114 年 國立臺灣大學土木系碩士班水利組（一般生）《流體力學（C）》

核心觀念

本題主要考查：

1. 開放渠道的能量方程。
2. 閘門造成的局部能量損失。
3. 超臨界流與亞臨界流的水面線判斷。
4. 閘門下縮流與水躍現象。

以單位渠道寬度表示流量，令

$$q=vh$$

其中 $q$ 為單位寬度流量，$v$ 為平均流速。水深為 $y$ 時，其速度為

$$V=\frac{q}{y}.$$

依原卷圖中公式，閘門能量損失為

$$h_L=5\frac{V^2}{2g}.$$

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(a) $H$ 與 $h$ 的關係

取上游大水庫自由液面與下游均勻流斷面之間套用能量方程。

大水庫表面流速可視為零，且兩點間無摩擦損失、無軸功輸入，因此

$$H=h+\frac{v^2}{2g}+h_L.$$

代入

$$h_L=5\frac{v^2}{2g},$$

可得

$$H=h+6\frac{v^2}{2g}.$$

因此

$$\boxed{H=h+\frac{3v^2}{g}}.$$

又因為下游均勻流的單位寬度流量為

$$q=vh,$$

所以

$$v=\frac{q}{h}.$$

代入後得到

$$\boxed{H=h+\frac{3q^2}{gh^2}}.$$

亦可寫成無因次形式：

$$\boxed{\frac{H}{h}=1+3Fr_h^2}$$

其中

$$Fr_h=\frac{v}{\sqrt{gh}}$$

為下游斷面的弗勞德數。

由於右側大於 $1$，所以

$$H>h.$$

也就是上游水庫水面高程必須大於下游均勻流水深。

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(b) 降低第二道閘門後的流況

第一道閘門使水流由大水庫流出，水流通過閘門後會加速，通常形成超臨界流。當第二道閘門的開口縮小至小於原本下游均勻流水深 $h$ 時，流況會發生以下變化：

1. 閘門開口縮小，使流通面積減少。

2. 由連續方程

   $$q=VA,$$

   在單位寬度下即為

   $$q=Vd,$$

   因此閘門下的流速增加。

3. 流速增加會使閘門下游附近的水深變小，形成縮流與局部超臨界流。

4. 超臨界流無法將下游邊界條件向上游傳遞，因此第二道閘門不會使第一道閘門上游形成長距離壅水。

5. 閘門下游的高速淺水流向下游發展，若需恢復為較深的下游水深，則會經過水躍，將超臨界流轉變為亞臨界流並產生能量損失。

圖中兩條曲線比較如下：

• Curve 1： 表示閘門上游水深增加的壅水型水面線，屬於亞臨界流控制的情形。
• Curve 2： 表示閘門附近水深降低、流速增加的抽降型水面線，符合閘門下形成超臨界流的情形。

由於第一道閘門後的流況本來就是高速超臨界流，且第二道閘門的開口小於原下游水深，因此較合理的最終水面線為：

$$\boxed{\text{Curve 2}}$$

核心觀念

本題主要考查：

• 二維不可壓縮流的流函數與速度分量關係
• 渦度與無旋流判定
• 流線方程 $\psi=\text{constant}$
• 加速度場的材料導數
• 壓力梯度與動量方程
• 停滯點與流線交會的意義

採用二維流函數定義

$$u=\frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x},$$

其中 $u$、$v$ 分別為 $x$、$y$ 方向速度。

已知

$$\psi=x^2y.$$

因此

$$u=\frac{\partial (x^2y)}{\partial y}=x^2,$$ $$v=-\frac{\partial (x^2y)}{\partial x}=-2xy.$$

故速度場為

$$\boxed{\boldsymbol{V}=(u,v)=(x^2,-2xy)}.$$

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(1) 是否為無旋流場？計算渦度並證明

二維流動的 $z$ 方向渦度為

$$\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y}.$$

由

$$v=-2xy,\qquad u=x^2,$$

可得

$$\frac{\partial v}{\partial x}=-2y, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=0.$$

