115 年 國立臺灣大學土木系碩士班水利組（在職生）《水文學（A）》

此題主要在探討地球物理現象（太陽輻射、地球自轉）對大氣環流的影響，屬於氣象學與水文學的基礎知識。

(1) 太陽輻射對大氣環流的影響：
太陽輻射是地球大氣系統能量的主要來源。由於地球表面並非均勻受熱，赤道地區接收到的太陽輻射量遠高於極區，這種緯度上的輻射差異是造成地表溫度梯度（赤道熱、極地冷）的主要原因。

• 溫度梯度產生對流：溫差驅動了空氣的垂直運動。熱空氣在赤道附近上升，冷空氣在極區附近下沉。
• 壓力梯度產生水平運動：溫度的差異導致大氣壓力的差異，高溫區通常是低壓區，低溫區通常是高壓區。壓力梯度力 (pressure gradient force, PGF) 驅動空氣從高壓區流向低壓區，形成風。
• 全球性環流模式：這種由輻射差異引起的溫度和壓力梯度，在考慮地球自轉 (Coriolis effect) 的情況下，進一步形成了複雜的全球性大氣環流模式，如哈德里環流 (Hadley circulation)、費雷爾環流 (Ferrel circulation) 和極地環流 (Polar circulation)。這些環流模式是能量在地球表面重新分配的重要機制。
• 水文循環的驅動：大氣環流將熱量和水汽從一個地區輸送到另一個地區，是降水分布差異的根本原因，進而影響區域水文循環。例如，赤道地區由於強烈的上升運動和充足的水汽，常年降雨充沛。

(2) Coriolis effect 對大氣環流的影響：
Coriolis effect 是由於地球自轉而產生的一種慣性力，它會使運動的物體（如空氣、水）在運動方向上發生偏轉。

• 偏轉方向：在北半球，Coriolis effect 使物體向右偏轉；在南半球，則向左偏轉。
• 影響大氣環流：
  • 風的偏轉：如果沒有 Coriolis effect，風會直接從高壓區吹向低壓區。但 Coriolis effect 使風向偏轉，進而產生了不同尺度的環流系統。
  • 形成氣旋與反氣旋：低壓系統（氣旋）中，空氣向內匯聚，Coriolis effect 使其向右（北半球）或向左（南半球）偏轉，形成逆時針旋轉（北半球）或順時針旋轉（南半球）。

此題主要考察水文學中降雨逕流轉換的基本概念，包括不同類型的地表逕流、單位歷線法的應用及其限制。

(1) 飽和漫地流 (Saturated Overland Flow, SOF) 與荷頓漫地流 (Hortonian Overland Flow, HOF) 的異同：

• 相同點：

  • 兩者都是由降雨直接在地表形成的逕流。
  • 兩者都是「超滲降雨」(excess rainfall) 的結果，即降雨強度超過土壤入滲能力或地表儲水能力的部分。
  • 兩者都會匯入排水系統，最終形成河流流量。

• 不同點：

  • 成因：
    • 荷頓漫地流 (HOF)：當降雨強度大於土壤的最大入滲率 (infiltration capacity rate) 時，未入滲的降雨會在地表積聚並開始流動。其主要發生在乾燥、緊實的土壤表面，或在降雨強度極高的情況下，即使土壤未飽和。
    • 飽和漫地流 (SOF)：當土壤層已經完全飽和，且地下水位接近地表時，降雨（即使強度不大）無法被土壤吸收，直接在地表形成逕流。這通常發生在地形平坦、土壤滲透性差的地區，或在長時間降雨後。
  • 發生條件：
    • HOF：高降雨強度，土壤表面緊實或滲透性差。
    • SOF：土壤完全飽和，地下水位高。
  • 發生位置：
    • HOF：通常發生在坡度較大的區域，或土壤表層未飽和時。
    • SOF：通常發生在低窪地區、坡度緩緩的區域、水溝底部、或土壤滲透性極差的區域。
  • 時間尺度：
    • HOF：通常在降雨強度超過入滲率後立即產生，與降雨事件的強度和持續時間密切相關。
    • SOF：可能在降雨初期就發生（如果土壤已飽和），或者在持續降雨後土壤飽和才發生，其發生與土壤飽和程度和地下水位有關。
  • 特性：
    • HOF：通常流速較快，水量變化與降雨強度直接相關。
    • SOF：流速可能較慢，水量變化受土壤飽和度和地下水位影響較大，可能持續時間較長。

