108 年 國立臺灣大學土木系碩士班大地甲組（在職生）《材料力學（A）》

本題考查懸臂樑承受線性分布載重下的剪力與彎矩方程式推導，以及剪力圖與彎矩圖的繪製。

核心觀念：

1. 靜力平衡方程式：對於梁的任意截面，其受力必須滿足合力為零、合力矩為零。
2. 剪力與彎矩的定義：
   • 剪力 $V(x)$ 是截面左側（或右側）所有垂直外力之代數和。
   • 彎矩 $M(x)$ 是截面左側（或右側）所有外力對截面之合力矩。
3. 微分關係：$\frac{dV}{dx} = -w(x)$，$\frac{dM}{dx} = V(x)$，其中 $w(x)$ 是分布載重。

解題步驟：

(a) 推導剪力 $V(x)$ 和彎矩 $M(x)$ 的方程式

梁的長度為 $L$，自由端為 B，固定端為 A。載重分布函數為 $q(x) = \frac{q_0}{L} x$，其中 $x$ 是從自由端 B 量測的距離。

我們取一距離 $x$ (由 B 量測) 的梁段，考慮其自由端 B 到截面 $x$ 之間的這一小段梁。此段梁承受的分布載重為 $q(\xi) = \frac{q_0}{L} \xi$，其中 $\xi$ 是從 B 量測的變數。

首先，考慮梁段 B 到 $x$。
此段梁的總載重為：
$W = \int_0^x q(\xi) d\xi = \int_0^x \frac{q_0}{L} \xi d\xi = \frac{q_0}{L} \left[ \frac{\xi^2}{2} \right]_0^x = \frac{q_0 x^2}{2L}$
此總載重作用在距離 B 的位置 $\bar{x}$：
$\bar{x} = \frac{\int_0^x \xi q(\xi) d\xi}{\int_0^x q(\xi) d\xi} = \frac{\int_0^x \xi \left(\frac{q_0}{L} \xi\right) d\xi}{\frac{q_0 x^2}{2L}} = \frac{\frac{q_0}{L} \int_0^x \xi^2 d\xi}{\frac{q_0 x^2}{2L}} = \frac{\frac{q_0}{L} \frac{x^3}{3}}{\frac{q_0 x^2}{2L}} = \frac{2}{3} x$

為了推導 $V(x)$ 和 $M(x)$，我們通常考慮從固定端 A 或自由端 B 取截面。題目圖示中 $x$ 是從自由端 B 量測，且載重分布函數 $q(x)$ 也是以 $x$ 為變數，因此從自由端 B 開始分析比較直觀。

我們取一長度為 $x$ 的梁段（從 B 到截面 $x$），並假設在此截面處的剪力為 $V(x)$，彎矩為 $M(x)$。在自由端 B，剪力為 0，彎矩也為 0。

考慮從 B 到截面 $x$ 的梁段，並應用靜力平衡。
在截面 $x$ 處，我們假設剪力 $V(x)$ 向下，彎矩 $M(x)$ 呈順時針方向（這是標準假設，若結果為負表示方向相反）。
此段梁承受的分布載重為 $q(\xi) = \frac{q_0}{L}\xi$，從 $\xi=0$ 到 $\xi=x$。
此分布載重總和為 $W = \frac{q_0 x^2}{2L}$，其合力作用點在 $\frac{2}{3}x$ 處。

對截面 $x$ 進行力平衡：
$\sum F_y = 0 \implies V(x) + \int_0^x q(\xi) d\xi = 0$
$V(x) + \frac{q_0 x^2}{2L} = 0$
$V(x) = -\frac{q_0 x^2}{2L}$
這個方程式是從自由端 B 開始往 A 方向看的剪力。

對截面 $x$ 進行力矩平衡（以截面 $x$ 為支點）：
$\sum M_x = 0 \implies M(x) + \left( \int_0^x q(\xi) d\xi \right) \cdot \left( x - \bar{x} \right) = 0$
$M(x) + \left( \frac{q_0 x^2}{2L} \right) \cdot \left( x - \frac{2}{3}x \right) = 0$
$M(x) + \left( \frac{q_0 x^2}{2L} \right) \cdot \left( \frac{1}{3}x \right) = 0$
$M(x) + \frac{q_0 x^3}{6L} = 0$
$M(x) = -\frac{q_0 x^3}{6L}$
這個方程式是從自由端 B 開始往 A 方向看的彎矩。