因此

$$\omega_z=-2y.$$

也可以利用流函數直接表示：

$$\omega_z=-\nabla^2\psi.$$

因為

$$\nabla^2\psi = \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} = 2y+0=2y,$$

所以

$$\omega_z=-2y.$$

無旋流的必要條件為

$$\omega_z=0.$$

本題中只有在 $y=0$ 的 $x$ 軸上渦度為零；在一般位置 $y\neq 0$ 時，

$$\omega_z\neq 0.$$

因此整個流場不是無旋流場。

$$\boxed{\text{此流場不是無旋流場，渦度為 }\boldsymbol{\omega}=(0,0,-2y).}$$

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(2) 證明 $x$ 軸與 $y$ 軸皆為流線

二維定常流的流線可由

$$\psi=C$$

表示，其中 $C$ 為常數。

本題流線方程為

$$x^2y=C.$$

$x$ 軸

在 $x$ 軸上，$y=0$，因此

$$\psi=x^2(0)=0.$$

所以整條 $x$ 軸皆滿足

$$\psi=0.$$

因此 $x$ 軸為流線。

也可直接驗證速度方向。在 $y=0$ 時，

$$u=x^2,\qquad v=0.$$

速度只有 $x$ 方向分量，故流體沿著 $x$ 軸流動。

$y$ 軸

在 $y$ 軸上，$x=0$，因此

$$\psi=(0)^2y=0.$$

所以整條 $y$ 軸也滿足

$$\psi=0.$$

因此 $y$ 軸為流線。

直接驗證時，在 $x=0$ 有

$$u=0,\qquad v=0.$$

所以 $y$ 軸上的流體速度為零，該軸仍可視為由 $\psi=0$ 所定義的流線。

故

$$\boxed{x\text{ 軸與 }y\text{ 軸皆為 }\psi=0\text{ 的流線。}}$$

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(3) 在 $(x,y)$ 平面繪出至少三條流線

流線方程為

$$x^2y=C,$$

因此

$$\boxed{y=\frac{C}{x^2}},\qquad x\neq 0.$$

可選擇三個不同的常數，例如：

流線一：$C=1$

$$y=\frac{1}{x^2}.$$

這是一條位於 $x$ 軸上方的曲線，且在 $x=0$ 附近向上無限延伸；當 $|x|\to\infty$ 時，$y\to 0^+$。

流線二：$C=4$

$$y=\frac{4}{x^2}.$$

同樣位於 $x$ 軸上方，但整體比 $C=1$ 的流線更高。

流線三：$C=-1$

$$y=-\frac{1}{x^2}.$$

這是一條位於 $x$ 軸下方的曲線；當 $x\to 0$ 時，$y\to-\infty$，當 $|x|\to\infty$ 時，$y\to0^-$。

此外，$x$ 軸與 $y$ 軸都是 $C=0$ 的流線。

示意圖應呈現下列特徵：

• $C>0$ 的流線位於 $x$ 軸上方。
• $C<0$ 的流線位於 $x$ 軸下方。
• 每一條 $y=C/x^2$ 具有左右對稱的兩個分支。
• $x=0$ 與 $y=0$ 分別是其漸近線。
• $C=0$ 時退化為 $x$ 軸與 $y$ 軸的聯集。

可繪製例如

$$y=\frac{1}{x^2},\qquad y=\frac{4}{x^2},\qquad y=-\frac{1}{x^2},$$

再加上 $x$ 軸與 $y$ 軸，即可清楚表達流線分布。

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(4) 計算加速度場

定常二維流的加速度為

核心觀念

本題使用：

1. 靜水壓分布
   $p=\gamma h$

2. 曲面所受靜水總力分解：

   • 水平分力：等於曲面在垂直平面上投影面積所受的靜水力。
   • 垂直分力：等於曲面上方假想水體的重量。

3. 小孔出流採用 Torricelli 定律：
   $V=\sqrt{2gh}$

其中水的單位重取

$\gamma=\rho g=9.81\ \text{kN/m}^3$

由圖得矩形管寬度 $b=1\ \text{m}$，四分之一圓管半徑 $R=1\ \text{m}$；自由液面至 $AB$ 高差為 $1\ \text{m}$，而 $AB$ 至 $CD$ 高差為 $1\ \text{m}$。

