114 年 國立臺灣大學土木系碩士班大地甲組（一般生）《土壤力學與基礎工程》

本題主要在測試土壤基本性質的判讀與計算能力，包含土壤顆粒級配曲線的繪製、飽和單位重計算，以及根據土壤分類與深度計算其剪力強度。

(a) 土壤顆粒級配曲線繪製

土壤顆粒級配曲線繪製的步驟如下：

1. 計算累計通過百分比：首先，需要計算通過各篩網的土壤百分比。總土量需先計算，包括所有篩網上保留的土以及 Pan（篩底）中的土。
   總土量 = 0 + 18 + 36 + 54 + 72 + 54 + 54 + 54 + 18 = 360 g

   US sieve	Opening(mm)	Mass retained (g)	Cumulative Mass Retained (g)	Cumulative % Retained	% Passing
   4	4.750	0	0	0	100
   10	2.000	18	18	$18/360 \times 100\% = 5\%$	95
   20	0.850	36	$18+36=54$	$54/360 \times 100\% = 15\%$	85
   40	0.425	54	$54+54=108$	$108/360 \times 100\% = 30\%$	70
   60	0.250	72	$108+72=180$	$180/360 \times 100\% = 50\%$	50
   80	0.180	54	$180+54=234$	$234/360 \times 100\% = 65\%$	35
   100	0.150	54	$234+54=288$	$288/360 \times 100\% = 80\%$	20
   200	0.075	54	$288+54=342$	$342/360 \times 100\% = 95\%$	5
   Pan		18	$342+18=360$	$360/360 \times 100\% = 100\%$	0

2. 繪製曲線：以對數座標軸繪製曲線，橫軸為顆粒直徑 (mm)，縱軸為通過百分比 (%)。

   • 將各篩網的 Opening (mm) 作為 X 座標。
   • 將對應的 % Passing 作為 Y 座標。
   • 由於 Pan 的土粒徑小於 0.075 mm，一般會將其視為一個點，例如假設其平均粒徑，或在曲線末端平滑連接。
   • 連接各點繪製出土壤顆粒級配曲線。
   • 從曲線中可以讀出 D10, D30, D60 等值，並計算均勻係數 $C_u = D_{60}/D_{10}$ 及曲率係數 $C_c = D_{30}^2 / (D_{10} \times D_{60})$，用以判斷土壤的級配情況（例如：級配不良或良好）。

(b) 飽和單位重計算

土壤試體尺寸：長 = 10 cm，寬 = 10 cm，高 = 2.5 cm。
試體體積 $V = 10 \times 10 \times 2.5 = 250 \text{ cm}^3 = 2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^3$。
水份含量 $w = 28\% = 0.28$。

首先，我們需要利用篩分析結果來推斷土壤的顆粒密度（通常假設為石英的密度 $G_s = 2.65$）。然而，題目並未直接給出 $G_s$ 或土壤的體積，因此我們嘗試利用篩分析結果來估計土壤的顆粒組成。
觀察篩分析結果，大部分的土粒通過 200 篩 (0.075 mm)，表示土壤含有相當比例的細粒土（粉土或黏土）。
我們可以估算土壤的平均比重 $G_s$。由於題目未提供，我們採用一般土壤力學中常用的假設值，即砂土的 $G_s$ 約為 2.65。若土壤含有大量細粒土，則平均 $G_s$ 會略低。在此先假設 $G_s = 2.65$。

對於飽和土壤，其飽和單位重 $\gamma_{sat}$ 的計算公式為：
$\gamma_{sat} = \frac{G_s + Se}{1+e} \gamma_w$
其中，$S$ 是飽和度，$e$ 是孔隙比，$\gamma_w$ 是水的單位重（約 9.81 kN/m³）。
對於飽和土壤，$S=1$，所以
$\gamma_{sat} = \frac{G_s + e}{1+e} \gamma_w$

我們需要由水份含量 $w$ 和孔隙比 $e$ 計算 $\gamma_{sat}$。
由水份含量 $w$ 和孔隙比 $e$ 的關係式：$wG_s = eS$。
對於飽和土壤， $S=1$，所以 $wG_s = e$。
$\gamma_{sat} = \frac{G_s + wG_s}{1+wG_s} \gamma_w = \frac{G_s(1+w)}{1+wG_s} \gamma_w$

