112 年 國立臺灣大學土木系碩士班大地甲組（一般生）《土壤力學與基礎工程》

本題旨在了解土壤分類系統（USCS）所需的實驗室試驗及其測試的土體性質。USCS 是一種基於土壤顆粒大小分布和塑性指標進行分類的系統。

為了依據 USCS 分類土壤，通常需要進行以下實驗室試驗：

1. 篩分析 (Sieve Analysis)：

   • 目的：測定土壤中不同粒徑範圍的顆粒所佔的質量百分比。
   • 方法：將乾燥的土壤樣品通過一系列標準篩網，收集並稱量每一篩網上保留的土壤質量，進而計算出通過各篩網的百分比，繪製粒徑分布曲線。
   • 決定性質：
     • 顆粒大小分布 (Particle Size Distribution)：這是 USCS 分類最重要的依據之一，用於區分砂、粉土和黏土，以及判斷級配（例如，均勻級配、良好級配）。
     • 有效粒徑 ($D_{10}$)：影響滲流和壓密參數。
     • 不均勻係數 ($C_u$)：$C_u = D_{60}/D_{10}$，用於判斷級配的良好程度。
     • 曲率係數 ($C_c$)：$C_c = D_{30}^2 / (D_{10} \times D_{60})$，用於判斷級配的連續性。

2. 液限試驗 (Liquid Limit Test) 和 塑限試驗 (Plastic Limit Test)：

   • 目的：測定土壤在不同含水量下的狀態變化。液限是土壤從塑性狀態轉變為流動性狀態時的含水量；塑限是土壤從塑性狀態轉變為半固體狀態時的含水量。
   • 方法：
     • 液限：通常使用 Casagrande 液限儀或振動液限儀，記錄不同敲擊次數或振動次數下，溝槽閉合時的含水量，繪製含水量與敲擊次數（或振動次數）的關係曲線，外插至 25 次敲擊（或對應的振動次數）時的含水量，即為液限 ($LL$)。
     • 塑限：將土壤揉捏成細線，記錄細線開始斷裂時的含水量，即為塑限 ($PL$)。
   • 決定性質：
     • 液限 ($LL$)：描述土壤在高含水量下的流動性。
     • 塑限 ($PL$)：描述土壤的可塑性下限。
     • 塑性指數 ($PI$)：$PI = LL - PL$，表示土壤的塑性範圍。PI 是區分粉土和黏土，以及判斷黏土的塑性程度（低塑性、中塑性、高塑性）的關鍵指標。

本題主要考察土壤的抗剪強度參數，包括直剪試驗、三軸試驗的比較，以及影響砂土摩擦角的因素，最後還包含黏土的無圍壓壓縮試驗。

(i) 直剪試驗求抗剪強度參數

對於無黏性土，其抗剪強度可由莫爾-庫侖破壞準則表示為 $\tau_f = \sigma' \tan \phi'$，其中 $\tau_f$ 為最大剪應力，$\sigma'$ 為有效正向應力，$\phi'$ 為有效摩擦角。此處為無黏性土，故黏聚力 $c' = 0$。

已知數據：

正常應力 $\sigma_n$ (kPa)	試驗 1	試驗 2	試驗 3
50	28	57	112

由於直剪試驗中，剪應力 $\tau_f$ 與正向應力 $\sigma_n$ 的關係通常為線性，我們可以將給定的數據點繪製在 $\tau_f$ 對 $\sigma_n$ 的圖上，並求得直線的斜率，即為摩擦角 $\phi'$。
假設數據點為 $(\sigma_{n1}, \tau_{f1}) = (50, 28)$，$(\sigma_{n2}, \tau_{f2}) = (100, 57)$，$(\sigma_{n3}, \tau_{f3}) = (200, 112)$。
由於是無黏性土，破壞準則為 $\tau_f = \sigma_n \tan \phi'$。
從點 1: $28 = 50 \tan \phi'_1 \implies \tan \phi'_1 = 28/50 = 0.56 \implies \phi'_1 = \arctan(0.56) \approx 29.25^\circ$
從點 2: $57 = 100 \tan \phi'_2 \implies \tan \phi'_2 = 57/100 = 0.57 \implies \phi'_2 = \arctan(0.57) \approx 29.69^\circ$
從點 3: $112 = 200 \tan \phi'_3 \implies \tan \phi'_3 = 112/200 = 0.56 \implies \phi'_3 = \arctan(0.56) \approx 29.25^\circ$

