109 年 國立聯合大學材料科學工程學系碩士班《材料科學導論》

這題考查的是面心立方 (FCC) 晶體的原子堆積密度 (Atomic Packing Density, APD)，也稱為原子堆積因子 (Atomic Packing Factor, APF)。

FCC 結構的原子堆積密度是材料科學中的一個基本常數。其計算方法是將一個晶胞中原子體積的總和除以晶胞的體積。

對於 FCC 結構：

1. 一個晶胞包含 4 個原子 (8 個角落原子，每個貢獻 1/8；6 個面心原子，每個貢獻 1/2)。
2. 原子是緊密堆積的，原子之間互相接觸。
3. 在 FCC 結構中，原子在面心方向上互相接觸，例如沿著晶胞面的對角線。
4. 設原子半徑為 $r$，則晶胞邊長 $a$ 與原子半徑 $r$ 的關係為：$a\sqrt{2} = 4r$，所以 $a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$。

這題考查的是六方密堆積 (Hexagonal Close-Packed, HCP) 結構的配位數 (Coordination Number)。

配位數是指一個原子周圍直接接觸的最近鄰原子的数目。

這題考查的是體心立方 (Body-Centered Cubic, BCC) 結構中的原子最密堆積方向。

在 BCC 結構中，原子最密堆積方向是指該方向上原子之間的距離最小，或者說原子在該方向上是互相接觸的。

對於 BCC 結構：

1. 晶胞邊長為 $a$。
2. 體對角線的長度為 $a\sqrt{3}$。
3. 在體對角線上，有 3 個原子互相接觸：兩個角落的原子和一個體心的原子。
4. 體對角線的長度 $a\sqrt{3}$ 等於 4 個原子半徑 ($4r$)。

這題考查的是純碳的同素異形體 (allotropes)。同素異形體是指由同一元素組成的、但結構或排列方式不同的物質。

純碳有許多不同的同素異形體，其中最常見的包括：

• 鑽石 (Diamond)：碳原子以 sp³ 混成軌域形成四面體結構，是已知最硬的天然物質。
• 石墨 (Graphite)：碳原子以 sp² 混成軌域形成六邊形層狀結構，層與層之間以凡得瓦力結合，是軟的導體。
• 富勒烯 (Fullerene)：碳原子形成球狀、橢球狀或管狀的分子，例如 C₆₀ (巴克球)。

這題考查的是不同晶體結構的原子堆積密度 (Atomic Packing Density, APD)。

我們需要比較幾個常見晶體結構的 APD：

• FCC (Face-Centered Cubic)：APD $\approx 0.74$ (如題 1 所述)。
• HCP (Hexagonal Close-Packed)：APD $\approx 0.74$ (與 FCC 同樣是密堆積結構)。
• BCC (Body-Centered Cubic)：$V_{atoms} = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{8}{3}\pi r^3$。晶胞邊長 $a$ 與原子半徑 $r$ 的關係為 $a\sqrt{3} = 4r$，所以 $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$。$V_{cell} = a^3 = (\frac{4r}{\sqrt{3}})^3 = \frac{64r^3}{3\sqrt{3}}$。

這題考查的是不同晶體結構的配位數與鍵結方式。四面體配位 (tetrahedral coordination) 指的是一個原子周圍有四個鄰近原子，且這些鄰近原子形成一個四面體的頂點，該原子位於四面體的中心。

我們來分析各個選項：
(a) diamond (鑽石)：鑽石結構是典型的四面體配位。每個碳原子與另外四個碳原子以 sp³ 混成軌域形成共價鍵，形成四面體結構。配位數是 4。
(b) zinc blende (閃鋅礦)：這是化合物的常見結構，例如 ZnS。它與鑽石結構相似，其中一種原子（如 Zn）位於鑽石結構的格點上，另一種原子（如 S）位於另一組鑽石結構的格點上，兩者之間錯開。在這個結構中，每種原子都與四個另一種原子形成四面體配位。

這題考查的是鈣鈦礦 (Perovskite) 結構的通式。

這題考查的是不同晶體結構之間的相變對體積的影響，以及如何計算體積變化百分比。

題目給出了兩種鈦 (Titanium, Ti) 的晶體結構在不同溫度下的參數：

1. 高溫相 (T > 882°C)：BCC 結構，晶胞參數 $a_{BCC} = 0.332 \text{ nm}$。
2. 低溫相 (T < 882°C)：HCP 結構，晶胞參數 $a_{HCP} = 0.29503 \text{ nm}$，$c_{HCP} = 0.46831 \text{ nm}$。

我們需要計算從 BCC 轉變為 HCP 時的體積變化百分比。

步驟 1：計算 BCC 結構的單位晶胞體積。
BCC 結構是立方晶系，其單位晶胞體積為 $V_{BCC} = a_{BCC}^3$。
$V_{BCC} = (0.332 \text{ nm})^3 = 0.036594368 \text{ nm}^3$。

步驟 2：計算 HCP 結構的單位晶胞體積。
HCP 結構是六方晶系，其單位晶胞體積為 $V_{HCP} = \frac{\sqrt{3}}{2} a_{HCP}^2 c_{HCP}$。
$V_{HCP} = \frac{\sqrt{3}}{2} (0.29503 \text{ nm})^2 (0.46831 \text{ nm})$
$V_{HCP} = \frac{1.73205}{2} \times (0.0870427009 \text{ nm}^2) \times (0.46831 \text{ nm})$

