112 年 國立臺灣大學土木系碩士班水利組（一般生）《水文學（A）》

本題主要在考察頻率分析的基本概念、極端值理論及其應用。

(a) 頻率因子概念與超越機率

頻率因子 (frequency factor)，通常以 $k$ 或 $\xi$ 表示，是頻率分析中用於連接觀測數據的統計特性與特定重現期 (return period) 或超越機率 (exceedance probability) 的一個無因次參數。它與所採用的機率分布函數形式有關。

超越機率 $P$ 是指在未來某個時間段內，某個事件（例如洪水流量、降雨強度）的發生值將大於或等於某個給定值（例如設計值）的機率。其數學定義為：
$P = P(X \ge x)$
其中 $X$ 是隨機變數， $x$ 是給定的值。

頻率因子 $k$ 與超越機率 $P$ 的關聯性取決於所選用的機率分布。對於許多常見的極端值分布，例如極端值型 I 分布（Gumbel 分布），頻率因子 $k$ 是超越機率 $P$ 的函數，通常透過反解累積分布函數 (CDF) 的形式來獲得。例如，對於 Gumbel 分布，若 $F(x) = \exp\left[-\exp\left(-\frac{x-\mu}{\alpha}\right)\right]$，則令 $P = 1 - F(x)$ 為超越機率，則 $1-P = \exp\left[-\exp\left(-\frac{x-\mu}{\alpha}\right)\right]$。取自然對數兩次後，可得 $\frac{x-\mu}{\alpha} = -\ln(-\ln(1-P))$。此時，頻率因子 $k$ 通常定義為 $\frac{x-\mu}{\alpha}$，因此 $k = -\ln(-\ln(1-P))$。

運用頻率因子推求超越機率：
在實際應用中，我們通常會先根據歷史數據估算出分布的參數（如 $\mu$ 和 $\alpha$），然後選擇一個設計重現期 $T$。重現期 $T$ 與超越機率 $P$ 的關係為 $P = 1/T$。接著，計算對應於該超越機率的頻率因子 $k(P)$。最後，利用頻率因子 $k$ 和分布參數 $\mu, \alpha$，可以推算出該重現期下的設計值 $x$：
$x = \mu + k(P) \alpha$

【答案】 頻率因子是統計參數，用於連結特定重現期下的事件值與機率分布。超越機率 $P$ 是事件值大於等於某給定值的機率。頻率因子 $k$ 是超越機率 $P$ 的函數，透過反解分布的累積分布函數得到。運用頻率因子，可根據預設的超越機率（或重現期）估算出設計事件值。

(b) 證明 $P=1/T$ 在定常性下

定常性 (stationarity) 在水文學中通常指時間序列的統計特性（如平均值、變異數）不隨時間改變。對於水文極端事件的頻率分析，我們假設事件的發生是獨立且同分布的 (independent and identically distributed, i.i.d.)。

回歸週期 (return period) $T$ 的定義是指某個事件（例如流量大於或等於某值 $x$）平均而言每隔多少時間會發生一次。
考慮一個事件發生時，我們稱之為「成功」。假設在一個時間單位（例如一年）內，事件發生的機率為 $p$（這就是超越機率 $P$）。
我們感興趣的是，在成功發生之前，有多少次「失敗」（即事件未發生）。假設事件的發生是獨立的，那麼在連續的觀測時間單位中，事件發生的次數服從幾何分布 (geometric distribution)。
幾何分布描述的是在連續獨立的伯努努試驗中，第一次成功發生所需的試驗次數。
令 $Y$ 為第一次成功發生所需的試驗次數（時間單位數），則 $P(Y=k) = (1-p)^{k-1} p$，其中 $k = 1, 2, 3, \dots$。
回歸週期 $T$ 的定義就是第一次成功發生所需的平均試驗次數，也就是幾何分布的期望值。
$T = E[Y] = \sum_{k=1}^{\infty} k (1-p)^{k-1} p$
我們可以利用期望值的性質來計算：
$E[Y] = \frac{1}{p}$
證明：
令 $S = \sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1}$，其中 $q = 1-p$。
$S = 1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + \dots$