在此題目中，我們有 $w = 0.28$。但我們還需要 $G_s$。
在沒有提供 $G_s$ 的情況下，我們可能需要從篩分析結果推斷。
從 Table 1.1，我們看到：

• 4號篩 (4.75mm) 通過 0%，表示沒有粗砂。
• 10號篩 (2.00mm) 通過 5%，表示只有少量粗砂。
• 20號篩 (0.85mm) 通過 15%。
• 40號篩 (0.425mm) 通過 30%。
• 60號篩 (0.250mm) 通過 50%。
• 80號篩 (0.180mm) 通過 65%。
• 100號篩 (0.150mm) 通過 80%。
• 200號篩 (0.075mm) 通過 95%。
• Pan (小於 0.075mm) 佔 5%。

這顯示土壤主要由細砂、粉土和黏土組成。
若將土壤視為均質材料，且所有土粒的平均比重為 $G_s$，則：
$w = \frac{W_w}{W_s} \implies W_w = w W_s$
$V = V_s + V_v = V_s + V_w + V_a$
$\gamma_{sat} = \frac{W_{total}}{V} = \frac{W_s + W_w}{V_s + V_w}$ (假設 $V_a=0$ for saturated soil)

核心觀念

本題考查正常壓密黏土（N.C. clay）的：

1. 預壓（precompression）與超壓密作用。
2. 一維主壓密沉陷。
3. Terzaghi 一維固結理論中的時間因子與平均壓密度。
4. 以超載預先完成未來結構載重所造成的主壓密沉陷。

已知：

$$H=20\ \text{m},\qquad c_v=1.0\ \text{m}^2/\text{month}$$ $$e_0=0.8,\qquad C_c=0.4$$ $$\sigma'_{v0}=200\ \text{kPa},\qquad \Delta\sigma_{(p)}=120\ \text{kPa}$$

黏土上下均為砂層，因此採雙向排水：

$$H_{dr}=\frac{H}{2}=10\ \text{m}$$

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（a）預壓機制與適用時機

預壓機制

預壓是在正式結構施工前，先於地表施加一個大於永久結構載重的暫時性超載。圖中總預壓載重為：

$$\Delta\sigma_{(p+s)} = \Delta\sigma_{(p)}+\Delta\sigma_{(s)}$$

對飽和黏土而言，載重剛施加時，增加的應力主要由孔隙水承擔，產生超額孔隙水壓。隨著孔隙水排出，超額孔隙水壓逐漸消散，增加的有效應力逐漸提高，黏土孔隙比降低並產生主壓密沉陷。

經過預壓期間後移除超載 $\Delta\sigma_{(s)}$，土層已經歷較大的最大有效應力，因此成為超壓密黏土。正式結構完成後，永久載重 $\Delta\sigma_{(p)}$ 所造成的有效應力增加低於預壓時的最大應力，後續主壓密沉陷即可大幅減少，甚至在設計上視為已於施工前完成。

需要考慮預壓的情況

通常在下列情況採用預壓：

• 地基為厚層、低滲透性的飽和軟黏土。
• 結構載重會造成顯著主壓密沉陷。
• 允許沉陷量很小，或對差異沉陷特別敏感。
• 工程可以預留預壓所需的施工時間。
• 希望在正式結構施工前，先完成大部分沉陷並提高地基有效應力。

本題黏土厚達 $20\ \text{m}$，且 $c_v$ 不大，屬於需要評估預壓效果的典型情況。

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（b）未採用預壓時的總主壓密沉陷

正常壓密黏土的主壓密沉陷公式為：

$$S_c = \frac{H C_c}{1+e_0} \log_{10} \left( \frac{\sigma'_{v0}+\Delta\sigma_{(p)}} {\sigma'_{v0}} \right)$$

代入：

$$S_c = \frac{20(0.4)}{1+0.8} \log_{10} \left( \frac{200+120}{200} \right)$$ $$S_c = 4.444 \log_{10}(1.6)$$ $$\log_{10}(1.6)=0.2041$$

