108 年 國立臺灣大學土木系碩士班水利組（在職生）《工程數學（A）》

核心觀念

本題考驗**常係數高階線性齊次微分方程式（Higher-Order Linear Homogeneous ODE with Constant Coefficients）**的求解。

求解此類微分方程式的核心步驟如下：

1. 假設特徵解形式：假設解 $y(t) = e^{\lambda t}$（其中 $\lambda$ 為待求常數）。
2. 建立特徵方程式（Characteristic Equation）：將 $y(t)$ 及其各階導數代入原方程式，化簡得到特徵多項式（Characteristic Polynomial）。
3. 求解特徵根（Characteristic Roots）：求出特徵方程式的根 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$。
4. 構造通解（General Solution）：若特徵根為相異實根 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，則三個線性獨立的基底解（Basis Solutions）分別為 $e^{\lambda_1 t}, e^{\lambda_2 t}, e^{\lambda_3 t}$，通解即為此三基底解的線性組合（Linear Combination）：
   $y(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t} + c_3 e^{\lambda_3 t}$

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解題方法

步驟一：整理微分方程式

由題意可知，方程式為齊次微分方程式，故右式 $r(t) = 0$。將給定之常係數 $a_2 = -2$、$a_1 = -1$、$a_0 = 2$ 代入原式，得到：
$y'''(t) - 2y''(t) - y'(t) + 2y(t) = 0$

核心觀念

本題旨在考查將**高階線性常微分方程式（Higher-Order Linear ODE）轉化為一階線性微分方程式組（System of First-Order Linear ODEs）**的標準狀態變數表示法（State-Variable Representation）。

在控制理論與工程數學中，對於一個 $n$ 階微分方程式，我們通常定義 $n$ 個狀態變數（State Variables）：
$x_1(t) = y(t)$
$x_2(t) = y'(t)$
$\vdots$
$x_n(t) = y^{(n-1)}(t)$

將原高階微分方程式改寫為一階矩陣微分方程：
$\mathbf{Y}'(t) = \mathbf{A} \mathbf{Y}(t) + \mathbf{R}(t)$

其中：

• $\mathbf{Y}(t)$ 為狀態向量（State Vector）
• $\mathbf{A}$ 為系統係數矩陣（System Matrix / Companion Matrix）
• $\mathbf{R}(t)$ 為非齊次項向量（Forcing Vector / Input Vector）

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解題方法與推導步驟

對於給定的三階非齊次常微分方程式：
$y'''(t) + a_2 y''(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = r(t)$

步驟一：定義狀態變數（State Variables）

令向量 $\mathbf{Y}(t)$ 的元素分別代表原函數及其各階導函數：
$y_1(t) = y(t)$
$y_2(t) = y'(t)$
$y_3(t) = y''(t)$

因此狀態向量（State Vector）表示為：
$\mathbf{Y}(t) = \begin{bmatrix} y_1(t) \\ y_2(t) \\ y_3(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y(t) \\ y'(t) \\ y''(t) \end{bmatrix}$

步驟二：建立一階微分方程組

對各狀態變數求一階導數：

1. $y_1'(t) = y'(t) = y_2(t)$
2. $y_2'(t) = y''(t) = y_3(t)$
3. 將最高階導數 $y'''(t)$ 移項表達：
   $y_3'(t) = y'''(t) = -a_0 y(t) - a_1 y'(t) - a_2 y''(t) + r(t)$
   代入狀態變數即得：
   $y_3'(t) = -a_0 y_1(t) - a_1 y_2(t) - a_2 y_3(t) + r(t)$

步驟三：轉換為矩陣向量型態（Vector Form）

將上述三個一階微分方程寫成矩陣與向量乘積的形式：

核心觀念

本題考驗微分方程式轉化為狀態空間表示法（State-Space Representation）、矩陣特徵值與行列式的關係以及向量獨立性與矩陣可逆性。

對於三階線性常微分方程式：
$y'''(t)+a_2 y''(t)+a_1 y'(t)+a_0 y(t)=r(t)$

令狀態變數為 $x_1(t) = y(t)$、$x_2(t) = y'(t)$、$x_3(t) = y''(t)$，可將方程寫成狀態空間的向量形式 $\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}r(t)$，其中狀態矩陣（System Matrix）$\mathbf{A}$ 為Companion Matrix（伴隨矩陣）：
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{bmatrix}$