核心觀念

本題考查兩種常用入滲模型：

1. Green-Ampt 模型：將土壤入滲視為明確的「濕潤鋒面」向下推進，入滲能力隨累積入滲量增加而降低。
2. Horton 入滲公式：以經驗指數函數描述入滲能力隨時間衰減的現象。

其中必須區分：

• 潛能入滲率：土壤在當時條件下所能容許的最大入滲率。
• 實際入滲率：受降雨強度限制後，真正進入土壤的水量速率。

當降雨強度大於潛能入滲率時，地表開始積水，稱為「積水」。

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(a) Green-Ampt 模型參數意義

令

$$\Delta \theta=\theta_s-\theta_i$$

則各參數意義如下：

• $\Psi$：濕潤鋒面的土壤吸力水頭，表示乾燥土壤對水分的吸引能力，通常取其正值，單位為長度。
• $L$：濕潤鋒面深度，即自地表至濕潤鋒面的垂直距離。
• $K$：土壤飽和水力傳導係數，表示土壤在飽和狀態下傳導水分的能力，單位通常為長度／時間。
• $\eta$：土壤孔隙率，即土壤孔隙體積占總體積的比例。
• $\theta_s$：飽和體積含水量，土壤完全飽和時，水體積占土壤總體積的比例。對無明顯壓縮的土壤，通常有 $\theta_s\approx\eta$。
• $\Delta\theta$：含水量差，亦稱有效含水量差，定義為

$$\Delta\theta=\theta_s-\theta_i$$

其中 $\theta_i$ 為降雨開始前土壤的初始體積含水量。

Green-Ampt 模型中，累積入滲量與濕潤鋒面深度的關係為

$$F=L\Delta\theta$$

因此，累積入滲量越大，濕潤鋒面越深，毛細吸力項 $\Psi\Delta\theta/F$ 越小，入滲能力便逐漸接近 $K$。

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(b) Green-Ampt 模型之積水時間

積水時間的概念

積水時間 $t_p$ 是指：

降雨開始後，降雨強度剛好等於土壤潛能入滲率，地表即將開始積水的時刻。

在積水發生以前，地表尚未形成水層，因此土壤實際入滲率等於降雨強度：

$$f_{\text{actual}}=i$$

若降雨強度為定值 $i$，則積水前的累積入滲量為

$$F=it$$

積水開始的臨界條件為

$$i=f(t_p)$$

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推導積水時的累積入滲量

令

$$A=\Psi\Delta\theta$$

Green-Ampt 潛能入滲率為

$$f=K\left(1+\frac{A}{F}\right)$$

在積水瞬間，$f=i$，因此

$$i=K\left(1+\frac{A}{F_p}\right)$$

其中 $F_p$ 為積水時的累積入滲量。

整理得

$$\frac{i}{K}-1=\frac{A}{F_p}$$ $$\frac{i-K}{K}=\frac{A}{F_p}$$

所以

$$F_p=\frac{KA}{i-K}$$

代回 $A=\Psi\Delta\theta$：

$$F_p=\frac{K\Psi\Delta\theta}{i-K}$$

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推導積水時間

積水以前有 $F_p=it_p$，故

$$it_p=\frac{K\Psi\Delta\theta}{i-K}$$

因此

$$\boxed{ t_p=\frac{K\Psi\Delta\theta}{i(i-K)} }$$

即為題目所要求之結果。

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適用條件

上述公式必須滿足

$$i>K$$

因為當 $i>K$ 時，Green-Ampt 入滲能力最終會由較大值逐漸下降至 $K$，降雨強度才可能在某一時刻超過入滲能力而造成積水。

若：

核心觀念

本題考核水力水文學中經典的「水文學河道洪水演算——馬斯金更法（Muskingum method）」及「水位流量關係之輪迴曲線（Loop Rating Curve / Hysteresis Effect）」：

1. 蓄水量組成：將河段總蓄水量拆解為與出流 $Q$ 成正比的「稜形蓄水量（Prism storage）」與受入流、出流差值 $(I - Q)$ 影響的「楔形蓄水量（Wedge storage）」。
2. 輪迴曲線（Loop Rating Curve）成因：洪水波通過觀測斷面時，受非恆定流附加水面坡降（漲水時坡降大於恆定流坡降、退水時小於恆定流坡降）及楔形蓄水影響，同一個水位下，漲水期的流量大於退水期的流量，形成逆時針方向閉合之迴圈。
3. 水力連續方程式離散化：由水體平衡式 $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = I - Q$ 搭配馬斯金更線性蓄水方程式，推導演算係數 $C_0, C_1, C_2$。

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解題方法與詳細推導

(a) 稜形蓄水與楔形蓄水之意義及量體表示

1. 稜形蓄水（Prism Storage, $S_p$）：

   • 物理意義：指河段水面與河床平行時的恆定流（穩態流）蓄水量，由下游斷面水深（即出流量 $Q$）控制。
   • 量體表示： $$S_p = K Q$$ 其中 $K$ 為蓄水時間常數（Storage time constant），量綱為時間 $[T]$，約略等於洪水波通過該河段的傳播時間。

