113 年 國立臺灣大學土木系碩士班水利組（在職生）《水文學（A）》

此題主要在探討水文設計中常用的回歸週期概念，以及其與機率的關係，並延伸至氣候變遷下定常性假設失效時，對回歸週期的影響。

(a) 回歸週期的定義與定常性

• 回歸週期 (Return Period, $T$)：是指一個特定極端水文事件（例如：百年洪水）平均而言，在多長的時間間隔內會發生一次。換句話說，若某事件的回歸週期為 $T$ 年，則該事件在任何一年發生的機率為 $1/T$。它是一種平均概念，並不代表該事件必定會每隔 $T$ 年就發生一次。
• 定常性 (Stationarity)：在水文學中，定常性是指一個時間序列的統計特性（如平均值、變異數、自相關性等）不隨時間的推移而發生系統性變化。也就是說，過去的數據所代表的統計特性，在未來也將持續存在。水文設計中常假設流量、降雨等水文現象是定常的，以便利用歷史數據來預測未來。

(b) 超越機率與回歸週期的關係

• 超越機率 (Exceedance Probability, $P_e$)：是指在任一年中，某事件的發生量（例如流量）超過某一特定設計標準值的機率。
• 關係：超越機率 $P_e$ 與回歸週期 $T$ 之間存在反比關係。若 $P_e$ 是某事件發生量超過某一值的機率，則該事件的平均發生間隔（回歸週期 $T$）的倒數即為該超越機率。
  $P_e = \frac{1}{T}$

(c) 證明 $P_e = 1/T$

此證明通常是基於幾何分佈或泊松過程的假設。假設水文事件的發生是獨立且具有相同的機率 $p$。
若我們定義一個事件發生量大於某設計值為「成功」，則該事件發生的機率為 $p$。
若我們考慮一個長度為 $N$ 年的時間序列，並假設事件的發生是獨立的。
則在 $N$ 年內，某事件發生至少一次的機率為 $1 - (1-p)^N$。
然而，更直接的定義是：若 $T$ 為回歸週期，則在 $T$ 年內，該事件平均發生一次。因此，在任何一年中，該事件發生的機率為 $1/T$。
這個 $1/T$ 就是超越機率 $P_e$。

更嚴謹的數學證明可以從幾何分佈的概念出發。假設一年中某事件發生的機率為 $p$。則在第 $k$ 年第一次發生的機率為 $(1-p)^{k-1}p$。
期望發生第一次事件的年數（即回歸週期 $T$）為：
$T = E[k] = \sum_{k=1}^{\infty} k (1-p)^{k-1}p$
這是幾何分佈的期望值，其結果為 $T = 1/p$。
因此，$p = 1/T$。
而 $p$ 正是該事件在一年中發生的機率，即超越機率 $P_e$。
所以，$P_e = 1/T$。