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(a) 靜水作用力

(1) 曲面 $ABCD$

水平分力

曲面 $ABCD$ 在垂直平面上的投影為 $1\text{ m}\times1\text{ m}$ 的矩形。

其形心距自由液面：

$\bar h=1+\frac{1}{2}=1.5\ \text{m}$

故水平分力為

$F_H=\gamma A_p\bar h$

$F_H=(9.81)(1)(1.5)=14.715\ \text{kN}$

方向為水平方向，指向曲面外側。

垂直分力

曲面上方假想水體的截面積為：

$A_v=(1)(1)+\frac{\pi R^2}{4}$

代入 $R=1\text{ m}$：

$A_v=1+\frac{\pi}{4}=1.7854\ \text{m}^2$

乘以寬度 $b=1\text{ m}$，假想水體體積為

$V_v=1.7854\ \text{m}^3$

因此垂直分力為

$F_V=\gamma V_v$

$F_V=(9.81)(1.7854)=17.51\ \text{kN}$

方向向下。

合力與方向

$F_{ABCD}=\sqrt{F_H^2+F_V^2}$

$$F_{ABCD} =\sqrt{(14.715)^2+(17.51)^2} =22.87\ \text{kN}$$

合力與水平線夾角為

$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{F_V}{F_H}\right)$

$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{17.51}{14.715}\right) =50.0^\circ$$

因此合力方向為水平向外、向下 $50.0^\circ$。

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(2) 平面 $EFCD$

$EFCD$ 為水平矩形面，面積為

$A_{EFCD}=1\times1=1\ \text{m}^2$

其位置距自由液面深度為

$h=1+1=2\ \text{m}$

故水作用於此面的力為

$F_{EFCD}=\gamma hA$

$F_{EFCD}=(9.81)(2)(1)=19.62\ \text{kN}$

方向垂直向下。

由於此面為水平面，沒有水平分力，因此合力就是垂直力。

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此題主要考驗邊界層理論、相似性原理 (Similitude) 和量綱分析 (Dimensional Analysis)，特別是如何應用於水力結構物（橋墩）的流體動力學問題。

核心觀念：

1. 相似性原理： 模型試驗的目的是在縮小比例下模擬真實情況，必須滿足幾何相似、運動相似和動力相似。
2. 量綱分析 (Buckingham Pi Theorem)： 確定影響某一物理現象的變量之間的關係，將這些變量組合成無量綱參數。
3. 雷諾數 (Reynolds Number, Re)： 表徵慣性力與黏性力之比，是流體力學中最重要的無量綱參數之一，對於相似性至關重要。
4. 馬赫數 (Mach Number, M)： 表徵流體慣性力與可壓縮性力（或音速）之比，當流速遠小於音速時，可壓縮性可忽略。
5. 重力數 (Froude Number, Fr)： 表徵流體慣性力與重力之比，對於自由表面流（如河流）的相似性很重要。
6. 物體受力分析： 作用在物體上的力（如阻力）通常與流體性質、流速、物體尺寸和形狀有關。

解題過程：

a) 涉及的物理現象變量

此現象是圓柱形橋墩在河流中的受力問題。真實情況是一個寬闊的河流，其中有橋墩，流體（水）在橋墩周圍流動，對橋墩產生衝擊力。實驗室中用一個縮小的模型來模擬。

我們需要列出所有影響這個物理現象的變量。

1. 幾何參數：

   • 橋墩直徑：$D$ (真實值)
   • 模型比例：$L_r$ (長度比，模型長度/真實長度)
   • 河流寬度：$W$ (真實值) - 在題目中提到，但實驗室只考慮單一橋墩，可能在相似性分析中不直接使用，但影響真實情況。
   • 河流深度：$H_{river}$ (真實值) - 同上。
   • 橋墩間距：$S$ (真實值) - 同上。