2. 楔形蓄水（Wedge Storage, $S_w$）：

   • 物理意義：指非恆定流洪水波通過時，入流量與出流量不相等所造成的附加水體。當波峰抵達入流端時，上游水深大於下游水深，形成正楔形蓄水（$I > Q$）；退水時下游水深較上游相對較深，形成負楔形蓄水（$I < Q$）。
   • 量體表示： $$S_w = K X (I - Q)$$ 其中 $X$ 為無因次加權因子（Weighting factor），通常界於 $0 \le X \le 0.5$ 之間。

3. 總蓄水量（$S$）：
   綜合兩者，馬斯金更蓄水方程式為：

   $$S = S_p + S_w = K Q + K X (I - Q) = K \left[ X I + (1 - X) Q \right]$$

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(b) 水位流量曲線之漲水段與退水段判別

在河道水位流量關係曲線圖中（橫軸為流量 $Q$，縱軸為水位 $H$ 或水深 $y$）：

1. 水力學機制分析：

   • 根據聖維南動量方程式，非恆定流之摩擦坡降為 $S_f = S_0 - \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{v}{g}\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{1}{g}\frac{\partial v}{\partial t}$。
   • 在漲水期（Rising limb）：洪水波波峰在上游推進，水面比降 $\frac{\partial y}{\partial x} < 0$，使得能坡 $S_f > S_0$（水面坡降較陡）。依曼寧公式 $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_f^{1/2}$，在相同水位（相同斷面水深與面積）下，較大的坡降產生較大的流量。
   • 在退水期（Falling limb）：波峰已通過下游，上游水深下降，水面坡降較平緩（$S_f < S_0$），在相同水位下所測得之流量較小。

2. 馬斯金更蓄水觀點：

   • 漲水期入流大於出流（$I > Q$），存在正的楔形蓄水（$S_w > 0$），此時河段蓄存更多水量，因而具備較強的重力與壓力推力，出流加速度為正，相同水位對應之流量偏大。
   • 退水期入流小於出流（$I < Q$），楔形蓄水為負（$S_w < 0$），相同水位對應之流量偏小。

3. 圖形判別結論：

   • 在水位—流量曲線迴圈中，右側（外環，流量較大之一側）為漲水段。
   • 左側（內環，流量較小之一側）為退水段。
   • 整體洪水通過的變化方向為逆時針循環（隨著時間推進，先沿著右側曲線上漲至洪峰水位，再沿著左側曲線退水）。

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(c) 馬斯金更演算係數 $C_0, C_1, C_2$ 之推導

核心觀念

本題考查「單位歷線法」與降雨—逕流卷積。

二小時延時單位歷線表示：流域接受歷時 $2$ 小時、有效降雨深度 $1$ 單位（通常取 $1\text{ cm}$）後，所產生的直接逕流歷線。

由於不計入滲損失，因此：

$$\text{有效降雨}= \text{降雨}$$

若某一個二小時時段的有效降雨深度為 $P$，則其逕流歷線為：

$$Q_d(t)=\frac{P}{1\text{ cm}}U(t)$$

其中 $U(t)$ 為題目所給的二小時單位歷線。各時段逕流歷線再依降雨發生時間平移後相加，最後加上基流量 $2\text{ CMS}$。

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解題方法

1. 將降雨整理為二小時時段

單位歷線的延時為 $2$ 小時，因此將降雨按照二小時分段：

時段	降雨強度	有效降雨深度
$0\sim2$ hr	$2\text{ mm/hr}$	$2\times2=4\text{ mm}$
$2\sim4$ hr	前一小時 $2\text{ mm/hr}$，後一小時 $1.5\text{ mm/hr}$	$2+1.5=3.5\text{ mm}$

換算為單位歷線的降雨單位 $1\text{ cm}=10\text{ mm}$：

$$P_1=\frac{4}{10}=0.4$$ $$P_2=\frac{3.5}{10}=0.35$$

因此，第一個二小時降雨產生 $0.4U(t)$，第二個二小時降雨產生延遲兩小時的 $0.35U(t-2)$。

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2. 計算直接逕流量

題目所給單位歷線如下：

時間 $t$（hr）	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3
$U(t)$（CMS）	0	10	24	35	20	10	0

第一場降雨的逕流歷線為：

$$0.4U(t)$$

第二場降雨發生於 $t=2$ 小時，因此其逕流歷線為：

$$0.35U(t-2)$$

兩者相加可得直接逕流量：

$$Q_d(t)=0.4U(t)+0.35U(t-2)$$

計算如下：

$t$（hr）	$0$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$	$2.5$	$3$	$3.5$	$4$	$4.5$	$5$