這題考查的是晶體缺陷的種類，特別是線缺陷 (line defect)。

晶體缺陷可以分為幾種類型：

• 點缺陷 (Point Defects)：零維缺陷，影響單個原子位置。例如：
  • 空位 (Vacancy)：晶格中缺少一個原子。
  • 間隙原子 (Interstitial)：多餘的原子進入了晶格的間隙位置。
  • 取代原子 (Substitutional Atom)：一種原子取代了另一種原子在晶格中的位置。
• 線缺陷 (Line Defects)：一維缺陷，延伸成線狀。例如：
  • 位錯 (Dislocation)：晶格中原子排列發生的線狀錯排。主要有刃位錯 (edge dislocation) 和螺位錯 (screw dislocation)。
  • 堆垛層錯 (Stacking Fault)：在密堆積結構中，原子層的堆積順序發生了錯誤，例如 FCC 結構中本應是 ABCABC 的堆積變成了 ABACAB。
• 面缺陷 (Surface Defects)：二維缺陷，延伸成面狀。例如：

核心觀念

1. 柏格斯向量（Burgers Vector, $\mathbf{b}$）的物理意義：

   • 柏格斯向量代表位錯（Dislocation）所造成的晶格畸變大小與方向。
   • 在晶體結構中，柏格斯向量通常對應於**最密排方向（Close-packed direction）**上的最短單位晶格平移向量（Unit lattice repeat distance）。
   • 位錯的應變能正比於柏格斯向量長度的平方（$E \propto G |\mathbf{b}|^2$），因此晶體傾向發展出長度 $|\mathbf{b}|$ 最小的滑移系以維持能量最低狀態。

2. 各類材料晶體結構與 $\mathbf{b}$ 的關係：

   • 金屬材料：金屬鍵不具方向性，原子緊密堆積，滑移方向上的原子間距最短，故 $\mathbf{b}$ 普遍較小。
   • 離子晶體：滑移必須維持局部電中性，避免同號離子相鄰產生強烈靜電排斥，因此單位滑移必須跨越完整的「正負離子對」，使得 $\mathbf{b}$ 較長。
   • 共價固體：具高度方向性的共價鍵形成較開放的結構（如鑽石立方結構），原子間距與重複週期較大，導致 $\mathbf{b}$ 較長。
   • 高分子：分子鏈由共價鍵與凡德瓦力交織而成，晶胞尺寸大且不對稱，滑移重複單元長，等效 $\mathbf{b}$ 最大。

解題方法

要比較各類材料的柏格斯向量大小，應從晶格堆積密度與滑移重複週期進行定量與定性推導：

1. FCC 金屬（面心立方）：

   • 原子堆積率高（$\text{APF} = 0.74$），具有真正的最密排面 $\{111\}$ 與最密排方向 $\langle 110 \rangle$。
   • 滑移方向為 $\langle 110 \rangle$，其基底柏格斯向量為： $$\mathbf{b}_{\text{FCC}} = \frac{a}{2}\langle 110 \rangle$$
   • 長度大小為： $$|\mathbf{b}_{\text{FCC}}| = \frac{a}{\sqrt{2}} = 2R$$ （其中 $R$ 為金屬原子半徑，典型值約為 $0.25 \sim 0.28\text{ nm}$）。

2. BCC 金屬（體心立方）：

   • 原子堆積率較低（$\text{APF} = 0.68$），最密排方向為體對角線 $\langle 111 \rangle$。
   • 其基底柏格斯向量為： $$\mathbf{b}_{\text{BCC}} = \frac{a}{2}\langle 111 \rangle$$
   • 長度大小為 $|\mathbf{b}_{\text{BCC}}| = \frac{\sqrt{3}}{2}a = 2R$。雖然理論硬球半徑同為 $2R$，但 FCC 具備更高的密堆積度與最短的空間重複週期，金屬中以 FCC 系統具有最小且最易滑移的柏格斯向量。

這題考查的是哪些晶體缺陷是平衡缺陷 (equilibrium defect)。

平衡缺陷是指在給定的溫度下，由於熱力學的驅動力（熵的增加）而自然存在的缺陷。這些缺陷的濃度會隨著溫度的升高而增加。

• 空位 (Vacancy)：這是最典型的平衡缺陷。在任何溫度高於絕對零度時，晶體中都會存在一定數量的空位，因為形成空位會增加系統的熵，從而降低吉布斯自由能 ($G = H - TS$)。空位的濃度與溫度呈指數關係：$N_v = N_0 e^{-Q_v/kT}$，其中 $Q_v$ 是形成空位的焓。
• 位錯 (Dislocation)：位錯的形成需要能量，但也會增加熵。然而，與空位相比，位錯的形成能通常較高，因此在平衡狀態下，位錯的密度通常不如空位那麼高，並且其濃度增長與溫度關係也不像空位那麼顯著。

