
CCT 圖的橫軸是時間，縱軸是溫度。它顯示了在不同冷卻速率下，合金會發生哪些相變，以及相變開始和結束的溫度。CCT 圖的曲線代表了達到特定轉變百分比（例如 1%、50%、99%）所需的溫度。
然而，CCT 圖描繪的是「時間-溫度-轉變」的關係。它清楚地包含了時間這個變數，因為冷卻速率直接決定了達到某一溫度的時間。

核心觀念

本題考查碳的同素異形體中，原子鍵結型態與晶體結構的關係。

• 鑽石（diamond）：每個碳原子以 $sp^3$ 混成軌域與四個鄰近碳原子形成四個共價鍵，構成三維網狀結構。
• 石墨（graphite）：每個碳原子在同一層內以 $sp^2$ 混成軌域與三個碳原子形成共價鍵，構成六角形平面網狀結構；不同石墨層之間主要以凡得瓦力作用，並非共價鍵。

因此，判斷鍵結型態時，必須區分「同一層內」與「不同層之間」的碳原子。

解題方法

將題目敘述拆成兩部分判斷：

1. 鑽石中碳原子之間的鍵結。
2. 石墨中所有碳原子之間的鍵結。

鑽石的每個碳原子與四個鄰近碳原子形成穩定的 $sp^3$ 共價鍵，故鑽石部分正確。

石墨的層內碳原子以 $sp^2$ 共價鍵連接，但層與層之間的距離較大，主要依靠凡得瓦力維繫。石墨容易沿層間滑動、具有良好潤滑性，正是因為層間作用力弱。因此，不能說石墨中碳原子之間的鍵結全部都是共價鍵。

選項分析

題目敘述：

The bondings between carbon atoms in both diamond and graphite are covalent bondings.

這題考驗對材料強化機制與相變之間關係的理解。
強化機制是指透過改變材料的微觀結構或成分，來提高材料的強度和硬度，抵抗塑性變形的能力。
我們逐一分析選項：
(a) 固溶強化 (Solid-solution strengthening)：將一種或多種溶質原子溶解在基體金屬中，形成固溶體。溶質原子在晶格中的尺寸差異會產生晶格畸變，阻礙位錯運動，從而提高強度。這與相變無關。
(b) 沉澱硬化 (Precipitation hardening)：這是一種重要的強化機制，尤其常見於合金。它通過在基體相中析出細小的、彌散分布的第二相質點（沉澱物）來阻礙位錯運動。這個過程的關鍵是「析出」，而析出通常是通過相變（例如從過飽和固溶體中析出）來實現的。

核心觀念

本題考查面心立方結構（FCC）的兩項基本性質：

1. 原子堆積因子（Atomic Packing Factor, APF）
2. 最大線密度方向（maximum Linear Density direction）

FCC 晶胞的原子位於：

• 8 個立方體頂點
• 6 個面心

FCC 中，原子沿著面對角線彼此相切，因此晶格常數 $a$ 與原子半徑 $R$ 的關係為

故

解題方法

一、計算 FCC 的 APF

APF 定義為晶胞內原子所占體積與晶胞體積之比：

1. FCC 晶胞內的原子數

FCC 中：

• 頂點原子：$8\times \frac18=1$
• 面心原子：$6\times \frac12=3$

因此每個 FCC 晶胞含有

個原子。

2. 晶胞內原子總體積

每個原子的體積為

因此晶胞內原子總體積為

3. 晶胞體積

由 $a=2\sqrt{2}R$：

因此

所以 FCC 的原子堆積因子約為

二、判斷最大線密度方向

線密度定義為某一晶向上，單位長度內所排列的原子數：

FCC 中，原子沿著面對角線方向排列最密。面對角線的晶向為

及其等價方向族

沿 $[110]$ 方向，面對角線長度為

核心觀念

本題考查材料中的原子間鍵結分類：

• 主要鍵結（primary bonds）：鍵結能高，通常視為永久性鍵結，包括離子鍵、共價鍵與金屬鍵。
• 次要鍵結（secondary bonds）：鍵結能較低，主要來自分子間或原子間的電荷吸引，包括凡得瓦力與氫鍵。