數據點之間存在些微差異，這是實驗誤差所致。我們可以取平均值或進行線性迴歸。
若採用線性迴歸，將點 $(50, 28), (100, 57), (200, 112)$ 代入 $\tau_f = m \sigma_n$。
斜率 $m = (\sum \sigma_n \tau_f - n \bar{\sigma}_n \bar{\tau}_f) / (\sum \sigma_n^2 - n \bar{\sigma}_n^2)$
$\bar{\sigma}_n = (50+100+200)/3 = 350/3 \approx 116.67$
$\bar{\tau}_f = (28+57+112)/3 = 197/3 \approx 65.67$
$\sum \sigma_n \tau_f = 50 \times 28 + 100 \times 57 + 200 \times 112 = 1400 + 5700 + 22400 = 29500$
$\sum \sigma_n^2 = 50^2 + 100^2 + 200^2 = 2500 + 10000 + 40000 = 52500$
$n=3$
$m = (29500 - 3 \times (350/3) \times (197/3)) / (52500 - 3 \times (350/3)^2)$
$m = (29500 - 65.67 \times 116.67) / (52500 - 3 \times 13611.11)$
$m = (29500 - 7666.67) / (52500 - 40833.33) = 21833.33 / 11666.67 \approx 1.871$
這個斜率似乎太大了，可能計算有誤。

讓我們直接觀察數據點：
點 1: $\tau_f/\sigma_n = 28/50 = 0.56$
點 2: $\tau_f/\sigma_n = 57/100 = 0.57$
點 3: $\tau_f/\sigma_n = 112/200 = 0.56$
這三個比值非常接近，平均值約為 0.5633。
因此，$\tan \phi' \approx 0.5633$。
$\phi' = \arctan(0.5633) \approx 29.39^\circ$

由於是無黏性土，抗剪強度參數為 $c' = 0$ 且 $\phi' \approx 29.4^\circ$。

【答案】
$c' = 0$ kPa，$\phi' \approx 29.4^\circ$。

(ii) CD 三軸試驗與直剪試驗的比較

核心觀念

本題考查淺基礎承載力的：

1. 短期與長期排水條件。
2. Meyerhof 承載力公式及地下水位修正。
3. 地基承載力破壞型態。

Meyerhof 極限承載力公式為

$$q_u = c'N_c s_c d_c + q'N_q s_q d_q + \frac{1}{2}\gamma' B N_\gamma s_\gamma d_\gamma$$

其中：

• $c'$：有效凝聚力。
• $q'$：基礎底面以上土層的有效上覆壓力。
• $\gamma'$：基礎底面以下土層的有效單位重。
• $B$：基礎寬度。
• $s$：形狀因子。
• $d$：埋置深度因子。