(2) 超滲降雨 (ER)、直接逕流 (DR) 與單位歷線 (UH) 的獲得：

• 超滲降雨 (ER)：

  • ER 是總降雨量中未被入滲、蒸發、截留等過程損失的部分，直接導致地表逕流。
  • 獲取 ER 的方法：
    1. 直接測量 (實驗室/野外)：在試驗區內，透過測量降雨量和實際產生的地表逕流量，並減去其他損失（如蒸發、入滲），但這非常困難。
    2. 入滲模型法：最常用的方法是利用入滲模型，如 Horton's model、Green-Ampt model、SCS Curve Number method 等。
       • Horton's Model：$f = f_c + (f_0 - f_c)e^{-kt}$，其中 $f$ 是瞬時入滲率，$f_0$ 是初始入滲率，$f_c$ 是穩定入滲率，$k$ 是衰減係數，$t$ 是時間。ER 可以透過計算降雨期間的累積入滲量 ( $A = \int f(t) dt$ )，並從總降雨量中減去 A 來得到。
       • Green-Ampt Model：$F(t) = K t + \psi \Delta \theta \ln \left( \frac{K \Delta \theta \psi}{F(t)} + 1 \right)$，其中 $F(t)$ 是累積入滲量，$K$ 是水力傳導係數，$t$ 是時間，$\psi$ 是壓力勢，$\Delta \theta$ 是含水量變化。 ER = 總降雨量 - $F(t)$。
       • SCS Curve Number Method：這是經驗方法，ER 的計算公式為：
         $ER = \frac{(P-0.2S)^2}{P+0.8S} \quad \text{if } P > 0.2S$
         $ER = 0 \quad \text{if } P \le 0.2S$
         其中 $P$ 是總降雨量 (mm)，$S$ 是潛藏的最大逕流量 (mm)，$S = \frac{1000}{CN} - 10$，$CN$ 是曲線數值 (Curve Number)，由土地利用、土壤類型和土壤濕潤狀況決定。
    3. 流量分析法：透過量測河流流量，並將總流量分解為基流 (baseflow) 和直接逕流 (DR)，ER 可以視為 DR 的一部分（或 DR = ER）。

• 直接逕流 (DR)：

  • DR 是指由降雨或融雪直接產生的，不包含基流的部分。在許多情況下，DR 可以近似等於 ER。
  • 獲取 DR 的方法：

此題主要考察水文學中蒸發與蒸發散這兩個重要的水分損失過程的定義、異同，以及獲取這些數據的方法。

蒸發 (Evaporation, E) 與 蒸發散 (Evapotranspiration, ET) 的異同：

• 相同點：

  • 兩者都是水從液態轉化為氣態（水蒸氣）進入大氣的過程。
  • 兩者都是水循環中的重要水分損失環節。
  • 兩者都需要能量（通常是太陽輻射能）來驅動。
  • 兩者都受到溫度、濕度、風速、氣壓等氣象因素的影響。