這題考查的是在純矽 (Si) 中摻雜不同元素時，作為施體 (donor) 或受體 (acceptor) 的情況。

矽是第 14 族元素，具有 4 個價電子，形成共價鍵。

• 施體 (Donor)：是指當摻雜到矽中時，提供額外電子（使材料變成 n-type）的元素。施體元素必須是第 15 族元素（如 P, As, Sb），它們有 5 個價電子。其中 4 個用於與矽形成共價鍵，多餘的 1 個電子很容易被激發到導帶，成為自由電子。
• 受體 (Acceptor)：是指當摻雜到矽中時，接受電子（使材料變成 p-type）的元素。受體元素必須是第 13 族元素（如 B, Al, Ga, In），它們有 3 個價電子。其中 3 個用於與矽形成共價鍵，還需要 1 個電子來完成四面體鍵結，這個電子會從鄰近的矽原子或價帶中「接受」，從而形成一個電洞 (hole)。

核心觀念

本題考 Kröger–Vink 缺陷符號。下標表示缺陷所在的位置，上標表示相對於理想晶格的有效電荷：

• $\mathrm{Al}_{\mathrm{Zn}}^{\bullet}$：$\mathrm{Al}^{3+}$ 取代理想晶格中的 $\mathrm{Zn}^{2+}$，有效電荷為 $+1$。
• $\mathrm{V}_{\mathrm{Zn}}^{''}$：$\mathrm{Zn}^{2+}$ 陽離子位置形成空缺，有效電荷為 $-2$。
• $\mathrm{O}_{\mathrm{O}}^{\times}$：氧離子仍在正常氧晶格位置，有效電荷為 $0$。

解題方法

先依題意寫出取代缺陷：每個 $\mathrm{Al}^{3+}$ 取代一個 $\mathrm{Zn}^{2+}$，形成一個帶 $+1$ 有效電荷的 $\mathrm{Al}_{\mathrm{Zn}}^{\bullet}$。兩個鋁取代離子合計帶 $+2$，因此需搭配一個帶 $-2$ 有效電荷的鋅空缺，使整體電中性。

核心觀念

本題考查二元共晶相圖中的槓桿定則。共晶成分在共晶溫度以下會形成 $\alpha+\beta$ 兩相：

• $\alpha$ 相：Cu 溶於 Ag 的固溶體
• $\beta$ 相：Ag 溶於 Cu 的固溶體

由圖讀取共晶溫度 $779^\circ\mathrm{C}$ 下的成分：

解題方法

題目要求共晶成分在 $779^\circ\mathrm{C}$ 以下的 $\alpha$ 相重量百分比。此時整體成分為 $C_E$，位於 $\alpha+\beta$ 兩相區，因此使用槓桿定則：

代入數值：

核心觀念

本題考的是二元共晶相圖中的槓桿定則。合金成分位於共晶成分左側，因此在共晶溫度以下，組織由初晶 α 相與共晶組織組成。

「共晶組織」的重量百分率，等於合金在共晶溫度下、共晶反應開始前液相的重量百分率；冷卻通過共晶溫度時，這些液相會轉變成共晶組織。

解題方法

由圖中的 Ag–Cu 相圖讀取共晶溫度附近的成分：

• 合金成分：$C_0=24\ \mathrm{wt\%\,Cu}$
• 共晶成分：$C_E=28.1\ \mathrm{wt\%\,Cu}$
• α 相在共晶溫度的成分：$C_{\alpha E}=8.8\ \mathrm{wt\%\,Cu}$

在共晶溫度下，液相的重量分率為：

核心觀念

本題考查二元共晶相圖的判讀，以及「組織」與「相」的區別。

Ag–Cu 系統為共晶合金系統：

• $\alpha$ 相：Ag-rich 固溶體，主要為 Ag，含少量 Cu。
• $\beta$ 相：Cu-rich 固溶體，主要為 Cu，含少量 Ag。
• 共晶反應：

Ag–Cu 共晶成分約為：

題目合金成分為：

因為 $76\ \text{wt\% Ag}>71.9\ \text{wt\% Ag}$，所以此合金位於共晶成分的 Ag-rich 側，屬於過共晶合金（hypereutectic alloy，以 Ag 端成分作為判斷基準）。

解題方法

冷卻 $76\%\text{Ag}-24\%\text{Cu}$ 合金時，其凝固過程如下：

1. 液相區冷卻

合金在液相區時為均勻液相 $L$。降溫至液相線後，首先析出 Ag-rich 的初晶 $\alpha$ 相：

由於合金位於共晶成分右側，初晶相是 $\alpha$，而不是 $\beta$。

2. 冷卻至共晶溫度

剩餘液相的成分會沿液相線逐漸接近共晶成分。到達共晶溫度時，剩餘液相發生共晶反應：

因此，最終組織由兩部分組成：

1. 先形成的初晶 $\alpha$；
2. 後續由剩餘液相形成的共晶 $\alpha+\beta$。

3. 冷卻至室溫

室溫位於共晶溫度以下，平衡狀態下的相為：

但從顯微組織角度描述時，應保留凝固歷程，因此室溫組織寫成：

其中初晶 $\alpha$ 通常呈現較粗大的 Ag-rich 晶粒或樹枝晶；共晶組織則分布在初晶 $\alpha$ 之間，呈細密的 $\alpha/\beta$ 層片狀或細小混合組織。

相分率與組織比例

在共晶溫度附近，可用槓桿定則估算初晶 $\alpha$ 與共晶組織的比例。

取共晶溫度下的相界成分近似為：

• $\alpha$ 相成分：$C_{\alpha E}\approx 91.2\ \text{wt\% Ag}$
• 液相共晶成分：$C_E\approx 71.9\ \text{wt\% Ag}$