2. 流體性質：

   • 流體密度：$\rho$ (真實值和模型值，用 $\rho_r$ 表示比值)
   • 流體運動黏度：$\nu$ (真實值和模型值，用 $\nu_r$ 表示比值)
   • 流體體積模數 (用於馬赫數)：$K$ (真實值和模型值)
   • 重力加速度：$g$ (真實值和模型值，通常認為 $g$ 在模型和真實情況下相同)

3. 流動參數：

   • 流體速度：$V$ (真實值)
   • 模型實驗中的流體速度：$V_{model}$
   • 音速：$c$ (真實值和模型值)

4. 輸出結果（力）：

   • 橋墩受到的衝擊力（阻力）：$F$ (真實值)
   • 模型橋墩受到的衝擊力：$F_{model}$ (已知為 5 NT)

整理一下，列出所有獨立變量：

• 幾何尺寸： 橋墩直徑 $D$，模型比例 $L_r$。
• 流體性質： 密度 $\rho$，運動黏度 $\nu$，體積模數 $K$ (或音速 $c$)。
• 重力： $g$。
• 流動參數： 流速 $V$。
• 輸出（力）： 衝擊力 $F$。

進一步細化：
在相似性分析中，我們通常會考慮模型和真實情況之間的比值。

• 長度比：$L_r = D_{model} / D_{real}$
• 密度比：$\rho_r = \rho_{model} / \rho_{real}$
• 運動黏度比：$\nu_r = \nu_{model} / \nu_{real}$
• 速度比：$V_r = V_{model} / V_{real}$
• 壓力比：$P_r = P_{model} / P_{real}$
• 力比：$F_r = F_{model} / F_{real}$

考慮到題目給出的資訊，我們主要關心以下變量：

1. 特徵長度： 橋墩直徑 $D$ (真實值 $D_{real}$，模型值 $D_{model}$)
2. 流體性質： 密度 $\rho$ (真實值 $\rho_{real}$，模型值 $\rho_{model}$)，運動黏度 $\nu$ (真實值 $\nu_{real}$，模型值 $\nu_{model}$)。
3. 流動速度： $V$ (真實值 $V_{real}$，模型值 $V_{model}$)。
4. 重力加速度： $g$。
5. 衝擊力： $F$ (真實值 $F_{real}$，模型值 $F_{model}$)。
6. 音速： $c$ (用於馬赫數，雖然題目沒直接給，但影響流體可壓縮性)。

列出基本量綱 (M, L, T)：

• $D$: L
• $\rho$: M/L³
• $\nu$: L²/T
• $V$: L/T
• $g$: L/T²
• $F$: ML/T²
• $c$: L/T

變量總數： 7 個 (D, $\rho, \nu, V, g, F, c$)。
(如果我們考慮的是模型和真實的「比值」，變量會減少，或者會納入比值作為變量)。

這裡題目是問「involved in this physical phenomenon」，所以列出所有相關變量。
變量：

• 橋墩直徑 $D_{real}$, $D_{model}$
• 流體密度 $\rho_{real}$, $\rho_{model}$
• 流體運動黏度 $\nu_{real}$, $\nu_{model}$
• 流體速度 $V_{real}$, $V_{model}$
• 重力加速度 $g$
• 橋墩受力 $F_{real}$, $F_{model}$
• 音速 $c_{real}$, $c_{model}$ (如果考慮可壓縮性)

基於題目給的訊息，我們可以簡化。
題目提到「length ratio 100」，這意味著 $D_{real}/D_{model} = 100$。
題目給出流體性質的比值：$\rho_r = \rho_{mercury}/\rho_{water}=13.6$ 和 $\nu_r = \nu_{mercury}/\nu_{water}=2$。
這些比值將用於建立模型和真實情況的相似性。

實際列出變量時，可以考慮所有影響力的變量：

• 橋墩直徑 $D$ (真實值)
• 流體密度 $\rho$ (真實值)
• 流體運動黏度 $\nu$ (真實值)
• 流體速度 $V$ (真實值)
• 重力加速度 $g$
• 衝擊力 $F$ (真實值)
• 音速 $c$ (真實值，如果需要考慮馬赫數)