• 不同點：

  • 來源：
    • 蒸發 (E)：主要指水體表面（如湖泊、河流、水庫、海洋、濕潤的土壤表面）的水分直接蒸發進入大氣的過程。
    • 蒸發散 (ET)：是植物蒸騰作用 (transpiration, T) 和植物體表面及周圍土壤表面蒸發 (evaporation from soil and water surfaces) 的總和。
  • 發生場所：
    • E：發生在所有有液態水的自由表面。
    • ET：發生在有植物覆蓋的區域，包括植物的葉片（蒸騰）以及植物冠層下的土壤表面（蒸發）。
  • 過程複雜性：
    • E：相對單純，主要受水體表面特性和氣象條件影響。
    • ET：過程更複雜，除了氣象條件外，還受到植物本身的生理特性（如氣孔開放度、葉面積指數）、土壤水分狀況、植物生長階段等多重因素影響。
  • 測量/估算難度：
    • E：相對較容易測量或估算。
    • ET：由於涉及植物生理和土壤水分，測量和估算更為複雜。

獲取蒸發 (E) 和蒸發散 (ET) 數據的方法：

一、 蒸發 (Evaporation, E)

1. 實驗室/野外調查方法：

   • 蒸發皿法 (Evaporation Pan Method)：
     • 步驟：在現場放置標準蒸發皿（如 Class A Pan），記錄每日的蒸發量。蒸發皿內的水位會因蒸發而下降，透過測量每日的水位變化（補充水至固定水位或直接測量下降量）來獲得蒸發量。
     • 公式：
       $E = V_{evap} / A_{pan}$
       其中 $E$ 是蒸發量，$V_{evap}$ 是蒸發的水量，$A_{pan}$ 是蒸發皿的表面積。
     • 應用：通常會乘以一個蒸發皿係數 (pan coefficient, $K_p$)，將蒸發皿的蒸發量轉換為水體表面（如湖泊）的蒸發量：$E_{water} = K_p \times E_{pan}$。$K_p$ 的值通常小於 1，取決於水體大小、周圍環境等。
   • 水體質量平衡法 (Water Budget Method)：
     • 步驟：對於一個封閉的集水區（如水庫），透過量測進入水量（降雨、入流）和流出水量（出流、滲漏），並考慮水位變化，來推算蒸發量。
     • 公式：
       $E = (P + I_{in} - Q_{out} - S_{loss}) / A$
       其中 $E$ 是平均蒸發深度，$P$ 是降雨量，$I_{in}$ 是入流量，$Q_{out}$ 是出流量，$S_{loss}$ 是滲漏損失，$A$ 是水體表面積。此方法誤差較大，因為難以準確測量所有項。
   • 渦流協方差法 (Eddy Covariance Method)：
     • 步驟：使用三維聲波風速儀和水汽分析儀，在高頻率下（通常 10 Hz）連續測量垂直風速和水汽濃度（或比濕度）的波動，計算它們之間的協方差，從而直接測量水汽通量（即蒸發速率）。
     • 公式：
       $E = \overline{w' q'}$
       其中 $w'$ 是垂直風速的波動，$q'$ 是水汽含量（如比濕度）的波動，overline 表示時間平均。
     • 應用：這是目前最直接、最準確的現場測量方法，但設備昂貴，需要專業技術。

2. 經驗或理論方法：

   • Penman 方程式 (Penman Equation)：
     • 理論基礎：結合了能量平衡和空氣動力學原理，考慮了太陽輻射、溫度、濕度、風速等氣象因素。
     • 公式：
       $E_p = \frac{\Delta}{\Delta+\gamma} R_n + \frac{\gamma}{\Delta+\gamma} G$
       其中 $E_p$ 是潛在蒸發量 (potential evaporation)，$\Delta$ 是飽和水汽壓隨溫度變化的斜率，$R_n$ 是淨輻射，$\gamma$ 是濕度計常數，$G$ 是空氣動力學項（與風速和濕度有關）。
       • $R_n = R_{s}(1-\alpha) - \sigma T_{a}^{4}(0.55+0.0009 \cdot RH)(1-0.9 \cdot N)$ （淨輻射）
       • $G = f(u)(e_s - e_a)$ （空氣動力學項，其中 $f(u)$ 是風函數，$e_s$ 是飽和水汽壓，$e_a$ 是實際水汽壓）
     • 應用：這是計算潛在蒸發量 (PE) 的經典方法，PE 是在特定氣象條件下，假設水分充足時可能發生的最大蒸發量。
   • Priestley-Taylor 方程式：
     • 理論基礎：Penman 方程式的簡化形式，主要用於濕潤地區，假設能量平衡項是主導因素。
     • 公式：
       $E_{PT} = \alpha \frac{\Delta}{\Delta+\gamma} (R_n - G)$
       其中 $\alpha$ 是 Priestley-Taylor 係數，通常取值約為 1.26。