其中，**誘導偶極（induced dipole）**是由鄰近粒子的電場使電子雲暫時偏移所形成，屬於暫時性極化作用，並非永久鍵結。

解題方法

判斷各選項是否為永久鍵結即可：

1. 若鍵結源自電子的永久轉移或共享，通常屬於主要鍵結。
2. 若鍵結源自暫時或永久偶極之間的弱吸引力，通常屬於次要鍵結。
3. 將各選項依此分類，找出明確不屬於永久鍵結的項目。

選項分析

(a) induced dipole（誘導偶極）

誘導偶極是指一個粒子的電荷分布受到鄰近粒子影響，導致電子雲瞬間偏移，形成暫時偶極。例如非極性原子中的電子不斷運動，會產生瞬時偶極，進而誘導鄰近原子極化。

這種作用屬於凡得瓦力的一種，鍵結弱且具有瞬時性，因此不是永久鍵結。

(b) hydrogen bond（氫鍵）

氫鍵發生於氫原子與高電負度元素，例如氟、氧、氮之間。氫原子帶有部分正電，會與鄰近高電負度原子的部分負電產生吸引。

氫鍵雖具有方向性，且通常比一般凡得瓦力強，但本質上仍屬於次要鍵結，不是材料中所稱的主要永久鍵結。

本題核心觀念

本題測驗「短路擴散 (short‑circuit diffusion)」的概念。
在金屬與合金中，原子在表面 (surface)、位錯核心 (dislocation pipe)、晶界 (grain boundary) 等缺陷處的排列較為鬆散、晶格畸變較大，導致活化能 $Q$ 較低，擴散係數 $D$ 因而遠高於體相 (bulk) 的擴散。因此這些缺陷被稱為快速擴散路徑 (fast diffusion paths)。
相較之下，雙晶界 (twin) 多為相同晶格排列的鏡像界面，其晶格匹配度高、能量低，原子排列與體相無太大差異，活化能並未明顯下降，故不具快速擴散特性。

(a) surface

• 原因：表面原子缺少上方配位，鍵合數減少，形成較高的自由度。
• 活化能：$Q_{\text{surface}} < Q_{\text{bulk}}$，使得表面擴散係數 $D_{\text{surface}}$ 可達 $10^3$–$10^5$ 倍於體相。
• 結論：屬於快速擴散路徑。
  【答案】不是本題所問「非快速路徑」。

這題考驗對常見二元化合物晶體結構類型的辨識。題目中的 A-X 型結構通常指離子化合物，其中 A 代表陽離子，X 代表陰離子。我們需要找出一個不屬於此類結構的選項。

常見的 A-X 型結構通常是具有類似化學計量比 (1:1 或 1:2 等) 的離子化合物。

1. Cesium Chloride (CsCl) 型結構：化學計量比為 1:1。陽離子 (Cs+) 位於立方體的中心，陰離子 (Cl-) 位於立方體的角頂（或反之）。這是典型的 A-X 型結構。
2. Rock Salt (NaCl) 型結構：化學計量比為 1:1。陽離子和陰離子分別以面心立方 (FCC) 陣列堆積，並相互嵌入，形成類似 NaCl 的結構。這也是典型的 A-X 型結構。

這題考驗對位錯 (dislocation) 在材料科學中各種現象的關聯性理解。位錯是導致金屬塑性變形的主要微觀機制，因此許多與塑性變形和熱處理相關的現象都與位錯有關。