設 $\bar{u}$、$\bar{v}$ 與 $\bar{w}$ 分別為矩陣 $\mathbf{A}$ 的三個列向量（Row vectors）：
$\bar{u} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$\bar{v} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\bar{w} = \begin{bmatrix} -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{bmatrix}$

相關重要定理與關係：

1. 矩陣可逆性定理（Invertibility Theorem）：矩陣 $\mathbf{A}$ 的列向量（或行向量）線性獨立 $\iff$ $\det(\mathbf{A}) \neq 0$ $\iff$ $\mathbf{A}$ 為可逆矩陣。
2. 伴隨矩陣行列式公式：對矩陣 $\mathbf{A}$ 進行展開計算，可得到 $\det(\mathbf{A}) = -a_0$。

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解題方法

Step 1：建立矩陣 $\mathbf{A}$ 與列向量表示式

由狀態空間定義，矩陣 $\mathbf{A}$ 由三個列向量 $\bar{u}, \bar{v}, \bar{w}$ 組成：
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \bar{u} \\ \bar{v} \\ \bar{w} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{bmatrix}$

Step 2：利用線性獨立條件計算矩陣行列式

題目已知列向量 $\bar{u}$、$\bar{v}$ 與 $\bar{w}$ 線性獨立，根據線性代數基本定理，這等價於矩陣 $\mathbf{A}$ 的行列式不為零：
$\det(\mathbf{A}) \neq 0$

對矩陣 $\mathbf{A}$ 沿第一行（First column）進行 Laplace 展開：

核心觀念

本題考驗將高階線性常微分方程式（High-order Linear ODE）轉換為一階矩陣微分方程式系統（State-space Representation），並計算狀態矩陣 $\mathbf{A}$ 的特徵值（Eigenvalues）與特徵值之和（Sum of Eigenvalues / Matrix Trace）。

在第 1-(b) 小題的標準定義中，將三階微分方程式 $y'''(t)+a_2 y''(t)+a_1 y'(t)+a_0 y(t)=r(t)$ 透過狀態變數變換：
$x_1(t) = y(t)$
$x_2(t) = y'(t)$
$x_3(t) = y''(t)$
化為矩陣型態 $\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}r(t)$，其中狀態矩陣 $\mathbf{A}$（Companion Matrix，伴隨矩陣）的形式為：
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{bmatrix}$

根據題目給定條件 $a_2=a_1=a_0=1$，狀態矩陣 $\mathbf{A}$ 為：
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

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解題方法

求矩陣 $\mathbf{A}$ 的特徵值 $\lambda$ 需解特徵方程式（Characteristic Equation）$\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$。

步驟一：求解特徵方程式

$\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ -1 & -1 & -1-\lambda \end{vmatrix} = 0$

沿第一列進行降階展開（Laplace Expansion）：

核心觀念

1. 高階 ODE 化為一階矩陣系統（State-Space Representation）：
   對於三階常微分方程式 $y'''(t)+a_2 y''(t)+a_1 y'(t)+a_0 y(t)=r(t)$，通常令狀態變數 $x_1(t) = y(t)$、$x_2(t) = y'(t)$、$x_3(t) = y''(t)$，可將齊次系統寫為一階矩陣常微分方程式：
   $\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t)$
   其中相應的狀態矩陣（狀態轉移矩陣之係數矩陣 / Companion Matrix）為：
   $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{bmatrix}$

2. 矩陣及其逆矩陣之特徵值與特徵向量關係：
   若非奇異矩陣 $\mathbf{A}$ 之特徵值為 $\lambda$，相對應之特徵向量為 $\mathbf{v}$，則滿足：
   $\mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
   兩邊左乘 $\mathbf{A}^{-1}$ 並除以 $\lambda$ 可得：
   $\mathbf{A}^{-1} \mathbf{v} = \frac{1}{\lambda} \mathbf{v}$
   這表明：若 $\mathbf{A}^{-1}$ 的特徵值為 $\Pi$，則矩陣 $\mathbf{A}$ 的特徵值必為 $\lambda = \frac{1}{\Pi}$，且 $\mathbf{A}^{-1}$ 相對於特徵值 $\Pi$ 的特徵向量與 $\mathbf{A}$ 相對於特徵值 $\lambda = \frac{1}{\Pi}$ 的特徵向量完全相同。