此題考察水文學中極端值統計的基礎概念，包括頻率因子、重現期、機率密度函數的參數估計與應用。

(1) 頻率因子 ($K_T$) 的定義、與重現期 ($T_r$) 和特定事件 ($X_T$) 的關係及用途：

• 定義：
  頻率因子 $K_T$ (Frequency Factor)，也稱為頻率系數或標準化變量，是極值統計中用於連接機率密度函數 (PDF) 的參數與重現期 (Return Period) 或發生機率 (Probability of Occurrence) 的一個量。它本身是 PDF 的一個函數，通常與所選用的極值分佈類型（如 Gumbel, Log-Pearson Type III, General Extreme Value 等）有關。對於一個給定的機率 $P$ (例如 $P = 1/T_r$)，在特定的極值分佈模型下，存在一個對應的 $K_T$ 值。

• 與重現期 ($T_r$) 和特定事件 ($X_T$) 的關係：
  在極值統計分析中，我們通常假設某種極端事件（如洪水流量、最大降雨量）服從某種機率分佈。對於一個給定的機率 $P$，我們可以計算出對應的重現期 $T_r = 1/P$。

  • 機率與重現期：事件發生的機率 $P$ 是其重現期 $T_r$ 的倒數，即 $P = 1/T_r$。
  • 頻率因子與機率：對於某種特定的極值分佈（例如 Gumbel 分佈），頻率因子 $K_T$ 是機率 $P$ 的函數。
    • 對於 Gumbel 分佈，標準化極值變量 $K_T$ 的計算公式通常為：
      $K_T = -\frac{\sqrt{6}}{\pi} \left[ \gamma + \ln\left(-\ln(1-P)\right) \right]$
      其中 $\gamma$ 是 Euler-Mascheroni 常數 (約 0.5772)。
      由於 $P = 1/T_r$，所以 $K_T$ 也是 $T_r$ 的函數。
  • 頻率因子與特定事件 ($X_T$)：
    在極值分佈模型中，一個特定重現期 $T_r$ 下的事件值（如流量、降雨量）$X_T$ 可以透過以下公式計算：
    $X_T = \mu + K_T \sigma$
    其中 $\mu$ 是分佈的平均值 (mean)，$\sigma$ 是分佈的標準差 (standard deviation)。
    • $K_T$ 作為一個無量綱的因子，將平均值和標準差的量綱轉換到事件值 $X_T$ 的量綱上。
    • $K_T$ 的值越大，表示對應的機率 $P$ 越小（或重現期 $T_r$ 越大），因此 $X_T$ 的值也越大，代表越極端的事件。

• 用途：

  1. 極端值預測：頻率因子 $K_T$ 是計算特定重現期下極端事件設計值（如設計洪水流量、設計降雨強度）的關鍵組件。透過估計流域的平均值 $\mu$ 和標準差 $\sigma$，並確定目標重現期 $T_r$ 及其對應的 $K_T$ 值，就可以計算出設計的極端事件值 $X_T$。
  2. 風險評估：了解不同重現期事件的發生機率和強度，有助於進行水利工程的風險評估和決策。
  3. 分佈模型比較：在比較不同極值分佈模型的適用性時，頻率因子 $K_T$ 的計算方式會有所不同，這也是模型選擇的依據之一。