初晶 $\alpha$ 的質量分率為：

核心觀念

本題考查 Ag–Cu 二元共晶相圖的判讀，以及合金在室溫下的平衡微結構。

• 合金成分：$95\ \mathrm{wt\%Ag}-5\ \mathrm{wt\%Cu}$
• Ag–Cu 系統為共晶型合金。
• Ag-rich 固溶體稱為 $\alpha$ 相，主要為 Ag，含少量 Cu。
• Cu-rich 固溶體稱為 $\beta$ 相，主要為 Cu，含少量 Ag。
• 室溫時 Cu 在 $\alpha$ 相中的固溶度遠低於 $5\ \mathrm{wt\%}$，因此不可能全部固溶於 Ag 基體中。

解題方法

在 Ag–Cu 相圖上，先定位合金成分 $C_0=5\ \mathrm{wt\%Cu}$。

Ag–Cu 共晶成分約為 $28.1\ \mathrm{wt\%Cu}$，因此：

此合金屬於 Ag-rich 側的亞共晶合金。冷卻過程如下：

1. 液相冷卻至液相線以下時，首先析出初晶 $\alpha$ 相。
2. 溫度降至共晶溫度時，剩餘液相發生共晶反應：

3. 進一步冷卻至室溫時，$\alpha$ 相對 Cu 的固溶度降低，因此會有部分 Cu-rich $\beta$ 相析出。

所以，室溫下的平衡相組成為：

其中 $\alpha$ 為 Ag-rich 固溶體基體，$\beta$ 為 Cu-rich 固溶體。

在顯微組織上，應描述為：

核心觀念

本題考查二元相圖中的不變點（invariant point）與一致熔融點（congruent point）。

定壓下，二元系統的 Gibbs 相律為

其中 $C=2$。當三個相共存時，$P=3$，因此

此時溫度與成分皆固定，稱為不變點。

• 共晶點（eutectic）：液相冷卻後同時生成兩個固相
  $L\rightarrow \alpha+\beta$
• 共析點（eutectoid）：單一固相分解成兩個固相
  $\gamma\rightarrow \alpha+\beta$
• 包晶點（peritectic）：液相與固相反應生成另一固相
  $L+\alpha\rightarrow\beta$
• 包析點（peritectoid）：兩個固相反應生成另一固相
  $\alpha+\beta\rightarrow\gamma$
• 一致熔融點：某一固相直接熔化成相同成分的液相，通常在液相線的峰值或谷值處。

解題方法

沿著 Al–Zn 相圖逐一尋找：

1. 三個相區交會且溫度、成分固定的位置，列為不變點。
2. 單一固相與液相在相同成分處直接互相轉換的位置，列為一致熔融點。
3. 純 Al 與純 Zn 的熔點依題意排除。

由圖中標示可得到下列四個指定點：

這題考查的是費克第二定律 (Fick's Second Law) 的推導基礎。

費克第二定律描述的是在一個區域內，濃度隨時間的變化，也就是非穩態擴散 (unsteady-state diffusion)。其數學形式通常表示為：
$\frac{\partial C}{\partial t} = D \nabla^2 C$ (對於一維簡化情況，$\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$)

這個定律是基於質量守恆定律 (Conservation of Matter) 推導出來的。
推導過程大致如下：

1. 考慮一個微小的體積單元。
2. 根據質量守恆定律，在單位時間內進入該體積單元內的質量減去流出該體積單元內的質量，必須等於該體積單元內質量隨時間的增加量。

這題考查的是擴散係數 D 的影響因素。擴散係數 D 是描述物質擴散速率的參數。

擴散係數 D 通常的函數形式為：$D = D_0 e^{-Q/RT}$ (Arrhenius equation)，其中：

• $D_0$ 是前因子 (pre-exponential factor)。
• $Q$ 是擴散活化能 (activation energy)。
• $R$ 是氣體常數。
• $T$ 是絕對溫度。

這個公式表明 D 是溫度的函數。

此外，D 也會受到以下因素的影響：

• (a) diffusion species (擴散物種)：不同的原子或分子有不同的尺寸、質量和相互作用力，因此它們的擴散係數不同。
• (c) composition of diffusion medium (擴散介質的組成)：擴散介質的化學組成會影響其原子結構、鍵結強度和空位濃度，進而影響擴散係數。

這題考查的是如何通過實驗數據確定擴散的活化能 $Q$。

擴散係數 D 與溫度 T 的關係由阿倫尼烏斯方程 (Arrhenius equation) 描述：
$D = D_0 e^{-Q/RT}$

為了從實驗數據中確定 $Q$，我們通常將這個方程進行對數變換：
$\ln(D) = \ln(D_0) - \frac{Q}{RT}$

這個方程的形式是 $y = mx + c$，其中：

• $y = \ln(D)$
• $x = \frac{1}{T}$
• $m = -\frac{Q}{R}$ (斜率)
• $c = \ln(D_0)$ (y 軸截距)