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解題方法

步驟一：確立矩陣 $\mathbf{A}$ 的定義與 $\mathbf{A}^{-1}$ 特徵值的轉換關係

由題意與承接第 (d) 小題之狀態矩陣：
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{bmatrix}$

若 $\mathbf{A}^{-1}$ 有一個特徵值恰為 $\Pi$，根據矩陣代數定理，矩陣 $\mathbf{A}$ 對應的特徵值即為 $\lambda = \frac{1}{\Pi}$。
且矩陣 $\mathbf{A}^{-1}$ 相對應於特徵值 $\Pi$ 的特徵向量 $\mathbf{v}$，即為矩陣 $\mathbf{A}$ 相對應於特徵值 $\lambda = \frac{1}{\Pi}$ 的特徵向量。

步驟二：求解 $\mathbf{A}$ 相對於特徵值 $\lambda$ 的特徵向量 $\mathbf{v}$

設相對應的特徵向量為 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$，依特徵值與特徵向量之定義式 $(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{v} = \mathbf{0}$：

核心觀念

1. 一階聯立常微分方程式矩陣化 (State-Space Representation)
   高階線性常微分方程式 $y'''(t)+a_2 y''(t)+a_1 y'(t)+a_0 y(t)=r(t)$ 在寫成狀態空間表示式 $\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{f}(t)$ 時（設定 $\mathbf{x} = [y, y', y'']^T$），其係數矩陣 $\mathbf{A}$ 為Companion Matrix（伴隨矩陣）：
   $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{bmatrix}$

2. 矩陣的對稱與反對稱分解 (Symmetric and Skew-Symmetric Decomposition)
   任何方陣 $\mathbf{A}$ 皆可唯一分解為對稱矩陣 $\mathbf{S}$ 與反對稱矩陣 $\mathbf{K}$ 之和，定義如下：
   $\mathbf{S} = \frac{\mathbf{A} + \mathbf{A}^T}{2}$
   $\mathbf{K} = \frac{\mathbf{A} - \mathbf{A}^T}{2}$
   其中 $\mathbf{S}^T = \mathbf{S}$，$\mathbf{K}^T = -\mathbf{K}$。

3. 跡數與特徵值之和 (Trace and Sum of Eigenvalues)
   對於任意 $n \times n$ 方陣 $\mathbf{M}$，其所有特徵值（包含重根與複數根）之和等於該矩陣的對角線元素之和（即跡數 Trace）：
   $\sum_{i=1}^n \lambda_i(\mathbf{M}) = \operatorname{tr}(\mathbf{M})$

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解題方法與詳細推導

第一步：求出矩陣 $\mathbf{A}$
將 $3$ 階微分方程式化為狀態變數形式 $\mathbf{x}'(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{f}(t)$：
取 $x_1 = y$, $x_2 = y'$, $x_3 = y''$，可得方程組：
$\begin{cases} x_1' = x_2 \\ x_2' = x_3 \\ x_3' = -a_0 x_1 - a_1 x_2 - a_2 x_3 + r(t) \end{cases}$
對應的係數矩陣 $\mathbf{A}$ 為：
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{bmatrix}$

第二步：將 $\mathbf{A}$ 分解為 $\mathbf{S}$ 與 $\mathbf{K}$
計算轉置矩陣 $\mathbf{A}^T$：

核心觀念

本題考查**傅立葉轉換（Fourier Transform）**在線性常微分方程式（Ordinary Differential Equations, ODEs）中的應用。