(d) 氣候變遷下，平均值增加、標準差不變

• 定常性假設失效：氣候變遷可能導致水文事件的統計特性改變，不再是定常的。
• 情境分析：平均值 $\mu$ 增加，標準差 $\sigma$ 不變。

此題主要探討洪水演算模式結果的判讀，特別是水位流量關係曲線（Rating Curve）的形態，以及不同數值模式的特性。

(a) 是否贊成該員意見

• 結論：不一定贊成。
• 原因：
  • A模式的迴圈曲線 (Hysteresis Loop)：水位流量關係呈現迴圈現象，表示在洪水過程的上升段（水位上漲時）和下降段（水位下跌時），相同水位對應的流量不同。這在實際水域（如河流、水庫）中是常見且合理的現象。
  • B模式的單一曲線：單一曲線表示相同水位總是對應相同的流量，這通常是穩態（steady-state）或簡化的假設下的結果。
  • A模式的合理性：迴圈現象的產生，主要是因為水流具有慣性（inertia）和儲蓄效應（storage effect）。在洪水上升階段，水位上漲，但由於水流需要時間加速和累積，流量可能相對較小；而在洪水下降階段，水位下跌，但由於水流仍有動能和儲蓄的水量，流量可能相對較大。這種滯後效應導致了迴圈。
  • A模式為錯誤的可能情況：雖然迴圈是合理的，但若迴圈的形態、大小不符合實際物理機制，或者與其他觀測數據（如降雨、水位歷線）不符，則可能表示模型設置、參數選擇或數值計算有誤。
  • B模式為錯誤的可能情況：如果實際水域存在明顯的滯後效應，而模型卻得到單一曲線，則可能是模型過於簡化，無法捕捉真實的物理過程。
• 總結：工程師報告A模式錯誤，是基於「迴圈就是錯誤」的預設立場。作為主管，應先釐清為什麼會出現迴圈，並評估迴圈的合理性，而不是直接斷定為錯誤。

(b) A、B 模式可能對應的演算方法

• 核心概念：

  • 動力波 (Dynamic Wave)：考慮了慣性項（加速度和科氏力），能最完整地模擬水流的動態變化，包括波動、滯後效應，因此最有可能產生水位流量關係的迴圈。
  • 運動波 (Kinematic Wave)：忽略了慣性項和壓力項，只考慮重力作用和敘述流（敘述流假設水位與流量的關係是單一的，例如曼寧公式 $Q = c A R^{2/3} S^{1/2}$）。在某些簡化情況下（例如坡度很大、寬度固定），運動波可以近似，但通常不會產生明顯的滯後迴圈。
  • 擴散波 (Diffusive Wave)：介於運動波和動力波之間，忽略了慣性項，但考慮了壓力項（如斜坡效應）。它能捕捉到一些滯後效應，但通常不如動力波明顯。
  • 水文演算 (Hydrologic Routing, e.g., Muskingum method)：這是一種基於集總參數（lumped parameter）的儲蓄概念模型，不涉及水動力學方程式。它通過建立流量與儲蓄量之間的關係來模擬洪水演進。Muskingum 方法是基於儲蓄量與進入和離開流量的線性組合，通常也能模擬滯後效應，產生迴圈。

• 判斷：

  • A 模式 (迴圈曲線)：最有可能採用考慮了水流慣性或顯著儲蓄效應的模型。
    • 動力波演算 (Dynamic Wave Routing)：這是最符合物理原理，最能產生明顯滯後迴圈的模型，因為它包含了完整的聖維南方程（Saint-Venant equations），完整考慮了慣性項。
    • 水文演算 (Muskingum method)：如果模型參數設置得當（例如，引入了時間延遲和衰減），Muskingum 方法也能產生明顯的迴圈。
  • B 模式 (單一曲線)：最有可能採用忽略慣性項或儲蓄效應的模型，或者是一個穩態假設下的模型。