這題考查的是不同擴散路徑的擴散速率比較。擴散係數 D 的大小直接反映了擴散速率的快慢。

擴散可以在材料的幾個不同區域發生：

1. 晶格內擴散 (Lattice Diffusion): 擴散原子在完整的晶格點陣中移動，通常需要越過原子間的勢壘。這是最慢的擴散方式。
2. 表面擴散 (Surface Diffusion): 擴散原子在材料的外部表面上移動。表面的原子排列相對疏鬆，勢壘較低，因此表面擴散比晶格內擴散快。
3. 晶界擴散 (Grain Boundary Diffusion): 擴散原子沿著晶粒之間的界面移動。晶界區域的原子排列是無序的，原子間距較大，勢壘較低，因此晶界擴散比晶格內擴散快。

擴散係數的比較：
一般而言，擴散係數的大小順序為：
$D_s$ (表面擴散) > $D_{gb}$ (晶界擴散) > $D_l$ (晶格內擴散)

核心觀念

本題考查半無限長固體在「表面濃度維持定值」條件下的非穩態擴散，使用 Fick 第二定律的誤差函數解：

其中：

• $C_0=0.05\ \mathrm{wt\%}$：初始碳濃度
• $C_s=1.05\ \mathrm{wt\%}$：表面碳濃度
• $C_x=0.35\ \mathrm{wt\%}$：深度 $x$ 處的碳濃度
• $x=3.5\ \mathrm{mm}$：距離表面的深度
• $t=40\ \mathrm{h}$：碳化時間
• $D$：碳在鐵中的擴散係數

解題方法

先計算無因次濃度：

因此：

由題目所附表格：

線性內插可得：

而

這題考查的是陶瓷材料的定義和範疇。陶瓷材料通常是指由金屬元素和非金屬元素（如氧、氮、碳、硫等）組成的無機化合物，以離子鍵或共價鍵結合。它們通常是硬、脆、耐高溫、絕緣的材料。

我們來分析各個選項：
(a) soda ash (蘇打灰)：主要成分是碳酸鈉 ($Na_2CO_3$)。碳酸鹽通常被視為無機化合物，在某些應用中可作為陶瓷的原料（如玻璃製造中的助熔劑）。
(b) carbon (碳)：碳本身是一種元素，可以形成多種同素異形體，如石墨、鑽石、碳纖維等。碳材料（特別是碳纖維、碳化矽、氮化矽等）在現代陶瓷領域（工程陶瓷）中非常重要。但是，純碳元素本身，是否算作「陶瓷材料」，有時取決於定義的嚴格程度。如果定義是「無機化合物」，那麼純元素可能不完全符合。
(c) rouge (氧化鐵紅)：通常指氧化鐵 ($Fe_2O_3$) 的紅色粉末。氧化鐵是金屬氧化物，屬於陶瓷材料的範疇。
(d) salt cake (芒硝)：主要成分是硫酸鈉 ($Na_2SO_4$)。硫酸鹽也是無機化合物，可用於某些工業生產，包括陶瓷。
(e) dolomite (白雲石)：是一種碳酸鈣鎂礦物，化學式為 $CaMg(CO_3)_2$。這是一種無機化合物，也是陶瓷和建材的原料。

這題考查的是二氧化矽 (Silica, $SiO_2$) 的同素異形體 (polymorphs)。二氧化矽有多種不同的晶體結構，稱為同素異形體。

常見的 $SiO_2$ 同素異形體包括：

• 石英 (Quartz)：在高壓下穩定，是自然界中最常見的 $SiO_2$ 形式。
• 鱗石英 (Tridymite)：在中壓、高溫下穩定。
• 方石英 (Cristobalite)：在高壓、高溫下穩定。
• 柯石英 (Coesite)：在高壓下形成，是石英的另一種高壓多形體。
• 司石英 (Stishovite)：在極高壓下形成，具有金紅石結構。

這題考查的是燒結 (Sintering) 的過程及其特徵。燒結是陶瓷粉末在加熱過程中，通過原子擴散和質量傳輸，使粉末顆粒之間形成連接，最終形成緻密固體的過程。

我們來分析燒結過程的幾個關鍵特徵：
(a) diffusion of atoms (原子擴散)：這是燒結的主要驅動力。在高溫下，原子通過晶格擴散、晶界擴散或表面擴散，從顆粒表面或內部遷移到顆粒之間的接觸點，導致顆粒結合。
(b) mass transport of atoms (原子質量傳輸)：這是原子擴散的結果，導致材料從一個地方轉移到另一個地方，形成頸部連接，並最終使顆粒緻密化。

這題考查的是影響玻璃顏色的離子。玻璃的顏色通常是由其中存在的少量金屬離子引起的，這些離子能夠吸收可見光譜中的某些波長，從而使透射光呈現補色。

我們來分析選項中的離子：
(a) Na⁺ ions (鈉離子)：鈉離子是常見的玻璃成分，通常作為助熔劑，本身對玻璃的顏色影響不大。
(b) Ca²⁺ ions (鈣離子)：鈣離子也是常見的玻璃成分，通常作為穩定劑，對玻璃顏色影響不大。
(c) Fe²⁺ ions (亞鐵離子)：過渡金屬離子，如鐵離子 (Fe²⁺ 和 Fe³⁺)，是玻璃中引起顏色的常見離子。Fe²⁺ 通常使玻璃呈現藍綠色或黃綠色，Fe³⁺ 使玻璃呈現黃色或棕色。