關鍵公式與定理如下：

1. 傅立葉轉換之定義：
   $\hat{f}(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$
2. 導數的傅立葉轉換性質：
   若 $f(t)$ 及其各階導函數在 $t \to \pm\infty$ 時趨近於 $0$，則 $k$ 階導數之傅立葉轉換為：
   $\mathcal{F}\{f^{(k)}(t)\} = (i\omega)^k \hat{f}(\omega)$
   特別地：
   • $\mathcal{F}\{y'(t)\} = i\omega \hat{y}(\omega)$
   • $\mathcal{F}\{y''(t)\} = (i\omega)^2 \hat{y}(\omega) = -\omega^2 \hat{y}(\omega)$
   • $\mathcal{F}\{y'''(t)\} = (i\omega)^3 \hat{y}(\omega) = -i\omega^3 \hat{y}(\omega)$

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解題方法

將給定的常係數線性常微分方程式對時間 variable $t$ 兩邊進行傅立葉轉換。

給定 ODE：
$y'''(t) + a_2 y''(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = r(t)$

步驟 1：對微分方程式兩邊取傅立葉轉換

$\mathcal{F}\{y'''(t) + a_2 y''(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t)\} = \mathcal{F}\{r(t)\}$

利用傅立葉轉換的線性性質（Linearity）：
$\mathcal{F}\{y'''(t)\} + a_2 \mathcal{F}\{y''(t)\} + a_1 \mathcal{F}\{y'(t)\} + a_0 \mathcal{F}\{y(t)\} = \hat{r}(\omega)$

步驟 2：帶入導數的傅立葉轉換公式

$(i\omega)^3 \hat{y}(\omega) + a_2 (i\omega)^2 \hat{y}(\omega) + a_1 (i\omega) \hat{y}(\omega) + a_0 \hat{y}(\omega) = \hat{r}(\omega)$

核心觀念

本題考查微分方程式的**拉普拉斯變換（Laplace Transform）**性質。
主要運用的定義與公式如下：

1. 拉普拉斯變換定義：
   $F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$

2. 微分的拉普拉斯變換公式：
   若 $y(t)$ 及其各階導函數在 $t \ge 0$ 為連續且具指數階（exponential order），則：

   • $\mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s)$
   • $\mathcal{L}\{y'(t)\} = s Y(s) - y(0)$
   • $\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)$
   • $\mathcal{L}\{y'''(t)\} = s^3 Y(s) - s^2 y(0) - s y'(0) - y''(0)$

3. 線性性質（Linearity Property）：
   $\mathcal{L}\{c_1 f(t) + c_2 g(t)\} = c_1 \mathcal{L}\{f(t)\} + c_2 \mathcal{L}\{g(t)\}$

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解題方法

對三階常係數線性非齊次微分方程式兩邊同取拉普拉斯變換：

$y'''(t) + a_2 y''(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = r(t)$

利用拉普拉斯變換的線性性質，可拆解為：

$\mathcal{L}\{y'''(t)\} + a_2 \mathcal{L}\{y''(t)\} + a_1 \mathcal{L}\{y'(t)\} + a_0 \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{r(t)\}$

代入微分的拉普拉斯變換公式：

核心觀念

本題考查**高階常微分方程式（ODEs）的拉普拉斯轉換（Laplace Transform）以及脈衝函數（Dirac Delta Function）**的轉換性質。

1. 微分的拉普拉斯轉換公式：
   對於函數 $y(t)$，其 $n$ 階導函數的拉普拉斯轉換為：
   $\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\} = s^n Y(s) - s^{n-1} y(0) - s^{n-2} y'(0) - \dots - y^{(n-1)}(0)$
   其中 $Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$。
2. Dirac Delta 函數的拉普拉斯轉換：
   對於時移（Time-shifted）脈衝函數 $\delta(t-t_0)$（其中 $t_0 \ge 0$），其拉普拉斯轉換定義為：
   $\mathcal{L}\{\delta(t-t_0)\} = e^{-s t_0}$

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解題方法

Step 1: 帶入已知係數與非齊次項

將題目給定的係數 $a_2 = 1$, $a_1 = 0$, $a_0 = 0$ 以及非齊次項 $r(t) = \delta(t-1)$ 帶入原微分方程式：
$y'''(t) + y''(t) = \delta(t-1)$

Step 2: 對微分方程式兩端取拉普拉斯轉換

對方程式等號兩邊同時作用拉普拉斯轉換 operator $\mathcal{L}\{\cdot\}$：
$\mathcal{L}\{y'''(t)\} + \mathcal{L}\{y''(t)\} = \mathcal{L}\{\delta(t-1)\}$