核心觀念

本題考查：

1. 單位歷線的基本假設。
2. 集流時間與等時線。
3. 以等時線間面積建立時間—面積曲線，再推求不同延時的單位歷線。
4. 單位歷線的疊加與延時轉換概念。

以下以「$1$ 公分有效降雨所產生之直接逕流」定義單位歷線。

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(a) 單位歷線的五個假設

1. 有效降雨在集水區內均勻分布
   有效降雨量在整個集水區內相同。

2. 有效降雨在時間上均勻分布
   在指定延時內，有效降雨強度視為固定。

3. 降雨延時固定且有效降雨集中於指定時間內
   單位歷線只適用於特定有效降雨延時，例如一小時單位歷線。

4. 線性比例性
   直接逕流歷線的各時刻流量與有效降雨量成正比。若有效降雨量為 $P$ 公分，則流量為一公分單位歷線的 $P$ 倍。

5. 時間不變性
   在集水區條件不變時，相同延時、相同有效降雨量所產生的直接逕流歷線，其形狀與發生時間不因事件不同而改變。

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(b) 集流時間與等時線

集流時間

集流時間 $t_c$ 是指：

集水區內最遠或水流運送時間最長的有效降雨點，其逕流流抵出口所需的時間。

本題給定：

$$t_c=25\text{ min}$$

因此，從降雨開始後，最遲在 $25$ 分鐘時，整個集水區的逕流均已開始流抵出口。

等時線

等時線（isochrone）是指：

集水區內水流到達出口所需時間相同的各點所連成的線。

本題等時線將集水區分成五個區域：

• $0\sim5$ 分鐘：$12,000\ \text{m}^2$
• $5\sim10$ 分鐘：$15,000\ \text{m}^2$
• $10\sim15$ 分鐘：$20,000\ \text{m}^2$
• $15\sim20$ 分鐘：$30,000\ \text{m}^2$
• $20\sim25$ 分鐘：$8,000\ \text{m}^2$

面積總和為：

$$12000+15000+20000+30000+8000=85000\ \text{m}^2$$

與題目給定的集水區總面積相符。

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(c) 一小時單位歷線

1. 建立累積時間—面積資料

令 $A(t)$ 表示集流時間不超過 $t$ 的累積面積：

時間 $t$	累積面積 $A(t)$（$\text{m}^2$）
$0$ min	$0$
$5$ min	$12,000$
$10$ min	$27,000$
$15$ min	$47,000$
$20$ min	$77,000$
$25$ min	$85,000
$t\ge25$ min	$85,000$

一小時有效降雨延時為：

$$D=60\text{ min}$$

有效降雨量取一公分：

$$P_e=0.01\text{ m}$$

一小時內的平均有效降雨強度為：

$$i=\frac{0.01}{3600}\text{ m/s}$$

2. 時間—面積法公式

一小時單位歷線流量為：

$$Q_{1\text{ hr}}(t) = \frac{P_e}{D} \left[A(t)-A(t-D)\right]$$

其中 $D=60$ 分鐘，且當 $t-D<0$ 時，令 $A(t-D)=0$。

因為：

$$\frac{0.01}{3600} = \frac{1}{36,000,000}\text{ m/s}$$

故：

$$Q_{1\text{ hr}}(t) = \frac{A(t)-A(t-60)}{36,000,000} \quad(\text{m}^3/\text{s})$$

3. 計算結果

| 時間（min） | 有效集流面積差（$\text{m}^2$） | $Q_{1\text{ hr}}$（$\text{m}^3/\text{s}

此題主要在探討 SCS-CN 方法的原理、適用條件、參數計算，以及如何應用於計算特定降雨事件的損失和超滲降雨。

(a) SCS-CN 方法的適用條件與 CN 值推估

• 適用條件 (Conditions for Application)：

  1. 降雨-逕流關係 (Rainfall-Runoff Relationship)：SCS-CN 方法主要用於估算單場降雨事件所產生的直接徑流總量。它將集水區的降雨轉換為地表徑流，用於洪水預報或水文分析。
  2. 適用於土地利用與土壤類型相對均勻的集水區 (Relatively Homogeneous Watersheds)：雖然可以通過面積加權計算 CN 值，但該方法在土地利用和土壤類型變化較大的集水區中的應用會降低準確性。
  3. 適用於大多數流域 (Applicable to Most Watersheds)：該方法廣泛應用於各種規模的集水區，尤其是在缺乏詳細水文資料的情況下。
  4. 適用於瞬時或短歷時降雨事件 (Suitable for Antecedent Conditions)：CN 值包含了集水區的初期濕潤狀況，因此對單場降雨事件的響應較為敏感。
  5. 估算損失與超滲降雨 (Estimating Losses and Direct Runoff)：該方法的核心是估算降雨中的「損失」（包括截流、滲透、蒸發等）和「超滲降雨」（即產生的直接徑流）。

• CN 值推估的條件 (Factors influencing CN Estimation)：
  Curve Number (CN) 是一個經驗參數，代表集水區的逕流潛力。它主要根據以下條件推估：