備註： 另一種常見的定義是從固定端 A 開始量測距離 $x'$，則 $x' = L-x$。載重函數變為 $q(x') = \frac{q_0}{L}(L-x')$。
若從 A 量測 $x'$，則：
$V(x') = \int_0^{x'} w(\xi') d\xi'$
$M(x') = \int_0^{x'} V(\xi') d\xi'$
這會得到不同的函數形式，但物理意義相同。題目圖示中 $x$ 是從自由端 B 量測，故我們沿用此定義。

驗證微分關係：
我們也可以利用 $\frac{dV}{dx} = -w(x)$ 和 $\frac{dM}{dx} = V(x)$ 來推導。
這裡的 $w(x)$ 是作用在梁上的分布載重，方向向下。
分布載重函數為 $q(x) = \frac{q_0}{L} x$。
我們應該從固定端 A 開始分析，設從 A 量測距離為 $x'$。則 $x' = L-x$。
從 A 量測 $x'$，自由端 B 在 $x'=L$。
固定端 A 在 $x'=0$。
載重函數，若以 A 為基準，則 $x$ 是從 B 量測，所以 $x = L-x'$。
$q(x') = \frac{q_0}{L} (L-x')$
作用在梁上的載重 $w(x')$ 是向下的，所以 $w(x') = q(x') = \frac{q_0}{L}(L-x')$。
然而，題目圖示的 $q(x)$ 是從 B 端往 A 端增加，且 $x$ 是從 B 端量測。
所以 $w(x)$ 應該是向下的。
如果我們從自由端 B 開始定義 $x$ 往右。
則 $V(x)$ 應是從 B 往 A 方向的剪力。
$M(x)$ 應是從 B 往 A 方向的彎矩。
分布載重 $w(x)$ 是向下的。
$\frac{dV}{dx} = -w(x)$
$\frac{dM}{dx} = V(x)$
這裡的 $w(x)$ 是指單位長度的向下載重。
題目給的 $q(x) = \frac{q_0}{L}x$ 是分布載重強度。
在截面 $x$ 處，考慮右邊（自由端 B）的平衡。
作用在右側梁段（長度 $x$）上的載重是向下。
$V(x) = \text{剪力}$
$M(x) = \text{彎矩}$
我們從自由端 B 開始，將 $x$ 定義為從 B 向 A 量測。
在截面 $x$ 處，考慮右側（長度 $x$）的平衡。
載重強度為 $q(\xi) = \frac{q_0}{L} \xi$，其中 $\xi$ 是從 B 量測的距離。
截面 $x$ 處的剪力 $V(x)$（定義為向下的力）：
$V(x) = \int_0^x q(\xi) d\xi = \int_0^x \frac{q_0}{L} \xi d\xi = \frac{q_0 x^2}{2L}$
截面 $x$ 處的彎矩 $M(x)$（定義為使梁上纖維受拉的彎矩，即順時針彎矩）：
$M(x) = \int_0^x q(\xi) (\text{作用點到截面 } x \text{ 的距離}) d\xi$
$M(x) = \int_0^x \frac{q_0}{L} \xi (x - \xi) d\xi$
$M(x) = \frac{q_0}{L} \int_0^x (x\xi - \xi^2) d\xi$

核心觀念

本題考查：

• 對稱線性分布載重下的支承反力與最大彎矩。
• 梁的彎曲正應力公式
  $\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}c}{I}=\frac{M_{\max}}{S}$
• 腹板最大剪應力公式
  $\tau_{\max}=\frac{VQ}{It_w}$
• 安全係數的使用。

由原圖可讀得截面尺寸：

• 翼板寬度：$b_f=450\ \text{mm}$
• 翼板厚度：$t_f=32\ \text{mm}$
• 腹板厚度：$t_w=16\ \text{mm}$
• 腹板淨高：$h_w=1800\ \text{mm}$
• 梁總高：
  $d=1800+2(32)=1864\ \text{mm}$

分布載重在支承處為 $q/2$，跨中為 $q$，且左右對稱。

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解題方法

1. 支承反力與最大彎矩

分布載重圖形為對稱梯形，其總載重為圖形面積：

$W=\frac{\frac q2+q}{2}L=\frac{3qL}{4}$

由對稱性：

$R_A=R_B=\frac W2=\frac{3qL}{8}$

取左半跨，令 $x$ 自左支承 $A$ 起算，則

$w(x)=\frac q2+\frac qLx,\qquad 0\le x\le \frac L2$

剪力為

$V(x)=R_A-\int_0^x w(s)\,ds$

因此

$V(x)=\frac{3qL}{8}-\frac{qx}{2}-\frac{qx^2}{2L}$

最大彎矩位於跨中 $x=L/2$，故

$M_{\max}=M\left(\frac L2\right)=\frac{5qL^2}{48}$

其中

$L=14\ \text{m}=14000\ \text{mm}$

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截面性質

中性軸位於截面中央，因此

$c=\frac d2=932\ \text{mm}$

強軸慣性矩：

$$I=2\left[\frac{b_ft_f^3}{12} +b_ft_f\left(c-\frac{t_f}{2}\right)^2\right] +\frac{t_wh_w^3}{12}$$