利用微分轉換定理開展左式：
$\mathcal{L}\{y'''(t)\} = s^3 Y(s) - s^2 y(0) - s y'(0) - y''(0)$
$\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)$

核心觀念

本題考查三階常係數非齊次線性微分方程式的通解。令特徵多項式為

$$P(\lambda)=\lambda^3+a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0.$$

解答由兩部分組成：

$$y(t)=y_h(t)+y_p(t),$$

其中 $y_h(t)$ 為齊次解，$y_p(t)$ 為特解。

由於題目只提供「承(c)」，未附上(c)中給定的 $a_0,a_1,a_2$、$r(t)$ 與初始條件，因此無法寫出唯一的具體函數。以下給出可直接代入(c)資料的完整解法。

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解題方法：拉普拉斯轉換

設初始條件為

$$y(0)=y_0,\qquad y'(0)=y_1,\qquad y''(0)=y_2.$$

對原方程式

$$y'''(t)+a_2y''(t)+a_1y'(t)+a_0y(t)=r(t)$$

取拉普拉斯轉換，利用

$$\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y_0,$$ $$\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy_0-y_1,$$ $$\mathcal{L}\{y'''\}=s^3Y(s)-s^2y_0-sy_1-y_2,$$

可得

$$\begin{aligned} &s^3Y-s^2y_0-sy_1-y_2 +a_2(s^2Y-sy_0-y_1)\\ &\qquad+a_1(sY-y_0)+a_0Y=R(s), \end{aligned}$$

其中

$$R(s)=\mathcal{L}\{r(t)\}.$$

整理 $Y(s)$：

$$P(s)Y(s) = R(s) +\left(s^2+a_2s+a_1\right)y_0 +\left(s+a_2\right)y_1+y_2.$$

因此

$$Y(s)= \frac{R(s)}{P(s)} + \frac{\left(s^2+a_2s+a_1\right)y_0 +\left(s+a_2\right)y_1+y_2}{P(s)}.$$

反拉普拉斯轉換後，即為所求解：

$$\boxed{ y(t)= \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s)}{P(s)} \right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{\left(s^2+a_2s+a_1\right)y_0 +\left(s+a_2\right)y_1+y_2}{P(s)} \right\} }.$$

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齊次解的寫法

先解特徵方程式

$$\lambda^3+a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0.$$

若三根互異，記為 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，則

$$y_h(t)=C_1e^{\lambda_1t} +C_2e^{\lambda_2t} +C_3e^{\lambda_3t}.$$

若有重根，例如 $\lambda_1$ 為二重根、$\lambda_2$ 為單根，則

$$y_h(t)= (C_1+C_2t)e^{\lambda_1t} +C_3e^{\lambda_2t}.$$

若 $\alpha\pm i\beta$ 為共軛複根，則對應的實數形式為

$$y_h(t)= e^{\alpha t} \left(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t\right).$$

重根的判斷是工程數學中常見的得分關鍵：根的重數為 $m$ 時，必須乘上

$$1,t,t^2,\ldots,t^{m-1}.$$

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非齊次特解的寫法

令

$$h(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{P(s)}\right\}.$$

由卷積定理，

核心觀念

本題考查二階常係數／變係數常微分方程（ODE）之常點（Ordinary Point）處的冪級數解法（Power Series Method）。

1. 常點定義：對於二階線性微分方程 $y''(x) + P(x)y'(x) + Q(x)y(x) = 0$，若 $P(x)$ 與 $Q(x)$ 在 $x = x_0$ 處皆為解析（analytic），則 $x_0$ 稱為該方程的常點。本題中 $P(x) = -2x$ 與 $Q(x) = 1$ 皆為多項式，故 $x_0 = 0$ 為常點。
2. 級數假設：在常點 $x_0 = 0$ 展開的冪級數解形式為：
   $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$
3. 初始條件：
   • $y(0) = a_0 = 0$
   • $y'(0) = a_1 = 1$