  1. 土壤類型 (Soil Type)：土壤的滲透特性是影響 CN 值最關鍵的因素。SCS 將美國的土壤分為四個組 (A, B, C, D)，根據其滲透能力：
     • A 組：滲透能力最高，CN 值最低（逕流潛力最低）。
     • B 組：滲透能力中等。
     • C 組：滲透能力較低。
     • D 組：滲透能力最低，CN 值最高（逕流潛力最高）。
  2. 土地利用/覆蓋類型 (Land Use/Cover)：地表的覆蓋物（如植被、農作物、建築物、鋪裝路面等）影響降雨到達土壤表面的速率和滲透。例如，森林、草地比裸露地或建築區的 CN 值低。
  3. 土地管理實踐 (Land Treatment or Management Practices)：例如，梯田、等高耕作等措施可以減緩地表水流，增加滲透，從而降低 CN 值。
  4. 前期濕潤條件 (Antecedent Runoff Condition, ARC)：即降雨發生前的土壤濕潤程度。這通常通過 AMC (Antecedent Moisture Condition) 來體現，分為 AMC I (乾燥)、AMC II (正常)、AMC III (濕潤)。土壤越濕潤，CN 值越高。
  5. 降雨歷時 (Rainfall Duration)：雖然 CN 值本身不直接包含降雨歷時，但它與前期濕潤條件共同決定了單場降雨事件的損失。

(b) 逐時超滲降雨與損失的計算

• 核心概念：SCS-CN 方法的核心是將總降雨量 $P$ 分解為「損失 $F_t$」和「超滲降雨 $P_a$」。超滲降雨是產生直接徑流的部分。
  $P = F_t + P_a$
  其中，總損失 $F_t$ 包括初始截流 $I_a$ 和後續滲透損失 $F$。
  $F_t = I_a + F$
  SCS-CN 方法假設初始截流 $I_a$ 約為最大潛在滯留量（或潛在截流）$S$ 的 20% ($I_a = 0.2S$)。
  後續滲透損失 $F$ 隨降雨的累積而增加，但其增加速率會趨於零，通常用指數函數描述。

• 公式說明：

  • $P$: 累積降雨量 (Cumulative Rainfall, inch 或 mm)
  • $S$: 最大潛在滯留量 (Potential Maximum Retention, inch 或 mm)。它代表土壤在飽和前能吸收的水量。 $S = \frac{1000}{CN} - 10$ (單位：inch)。
  • $I_a$: 初始截流 (Initial Abstraction, inch 或 mm)。包括植被截留、地面截留、蒸發和初始滲透。通常假設 $I_a = 0.2S$。
  • $F_t$: 總損失 (Total Loss, inch 或 mm)。
  • $F$: 降雨累積後的滲透損失 (Infiltration Loss, inch 或 mm)。
  • $P_a$: 超滲降雨 (Direct Runoff / Potential Runoff, inch 或 mm)。
  • $\Psi$: 實際損失，這裡的 $\Psi$ 符號在圖中代表實際損失 $F_t$。 $F_t = P - P_a$。

• 計算步驟：

  1. 確定參數：

     • 集水區面積 $A = 100 \, km^2$
     • Curve Number $CN = 75$
     • 前期濕潤條件 AMC II (正常) - 這是標準情況，如果未特別說明 AMC I 或 III。

  2. 計算 $S$ 和 $I_a$：
     $S = \frac{1000}{CN} - 10 = \frac{1000}{75} - 10 = 13.333 - 10 = 3.333 \, \text{inch}$
     $I_a = 0.2S = 0.2 \times 3.333 = 0.667 \, \text{inch}$
     （注意：題目中的公式 $P_a = \frac{1000}{CN} - 10$ 應為 $S = \frac{1000}{CN} - 10$。題目中的 $P_a$ 公式可能有誤，或 $P_a$ 指代的是其他概念。通常 $P_a$ 是計算出來的超滲降雨，不是直接由 CN 計算的。）
     我們將使用 $S=3.333$ inch 和 $I_a=0.667$ inch。