(2) 計算機率密度函數 (PDF) 參數的方法及推導：

給定的 PDF 為：
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi a}} \exp\left[-\frac{(x-b)^2}{2a}\right]$
這是一個常態分佈 (Normal Distribution) 的機率密度函數。其標準形式為：
$f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]$
對比可知，在這個問題中：

• $\mu = b$ （平均值）
• $\sigma^2 = a$ （變異數）
• $\sigma = \sqrt{a}$ （標準差）

我們需要找到估計參數 $a$ 和 $b$ 的方法。

兩種計算 PDF 參數的方法：

1. 矩量法 (Method of Moments, MOM)：

   • 原理：該方法通過使樣本矩 (sample moments) 等於對應的理論矩 (theoretical moments) 來估計參數。對於常態分佈，我們可以使用樣本的平均值和樣本的變異數來估計理論的平均值和變異數。
   • 步驟：
     • 給定一個包含 $n$ 個觀測值 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的樣本。
     • 計算樣本平均值 $\bar{x}$：
       $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$
     • 計算樣本變異數 $s^2$（使用 $n-1$ 作為分母，以得到無偏估計）：
       $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$
     • 將樣本平均值 $\bar{x}$ 等於理論平均值 $b$，將樣本變異數 $s^2$ 等於理論變異數 $a$。
   • 參數估計：
     • $\hat{b} = \bar{x}$
     • $\hat{a} = s^2$

2. 最大概似法 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)：

   • 原理：該方法尋找一組參數值，使得在給定這些參數值的情況下，觀測到當前樣本的機率（或概似）最大。
   • 步驟：
     • 給定一個包含 $n$ 個觀測值 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的樣本。

核心觀念

Muskingum 法以線性儲蓄關係表示河段蓄水量：

$$S=K\left[XI+(1-X)Q\right]$$

其中：

• $S$：河段蓄水量；
• $I$：入流量；
• $Q$：出流量；
• $K$：儲蓄常數，單位為時間；
• $X$：權重因子，通常 $0\leq X\leq 0.5$。

配合連續方程式：

$$\frac{dS}{dt}=I-Q$$

即可建立洪水演算公式。

---

（1）Muskingum 洪水演算法之推導

在時間 $t_j$ 至 $t_{j+1}$ 間，令 $\Delta t=t_{j+1}-t_j$。由儲蓄關係式：

$$S_j=K\left(XI_j+(1-X)Q_j\right)$$ $$S_{j+1}=K\left(XI_{j+1}+(1-X)Q_{j+1}\right)$$

因此：

$$S_{j+1}-S_j =K\left[X(I_{j+1}-I_j)+(1-X)(Q_{j+1}-Q_j)\right]$$

以梯形法積分連續方程式：

$$S_{j+1}-S_j = \frac{\Delta t}{2} \left[ (I_j-Q_j)+(I_{j+1}-Q_{j+1}) \right]$$

整理得：

$$K\left[X\Delta I+(1-X)\Delta Q\right] = \frac{\Delta t}{2} (\Delta I-\Delta Q)$$

其中：

$$\Delta I=I_{j+1}-I_j,\qquad \Delta Q=Q_{j+1}-Q_j$$

故儲蓄常數的正確關係式為：

$$\boxed{ K= \frac{\Delta t}{2} \frac{\Delta I-\Delta Q} {X\Delta I+(1-X)\Delta Q} }$$

題目所列式子

$$K=\frac{\Delta t}{2} \left[ \frac{\Delta I}{\Delta Q} + \frac{(1-X)\Delta Q}{\Delta I} \right]$$

