115 年 國立臺灣大學土木系碩士班大地甲組（一般生）《材料力學（A）》

核心觀念

本題考查三項觀念：

1. 飽和土中的有效應力為
   $\sigma'=\sigma-u$
   剪應力不受孔隙水壓影響。

2. 平面應力狀態的主應力可由莫耳圓求得：

$$\sigma_{1,3}'=\frac{\sigma_v'+\sigma_h'}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_v'-\sigma_h'}{2}\right)^2+\tau_{vh}^2}$$

3. 莫耳－庫倫破壞準則為：
   $\tau_f=c'+\sigma_n'\tan\phi'$

安全係數定義為破壞剪應力與實際剪應力之比：
$FS=\frac{\tau_f}{\tau}$

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解題方法

先將總應力轉換為有效應力。

$$\sigma_v'=\sigma_v-u=240-60=180\ \text{kPa}$$ $$\sigma_h'=\sigma_h-u=120-60=60\ \text{kPa}$$

因此有效應力矩陣為：

$$\begin{bmatrix} 180 & 40\\ 40 & 60 \end{bmatrix}\text{kPa}$$

有效應力平均值為：

$$\sigma_m'=\frac{180+60}{2}=120\ \text{kPa}$$

莫耳圓半徑為：

$$R=\sqrt{\left(\frac{180-60}{2}\right)^2+40^2} =\sqrt{60^2+40^2} =\sqrt{5200} =72.11\ \text{kPa}$$

因此最大有效主應力為：

$$\sigma_1'=\sigma_m'+R =120+72.11 =\boxed{192.11\ \text{kPa}}$$

同時，最小有效主應力為：

$$\sigma_3'=120-72.11=47.89\ \text{kPa}$$

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相對於破壞包絡線的安全係數

安全係數應取所有可能破壞面中最不利者，而非直接使用最大剪應力面。

令有效莫耳圓上的應力狀態表示為：

$$\sigma_n'=\sigma_m'+R\cos 2\theta$$

核心觀念

本題為「固定端—滾支承梁」（propped cantilever），屬於一次超靜定梁。主要考查：

• 力法與變形相容條件
• 懸臂梁受均佈載重與端點集中力的撓度公式
• 矩形截面的慣性矩
• 剪應力公式

由於右端 $B$ 為支承點，因此必須滿足：

$$\delta_B=0$$

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解題方法：利用變形相容條件求 $R_B$

將右端滾支承反力 $R_B$ 視為未知的向上集中力，原梁可視為：

1. 左端固定、全長受均佈載重 $w$
2. 左端固定、右端受向上集中力 $R_B$

兩種荷載造成的 $B$ 點位移總和必須為零。

均佈載重作用下，懸臂梁自由端撓度為：

$$\delta_{B,w}=\frac{wL^4}{8EI}$$

方向向下。

右端集中力 $R_B$ 作用下，自由端撓度為：

$$\delta_{B,R_B}=\frac{R_BL^3}{3EI}$$

方向向上。因此：

$$\frac{wL^4}{8EI}-\frac{R_BL^3}{3EI}=0$$

約去 $EI$ 與 $L^3$：

$$R_B=\frac{3wL}{8}$$

代入 $w=12\,\text{kN/m}$、$L=4\,\text{m}$：

$$R_B=\frac{3(12)(4)}{8} =18\,\text{kN}$$

故右端支承反力為：

$$\boxed{R_B=18\,\text{kN}\ \text{（向上）}}$$

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求支承反力與最大剪力

全梁均佈載重合力為：

$$wL=(12)(4)=48\,\text{kN}$$

由垂直力平衡：

$$R_A+R_B-wL=0$$ $$R_A=48-18=30\,\text{kN}$$

距離固定端 $x$ 處的剪力為：

$$V(x)=R_A-wx$$

因此：

$$V(x)=30-12x \qquad (\text{kN})$$

在固定端 $x=0$：

$$V(0)=30\,\text{kN}$$

在滾支承左側 $x=4$：

$$V(4)=30-12(4)=-18\,\text{kN}$$

所以梁內最大剪力絕對值為：

$$|V|_{\max}=30\,\text{kN}$$

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矩形截面的最大剪應力

矩形截面的最大剪應力發生在中性軸，公式為：

$$\tau_{\max}=\frac{3V_{\max}}{2A}$$

截面積：

$$A=bh =(120)(300) =36000\,\text{mm}^2$$

代入 $V_{\max}=30\,\text{kN}=30000\,\text{N}$：

$$\tau_{\max} =\frac{3(30000)}{2(36000)} =1.25\,\text{N/mm}^2$$

由於 $1\,\text{N/mm}^2=1\,\text{MPa}$，故：

$$\boxed{\tau_{\max}=1.25\,\text{MPa}}$$

本題考驗組合應力分析，特別是軸向拉力與扭矩共同作用在圓柱桿件上的應力狀態，以及如何計算最大主應力。

首先，我們需要計算桿件表面承受的軸向應力 (normal stress) 和剪應力 (shear stress)。
桿件直徑 $d = 40 \, \text{mm} = 0.04 \, \text{m}$。
軸向拉力 $P = 100 \, \text{kN} = 100 \times 10^3 \, \text{N}$。
扭矩 $T = 0.8 \, \text{kNm} = 0.8 \times 10^3 \, \text{Nm}$。