  3. 逐時計算：
     降雨強度：
     0-1 hr: 0.32 in/hr
     1-2 hr: 0.38 in/hr
     2-3 hr: 0.7 in/hr
     3-4 hr: 0.3 in/hr

     我們需要計算在每個時間段結束時的累積降雨量 $P$，然後計算超滲降雨 $P_a$ 和總損失 $F_t$。
     SCS-CN 方法計算超滲降雨 $P_a$ 的公式是：
     當 $P > I_a$ 時，$P_a = \frac{P - I_a}{1 - I_a/P} \times \frac{P - I_a}{S}$ (這個公式不對)
     正確的 $P_a$ 計算公式：
     若 $P \le I_a$，則 $P_a = 0$ (沒有超滲降雨)。
     若 $P > I_a$，則 $P_a = P - I_a - F$。
     其中，$F$ 是 $P - I_a$ 的損失。
     SCS-CN 方法的標準公式是：
     $P_a = \frac{(P - I_a)^2}{P - I_a + S}$ (對於 $P > I_a$)
     總損失 $F_t = P - P_a = I_a + F$。
     $F = P - I_a - P_a$。

     逐時計算過程：

     時間段 1 (0-1 hr):

     • 降雨強度 = 0.32 in/hr。
     • 累積降雨 $P(1) = 0.32$ inch。
     • 由於 $P(1) = 0.32 < I_a = 0.667$ inch。
     • 所以，超滲降雨 $P_a(1) = 0$ inch。
     • 總損失 $F_t(1) = P(1) - P_a(1) = 0.32 - 0 = 0.32$ inch。

     時間段 2 (1-2 hr):

     • 降雨強度 = 0.38 in/hr。
     • 累積降雨 $P(2) = P(1) + 0.38 = 0.32 + 0.38 = 0.70$ inch。
     • 由於 $P(2) = 0.70 > I_a = 0.667$ inch。
     • 計算超滲降雨 $P_a(2)$：
       $P_a(2) = \frac{(P(2) - I_a)^2}{P(2) - I_a + S} = \frac{(0.70 - 0.667)^2}{0.70 - 0.667 + 3.333} = \frac{(0.033)^2}{0.033 + 3.333} = \frac{0.001089}{3.366} \approx 0.00032 \, \text{inch}$。
     • 總損失 $F_t(2) = P(2) - P_a(2) = 0.70 - 0.00032 = 0.69968 \, \text{inch}$。
     • 滲透損失 $F(2) = F_t(2) - I_a = 0.69968 - 0.667 = 0.03268 \, \text{inch}$。

     時間段 3 (2-3 hr):

     • 降雨強度 = 0.7 in/hr。
     • 累積降雨 $P(3) = P(2) + 0.7 = 0.70 + 0.7 = 1.40$ inch。
     • 由於 $P(3) = 1.40 > I_a = 0.667$ inch。
     • 計算超滲降雨 $P_a(3)$：
       $P_a(3) = \frac{(P(3) - I_a)^2}{P(3) - I_a + S} = \frac{(1.40 - 0.667)^2}{1.40 - 0.667 + 3.333} = \frac{(0.733)^2}{0.733 + 3.333} = \frac{0.537289}{4.066} \approx 0.13215 \, \text{inch}$。
     • 總損失 $F_t(3) = P(3) - P_a(3) = 1.40 - 0.13215 = 1.26785 \, \text{inch}$。
     • 滲透損失 $F(3) = F_t(3) - I_a = 1.26785 - 0.667 = 0.60085 \, \text{inch}$。

     時間段 4 (3-4 hr):

     • 降雨強度 = 0.3 in/hr。
     • 累積降雨 $P(4) = P(3) + 0.3 = 1.40 + 0.3 = 1.70$ inch。
     • 由於 $P(4) = 1.70 > I_a = 0.667$ inch。
     • 計算超滲降雨 $P_a(4)$：