另外，模型試驗的參數也必須納入考慮，因為它們是我們用來模擬真實情況的。

• 模型橋墩直徑 $D_{model}$
• 模型流體密度 $\rho_{model}$
• 模型流體運動黏度 $\nu_{model}$
• 模型流體速度 $V_{model}$
• 模型受力 $F_{model}$
• 模型音速 $c_{model}$

更精簡的列法，考慮影響力的獨立變量（真實情況）：
$F = f(D, V, \rho, \nu, g, c)$
這裡有 6 個變量 (如果忽略 c，則是 5 個)。

如果題目問的是「所有涉及的變量」，那麼應該包括模型和真實情況的參數。
列出所有變量：
$D_{real}, D_{model}, \rho_{real}, \rho_{model}, \nu_{real}, \nu_{model}, V_{real}, V_{model}, g, F_{real}, F_{model}, c_{real}, c_{model}$。
這太多了。

通常，量綱分析是針對一個系統，列出影響結果變量的所有獨立變量。
影響力的獨立變量：
$D$ (直徑), $V$ (速度), $\rho$ (密度), $\nu$ (黏度), $g$ (重力), $c$ (音速)。
共 6 個。
結果變量： $F$ (力)。
共 1 個。
總變量數 k = 7。

基本量綱： M, L, T。共 3 個。
根據 Buckingham Pi Theorem，無量綱參數的數量為 $n = k - r = 7 - 3 = 4$ 個（假設 $g$ 和 $c$ 可以被其他變量組合表示，或者它們是獨立的）。
如果 $g$ 和 $c$ 也是獨立的，那麼 $n=4$。

考慮到題目給的資訊，主要關注：

• $D$ (橋墩直徑)
• $V$ (流速)
• $\rho$ (密度)
• $\nu$ (運動黏度)
• $g$ (重力加速度)
• $F$ (衝擊力)

這 6 個變量，加上基本量綱 3 個，可以得到 $6-3=3$ 個無量綱參數。
但是，題目還提到了音速，所以至少有 7 個變量。

列出所有相關變量，不考慮比值：

• 特徵長度：$D$ (橋墩直徑)
• 速度：$V$
• 密度：$\rho$
• 運動黏度：$\nu$
• 重力加速度：$g$
• 衝擊力：$F$
• 音速：$c$ (用於馬赫數)

如果考慮到模型試驗，則需要模型和真實的參數：
$D_{real}, D_{model}, V_{real}, V_{model}, \rho_{real}, \rho_{model}, \nu_{real}, \nu_{model}, g, F_{real}, F_{model}, c_{real}, c_{model}$。

題目問「List all the variables involved」，所以列出所有潛在影響因素。
考慮到問題 (b) 和 (c) 涉及到相似準則，我們應列出與這些準則相關的變量。

• 幾何： $D$ (橋墩直徑)，$L_r$ (長度比)
• 動力： $V$ (速度)，$\rho$ (密度)，$\nu$ (黏度)，$F$ (力)
• 重力影響： $g$
• 可壓縮性影響： $c$ (音速)

精簡列表：

1. 橋墩直徑 $D$
2. 流體速度 $V$
3. 流體密度 $\rho$
4. 流體運動黏度 $\nu$
5. 重力加速度 $g$
6. 衝擊力 $F$
7. 音速 $c$
8. 長度比 $L_r$ (或模型尺寸 $D_{model}$)

【答案】
橋墩直徑 ($D$)，流體速度 ($V$)，流體密度 ($\rho$)，流體運動黏度 ($\nu$)，重力加速度 ($g$)，衝擊力 ($F$)，音速 ($c$)，以及模型與真實情況的長度比 ($L_r$)。

b) 無量綱參數的推導過程

使用 Buckingham Pi Theorem。
我們已經確定了 8 個相關變量 (D, V, $\rho, \nu, g, F, c, L_r$)。
但是，這 8 個變量中，有些是相關的。
例如，模型和真實情況的參數可以通過比值來聯繫。
$D_{real}, D_{model}, V_{real}, V_{model}, \rho_{real}, \rho_{model}, \nu_{real}, \nu_{model}, c_{real}, c_{model}, F_{real}, F_{model}, g$。
這裡有 13 個變量，如果 $g$ 相同，則 12 個。
如果我們考慮的是力 $F$ 與其他變量的關係：$F = f(D, V, \rho, \nu, g, c, D_{model}, V_{model}, \rho_{model}, \nu_{model}, c_{model})$。