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解法與推導步驟

步驟一：假設冪級數形式並導出各階導數

假設方程的冪級數解為：
$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$

對 $x$ 求一階與二階逐項微分：
$y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$

$y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}$

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步驟二：代入微分方程並平移項次索引

將 $y(x)$, $y'(x)$, $y''(x)$ 代入微分方程 $y''(x) - 2x y'(x) + y(x) = 0$：
$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} - 2x \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0$

將 $-2x$ 乘入第二項級數內部：
$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} - \sum_{n=1}^{\infty} 2n a_n x^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0$

將第一項級數的次方平移，設 $k = n - 2$（即 $n = k + 2$）：
$\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_{k+2} x^k - \sum_{n=1}^{\infty} 2n a_n x^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0$

統一變數符號為 $n$：
$\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n - \sum_{n=1}^{\infty} 2n a_n x^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0$

抽出 $n = 0$ 的獨立項：
$(2 \cdot 1 \cdot a_2 + a_0) + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ (n+2)(n+1) a_{n+2} - 2n a_n + a_n \right] x^n = 0$

整理後得到：
$(2 a_2 + a_0) + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ (n+2)(n+1) a_{n+2} - (2n - 1) a_n \right] x^n = 0$

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步驟三：求遞迴關係式（Recurrence Relation）與各係數

由恆等式原理，各 $x^n$ 次方的係數必須皆為零：

1. 對於常數項 ($n = 0$)：
   $2 a_2 + a_0 = 0 \implies a_2 = -\frac{a_0}{2}$

核心觀念

本題考查**傅立葉級數（Fourier Series）**的基底延伸與區間變換（Interval Scaling）。

1. 週期 $2\pi$ 的傅立葉級數定義：
   對於以 $2\pi$ 為週期的函數 $f(x)$，其三角傅立葉級數（Trigonometric Fourier Series）為：
   $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos n x + b_n \sin n x \right)$
   其中傅立葉係數（Fourier Coefficients）公式為：
   $a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$
   $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \, dx$
   $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x \, dx$

2. 週期 $2L$ 的傅立葉級數延伸（自變數變換）：
   若函數 $g(x)$ 的定義域與週期為 $-L < x < L$（週期 $T = 2L$），可透過線性座標變換 $t = \frac{\pi}{L} x$（即 $x = \frac{L}{\pi} t$），將 $x \in (-L, L)$ 對應至 $t \in (-\pi, \pi)$。對應的傅立葉級數延伸形式為：
   $g(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right) + b_n \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right]$
   係數公式延伸為：
   $a_0 = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} g(x) \, dx$
   $a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} g(x) \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx$
   $b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} g(x) \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx$

3. 函數的奇偶性（Symmetry Properties）：

   • 奇函數（Odd Function）：$f(-x) = -f(x)$，積分 $\int_{-L}^{L} f(x) \, dx = 0$。
   • 偶函數（Even Function）：$f(-x) = f(x)$，積分 $\int_{-L}^{L} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{L} f(x) \, dx$。

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解題方法

目標為求出 $g(x) = x - L$，$-L < x < L$ 的傅立葉級數。

步驟一：拆分函數與利用奇偶性

將 $g(x) = x - L$ 拆解為奇函數部分 $g_1(x) = x$ 與常數（偶函數）部分 $g_2(x) = -L$：

• $a_0$ 係數計算：
  $a_0 = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} (x - L) \, dx = \frac{1}{2L} \left[ \int_{-L}^{L} x \, dx - \int_{-L}^{L} L \, dx \right]$
  由於 $x$ 為奇函數，在對稱區間 $[-L, L]$ 的積分為 $0$；常數項積分為 $-L \cdot 2L = -2L^2$：
  $a_0 = \frac{1}{2L} \left( 0 - 2L^2 \right) = -L$

• $a_n$ 係數計算 ($n \ge 1$)：
  $a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} (x - L) \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} x \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx - \int_{-L}^{L} \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx$
  項 $x \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right)$ 為（奇 $\times$ 偶 $=$ 奇函數），對稱區間積分為 $0$；
  項 $\cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right)$ 的全週期積分亦為 $0$：
  $a_n = 0, \quad \forall n \ge 1$

• $b_n$ 係數計算 ($n \ge 1$)：