因此：

$$\boxed{S_c\approx 0.907\ \text{m}}$$

未採用預壓時，結構載重所造成的總主壓密沉陷約為：

$$\boxed{90.7\ \text{cm}}$$

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（c）20 個月內完成主壓密所需的超載

1. 計算平均壓密度

Terzaghi 時間因子為：

$$T_v=\frac{c_v t}{H_{dr}^2}$$

代入 $t=20$ 個月：

$$T_v = \frac{(1.0)(20)}{10^2} = 0.20$$

平均壓密度可由一維固結級數解求得：

本題主要測試對三軸壓縮試驗 (CD test) 結果的判讀、莫爾-庫倫破壞準則的應用，以及計算剪力強度參數。

(a) 確定剪力強度參數

CD test (Consolidated-Drained test) 得到的參數是有效應力參數 $c'$ 和 $\phi'$。
根據莫爾-庫倫破壞準則，破壞時的剪應力 $\tau_f$ 與正向應力 $\sigma'$ 的關係為：
$\tau_f = c' + \sigma' \tan \phi'$

對於三軸試驗，最大主應力 $\sigma'_1$ 和最小主應力 $\sigma'_3$ (即圍壓) 之間的關係為：
$\sigma'_1 = \sigma'_3 + (\Delta\sigma_d)_f$
其中 $(\Delta\sigma_d)_f$ 是破壞時的偏差應力 (deviator stress)。

從試驗數據中，我們可以得到一系列的 $(\sigma'_1, \sigma'_3)$ 數據對：
試驗 1: $\sigma'_3 = 75$ kPa, $(\Delta\sigma_d)_f = 150$ kPa $\implies \sigma'_1 = 75 + 150 = 225$ kPa
試驗 2: $\sigma'_3 = 150$ kPa, $(\Delta\sigma_d)_f = 300$ kPa $\implies \sigma'_1 = 150 + 300 = 450$ kPa
試驗 3: $\sigma'_3 = 200$ kPa, $(\Delta\sigma_d)_f = 400$ kPa $\implies \sigma'_1 = 200 + 400 = 600$ kPa

我們需要找到一條直線 $\tau_f = c' + \sigma' \tan \phi'$，使其通過由 $(\sigma'_1, \sigma'_3)$ 計算得到的莫爾圓。
對於 CD test，破壞線是通過原點的直線，或者有一個截距 $c'$。
通常，我們將 $(\sigma'_1, \sigma'_3)$ 數據點繪製在 $\sigma'-\tau$ 平面上，畫出對應的莫爾圓，然後畫出包絡線。
或者，我們可以利用以下關係：
$\sigma'_1 = \sigma'_3 \frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'} + c' \frac{2\cos\phi'}{1-\sin\phi'}$
令 $K = \frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'}$ 和 $C = c' \frac{2\cos\phi'}{1-\sin\phi'}$。
則 $\sigma'_1 = K \sigma'_3 + C$。

我們可以對數據進行線性迴歸，或者利用兩個點來求解。
使用試驗 1 和試驗 3 的數據：

1. $225 = K(75) + C$
2. $600 = K(200) + C$

兩式相減：
$600 - 225 = K(200 - 75)$
$375 = K(125)$
$K = 375 / 125 = 3$

將 $K=3$ 代入式 1：
$225 = 3(75) + C$
$225 = 225 + C \implies C = 0$

所以，$\sigma'_1 = 3 \sigma'_3$。
這表示 $C=0$，意味著 $c'=0$。
$K = \frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'} = 3$
$1+\sin\phi' = 3(1-\sin\phi')$
$1+\sin\phi' = 3 - 3\sin\phi'$
$4\sin\phi' = 2$
$\sin\phi' = 0.5$
$\phi' = 30^\circ$

驗證試驗 2 的數據：
若 $\sigma'_3 = 150$ kPa, $\phi' = 30^\circ$, $c'=0$。
則 $\sigma'_1 = 150 \times \frac{1+\sin 30^\circ}{1-\sin 30^\circ} = 150 \times \frac{1+0.5}{1-0.5} = 150 \times \frac{1.5}{0.5} = 150 \times 3 = 450$ kPa。
偏差應力 $(\Delta\sigma_d)_f = \sigma'_1 - \sigma'_3 = 450 - 150 = 300$ kPa。
這與試驗 2 的數據 $(\Delta\sigma_d)_f = 300$ kPa 相符。