代入數值：

$I=3.1943\times10^{10}\ \text{mm}^4$

截面模數：

$$S=\frac Ic =\frac{3.1943\times10^{10}}{932} =3.4274\times10^7\ \text{mm}^3$$

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(a) 依降伏應力計算 $q$

最大彎曲應力達到降伏應力時：

$M_{\max}=\sigma_yS$

$$M_{\max}=110(3.4274\times10^7) =3.7701\times10^9\ \text{N}\cdot\text{mm}$$

又因為

$M_{\max}=\frac{5qL^2}{48}$

所以

$q=\frac{48M_{\max}}{5L^2}$

$$q= \frac{48(3.7701\times10^9)} {5(14000)^2} =184.7\ \text{N/mm}$$

由單位換算：

$1\ \text{N/mm}=1\ \text{kN/m}$

因此

核心觀念

本題考查分段變截面懸臂梁的彎曲變形。梁的曲率為

$$\frac{d^2v}{dx^2}=\frac{M(x)}{EI(x)}$$

其中 $E$ 為彈性模數，$I$ 依梁段而不同：

• $AC$ 段：$0\le x\le L/2$，截面慣性矩為 $I_2$
• $CB$ 段：$L/2\le x\le L$，截面慣性矩為 $I_1$

假設採用 Euler–Bernoulli 梁理論，忽略剪切變形，且全梁的 $E$ 相同。

解題方法

取座標 $x$ 自固定端 $A$ 起算，則自由端 $B$ 位於 $x=L$。在距離 $A$ 為 $x$ 的截面，端點荷載 $P$ 所造成的彎矩大小為

$$M(x)=P(L-x)$$

使用單位荷載法，在 $B$ 點施加向下單位荷載，該單位荷載所造成的彎矩大小為

$$m(x)=L-x$$

因此，$B$ 點撓度大小為

$$\delta_B = \int_0^L \frac{M(x)m(x)}{E I(x)}\,dx$$

依 $AC$、$CB$ 兩段分開積分：

$$\delta_B = \frac{P}{E} \left[ \frac{1}{I_2}\int_0^{L/2}(L-x)^2\,dx + \frac{1}{I_1}\int_{L/2}^{L}(L-x)^2\,dx \right]$$

第一段：

本題考查平面應力轉換，包含應力轉換的目的、主應力與主平面，以及最大剪應力與對應平面。

核心觀念：

1. 應力轉換 (Stress Transformation)：描述在不同方向的截面上，應力分量如何變化。
2. 主應力 (Principal Stresses)：在某個平面上，剪應力為零時的應力分量，代表該點的最大和最小正向應力。
3. 主平面 (Principal Planes)：主應力作用的平面。
4. 最大剪應力 (Maximum Shear Stress)：在某個平面上，剪應力達到最大值。
5. 莫爾圓 (Mohr's Circle)：一種圖解法，用於求解應力轉換，並直觀地找到主應力、最大剪應力及其對應平面。

給定應力狀態（平面應力）：
$\sigma_x = 105$ MPa
$\sigma_y = 75$ MPa
$\tau_{xy} = 25$ MPa

(a) 應力轉換的目的

目的：

1. 尋找最大和最小應力：材料的強度通常由其承受最大或最小正向應力的能力決定，或者由其承受最大剪應力的能力決定。通過應力轉換，我們可以找到應力狀態下的最大拉應力、最大壓應力以及最大剪應力，並確定它們作用的平面。
2. 評估材料失效的可能性：工程材料的屈服或斷裂通常與其承受的應力有關。了解最大應力（拉、壓、剪）有助於預測材料是否會發生屈服或斷裂，從而確保結構的安全。
3. 設計與優化：在結構設計中，需要確保所有點的應力都低於材料的許容應力。應力轉換有助於確定應力集中的區域，並為設計提供依據，例如選擇合適的材料、改變構件的形狀或尺寸。