更常見的量綱分析方法是：
確定影響力的獨立變量，然後將它們與結果變量組合，推導無量綱參數。
影響力的獨立變量： $D, V, \rho, \nu, g, c$。 共 6 個。
結果變量： $F$。
基本量綱： M, L, T。共 3 個。
無量綱參數數量 $n = k - r = 7 - 3 = 4$ 個。

我們來推導這 4 個無量綱參數。
通常，我們希望得到與慣性力、黏性力、重力、可壓縮性相關的參數。

1. 慣性力與黏性力之比：雷諾數 (Re)
   慣性力 $\sim \rho V^2 D^2$ (或 $\rho V D^2 / D = \rho V^2 D$)
   黏性力 $\sim \mu V D$ (或 $\rho \nu V D$)
   $Re = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{V D}{\nu}$
   量綱：$(L/T) \cdot L / (L^2/T) = 1$。

2. 慣性力與重力之比：傅汝德數 (Fr)
   慣性力 $\sim \rho V^2 D^2$
   重力 $\sim mg \sim (\rho D^2 L) g$ (體積 $\times$ 密度 $\times$ 加速度)
   $Fr^2 = \frac{\rho V^2 D^2}{\rho D^3 g} = \frac{V^2}{D g}$
   $Fr = \frac{V}{\sqrt{Dg}}$
   量綱：$(L/T) / \sqrt{L \cdot L/T^2} = (L/T) / (L/T) = 1$。
   傅汝德數對於自由表面流很重要。

3. 慣性力與可壓縮性力之比：馬赫數 (M)
   慣性力 $\sim \rho V^2 D^2$
   可壓縮性力 $\sim K D^2$ (體積模數 $\times$ 面積)
   $M^2 = \frac{\rho V^2 D^2}{K D^2} = \frac{\rho V^2}{K}$
   $M = \frac{V}{\sqrt{K/\rho}} = \frac{V}{c}$ (其中 $c = \sqrt{K/\rho}$ 是音速)
   量綱：$(L/T) / (L/T) = 1$。

4. 力與其他參數的組合：
   我們還剩下 $F$。
   力 $F$ 與 $\rho V^2 D^2$ (慣性力的特徵) 的比值。
   阻力係數 $C_D = F / (\frac{1}{2} \rho V^2 A)$，其中 $A$ 是迎流面積 ($\sim D^2$)。
   $C_D = \frac{F}{\frac{1}{2} \rho V^2 D^2}$。
   量綱：$(ML/T^2) / ((M/L^3) \cdot (L/T)^2 \cdot L^2) = (ML/T^2) / (ML/T^2) = 1$。
   阻力係數 $C_D$ 本身就是一個無量綱參數。

推導過程 (Buckingham Pi Theorem)：
基本量綱：M, L, T。
變量：$F, D, V, \rho, \nu, g, c$ (共 7 個)。
$k=7$, $r=3$。
$n = k-r = 7-3 = 4$ 個無量綱參數。

選擇 3 個重複變量 (Repeating Variables)，它們必須包含所有基本量綱。
例如：$\rho, V, D$。

• $\rho$: M/L³
• $V$: L/T
• $D$: L

現在，將每個非重複變量與重複變量組合，形成無量綱參數 $\Pi_i$。

• $\Pi_1$ (與 $\nu$ 相關)：
  $\Pi_1 = \nu^a \rho^b V^c D^d$
  量綱：$M^0 L^0 T^0 = (L^2/T)^a (M/L^3)^b (L/T)^c (L)^d$
  $M: b = 0$
  $T: -a - c = 0 \implies c = -a$
  $L: 2a - 3b + c + d = 0 \implies 2a - 0 - a + d = 0 \implies a + d = 0 \implies d = -a$
  取 $a=1$ (方便起見)，則 $b=0, c=-1, d=-1$。
  $\Pi_1 = \nu^1 \rho^0 V^{-1} D^{-1} = \frac{\nu}{VD}$。
  通常我們取其倒數，並乘以 $\rho$ (但 $\rho$ 的指數是 0，所以 $\rho$ 不影響 Re)。
  $Re = \frac{VD}{\nu}$。

