114 年 國立臺灣大學土木系碩士班水利組（在職生）《工程數學（A）》

(a) $\det(5A)$
$\det(5A)=5^{3}\det A$。
$\det A$ 為 $2\times2$ 旋轉子矩陣 $\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$ 的行列式 $1$ 乘以 $1$，故 $\det A=1$。

$\det(5A)=5^{3}\cdot1=125$

(b) $5A$ 的特徵值
$A$ 的特徵值為 $i,\;-i,\;1$（$2\times2$ 旋轉子矩陣的特徵值 $\pm i$，第三個對角元 $1$）。
乘以 $5$ 後

$\lambda_{5A}=5i,\;-5i,\;5$

(c) $A$ 的對角化

求特徵向量：

$\lambda=i:\;(A-iI)v=0\;\Rightarrow\;v_{1}=\begin{bmatrix}1\\ i\\ 0\end{bmatrix}$

$\lambda=-i:\;(A+ iI)v=0\;\Rightarrow\;v_{2}=\begin{bmatrix}1\\ -i\\ 0\end{bmatrix}$

$\lambda=1:\;(A-I)v=0\;\Rightarrow\;v_{3}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}$

核心觀念

在區間 $(-\pi,\pi)$ 上，函數的傅立葉級數表示為

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),$$

其中

$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,$$ $$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx.$$

本題也可直接使用三角恆等式

$$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x.$$

因此函數本身已經是傅立葉正弦級數中的單一項。

解題方法

先利用積化和差公式：

$$\sin x\cos x =\frac{1}{2}\left[\sin(x+x)+\sin(x-x)\right] =\frac{1}{2}\sin 2x.$$

所以

$$f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x.$$

與一般傅立葉級數

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$

比較可得：

$$a_0=0, \qquad a_n=0\quad(n\geq 1),$$

且只有 $n=2$ 的正弦係數不為零：

$$b_2=\frac{1}{2}, \qquad b_n=0\quad(n\neq 2).$$

因此傅立葉級數為

$$f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x.$$

由係數積分驗證

核心觀念

本題結合以下觀念：

• 乘積微分法：
  $\frac{d}{dx}(xy)=y+x\frac{dy}{dx}$
• 齊次型代換：方程式中出現 $\dfrac{y}{x}$ 與 $x e^{y/x}$，令
  $v=\frac{y}{x},\qquad y=xv$
• 可分離變數法：將 $v$ 與 $x$ 的項分別移到等號兩側後積分。
• 初始條件 $y(e^2)=0$ 用來決定積分常數。

解題方法

令
$v=\frac{y}{x},\qquad y=xv.$

則
$xy=x^2v,$
因此

$$\frac{d}{dx}(xy)=\frac{d}{dx}(x^2v) =2xv+x^2\frac{dv}{dx}.$$

原方程式右側為
$2y-xe^{y/x}=2xv-xe^v.$

代回原方程式：
$2xv+x^2\frac{dv}{dx}=2xv-xe^v.$

消去兩側的 $2xv$，得到
$x^2\frac{dv}{dx}=-xe^v.$

因為 $x>e>0$，可除以 $xe^v$：
$e^{-v}\,dv=-\frac{dx}{x}.$

兩側積分：
$\int e^{-v}\,dv=-\int\frac{dx}{x},$
所以
$-e^{-v}=-\ln x+C.$

方法：特徵線法

1. 特徵方程

$\frac{dx}{ds}=3x,\qquad \frac{dy}{ds}=-1,\qquad \frac{du}{ds}=2u-x .$

2. 求不變量

$$\frac{dx}{dy}=\frac{3x}{-1}\;\Rightarrow\; \frac{dx}{x}=-3\,dy \Longrightarrow \ln x+3y=\text{常數} \Longrightarrow \boxed{\;\xi=x\,e^{3y}\;}$$

3. 在特徵線上把 $s$ 用 $y$ 表示：$ds=-dy$。

$\frac{du}{dy}+2u=x .$

把 $x$ 以 $\xi$ 代入：$x=\xi e^{-3y}$。得到線性 ODE

$\frac{du}{dy}+2u=\xi e^{-3y}.$

乘上積分因子 $e^{2y}$：

核心觀念

本題考查以拉普拉斯轉換解常係數二階線性微分方程，並利用初始條件直接求出轉換後的函數。

使用公式：

$$L\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)$$ $$L\{y''(t)\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)$$

以及

$$L\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},$$

其中

$$Y(s)=L\{y(t)\}.$$

拉普拉斯轉換特別適合處理附有初始條件的微分方程，因為微分運算會轉換成代數運算，且初始值會自然出現在式中。

解題方法

原方程為

$$y''-3y'+2y=e^{3t},$$

初始條件為

$$y(0)=1,\qquad y'(0)=0.$$

對方程兩邊取拉普拉斯轉換：

$$L\{y''\}-3L\{y'\}+2L\{y\}=L\{e^{3t}\}.$$

代入公式及初始條件：

$$\left[s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)\right] -3\left[sY(s)-y(0)\right]+2Y(s) =\frac{1}{s-3}.$$

因為 $y(0)=1$、$y'(0)=0$，所以

$$s^2Y(s)-s-3sY(s)+3+2Y(s) =\frac{1}{s-3}.$$

整理含有 $Y(s)$ 的項：

$$(s^2-3s+2)Y(s)-s+3=\frac{1}{s-3}.$$

因此

$$(s^2-3s+2)Y(s) =\frac{1}{s-3}+s-3.$$

將二次式因式分解：

$$s^2-3s+2=(s-1)(s-2),$$

得到