我們逐一分析選項：
(a) 固溶強化 (Solid-solutioning strengthening)：如前所述，固溶原子在晶格中產生畸變，阻礙位錯的運動，從而提高材料強度。這與位錯的運動密切相關。
(b) 晶粒長大 (Grain growth)：晶粒長大是指在退火過程中，已形成的再結晶晶粒尺寸變大，以降低總體晶界能。雖然晶界的移動（驅動晶粒長大）可能受到位錯的影響（例如，位錯可以作為晶界移動的障礙），但晶粒長大本身的主要驅動力是降低晶界能，而不是直接與位錯的運動機制相關。位錯在回復和再結晶階段扮演更重要的角色。
(c) 加工硬化 (Work hardening)：這是一個直接與位錯相關的現象。

這題考驗對二元 Eutectoid 反應的定義和特徵的理解。
Eutectoid 反應是一種在固相溫度下發生的相變反應，其中一種固相在高於某一溫度時轉變為兩種不同的固相。
對於一個二元系統（由兩種元素組成），Eutectoid 反應的通用形式為：
固相 $\gamma$ $\xrightarrow{T_{eutectoid}}$ 固相 $\alpha$ + 固相 $\beta$
其中，$\gamma$ 是在高於 $T_{eutectoid}$ 溫度下存在的單一固相，而在 $T_{eutectoid}$ 溫度下，它會轉變為兩種不同的固相 $\alpha$ 和 $\beta$。

我們逐一分析選項：
(a) Two liquid phases are involved：這描述的是 Monotectic 反應，而不是 Eutectoid 反應。Eutectoid 反應發生在固相區域。
(b) only one solid phase is involved：這句話不準確。

這題考驗對碳及其化合物的認識。題目問哪個選項與碳有關。

我們逐一分析選項：
(a) Fullerenes (富勒烯)：富勒烯是一類由碳原子組成的籠狀、橢球狀、管狀或盤狀分子。最著名的是 C₆₀ (巴克球)。它們是碳的同素異形體。因此，富勒烯與碳有關。
(b) Graphene (石墨烯)：石墨烯是單層的碳原子以六邊形晶格排列形成的二維材料。

這題要求繪製 Pb-Sn 合金的相圖，並說明層狀結構的形成。

第一部分：繪製 Pb-Sn 合金相圖

Pb-Sn 合金系統是一個典型的二元共晶 (eutectic) 系統。其相圖的關鍵特徵包括：

1. 組成軸 (Composition axis)：橫軸表示錫 (Sn) 的質量百分比（或原子百分比），從 0% Sn (純 Pb) 到 100% Sn (純 Sn)。
2. 溫度軸 (Temperature axis)：縱軸表示溫度，從室溫到熔點。
3. 熔點 (Melting points)：純 Pb 的熔點約為 327°C，純 Sn 的熔點約為 232°C。
4. 共晶點 (Eutectic point)：題目給定共晶點在 183°C 和 61.9% Sn。在這個點，液相直接轉變為兩種固相的混合物。
5. 固相溶解度 (Solid solubility)：Pb 和 Sn 之間存在有限的固相溶解度。在低溫下，Pb 對 Sn 的溶解度很低（形成 $\alpha$ 相，Pb rich solid solution），Sn 對 Pb 的溶解度也很低（形成 $\beta$ 相，Sn rich solid solution）。隨著溫度的升高，固相溶解度會增加。
6. 液相線 (Liquidus line)：在液相線以上，合金處於完全液態。從液相線開始，隨著溫度降低，開始析出固相。
7. 固相線 (Solidus line)：在固相線以下，合金處於完全固態。在固相線與液相線之間，合金是液相和固相的混合物。
8. 兩相區 (Two-phase region)：在液相線和固相線之間的區域，存在液相和固相的混合。
9. 共晶反應線 (Eutectic reaction line)：在共晶溫度 (183°C)，液相直接轉變為兩種固相：$\alpha$ 相 (Pb rich) 和 $\beta$ 相 (Sn rich)。這個反應是：$L \xrightarrow{183^\circ C, 61.9\%Sn} \alpha + \beta$。