本題考驗對地震液化現象及其對開挖工程影響的理解，以及相應的防治對策。

潛在問題 (Potential Problems)：

1. 邊坡失穩與崩塌 (Slope Instability and Collapse)：

   • 液化效應：在地震或持續振動（如附近施工、交通）下，高含水量、細粒含量較高的砂土（如飽和的砂土、粉砂）可能發生液化。液化後，土體失去原有的強度，表現如同流體，無法提供足夠的承載力。
   • 開挖影響：開挖會移除邊坡原有的土體支撐，降低了邊坡的穩定性。若此時發生液化，原本就脆弱的土體將完全失去強度，導致邊坡瞬間崩塌，造成嚴重安全事故。
   • 地下水位影響：地下水位高表示土體飽和度高，更容易發生液化。開挖過程中，若無法有效降低地下水位，液化風險更高。

2. 地下水湧入與湧砂 (Groundwater Inflow and Sand Boil)：

   • 壓力差：開挖會破壞原有的地下水壓力平衡。若土體發生液化，其孔隙水壓力會急劇升高，土體中的水和細砂會被擠壓湧入開挖坑內，形成湧砂現象，並導致開挖底部隆起（Bottom Heave）。
   • 影響施工：大量的地下水湧入會嚴重影響開挖的連續性、安全性和施工效率，增加抽水的工作量和成本。

3. 周邊沉陷與損壞 (Surrounding Settlement and Damage)：

   • 地下水位降低：為了開挖，通常需要進行降排水。若處理不當，地下水位的大幅下降可能導致周邊地區的土體發生固結沉陷，進而損壞周邊建築物、道路、管線等基礎設施。
   • 液化後的變形：即使在非地震期間，如果土體潛在液化風險高，開挖擾動也可能導致局部變形，影響周邊結構。

4. 開挖設備與人員安全風險 (Safety Risks for Equipment and Personnel)：

   • 邊坡崩塌、湧砂、大量湧水等都會對開挖現場的機械設備和作業人員構成嚴重威脅。

解決方案 (Solutions)：

1. 改良土壤性質 (Soil Improvement)：
   • 排水固結：在開挖前，透過設置排水孔（如砂井、排水板）或預壓（如砂袋預壓）來加速黏土層的排水固結，降低孔隙水壓力，提高土體強度，降低液化潛勢。

核心觀念

本題為分層土中樁基礎之極限承載力分析，總承載力由樁身摩擦力與樁端承載力組成：

$$Q_u=Q_s+Q_b$$

其中：

• 黏土層樁身摩擦力採黏附法：
  $f_s=\alpha c_u$
• 砂土層樁身摩擦力採有效應力法：
  $f_s=K\sigma_v'\tan\phi'$
• 砂土層樁端承載力：
  $q_b=N_q\sigma_{v,b}'$

樁徑 $D=0.5\ \text{m}$，因此：

$$A_p=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.5)^2}{4} =0.19635\ \text{m}^2$$ $$u=\pi D=1.5708\ \text{m}$$

臨界深度：

$$L'=20D=20(0.5)=10\ \text{m}$$

地下水位位於地表，因此砂土及黏土均以浮重度計算有效應力。取 $\gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3$。

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解題方法

樁尖位於深度 $20\ \text{m}$ 的砂層中。由於臨界深度為 $10\ \text{m}$，砂層中的有效應力採用深度 $10\ \text{m}$ 處的值作為上限。

1. 黏土層樁身摩擦力

由圖 5.2：

• $c_{u,1}=50\ \text{kPa}$ 時，$\alpha_1=1.0$
• $c_{u,2}=100\ \text{kPa}$ 時，$\alpha_2=0.5$

黏土 1：

$$Q_{s1}=u(\alpha_1c_{u,1})L_1$$ $$Q_{s1} =(1.5708)(1.0)(50)(5) =392.7\ \text{kN}$$

黏土 2：

$$Q_{s2}=u(\alpha_2c_{u,2})L_2$$ $$Q_{s2} =(1.5708)(0.5)(100)(5) =392.7\ \text{kN}$$

因此黏土層總樁身摩擦力為：

$$Q_{s,\text{clay}}=392.7+392.7=785.4\ \text{kN}$$

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2. 砂層樁身摩擦力

深度 $10\ \text{m}$ 處的有效垂直應力為：

$$\sigma_v'(10) =(17.5-9.81)(5)+(19.5-9.81)(5)$$ $$\sigma_v'(10) =38.45+48.45 =86.90\ \text{kPa}$$

因為砂層樁身長度為 $10\ \text{m}$，且已達臨界深度，取：

$$\sigma_v'=86.90\ \text{kPa}$$

砂層單位樁身摩擦力：