這題考查的是玻璃形成和結晶過程的體積/焓圖 (Volume/Enthalpy Diagram)。

當熔融狀態的物質冷卻時，其行為取決於冷卻速率和材料本身的性質。

• 緩慢冷卻：物質有足夠的時間進行原子重排，形成有序的晶體結構。
• 快速冷卻：原子沒有足夠的時間進行重排，熔體被「凍結」在無序的狀態，形成玻璃。

體積/焓圖（或溫度-體積/焓圖）可以很好地描繪這個過程。

圖的構成要素：
圖的橫軸通常是溫度 (T)，縱軸是體積 (V) 或焓 (H)。這裡題目要求的是 Volume/Enthalpy Diagram，通常是體積隨溫度或焓的變化。我們採用體積隨溫度的圖，因為這最直觀。

1. 熔融狀態 (Liquid)：

   • 在很高溫度下，物質處於熔融狀態。
   • 在這個區域，體積隨溫度的升高而增加（或隨溫度的降低而減小），斜率通常較大。
   • 焓在這個區域也隨溫度升高而增加。

2. 玻璃轉變區 (Glass Transition Region)：

   • 當熔體快速冷卻時，不會發生結晶。
   • 在一個特定的溫度範圍內，稱為玻璃轉變溫度 ($T_g$) 附近，無序的液體結構開始變得「凍結」，黏度急劇增加。
   • 在這個區域，體積隨溫度的變化率（斜率）會發生一個明顯的變化。通常，玻璃態的熱膨脹係數（體積變化率）比液態的小。
   • 這個轉變不是一個銳利的點，而是一個區域。

3. 玻璃態 (Glassy State)：

   • 低於 $T_g$ 時，物質處於玻璃態。
   • 在這個區域，體積隨溫度的變化率較小。
   • 結構是無序的。

4. 結晶過程 (Crystallization)：

   • 如果熔體冷卻到足夠低的溫度（或在玻璃轉變溫度範圍內停留足夠長的時間），原子就有可能開始形成晶核，並生長成晶體。
   • 結晶是一個放熱過程，會釋放結​​晶潛熱 (latent heat of crystallization)。
   • 在體積-溫度圖上，結晶會導致體積發生一個突變（通常是體積減小，因為晶體比熔體更緻密）。
   • 在焓-溫度圖上，結晶會導致焓在結晶溫度處有一個明顯的下降（釋放潛熱）。
   • 結晶發生在一個特定的溫度範圍，稱為結晶溫度範圍。

繪製 Diagram (體積 V 隨溫度 T 的圖)：

• 液態 (Liquid)：從高溫開始，體積隨溫度降低而減小，斜率較大。
• 玻璃轉變 (Glass Transition)：當快速冷卻時，在 $T_g$ 附近，體積隨溫度降低的斜率變小。這條線代表玻璃態。
• 結晶 (Crystallization)：如果冷卻足夠慢，或者在 $T_g$ 範圍內停留，可能會發生結晶。結晶發生時，體積會突然減小（相對於繼續冷卻到玻璃態的趨勢），然後形成晶體。晶體在低於結晶溫度後，體積隨溫度降低的斜率通常比玻璃態的斜率更大（因為晶體結構更緊密）。

圖的標示：

     ^ V (Volume)
     |
     |      Liquid (較大斜率)
     |     /
     |    /
     |   /
     |  /---------------\  (Glass transition region)
     | /                \
     |/                  \  Glassy state (較小斜率)
     +--------------------+---> T (Temperature)
     | \   T_g           /
     |  \               /
     |   \             / (Crystallization occurs here)
     |    \           /   (Sharp volume decrease)
     |     \         /
     |      \       /   Crystalline state (較大斜率)
     |       \     /
     |        \   /
     |         \ /
     |          V

詳細標示：

1. Liquid Region: High temperature, disordered structure, larger thermal expansion coefficient.
2. Glass Transition Temperature ($T_g$): The temperature range where the liquid transforms into a glassy state. The slope (thermal expansion coefficient) changes significantly here.
3. Glassy State Region: Below $T_g$, disordered structure, smaller thermal expansion coefficient. This line represents the volume of the glass if it doesn't crystallize.

這題考查的是本徵半導體 (intrinsic semiconductor) 的本徵載子濃度 (intrinsic carrier concentration, $n_i$)。

對於矽 (Si) 在室溫 (300 K) 下的本徵載子濃度，這是一個需要記憶的數值。
矽的本徵載子濃度 $n_i$ 在 300 K 時約為 $1.5 \times 10^{10} \text{ cm}^{-3}$。

這個數值是通過計算得出的，涉及半導體的能帶理論，特別是導帶底部的電子濃度和價帶頂部的空穴濃度。
$n_i = \sqrt{N_c N_v} e^{-E_g / 2kT}$
其中 $N_c$ 是導帶有效態密度，$N_v$ 是價帶有效態密度，$E_g$ 是帶隙能量，$k$ 是玻爾茲曼常數，$T$ 是絕對溫度。

對於矽：

• $E_g \approx 1.12 \text{ eV}$ (在 300 K)
• $N_c \approx 2.8 \times 10^{19} \text{ cm}^{-3}$
• $N_v \approx 1.04 \times 10^{19} \text{ cm}^{-3}$