繪製步驟：

• 畫出溫度和組成軸。
• 標記純 Pb (0% Sn) 和純 Sn (100% Sn) 的熔點。
• 標記共晶點 (183°C, 61.9% Sn)。
• 畫出兩條從純組分熔點開始，向共晶點匯聚的液相線。
• 畫出兩條從低溫（室溫附近）開始，向共晶點匯聚的固相線。這兩條固相線表示 $\alpha$ 相和 $\beta$ 相的極限溶解度。
• 在液相線以上是單一液相區 (L)。
• 在兩條液相線和固相線之間的區域是液相+固相混合區 (L + $\alpha$ 或 L + $\beta$)。
• 在共晶溫度 (183°C) 下，從純 Pb 的固相線左側到純 Sn 的固相線右側，是 $\alpha + \beta$ 兩相區。

這題要求繪製金屬、陶瓷和聚合物在拉伸試驗下的應力-應變曲線，並描述它們之間的差異。

第一部分：繪製應力-應變曲線示意圖

（在此無法繪製圖形，但可描述曲線特徵）

1. 典型金屬 (Typical Metal)：

   • 曲線形狀：通常呈現較長的彈性區和較長的塑性區。
   • 彈性區：起始階段是直線，遵循胡克定律（應力與應變成正比）。
   • 屈服點 (Yield point)：在彈性區結束後，材料開始發生顯著的塑性變形。有些金屬有明顯的屈服點，有些則是以 0.2% 應變的偏移量來定義屈服強度。
   • 加工硬化區 (Work hardening region)：在屈服後，應力隨著應變的增加而持續上升，直到達到極限強度。
   • 極限強度 (Ultimate tensile strength, UTS)：曲線的最高點，代表材料所能承受的最大應力。
   • 頸縮 (Necking)：在達到極限強度後，材料開始發生頸縮，橫截面積減小，應力下降。
   • 斷裂 (Fracture)：材料在達到斷裂強度後斷裂。
   • 斷裂韌性 (Fracture toughness)：金屬通常具有較高的延展性，斷裂前有較大的應變。

2. 典型陶瓷 (Typical Ceramic)：

   • 曲線形狀：通常呈現較短的彈性區和非常短的塑性區（甚至無塑性區）。
   • 彈性區：起始階段是直線，遵循胡克定律。
   • 斷裂：陶瓷的塑性變形能力非常有限。在彈性區之後，應力達到斷裂強度後，材料會突然發生脆性斷裂，沒有明顯的屈服點和頸縮。
   • 脆性斷裂 (Brittle fracture)：斷裂發生在較小的應變下，斷裂強度通常與彈性模量相關。
   • 脆性材料。

3. 典型聚合物 (Typical Polymer)：

   • 曲線形狀：形狀變化很大，取決於聚合物的類型（熱塑性、熱固性、彈性體）。但一般而言，它們的彈性模量較低，延展性可能很高或很低。
   • 熱塑性聚合物 (Thermoplastic Polymer)：
     • 可能有一個較長的彈性區。
     • 可能有一個屈服點，之後應力可能先下降再上升（應變軟化後再硬化），或者直接持續上升。
     • 可能具有很高的延展性，斷裂前的應變非常大。
     • 彈性模量通常較低。

這題考驗對延性-脆性轉變 (ductile-to-brittle transition) 的概念及其測試方法的理解。

第一部分：延性-脆性轉變 (Ductile-to-Brittle Transition)