並非由標準 Muskingum 儲蓄關係式與連續方程式推導而得，應為題目誤植。實際演算應使用下列標準差分式。

將出流量項整理後：

$$Q_{j+1}=C_0I_{j+1}+C_1I_j+C_2Q_j$$

其中：

$$C_0= \frac{\Delta t-2KX} {\Delta t+2K(1-X)}$$ $$C_1= \frac{\Delta t+2KX} {\Delta t+2K(1-X)}$$ $$C_2= \frac{2K(1-X)-\Delta t} {\Delta t+2K(1-X)}$$

且必須滿足：

$$C_0+C_1+C_2=1$$

---

（2）計算出流歷線 $Q$

已知：

$$K=2.3\ \text{hr},\qquad X=0.15,\qquad \Delta t=1\ \text{hr}$$

先計算分母：

$$\Delta t+2K(1-X) = 1+2(2.3)(0.85) = 4.91$$

因此：

$$C_0= \frac{1-2(2.3)(0.15)}{4.91} = \frac{0.31}{4.91} = 0.063136$$ $$C_1= \frac{1+2(2.3)(0.15)}{4.91} = \frac{1.69}{4.91} = 0.344196$$ $$C_2= \frac{2(2.3)(0.85)-1}{4.91} = \frac{2.91}{4.91} = 0.592668$$

所以演算公式為：

$$\boxed{ Q_{j+1} = 0.063136I_{j+1} + 0.344196I_j + 0.592668Q_j }$$

將表中第一筆入流量 $I=93$ 視為起始時刻入流，並以其對應出流量 $Q_0=85$ 作為初始值。

第 2 小時

$$Q_2 = 0.063136(137) + 0.344196(93) + 0.592668(85)$$ $$\boxed{Q_2=91.04\ \text{cfs}}$$

第 3 小時

$$Q_3 = 0.063136(208) + 0.344196(137) + 0.592668(91.04)$$ $$\boxed{Q_3=114.24\ \text{cfs}}$$

第 4 小時

此題主要考察 Muskingum 洪水演算法的理論推導、數值計算應用及參數驗證。

(1) Muskingum 洪水演算法關係式推導：

Muskingum 洪水演算法是基於流域儲蓄量 $S$ 與入流 $I$ 和出流 $Q$ 之間關係的模型。其基本假設是，儲蓄量 $S$ 是入流 $I$ 和出流 $Q$ 的線性函數：
$S(t) = K [X I(t) + (1-X) Q(t)]$
其中，$K$ 是儲蓄常數 (storage constant)，代表水分在流域內滯留的時間尺度；$X$ 是權重因子 (weighting factor)，代表入流和出流對儲蓄量的影響程度（通常 $0 \le X \le 0.5$）。

由質量守恆定律，儲蓄量的變化率等於淨入流量（入流量減去出流量）：
$\frac{dS}{dt} = I(t) - Q(t)$
將儲蓄量的定義代入上式：
$\frac{d}{dt} [K (X I(t) + (1-X) Q(t))] = I(t) - Q(t)$
$K \left( X \frac{dI}{dt} + (1-X) \frac{dQ}{dt} \right) = I(t) - Q(t)$
在離散化處理時，我們使用時間步長 $\Delta t$ 和時間點 $j$ 及 $j+1$。微分項使用差分近似，而 $I(t)$ 和 $Q(t)$ 使用時間段內的平均值來近似：
$K \left( X \frac{I_{j+1}-I_j}{\Delta t} + (1-X) \frac{Q_{j+1}-Q_j}{\Delta t} \right) = \frac{I_j+I_{j+1}}{2} - \frac{Q_j+Q_{j+1}}{2}$
令 $\Delta I = I_{j+1}-I_j$ 和 $\Delta Q = Q_{j+1}-Q_j$。
$K \left( X \frac{\Delta I}{\Delta t} + (1-X) \frac{\Delta Q}{\Delta t} \right) = \frac{I_j+I_{j+1}}{2} - \frac{Q_j+Q_{j+1}}{2}$
將 $\Delta t$ 乘到右邊：
$K (X \Delta I + (1-X) \Delta Q) = \frac{\Delta t}{2} (I_j+I_{j+1} - Q_j - Q_{j+1})$
這個是 Muskingum 演算法的基礎離散形式。