這題考查的是半導體摻雜的分類。

• 本徵半導體 (Intrinsic Semiconductor)：純淨的半導體，沒有摻雜任何雜質。其導電性由內在的電子和空穴對產生。
• 外延半導體 (Extrinsic Semiconductor)：摻雜了雜質的半導體。
  • n-type: 摻雜施體雜質（如第 15 族元素到第 14 族半導體），電子是多數載子。
  • p-type: 摻雜受體雜質（如第 13 族元素到第 14 族半導體），空穴是多數載子。
• 簡併半導體 (Degenerated Semiconductor)：摻雜濃度非常高，以至於費米能級進入了導帶（n-type）或價帶（p-type）。

這題考查的是半導體中導電的載子。

在半導體中，導電是由兩種載子引起的：

1. 電子 (Electron)：位於導帶中的自由電子。
2. 空穴 (Hole)：價帶中由於電子躍遷而留下的空位，表現為帶正電荷的載流子。

選項 (c) 陽離子 (cation) 和 (d) 陰離子 (anion) 是指離子晶體中的離子，它們在固態材料中通常不能自由移動來導電（除非在高溫熔融狀態或某些離子導體中）。在半導體中，導電載子是電子和空穴。
選項 (e) 雜質 (impurity) 本身不是載流子，但摻雜的雜質可以提供或接受電子，從而產生導電的電子或空穴。

這題考查的是霍爾效應 (Hall Effect) 的應用，通過測量霍爾電壓來判斷半導體的導電類型（p-type 或 n-type）。

霍爾效應原理：
當電流 $I_x$ 在一個導體（或半導體）樣品中流動，同時有一個垂直於電流方向的磁場 $B_z$ 作用時，樣品兩側會產生一個橫向的電壓，稱為霍爾電壓 ($V_H$)。
這個電壓是由於載流子（電子或空穴）在磁場作用下受勞侖茲力而發生偏轉，在樣品兩側累積，形成一個與磁場和電流都垂直的電場。這個電場產生的力與勞侖茲力平衡時，霍爾電壓達到穩定值。

判斷導電類型的方法：
霍爾電壓的符號取決於載流子的電荷。

• n-type 半導體：多數載流子是電子（負電荷）。電子在磁場 $B_z$ 和電流 $I_x$ 方向下受到的勞侖茲力，會使負電荷偏向某一側（例如，如果 $I_x$ 向右，B₂ 向上，則電子受力向左）。這會在左側累積負電荷，右側留下正的離子背景，導致左側電勢低於右側。
• p-type 半導體：多數載流子是空穴（正電荷）。空穴在磁場 $B_z$ 和電流 $I_x$ 方向下受到的勞侖茲力，會使正電荷偏向某一側（例如，如果 $I_x$ 向右，B₂ 向上，則空穴受力向右）。這會在右側累積正電荷，左側電勢高於右側。

確定電流和磁場方向（假設）：
從圖示（雖然我無法看到，但可以根據標準的霍爾效應實驗設置推測）：

• 電流 $I_x$ 通常沿著樣品的長度方向。
• 磁場 $B_z$ 通常垂直於樣品的平面。
• 霍爾電壓 $V_H$ 是在樣品的寬度方向測量的。

根據給定的參數：

• 電流 $I_x = 0.5 \text{ mA} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ A}$

這題考查的是半導體摻雜後的導電類型判斷和電導率計算。

已知條件：

• 材料：矽 (Si)
• 摻雜劑：砷 (Arsenic, As)
• 摻雜濃度：$N_D = 10^{23} \text{ m}^{-3}$ (砷是第 15 族元素，作為施體)
• 溫度：室溫 (300 K)
• 圖表：顯示電子和空穴遷移率 ($\mu_e, \mu_h$) 與雜質濃度 (Impurity concentration) 的關係。

(a) 判斷導電類型 (n-type or p-type)

• 摻雜劑: 砷 (As) 是第 15 族元素，當摻雜到第 14 族半導體矽 (Si) 中時，它提供額外的電子，是施體 (donor)。
• 結論: 摻雜施體雜質會使半導體變成 n-type。

答案 (a)： n-type。

(b) 計算室溫電導率 ($\sigma$)

電導率的公式為：$\sigma = n q \mu_e + p q \mu_h$
其中：

• $n$ 是電子濃度 (多數載子)
• $p$ 是空穴濃度 (少數載子)
• $q$ 是基本電荷 ($1.602 \times 10^{-19}$ C)
• $\mu_e$ 是電子遷移率
• $\mu_h$ 是空穴遷移率

在 n-type 半導體中，摻雜濃度 $N_D$ 很高，通常認為所有施體都已電離，所以電子濃度 $n \approx N_D$。
在室溫下，根據質量作用定律 (Law of Mass Action)，$np = n_i^2$，其中 $n_i$ 是本徵載子濃度。
對於矽，$n_i \approx 1.5 \times 10^{10} \text{ cm}^{-3} = 1.5 \times 10^{16} \text{ m}^{-3}$。

步驟 1：確定摻雜濃度下的遷移率。
從圖表中，找到雜質濃度為 $10^{23} \text{ m}^{-3}$ 的位置。

• 在 $10^{23} \text{ m}^{-3}$ 處，電子遷移率 $\mu_e$ 大約是 $0.1 \text{ m}^2/\text{V}\cdot\text{s}$ (讀取圖表，電子曲線在 $10^{23}$ 處約為 0.1)。
• 在 $10^{23} \text{ m}^{-3}$ 處，空穴遷移率 $\mu_h$ 大約是 $0.01 \text{ m}^2/\text{V}\cdot\text{s}$ (讀取圖表，空穴曲線在 $10^{23}$ 處約為 0.01)。