(b) 主應力與主平面

主應力 $\sigma_{1,2}$ 的計算公式：
$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
主平面方向角 $\theta_p$ 的計算公式：
$\tan(2\theta_p) = \frac{\tau_{xy}}{(\sigma_x - \sigma_y)/2}$

計算：
$\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{105 + 75}{2} = \frac{180}{2} = 90$ MPa
$\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} = \frac{105 - 75}{2} = \frac{30}{2} = 15$ MPa

$\sigma_{1,2} = 90 \pm \sqrt{(15)^2 + (25)^2}$
$\sigma_{1,2} = 90 \pm \sqrt{225 + 625} = 90 \pm \sqrt{850}$
$\sqrt{850} \approx 29.155$ MPa

$\sigma_1 = 90 + 29.155 = 119.155 \approx 119.2 \text{ MPa}$ (最大主應力，通常是拉應力)
$\sigma_2 = 90 - 29.155 = 60.845 \approx 60.8 \text{ MPa}$ (最小主應力，也為拉應力)

主平面方向角：
$\tan(2\theta_p) = \frac{25}{15} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$
$2\theta_p = \arctan(5/3) \approx 59.04^\circ$
$\theta_p = 59.04^\circ / 2 \approx 29.52^\circ$

我們需要確定 $\theta_p$ 的象限。
通常，我們定義 $\theta_p$ 為從 $\sigma_x$ 平面（x 面）逆時針旋轉到主平面的角度。
當 $\sigma_x > \sigma_y$ 且 $\tau_{xy} > 0$ 時，主平面 1 的角度 $\theta_{p1}$ 位於第一象限。
$\tan(2\theta_{p1}) = 5/3 > 0$，所以 $2\theta_{p1}$ 在第一或第三象限。
如果 $2\theta_{p1} \approx 59.04^\circ$ (第一象限)，則 $\theta_{p1} \approx 29.52^\circ$。
此時，$\sigma_x = 105$ MPa, $\tau_{xy} = 25$ MPa。
主平面 1 的角度為 $\theta_{p1} \approx 29.52^\circ$。
主平面 2 的角度為 $\theta_{p2} = \theta_{p1} + 90^\circ \approx 29.52^\circ + 90^\circ = 119.52^\circ$。

檢查剪應力 $\tau_{xy}$ 在主平面上的值。
主平面上剪應力應為零。
我們需要確定哪個角度對應於 $\sigma_1$。
使用應力轉換公式：
$\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\theta) + \tau_{xy} \sin(2\theta)$
$\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\theta) + \tau_{xy} \cos(2\theta)$
令 $\theta = \theta_{p1} \approx 29.52^\circ$。
$2\theta_{p1} \approx 59.04^\circ$。
$\cos(59.04^\circ) \approx 0.5145$
$\sin(59.04^\circ) \approx 0.8576$
$\tau_{x'y'} = -15 \sin(59.04^\circ) + 25 \cos(59.04^\circ)$
$\tau_{x'y'} = -15(0.8576) + 25(0.5145) = -12.864 + 12.8625 \approx 0$ (驗證正確)

$\sigma_{x'}$ (即 $\sigma_1$)：
$\sigma_{x'} = 90 + 15 \cos(59.04^\circ) + 25 \sin(59.04^\circ)$
$\sigma_{x'} = 90 + 15(0.5145) + 25(0.8576) = 90 + 7.7175 + 21.44 = 119.1575 \approx 119.2$ MPa。
這與 $\sigma_1$ 的計算結果一致。

所以，主應力為 $\sigma_1 \approx 119.2$ MPa 和 $\sigma_2 \approx 60.8$ MPa。
主平面方向：
一個主平面（例如，對應 $\sigma_1$）與 $x$ 軸的夾角為 $\theta_{p1} \approx 29.5^\circ$ (逆時針)。
另一個主平面（對應 $\sigma_2$）與 $x$ 軸的夾角為 $\theta_{p2} = \theta_{p1} + 90^\circ \approx 119.5^\circ$。

繪製主應力圖：
畫一個元素，其邊與主平面平行。
在 $\theta_{p1} \approx 29.5^\circ$ 的平面上，作用 $\sigma_1 = 119.2$ MPa 的拉應力。
在與之垂直的平面上，作用 $\sigma_2 = 60.8$ MPa 的拉應力。
由於 $\tau_{xy} = 25$ MPa > 0，原始的 $x$ 面上的應力是 $\sigma_x$ 沿 $x$ 方向，$\tau_{xy}$ 沿 $xy$ 方向。
如果我們將新的 $x'$ 軸沿著 $\sigma_1$ 的方向，則 $\sigma_{x'} = \sigma_1$。