• $\Pi_2$ (與 $g$ 相關)：
  $\Pi_2 = g^a \rho^b V^c D^d$
  量綱：$M^0 L^0 T^0 = (L/T^2)^a (M/L^3)^b (L/T)^c (L)^d$
  $M: b = 0$
  $T: -2a - c = 0 \implies c = -2a$
  $L: a - 3b + c + d = 0 \implies a - 0 - 2a + d = 0 \implies -a + d = 0 \implies d = a$
  取 $a=1$，則 $b=0, c=-2, d=1$。
  $\Pi_2 = g^1 \rho^0 V^{-2} D^1 = \frac{gD}{V^2}$。
  這是傅汝德數的平方 $Fr^2 = V^2 / (Dg)$。所以 $\Pi_2 = 1/Fr^2$。
  我們通常用 $Fr = V / \sqrt{Dg}$。

• $\Pi_3$ (與 $c$ 相關)：
  $\Pi_3 = c^a \rho^b V^c D^d$
  量綱：$M^0 L^0 T^0 = (L/T)^a (M/L^3)^b (L/T)^c (L)^d$
  $M: b = 0$
  $T: -a - c = 0 \implies c = -a$
  $L: a - 3b + c + d = 0 \implies a - 0 - a + d = 0 \implies d = 0$
  取 $a=1$，則 $b=0, c=-1, d=0$。
  $\Pi_3 = c^1 \rho^0 V^{-1} D^0 = \frac{c}{V}$。
  這是馬赫數的倒數 $M = V/c$。所以 $\Pi_3 = 1/M$。
  通常我們用 $M = V/c$。

• $\Pi_4$ (與 $F$ 相關)：
  $\Pi_4 = F^a \rho^b V^c D^d$
  量綱：$M^0 L^0 T^0 = (ML/T^2)^a (M/L^3)^b (L/T)^c (L)^d$
  $M: a + b = 0 \implies b = -a$
  $T: -2a - c = 0 \implies c = -2a$
  $L: a - 3b + c + d = 0 \implies a - 3(-a) - 2a + d = 0 \implies a + 3a - 2a + d = 0 \implies 2a + d = 0 \implies d = -2a$
  取 $a=1$，則 $b=-1, c=-2, d=-2$。
  $\Pi_4 = F^1 \rho^{-1} V^{-2} D^{-2} = \frac{F}{\rho V^2 D^2}$。
  這與阻力係數 $C_D = F / (\frac{1}{2} \rho V^2 A)$ 相關，因為 $A \sim D^2$。

考慮到相似性要求：
為了讓模型試驗能夠準確模擬真實情況，所有對結果（力 $F$）有影響的無量綱參數，在模型和真實情況下都必須相等。
所以，$Re_{model} = Re_{real}$, $Fr_{model} = Fr_{real}$, $M_{model} = M_{real}$。
則 $C_{D, model} = C_{D, real}$。

題目問「Find all the dimensionless parameters (List the process)」
過程：

1. 確定所有影響結果變量的獨立變量及其基本量綱。
2. 應用 Buckingham Pi Theorem，計算無量綱參數的數量。
3. 選擇重複變量，並與非重複變量組合，推導出無量綱參數。
4. 將推導出的無量綱參數命名（如 Re, Fr, M, $C_D$）。

列出推導出的無量綱參數：

1. 雷諾數 $Re = \frac{VD}{\nu}$
2. 傅汝德數 $Fr = \frac{V}{\sqrt{Dg}}$
3. 馬赫數 $M = \frac{V}{c}$