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（i）短期或長期承載力控制

Site A：砂土

砂土滲透性高，受載時孔隙水壓容易消散，通常以排水條件下的有效應力分析。

因此砂土的短期與長期承載力通常近似相同：

$$q_{u,\text{short}} \approx q_{u,\text{long}}$$

設計時直接採用有效應力法，沒有明顯的短期或長期控制差異。

Site B：正常壓密黏土

正常壓密黏土通常具有較低的不排水剪力強度 $s_u$。短期施工與加載時，孔隙水尚未充分排出，應採用不排水分析：

$$\phi_u=0$$

短期承載力約為

$$q_u \approx s_u N_c+q$$

長期則需考慮排水及固結後的有效應力強度。由於正常壓密黏土在短期的不排水強度通常較低，短期承載力控制設計。

Site C：高度超壓密黏土，$OCR>5$

高度超壓密黏土的短期不排水強度通常較高，且快速加載時可能產生負超額孔隙水壓，使有效應力暫時增加，短期承載力相對較大。

但長期排水、負超額孔隙水壓消散後，土體回復至較低的有效應力狀態，必須採用有效應力參數 $c'$、$\phi'$ 計算。因此長期排水承載力控制設計。

【答案】

• Site A：短期與長期承載力近似相同，以排水有效應力分析。
• Site B：短期承載力控制。
• Site C：長期承載力控制。

判斷竅門是：

$$\text{砂土：短期即近似排水；正常壓密黏土：短期控制；超壓密黏土：長期控制。}$$

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（ii）Meyerhof 公式計算極限承載力

已知條件

$$B=L=3\ \text{m}$$ $$D_f=1\ \text{m}$$ $$\phi'=32^\circ,\qquad c'=0$$

地下水位位於地表下 $0.5\ \text{m}$，因此基礎底面以上有：

• $0.5$ m 位於地下水位以上；
• $0.5$ m 位於地下水位以下。

取水的單位重為

$$\gamma_w=9.81\ \text{ kN/m}^3$$

1. 有效上覆壓力 $q'$

基礎底面以上的有效上覆壓力為

$$q' = 18(0.5)+(20-9.81)(0.5)$$ $$q'=9+5.095=14.095\ \text{kPa}$$

基礎底面以下為飽和砂土，其有效單位重為

$$\gamma'=20-9.81=10.19\ \text{kN/m}^3$$

2. 承載力因子

主動土壓力係數的倒數形式為

$$K_p=\tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi'}{2}\right)$$

因此

$$K_p=\tan^2(61^\circ)\approx 3.25$$ $$N_q = e^{\pi\tan\phi'} \tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi'}{2}\right)$$ $$N_q\approx 23.18$$ $$N_c=(N_q-1)\cot\phi'$$

由於 $c'=0$，$c'N_c$ 項為零，$N_c$ 不影響本題結果。

依題目給定：

核心觀念

本題考查：

1. 大面積填土所造成的一維壓密沉陷。
2. Terzaghi 一維壓密理論中的時間因子 $T_v$、壓密度 $U$。
3. 以預壓填土提高短期沉陷量，使正式填土所需的沉陷在使用前完成。

由圖可知：

• 砂層厚度：$5\ \text{m}$
• 黏土層厚度：$H=10\ \text{m}$
• 黏土初始孔隙比：$e_0=1.0$
• 壓縮指數：$C_c=0.36$
• 壓密係數：$C_v=4.0\ \text{m}^2/\text{yr}$
• 基岩不透水，因此黏土層為單向排水
• 地下水位位於砂層頂部
• 填土高度：$4\ \text{m}$
• 填土單位重：$20\ \text{kN/m}^3$

取 $\gamma_w=10\ \text{kN/m}^3$。

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(i) 初級壓密沉陷

1. 填土造成的應力增量

由於填土範圍很大，可視為大面積均佈荷載：

$$\Delta \sigma = \gamma_{\text{emb}}H_{\text{emb}} =20(4)=80\ \text{kPa}$$

2. 黏土層中央的初始有效應力

黏土中央位於砂層下方 $5\ \text{m}$，並位於黏土層內 $5\ \text{m}$。

砂層有效單位重：

$$\gamma'_{\text{sand}}=19-10=9\ \text{kN/m}^3$$

黏土有效單位重：

$$\gamma'_{\text{clay}}=18-10=8\ \text{kN/m}^3$$

因此黏土中央初始有效應力為：

$$\sigma'_0 =5(9)+5(8) =85\ \text{kPa}$$

填土完成後：

$$\sigma'_f=\sigma'_0+\Delta\sigma =85+80=165\ \text{kPa}$$

3. 正常壓密黏土沉陷

假設黏土為正常壓密黏土，初級壓密沉陷為：

$$S_c= \frac{C_cH}{1+e_0} \log_{10}\left( \frac{\sigma'_0+\Delta\sigma}{\sigma'_0} \right)$$

代入：

$$S_c= \frac{0.36(10)}{1+1.0} \log_{10}\left(\frac{165}{85}\right)$$ $$S_c =1.8\log_{10}(1.941) \approx 0.516\ \text{m}$$