1. 軸向應力 ($\sigma_x$):
   軸向拉力 $P$ 在圓柱桿件的橫截面上產生均勻的軸向應力。
   橫截面積 $A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0.04 \, \text{m})^2}{4} = \frac{\pi \times 0.0016}{4} \, \text{m}^2 = 0.0004\pi \, \text{m}^2 \approx 1.257 \times 10^{-3} \, \text{m}^2$。
   軸向應力 $\sigma_x = \frac{P}{A} = \frac{100 \times 10^3 \, \text{N}}{0.0004\pi \, \text{m}^2} = \frac{100 \times 10^3}{1.257 \times 10^{-3}} \, \text{Pa} \approx 79.58 \times 10^6 \, \text{Pa} = 79.58 \, \text{MPa}$。
   由於是拉力，此應力為拉應力。

2. 扭矩產生的剪應力 ($\tau_{xy}$):
   扭矩 $T$ 在圓柱桿件的橫截面上產生剪應力。在桿件表面，剪應力最大。
   剪應力公式為 $\tau = \frac{Tr}{I_p}$，其中 $r$ 是桿件的半徑， $I_p$ 是極慣性矩。
   桿件半徑 $r = \frac{d}{2} = \frac{0.04 \, \text{m}}{2} = 0.02 \, \text{m}$。
   極慣性矩 $I_p = \frac{\pi d^4}{32} = \frac{\pi (0.04 \, \text{m})^4}{32} = \frac{\pi \times 2.56 \times 10^{-6}}{32} \, \text{m}^4 = 0.08\pi \times 10^{-6} \, \text{m}^4 \approx 0.2513 \times 10^{-6} \, \text{m}^4$。
   桿件表面的最大剪應力 $\tau_{xy} = \frac{Tr}{I_p} = \frac{(0.8 \times 10^3 \, \text{Nm}) \times (0.02 \, \text{m})}{0.08\pi \times 10^{-6} \, \text{m}^4} = \frac{16}{0.08\pi \times 10^{-6}} \, \text{Pa} = \frac{200}{\pi \times 10^{-6}} \, \text{Pa} \approx 63.66 \times 10^6 \, \text{Pa} = 63.66 \, \text{MPa}$。

現在我們知道在桿件表面某一點，承受一個軸向拉應力 $\sigma_x = 79.58 \, \text{MPa}$ 和一個最大剪應力 $\tau_{xy} = 63.66 \, \text{MPa}$。
我們需要找到最大主應力 $\sigma_1$。
可以使用莫耳圓 (Mohr's Circle) 或主應力公式來計算。

主應力公式：
對於平面應力狀態 $(\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy})$，其中 $\sigma_y = 0$ (因為是圓柱桿件，橫截面上的垂直應力為零)。
主應力為：
$\sigma_{1,3} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
在此情況下，$\sigma_y = 0$。

核心觀念

本題考查梁的：

• 支承反力與靜力平衡
• 剪力圖的斜率與集中力造成的跳躍
• 彎矩圖的斜率與集中力矩造成的跳躍
• 均佈載重下剪力、彎矩的變化

採用慣例：

• 剪力向上為正
• 彎矩下凹（sagging）為正
• 集中力會造成剪力圖跳躍
• 集中力矩會造成彎矩圖跳躍
• 均佈載重使剪力圖呈斜直線、彎矩圖呈拋物線

原圖中可辨識出三個梁圖，以下依序說明。

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（a）兩端外伸梁

梁長由左至右為：

$$b+L+b=L+2b$$

左端有向下集中力 $P$，右端有向上集中力 $P$；兩支承處各有順時針力矩 $Pb$。

設左支承反力為 $R_A$，右支承反力為 $R_B$。

支承反力

垂直力平衡：

$$R_A+R_B-P+P=0$$

因此：

$$R_A+R_B=0$$

以左端取力矩，逆時針為正：

$$R_A b+R_B(b+L)+P(L+2b)-Pb-Pb=0$$

配合 $R_A=-R_B$，得：

$$R_A=P,\qquad R_B=-P$$

所以左支承反力向上 $P$，右支承反力向下 $P$。

剪力圖

由左端開始：

1. 左端向下集中力 $P$，剪力由 $0$ 跳至 $-P$。
2. 到達左支承後，反力 $P$ 使剪力由 $-P$ 跳回 $0$。
3. 經過左、右支承間，剪力維持 $0$。
4. 經過右支承的向下反力 $-P$，剪力由 $0$ 跳至 $-P$。
5. 到達右端的向上力 $P$，剪力由 $-P$ 跳回 $0$。