延性-脆性轉變是指某些材料（特別是 BCC 結構的金屬和合金，如鋼）的斷裂行為會隨著溫度的變化而發生顯著改變。

• 定義：在較高的溫度下，材料表現出延性斷裂 (ductile fracture)，其特徵是具有較大的塑性變形能力，斷裂前應變大，斷裂面通常呈 the 'cup-and-cone' 形態（稱為韌性斷裂）。
• 在較低的溫度下，材料表現出脆性斷裂 (brittle fracture)，其特徵是塑性變形能力很小，斷裂前應變小，斷裂面通常是平坦的、沿晶界或穿晶斷裂（稱為脆性斷裂）。
• 轉變溫度 (Transition temperature)：存在一個溫度範圍，材料的斷裂行為從延性轉變為脆性。這個溫度範圍通常稱為延性-脆性轉變溫度區 (ductile-brittle transition temperature, DBTT)。
• 影響因素：
  • 溫度：溫度是主要影響因素。溫度降低，脆性增加。
  • 晶體結構：BCC (Body-Centered Cubic) 結構的金屬（如鋼）對溫度敏感性較大，容易發生延性-脆性轉變。FCC (Face-Centered Cubic) 和 HCP (Hexagonal Close-Packed) 結構的金屬通常不會發生明顯的延性-脆性轉變，它們在低溫下也傾向於保持延性。
  • 應變速率 (Strain rate)：應變速率越高（即加載速度越快），材料越容易表現出脆性行為。
  • 應力狀態 (Stress state)：存在三軸拉應力（如缺口試樣）會促進脆性斷裂。
  • 材料成分和微觀結構：合金成分、晶粒尺寸、雜質（特別是固溶的非金屬雜質，如 C, N, O, S, P）等都會影響轉變溫度。例如，鋼中的碳含量、晶粒尺寸、以及晶界上的雜質沉澱都會顯著影響 DBTT。

第二部分：用於確定轉變的測試方法

用於確定延性-脆性轉變溫度 (DBTT) 的測試方法通常是衝擊試驗 (Impact test)，因為衝擊試驗在高應變速率和可能存在的應力集中條件下進行，更能模擬材料在低溫或快速加載下的脆性行為

這題考驗對固溶強化 (Solid-Solution Strengthening) 機制的理解。

固溶強化 (Solid-Solution Strengthening) 是一種通過在基體金屬中添加溶質原子，形成固溶體來提高材料強度和硬度的強化機制。這是合金化最基本也是最常見的方法之一。

機制描述：

1. 形成固溶體 (Formation of Solid Solution)：
   當兩種或多種金屬（或金屬與非金屬）混合在一起並熔化後冷卻，如果它們的原子能夠相互溶解，形成均勻的單一相，那麼就形成了固溶體。固溶體可以是取代型固溶體 (substitutional solid solution)，其中溶質原子取代基體原子在晶格中的位置；也可以是填隙型固溶體 (interstitial solid solution)，其中溶質原子尺寸較小，填入基體晶格的空隙位置。

2. 晶格畸變 (Lattice Distortion)：

   • 取代型固溶體：如果溶質原子的原子半徑與基體原子不同，則會引起基體晶格的局部畸變。如果溶質原子半徑較大，則引起局部膨脹；如果較小，則引起局部收縮。這種尺寸差異導致的晶格畸變會產生應力場。
   • 填隙型固溶體：較小的溶質原子進入基體晶格的間隙位置，也會引起周圍晶格的嚴重畸變和應力場。

3. 阻礙位錯運動 (Impediment to Dislocation Motion)：

   • 材料的塑性變形主要是通過位錯 (dislocation) 的運動實現的。位錯在晶格中滑移時，需要克服一定的阻力。
   • 固溶原子引起的晶格畸變和應力場，會與位錯運動時產生的應力場相互作用。
   • 當位錯運動經過固溶原子附近時，會受到來自固溶原子（或其引起的畸變）的額外阻力。這種阻力來自於：
     • 應力場的相互作用：位錯的應力場和固溶原子的應力場之間存在相互作用，阻礙位錯的移動。

這題考驗對擴散過程與擴散層厚度之間關係的理解，通常假設擴散過程遵循 Fick's second law，並且在某些情況下，擴散層的形成可以近似地用平方根關係來描述。