因此：

$$\boxed{S_c\approx 0.52\ \text{m}}$$

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(ii) 沉陷—時間關係

1. 排水路徑

上方砂層可排水，下方基岩不透水，因此為單向排水：

$$H_d=10\ \text{m}$$

時間因子：

$$T_v=\frac{C_vt}{H_d^2} =\frac{4t}{10^2} =0.04t$$

其中 $t$ 以年為單位。

2. 壓密度與時間因子

題目提供：

當 $U\leq 60\%$ 時，

$$T_v=\frac{\pi}{4} \left(\frac{U}{100}\right)^2$$

因此：

$$U(t)=100\sqrt{\frac{4T_v}{\pi}}$$

代入 $T_v=0.04t$：

$$\boxed{ U(t)=100\sqrt{\frac{0.16t}{\pi}} } \qquad (U\leq60\%)$$

沉陷—時間關係為：

$$S(t)=U(t)S_c$$

所以在初期：

核心觀念

牆背與回填土介面無摩擦，採用 Rankine 主動土壓理論：

$$K_a=\frac{1-\sin\phi'}{1+\sin\phi'}$$

本題 $\phi'=30^\circ$，因此

$$K_a=\frac{1-\sin30^\circ}{1+\sin30^\circ} =\frac{1}{3}$$

取水的單位重 $\gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3$，牆高 $H=5\ \text{m}$。

深度 $z$ 由地表向下量，則主動土壓合力為壓力圖面積，作用點由壓力圖形心決定。

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(a) 回填土乾燥

乾砂單位重：

$$\gamma=18\ \text{kN/m}^3$$

有效垂直應力為：

$$\sigma_v'=\gamma z$$

主動側向土壓：

$$\sigma_{ha}'=K_a\sigma_v' =\frac{1}{3}(18z) =6z$$

因此：

• 地表：$\sigma_{ha}'=0$
• 牆底：$\sigma_{ha}'=6(5)=30\ \text{kPa}$

壓力分布為三角形，總主動土壓合力：

$$P_a=\frac{1}{2}(30)(5) =75\ \text{kN/m}$$

作用點位於牆底以上：

$$y=\frac{H}{3} =\frac{5}{3} =1.67\ \text{m}$$

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(b) 牆完全浸沒於水中

由圖可知牆的兩側均受水壓，因此牆背與牆前的靜水壓相互抵消，剩下飽和砂土所產生的有效主動土壓。

浮重度：

$$\gamma'=\gamma_{\text{sat}}-\gamma_w =20-9.81 =10.19\ \text{kN/m}^3$$

有效垂直應力：

$$\sigma_v'=\gamma' z$$

牆背土體有效主動側壓：

$$\sigma_{ha,\text{soil}}'=K_a\gamma' z =\frac{1}{3}(10.19z) =3.397z$$

牆底有效側壓：

$$\sigma_{ha,\text{soil}}'(5) =16.99\ \text{kPa}$$

因此淨側向壓力圖為三角形，合力：

$$P_a=\frac{1}{2}(16.99)(5) =42.48\ \text{kN/m}$$

作用點：

$$y=\frac{H}{3}=1.67\ \text{m}$$

說明：牆背的總側壓為

$$\sigma_{h,\text{back}} =K_a\gamma'z+\gamma_wz$$

牆前水壓為 $\gamma_wz$，兩者相減後，淨壓力即為 $K_a\gamma'z$。

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(c) 地下水位位於地表

此時牆背土體完全飽和，但牆前沒有相同高度的水壓抵消，因此必須同時計算：

1. 飽和土的有效主動土壓；
2. 牆背孔隙水壓。

有效土壓：

$$\sigma_{ha,\text{soil}}' =K_a\gamma'z =3.397z$$

孔隙水壓：

$$u=\gamma_w z=9.81z$$

牆背總側向壓力：

$$\sigma_{ha} =\sigma_{ha,\text{soil}}'+u =(3.397+9.81)z =13.207z$$

牆底總側壓：

$$\sigma_{ha}(5) =66.04\ \text{kPa}$$

總主動側向推力：

$$P_a=\frac{1}{2}(66.04)(5) =165.10\ \text{kN/m}$$

作用點：

$$y=\frac{H}{3}=1.67\ \text{m}$$