112 年 國立臺灣大學土木系碩士班水利組（在職生）《流體力學（C）》

本題考驗量綱分析（dimensional analysis）的概念，要求判斷公式中常數 0.68 的量綱。

流體力學中的體積流量 $Q$ 的量綱為 $[Q] = \frac{L^3}{T}$。
孔徑 $D$ 的量綱為 $[D] = L$。
液面高度 $h$ 的量綱為 $[h] = L$。
重力加速度 $g$ 的量綱為 $[g] = \frac{L}{T^2}$。

將這些量綱代入給定的公式：
$[Q] = [0.68] [D^2] [\sqrt{gh}]$

核心觀念

本題考查不可壓縮流體的連續方程式與體積流率：

$$Q=Av$$

管路左側流入流量大於右側流出流量，其差額即為流入水槽的流量：

$$Q_{\text{tank}}=Q_1-Q_2=A_p(v_1-v_2)$$

其中管徑為 $d=12\text{ cm}$。水槽為圓柱形，需填滿的水深為：

$$\Delta h=1-0.3=0.7\text{ m}$$

解題方法

水槽截面積為

$$A_t=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.75)^2}{4}$$

水槽尚需填入的體積：

$$V=A_t\Delta h =\frac{\pi(0.75)^2}{4}(0.7)$$

管路截面積為

$$A_p=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(0.12)^2}{4}$$

流入水槽的淨流量：

$$Q_{\text{tank}} =A_p(v_1-v_2) =\frac{\pi(0.12)^2}{4}(2.5-1.9)$$

因此填滿所需時間為

核心觀念

本題考查垂直平面閘門兩側靜水壓力的合力矩。

對於靜止液體，深度為 $h$ 處的表壓為

$$p=\rho gh$$

其中：

• $\rho$：水的密度
• $g$：重力加速度
• $h$：測點到自由液面的垂直深度

閘門兩側水深分別為 $2\ \text{m}$ 與 $3\ \text{m}$，因此必須計算兩側水壓對閘門底部的力矩差。

20°C 水的密度取

$$\rho \approx 998\ \text{kg/m}^3$$

閘門寬度為

$$b=4\ \text{m}$$

解題方法

令 $y$ 為測點距離閘門底部的高度，向上為正方向。閘門高度為 $3\ \text{m}$。

1. 高度 $0\le y\le 2$ 的壓力差

在此區域，兩側都有水。

較深側水深為 $3-y$，較淺側水深為 $2-y$，故淨壓力為

$$\Delta p =\rho g[(3-y)-(2-y)] =\rho g$$

此區域的淨壓力差為常數。

微小面積為

$$dA=b\,dy$$

微小力為

$$dF=\Delta p\,dA =\rho g b\,dy$$

對閘門底部的微小力矩為

$$dM=y\,dF =\rho g b\,y\,dy$$

因此

$$M_1=\rho g b\int_0^2 y\,dy$$ $$M_1=\rho g b\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^2 =2\rho g b$$

2. 高度 $2\le y\le 3$ 的壓力差

在此區域，較淺側已無水，只有水深為 $3\ \text{m}$ 的一側施加壓力。

此處壓力為

$$\Delta p=\rho g(3-y)$$

故力矩為

$$M_2=\rho g b\int_2^3 (3-y)y\,dy$$ $$M_2=\rho g b\int_2^3(3y-y^2)\,dy$$

本題考驗速度場的微分運算，包括計算加速度分量以及求取任意方向的速度分量。

給定的二維速度場為：
$u(x, y) = x^2 - y^2 + x$
$v(x, y) = -(2xy + y)$

部分 (a)：計算加速度 $a_x$ 和 $a_y$

加速度的計算涉及流體的對流加速度 (convective acceleration) 和局部加速度 (local acceleration)。對於定常流（steady flow），局部加速度為零。雖然題目沒有明確說明是否為定常流，但加速度的計算公式是通用的。
加速度的分量由以下公式給出：
$a_x = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}$
$a_y = \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}$

首先，我們需要計算速度場的偏導數：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2 + x) = 2x + 1$
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2 + x) = -2y$
$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-(2xy + y)) = -2y$
$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-(2xy + y)) = -2x - 1$

假設這是定常流，則 $\frac{\partial u}{\partial t} = 0$ 和 $\frac{\partial v}{\partial t} = 0$。
在點 $(x, y) = (1, 2)$ 處的速度分量為：
$u(1, 2) = (1)^2 - (2)^2 + 1 = 1 - 4 + 1 = -2$
$v(1, 2) = -(2(1)(2) + 2) = -(4 + 2) = -6$

在點 $(1, 2)$ 處的偏導數值為：
$\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{(1,2)} = 2(1) + 1 = 3$
$\frac{\partial u}{\partial y}\bigg|_{(1,2)} = -2(2) = -4$
$\frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{(1,2)} = -2(2) = -4$
$\frac{\partial v}{\partial y}\bigg|_{(1,2)} = -2(1) - 1 = -3$

核心觀念

本題考查：

1. 不可壓縮流體的質量守恆（連續方程）
2. 穩態流動的動量方程
3. 黏性項對速度場的影響
4. 由壓力梯度積分求壓力場

對二維不可壓縮流動，質量守恆為

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$$

穩態牛頓流體的動量方程，在無體積力的標準假設下為

$$\rho\left(u\frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial x} +v\frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial y}\right) =-\nabla p+\mu\nabla^2\boldsymbol{V}$$

其中速度向量為

$$\boldsymbol{V}=(u,v,w)$$

---

(a) 質量守恆檢查

已知

$$u=-2xy,\qquad v=y^2-x^2$$

分別計算速度分量的偏導數：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=-2y$$ $$\frac{\partial v}{\partial y}=2y$$

因此

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} =-2y+2y=0$$

所以此速度場滿足不可壓縮流體的連續方程，也滿足質量守恆。

---

(b) 壓力場

第一步：計算黏性項

對 $u$ 而言：

$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0,\qquad \frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$

因此

$$\nabla^2u=0$$

對 $v$ 而言：

$$\frac{\partial^2v}{\partial x^2}=-2,\qquad \frac{\partial^2v}{\partial y^2}=2$$

因此

$$\nabla^2v=-2+2=0$$

故整個黏性項為零：

$$\mu\nabla^2\boldsymbol{V}=\boldsymbol{0}$$

這表示雖然流體為黏性流體，但此速度場的黏性擴散項恰好為零。

---

第二步：計算加速度

因為流動為穩態，只有對流加速度：

$$a_x=u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y}$$

先求偏導數：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=-2y,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-2x$$

代入得

$$\begin{aligned} a_x &=(-2xy)(-2y)+(y^2-x^2)(-2x)\\ &=4xy^2-2xy^2+2x^3\\ &=2x(x^2+y^2) \end{aligned}$$

同理，