步驟 2：確定電子濃度 $n$ 和空穴濃度 $p$。
由於是 n-type，且摻雜濃度 $N_D = 10^{23} \text{ m}^{-3}$ 遠大於本徵載子濃度 $n_i = 1.5 \times 10^{16} \text{ m}^{-3}$。
因此，電子濃度 $n \approx N_D = 10^{23} \text{ m}^{-3}$。
空穴濃度 $p = \frac{n_i^2}{n} = \frac{(1.5 \times 10^{16} \text{ m}^{-3})^2}{10^{23} \text{ m}^{-3}} = \frac{2.25 \times 10^{32}}{10^{23}} = 2.25 \times 10^9 \text{ m}^{-3}$。

這題考查的是熱固性聚合物 (thermosetting polymers) 的特性。熱固性聚合物在加工過程中通過加熱或化學反應形成高度交聯的三維網絡結構，一旦固化後，就不能再次熔化或塑化。

我們來分析各個選項：
(a) Long chains of molecules strongly cross-linked to form a 3-D network structure: 這是熱固性聚合物的典型特徵。分子鏈之間通過共價鍵形成牢固的交聯。
(b) Stronger, but more brittle than thermoplastics: 熱固性聚合物由於其高度交聯的結構，通常具有更高的強度、硬度和耐熱性，但也因此比熱塑性聚合物更脆，韌性較差。

核心觀念

Binder（黏結劑）是粉末成形或複合材料製程中，用來暫時將粉末或其他材料黏結在一起的高分子材料。常見於陶瓷、粉末冶金、金屬射出成形與複合材料製程。

理想的黏結劑通常具備以下特性：

1. 能有效黏附粉末，使成形胚體具有足夠的生胚強度。
2. 能溶解或均勻分散於適當的液體中，方便調製漿料或混合物。
3. 成本低，適合大量製造。
4. 在後續脫脂或燒結過程中能容易分解、揮發或燃燒移除，且不殘留有害雜質。
5. 不應與粉末或基材發生不利的化學反應。

本題要求判斷「不是理想特性」的選項。由於選項 (a)～(d) 均屬於黏結劑的理想條件，因此答案為 (e)。

解題方法

判斷黏結劑特性的切入點，是依照其在製程中的兩個階段分析：

• 成形階段：黏結劑需要能溶於液體，並且對粉末具有良好黏附性。
• 後處理階段：黏結劑通常只是暫時存在，因此必須容易脫除，且成本不能過高。

逐一檢查可知，(a)～(d) 都能改善製程操作或降低製造成本，因此沒有一項是不理想的特性。

選項分析

(a) easily burn out

黏結劑在成形時提供暫時性的黏結作用，後續通常需要經過脫脂與燒結。因此，黏結劑應能容易燃燒、熱分解或揮發移除。

若黏結劑不易去除，可能造成：

• 生胚內部產生氣體；
• 燒結體形成孔洞或裂縫；
• 碳化物、灰分或其他殘留物污染材料；
• 脫脂時間增加。

因此，容易燃燒移除是理想特性，選項 (a) 正確但不是本題答案。

(b) good adhesive to powders

這題考查的是共軛聚合物 (conjugated polymers) 的特性，也稱為導電聚合物 (conducting polymers)。

我們來分析各個選項：
(a) It is also known as conducting polymers: 共軛聚合物由於其π電子離域，可以傳導電荷，因此也被稱為導電聚合物。這是正確的。
(b) It can be distinguished by alternating single and double bonds between carbon atoms on the polymer backbone: 共軛聚合物的特徵是主鏈上存在交替的單鍵和雙鍵（或三鍵），形成一個大的π電子離域體系。這是正確的。
(c) Like silicon, its conductivity depends on the doping level: 導電聚合物的導電性可以通過摻雜 (doping) 來顯著調節，類似於矽等無機半導體。

核心觀念

本題考辨認常見有機半導體的分子結構。圖中可觀察中心金屬原子與周圍配位基的數目、配位方式，以及分子的骨架形狀。

解題方法

圖中央標示為 Al，周圍有三個含氮、氧原子的稠合芳香配位基；每個配位基都以氮、氧兩個位置與鋁形成螯合配位。這是三（8-羥基喹啉）鋁，簡稱 Alq₃，是常見的有機電致發光材料。

選項分析

• (a) Alq₃：正確。 分子以鋁為中心，配位三個 8-羥基喹啉配位基，與圖中的金屬中心及三組螯合結構相符。
• **(b) CuPc：錯誤。

核心觀念

本題考查黏彈性材料在負載下的蠕變與卸載後的回復。高於玻璃轉移溫度時，非晶聚苯乙烯呈橡膠態；在固定負載下，應變會隨時間增加，稱為蠕變。卸載後，材料會先快速回復一部分應變，再逐漸延遲回復。

解題方法

看圖時先判斷縱軸代表外加負載，還是材料應變。若是固定負載，負載維持期間應變應隨時間增加；卸載後應變則下降並逐步回復。符合這種「蠕變—回復」特徵的是圖（c）。

選項分析