擴散過程與擴散層厚度的關係：

擴散層的形成是一個複雜的過程，但對於許多表面處理（如滲碳、滲氮、滲鉻等）的情況，如果擴散過程是主要的，並且擴散深度足夠大，那麼擴散層的厚度 $x$ 通常與擴散時間 $t$ 的平方根成正比，即：
$x \propto \sqrt{Dt}$
其中，$D$ 是擴散係數 (diffusion coefficient)，它取決於溫度和材料體系。

在題目中，假設「same chromizing atmosphere」意味著溫度、壓力以及參與擴散的化學物質的濃度梯度等條件是相同的，因此擴散係數 $D$ 在兩種情況下是相同的。

計算過程：

設：

• $x_1$ = 初始擴散層厚度 = 5 µm
• $t_1$ = 初始擴散時間 = 1.5 hrs
• $x_2$ = 目標擴散層厚度 = 8 µm
• $t_2$ = 目標擴散時間 (待求)

根據 $x \propto \sqrt{Dt}$，我們可以寫出：
$x = k \sqrt{Dt}$
其中 $k$ 是一個常數，取決於所定義的「厚度」以及擴散係數的具體形式。

對於第一種情況：
$x_1 = k \sqrt{Dt_1}$

對於第二種情況：
$x_2 = k \sqrt{Dt_2}$

由於 $k$ 和 $D$ 相同，我們可以將兩個方程相除，得到：
$\frac{x_2}{x_1} = \frac{k \sqrt{Dt_2}}{k \sqrt{Dt_1}}$

核心觀念

本題考查：

1. BCC（體心立方晶格）的原子排列。
2. BCC 中間隙位置的判定。
3. BCC 晶格常數 $a$ 與原子半徑 $R$ 的幾何關係。
4. 間隙原子剛好接觸周圍母體原子時的半徑比。

BCC 原子沿著立方體體對角線相切，因此：

故：

BCC 排列與間隙位置

BCC 的原子位於：

• 八個立方體角落；
• 立方體中心一個原子。

示意如下：

        ●────────●
       /│       /│
      / │  ◎   / │
     ●────────●  │
     │  │      │  │
     │  ●──────│──●
     │ /       │ /
     │/        │/
     ●────────●

其中：

• ●：角落原子；
• ◎：體心原子。

BCC 中常見的間隙位置包括：

• 八面體間隙：面心與邊心附近的位置；
• 四面體間隙：例如 $(1/2,1/4,0)$ 等位置。

本題要求計算八面體間隙中，能容納的最大間隙原子半徑。

解題方法與幾何推導

1. 判定八面體間隙的位置

以立方體的面心為例，考慮位於下表面中心的間隙位置：

此位置與相鄰晶胞的體心原子位於同一直線上。相鄰兩個體心原子之間的距離為 $a$，而面心間隙位於兩者正中央，因此間隙位置到最近母體原子的距離為：

核心觀念

HCP（六方最密堆積）晶胞可視為沿 $c$ 軸方向延伸的六角柱。其基面為 $ab$ 平面，法線方向為 $c$ 軸；與基面垂直的晶胞外壁則是六個柱面。

六方晶系在基面內有三條等價的 $a$ 軸：

且

因此晶面必須使用四指標 Miller–Bravais 表示法：

其中第四個指標滿足：

與基面垂直的柱面，其晶面法線位於基面內，因此 $l=0$。HCP 六角柱的六個側壁屬於第一階柱面族：

解題方法

先畫出 HCP 的六角柱基本形狀：

             ______
          ／        ＼
         ／            ＼
         ＼            ／
          ＼________／
          ↑
       c 軸垂直於六角形基面

六角柱的上、下底面為基面：

題目要求的是「垂直於基面」的晶胞外壁，因此要判定六個側面的 Miller–Bravais 指標。

以其中一個側壁為例。它平行於 $c$ 軸，所以：

若該側壁的法線方向對應於 $a_1$ 軸，三指標可先寫成：

轉換成四指標時，由

得到：

因此該側壁的四指標為：

繞著六角柱每隔 $60^\circ$ 會得到一個等價側壁，因此六個側壁的完整指標為：