剪力圖關鍵值為：

$$V(0^+)=-P$$ $$V_{A^+}=0$$ $$V_{B^+}=-P$$ $$V_{\text{右端}}=0$$

彎矩圖

左端為自由端，故：

$$M(0)=0$$

左端至左支承間剪力為 $-P$，因此彎矩線性下降：

$$M_{A^-}=-Pb$$

左支承處的順時針力矩 $Pb$ 使彎矩圖向上跳升 $Pb$：

$$M_{A^+}=0$$

兩支承之間剪力為零，故彎矩維持：

$$M=0$$

右支承處的順時針力矩使彎矩圖向上跳升 $Pb$：

$$M_{B^+}=Pb$$

右支承至右端剪力為 $-P$，長度為 $b$，彎矩下降：

$$M_{\text{右端}}=Pb-Pb=0$$

因此彎矩圖關鍵值為：

$$M_{\text{左端}}=0$$ $$M_{A^-}=-Pb$$ $$M_{A^+}=0$$ $$M_{B^-}=0$$ $$M_{B^+}=Pb$$ $$M_{\text{右端}}=0$$

圖形為：左端至左支承為負斜直線，左支承處跳至零；中間為零線；右支承處跳至 $Pb$，再線性下降至右端零點。

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（b）含均佈載重與外伸段之梁

幾何尺寸為：

• $A$ 至均佈載重終點：$3\ \text{m}$
• 均佈載重終點至 $B$：$3\ \text{m}$
• $B$ 至向上均佈載重起點：$1.8\ \text{m}$
• 向上均佈載重長度：$1.8\ \text{m}$

載重為：

• $A$ 至 $x=3\ \text{m}$：向下 $5.8\ \text{kN/m}$
• $x=7.8$ 至 $x=9.6\ \text{m}$：向上 $4.4\ \text{kN/m}$

將均佈載重等效為集中力：

$$W_1=5.8(3)=17.4\ \text{kN}$$

作用位置為 $x=1.5\ \text{m}$。

向上均佈載重等效為：

$$W_2=4.4(1.8)=7.92\ \text{kN}$$

作用位置為：

$$x=7.8+\frac{1.8}{2}=8.7\ \text{m}$$

支承反力

設 $A$ 點反力為 $R_A$，$B$ 點反力為 $R_B$。

垂直力平衡：

$$R_A+R_B+7.92-17.4=0$$

因此：

$$R_A+R_B=9.48$$

以 $A$ 點取力矩：

$$R_B(6)+7.92(8.7)-17.4(1.5)=0$$ $$6R_B+68.904-26.1=0$$ $$R_B=-7.134\ \text{kN}$$

負號表示 $B$ 點反力方向向下。

因此：

$$R_A=9.48-(-7.134)=16.614\ \text{kN}$$

剪力圖

令 $x=0$ 位於 $A$ 點。

區間一：$0\le x\le 3$

$$V(x)=16.614-5.8x$$

在 $x=0$：

$$V(0^+)=16.614\ \text{kN}$$

在 $x=3$：

$$V(3)=16.614-5.8(3)=-0.786\ \text{kN}$$

剪力為零的位置：

$$16.614-5.8x=0$$ $$x=2.865\ \text{m}$$

區間二：$3\le x\le 6$

此區間沒有分佈載重，因此剪力維持：

$$V=-0.786\ \text{kN}$$

到達 $B$ 點後，受到向下反力 $7.134\ \text{kN}$：

$$V(6^+)=-0.786-7.134=-7.920\ \text{kN}$$

區間三：$6\le x\le 7.8$

剪力維持：

$$V=-7.920\ \text{kN}$$

區間四：$7.8\le x\le 9.6$

向上均佈載重使剪力上升：

$$V(x)=-7.92+4.4(x-7.8)$$

在右端：

$$V(9.6)=-7.92+4.4(1.8)=0$$

剪力圖關鍵值：

$$V(0^+)=16.614\ \text{kN}$$ $$V(3)=-0.786\ \text{kN}$$ $$V(6^+)=-7.920\ \text{kN}$$ $$V(7.8)=-7.920\ \text{kN}$$ $$V(9.6)=0$$

彎矩圖

$A$ 點為鉸支承，因此：

$$M(0)=0$$

$x=3$ 處