題目要求推導的關係式為：$K = 0.5\Delta t \left[ \frac{(I_{j+1}-I_j)}{(Q_{j+1}-Q_j)} + \frac{(1-X)(Q_{j+1}-Q_j)}{(I_{j+1}-I_j)} \right]$。
此公式可以改寫為 $\frac{2K}{\Delta t} = \frac{\Delta I}{\Delta Q} + \frac{(1-X)\Delta Q}{\Delta I}$。
這個形式通常是從標準 Muskingum 方程式推導出來的，或者用於參數標定。若要直接推導此特定形式，需進行特定的代數變換。
例如，若假設 $I_j+I_{j+1} - Q_j - Q_{j+1} = \frac{2K}{\Delta t} (\Delta I \Delta Q) \left[ \frac{1}{\Delta Q} + \frac{1-X}{\Delta I} \right]$，則可導出。
然而，直接從上述基礎離散形式推導該特定公式較為複雜。該公式的形式表明，它將 $\Delta I$ 和 $\Delta Q$ 的比值與 $K$ 和 $X$ 聯繫起來。

(2) 計算出流歷線 Q：
給定參數：$K=2.3$ h, $X=0.15$, $\Delta t=1$ h, $Q_0 = 85$ ft³/s。
入流歷線 I (cfs)：$I_0=0$ (假設), $I_1=93, I_2=137, I_3=208, I_4=320, I_5=442, I_6=546, I_7=630$。

首先計算 Muskingum 演算法的係數 $C_1, C_2, C_3$：
$D = 2K(1-X) + \Delta t = 2(2.3)(1-0.15) + 1 = 2(2.3)(0.85) + 1 = 3.91 + 1 = 4.91$
$2KX = 2(2.3)(0.15) = 0.69$

$C_1 = \frac{\Delta t - 2KX}{D} = \frac{1 - 0.69}{4.91} = \frac{0.31}{4.91} \approx 0.0631$
$C_2 = \frac{\Delta t + 2KX}{D} = \frac{1 + 0.69}{4.91} = \frac{1.69}{4.91} \approx 0.3442$
$C_3 = \frac{2K(1-X) - \Delta t}{D} = \frac{3.91 - 1}{4.91} = \frac{2.91}{4.91} \approx 0.5927$
驗證：$C_1+C_2+C_3 = 0.0631 + 0.3442 + 0.5927 = 1.0000$。

使用公式 $Q_{j+1} = C_1 I_{j+1} + C_2 I_j + C_3 Q_j$ 計算出流 Q：

• j=0 (T=1hr): $I_0=0, I_1=93, Q_0=85$
  $Q_1 = 0.0631(93) + 0.3442(0) + 0.5927(85) = 5.8683 + 0 + 50.3795 = 56.2478 \approx 56.25$ cfs
• j=1 (T=2hr): $I_1=93, I_2=137, Q_1=56.25$
  $Q_2 = 0.0631(137) + 0.3442(93) + 0.5927(56.25) = 8.6447 + 32.0106 + 33.3409 = 73.9962 \approx 74.00$ cfs
• j=2 (T=3hr): $I_2=137, I_3=208, Q_2=74.00$
  $Q_3 = 0.0631(208) + 0.3442(137) + 0.5927(74.00) = 13.1248 + 47.1554 + 43.8598 = 104.1400 \approx 104.14$ cfs
• j=3 (T=4hr): $I_3=208, I_4=320, Q_3=104.14$
  $Q_4 = 0.0631(320) + 0.3442(208) + 0.5927(104.14) = 20.1920 + 71.5936 + 61.7435 = 153.5291 \approx 153.53$ cfs
• j=4 (T=5hr): $I_4=320, I_5=442, Q_4=153.53$